19/10/11 06:44:37.47 6TUBtpOP.net
以下のような数値が得られたので、Mathematicaで指数関数か級数で近似式を得たいのですが、どのようにしたら良いでしょうか？
分かる方がいましたらご教授下さい。m(_ _)m
曲線のフィットか近似関数補間を使うのかなとは思って色々してみましたが
うまくいきません。
X Y
-9.79 -0.10
-8.01 -0.10
-6.00 -0.10
-4.00 -0.10
-2.01 -0.10
0.00 -0.10
0.099 -0.01
0.199 -0.01
0.301 0.00
0.402 0.01
0.499 0.11
0.600 1.10
0.701 8.51
0.708 10.0
0.732 15.0
0.749 20.0
701:１３２人目の素数さん
19/10/11 06:46:54.87 6TUBtpOP.net
Interpolation[{{-9.79`, -0.1`}, {-8.01`, -0.1`}, {-6.`, -0.1`}, \
{-4.`, -0.1`}, {-2.01`, -0.1`}, {0.`, -0.1`}, {0.099`, -0.01`}, \
{0.199`, -0.01`}, {0.301`, 0.`}, {0.402`, 0.01`}, {0.499`,
0.11`}, {0.6`, 1.1`}, {0.701`, 8.51`}, {0.708`, 10.`}, {0.732`,
15.`}, {0.749`, 20.`}}]
702:671
19/10/11 06:49:53.06 6TUBtpOP.net
すいません、途中でボタンを押してしまいました。。
703:。 以下のようにしてみましたら、何かしらの関数は描けるのですが OUTがドメイン 、OUTPUT が スカラー ？？？ と なっています。 具体的な関数はどういった式なのでしょうか？ Interpolation[{{-9.79`, -0.1`}, {-8.01`, -0.1`}, {-6.`, -0.1`}, \ {-4.`, -0.1`}, {-2.01`, -0.1`}, {0.`, -0.1`}, {0.099`, -0.01`}, \ {0.199`, -0.01`}, {0.301`, 0.`}, {0.402`, 0.01`}, {0.499`, 0.11`}, {0.6`, 1.1`}, {0.701`, 8.51`}, {0.708`, 10.`}, {0.732`, 15.`}, {0.749`, 20.`}}]
704:１３２人目の素数さん
19/10/11 06:56:15.60 D3BhNefa.net
単なる計算による解答を排除するには
6^1000とかではどうかな
log=1000log6=778.1
1<10^0.1～10^0.3<2
より最高位は1
手間は変わらん
779桁の計算を正確にできる人もいるかも知れないが
そういう人は奇貨居くべしで合格させた方が良いかも
705:１３２人目の素数さん
19/10/11 08:17:22.04 iriMeesd.net
ほぼ全ての人にとって直接計算するよりも対数を利用した方がずっと簡単という問題にするべきか
対数を利用した方が面倒なんて問題をやらせると数学嫌いを作ることになるかもね
その問題の場合はもっとべき数が大きかったら対数計算の方が簡単だなと想像がつくけど
行列は何が便利なのかさっぱりわからなかった
よくあんなものを考えついた人がいたもんだと感心する
706:１３２人目の素数さん
19/10/11 08:46:58.19 YULRpgNc.net
>>674
そんなにでかいと対数の近似値が4桁じゃ効かなくなる。
707:１３２人目の素数さん
19/10/11 09:39:57.76 D3BhNefa.net
>>676
だから10^0.1～10^0.3で
708:１３２人目の素数さん
19/10/11 09:58:30.73 YULRpgNc.net
>>677
その場合のように最高位が1とか2になるやつならいけるけど答えが8とか9になる問題が出せなくなる。
0.9030,0.9542とか区別するには対数の近似値が二桁近く信頼できないと。
709:１３２人目の素数さん
19/10/11 11:09:16.27 iZJWnoK0.net
出さなきゃいいだけじゃん
710:１３２人目の素数さん
19/10/11 11:12:36.66 YULRpgNc.net
いや、それだとlog[10]2とlog[10]3の値から極力出せるlog[10]aを出して最高位が8とか9の処理ができるかの力が問えなくなる。
711:１３２人目の素数さん
19/10/11 11:28:47.58 nuOZTq97.net
いずれにしてもこのスレ向きの話題じゃない
というか出題厨の相手しちゃいけない
712:１３２人目の素数さん
19/10/11 16:28:44.59 Q+QVtJOo.net
>>641
6^9 = (2^10) ・ (3^9)/2 = 1024 ・ 9841.5 = 1.0077696 ・ 10^m
を使う。
6^3 の最高位と同じ。
713:１３２人目の素数さん
19/10/11 17:26:42.25 H98faXPC.net
2/{3^(1/3)-1}?
714:１３２人目の素数さん
19/10/11 18:16:28.47 oaAxCgcl.net
2/{3^(1/3)-1}
=0.386722548701
715:１３２人目の素数さん
19/10/11 18:25:34.42 Xq8I5JD2.net
x=x(s,t)
y=y(s,t)
からs,tを消去してf(x,y)=0となるfを求められるかどうかを一般的に判定する方法があれば教えてください
716:１３２人目の素数さん
19/10/11 18:25:51.10 woYId+3K.net
>>641
>>656
この問題って、たまたま
2 ≒ 10^(0.3010) < 10^(0.343) < 10^(0.4771) ≒ 3
だったから log(2), log(3) の近似値を使って解けただけですよね？
なんかものすごく人工的な悪問ですよね。
717:１３２人目の素数さん
19/10/11 18:35:05.61 0jpBYaOt.net
どうせ人工的なら、際どいところを狙って出題すべきでしたね
718:１３２人目の素数さん
19/10/11 18:59:36.75 x3sQw7BW.net
既に解決済みの簡単な高校数学の基礎問題にいつまであーだこーだ言い続けるんだろうか
松坂くんと同レベルのことやってるって自覚ないのかな
719:１３２人目の素数さん
19/10/11 21:35:34.42 woYId+3K.net
松坂和夫著『解析入門中』を読んでいます。
「
A が距離空間 X の開集合であるとき、
A の各点 a に対して B(a ; r(a)) ⊂ A となる正の実数 r(a) が存在し、明らかに
A = ∪_{a ∈ A} B(a ; r(a))
となる。
」
という記述があります。
これって選出公理を使っていますよね。
それにもかかわらず、選出公理を使っていることを書いていません。
これはOKなんですか？
720:１３２人目の素数さん
19/10/11 21:39:42.70 Q+QVtJOo.net
>>682
与えられた対数値を使えば
log_10(6) = log_10(2) + log_10(3)
= 0.30103000 + 0.47712125
= 0.77815125 ←これを見てヒラメく
= (7/9) + 0.00037347
より
6^9 = 1.0077696・10^7
721:１３２人目の素数さん
19/10/11 21:51:51.58 vNzp8jdi.net
そのようなことをヒラメいて、何か意味があるのですか？
722:１３２人目の素数さん
19/10/11 22:11:45.04 6xojM6qn.net
>>689
選択公理なんか一々使わなくても取れる
723:１３２人目の素数さん
19/10/11 22:45:03.13 Q+QVtJOo.net
>>671
Y = exp(9.885･exp(X)-17.82) - 0.1
とか････
724:１３２人目の素数さん
19/10/11 23:06:04.12 xSXIZ+HG.net
>>658
f(x)=4x^3-3xとして、f(f(f(f(x))))=f^{4}(x)=x を解け と同型
y=f(x)は、三次関数で(-1,-1),(-√3/2,0),(-1/2,1),(0,0),(1/2,-1),(√3/2,0),(1,1) らを通る。
f(x)=k は、|k|>1 で1実数解、|k|=1で二実数解、|k|<1で3実数解を持つ
ところで、|a|>1だと、|b|=|4a^3-3a|=|a|*|a^2+3(a^2-1)|>|a| だが、同様の操作で
|d|>|c|>|b|>|a|>|d| が 導かれるので、|a|≦1
f(x)=k は、|k|≦1 で最大3実数解を持ち、f^{2}(x)=k は、|k|≦1 で最大9実数解を持ち
f^{3}(x)=k は、|k|≦1 で最大27実数解を持ち、f^{4}(x)=k は、|k|≦1 で最大81実数解を持つ
従って、f^{4}(x)=x は、|x|≦1の範囲で、最大81実数解を持つ
4x^3-3x=k と 三倍角の公式 4cos^3(x)-3cos(x)=cos(3x) を見比べ、
a=cosθ,b=cos(3θ),c=cos(9θ),d=cos(27θ) の形のものが解になることが判るが、
4cos^3(27θ)-3cos(27θ)=cos(81θ)=cosθ より
a=cos(kπ/41),b=cos(3kπ/41),c=cos(9kπ/41),d=cos(27kπ/41) , k=0,...,41
a=cos(kπ/40),b=cos(3kπ/40),c=cos(9kπ/40),d=cos(27kπ/40) , k=1,...,39 (k=0,40は、上と重複するので除外した)
の81通りが、解となる
725:671
19/10/11 23:12:06.68 6TUBtpOP.net
>>693
ありがとうございました。
ずっと待っていた甲斐があり、とても助かりました。
Mathematicaはどのような操作をしましたか？
もしよろしければご教授頂ければありがたいです。
感謝ですm(_ _)m
726:
19/10/12 06:38:59 RolvKeTS.net
>>690
ここがわかりませんでした
> = (7/9) + 0.00037347
> より
> 6^9 = 1.0077696・10^7
727:１３２人目の素数さん
19/10/12 06:49:47.43 slmtGvpk.net
私が仕事をすると
「仕事ができない人」
がどうのこうのというメールが飛んでくる♪
728:１３２人目の素数さん
19/10/12 12:40:28.21 hX/F/mRq.net
選出公理を使っているかいないかというのはどういう風に考えればいいんですか？
A ∋ a に対して、有界で連結な実数の集合 S_a が対応するとき、
a → (1/2) * (sup S_a + inf S_a) ∈ S_a
という写像が存在します。
A から ∪_{a ∈ A} S_a への写像 r で r(a) ∈ S_a となるものが存在することをいうのに選出公理は不要です。
A ∋ a に対して、有界な実数の集合 S_a が対応するとき、
A から ∪_{a ∈ A} S_a への写像 r で r(a) ∈ S_a となるものが存在することをいうためには、
選出公理は必要ですよね？
S_a に対する条件が空でないというだけの場合には選出公理を使わなくてはならない。
S_a に対する条件が強くなると選出公理を使わなくてもいいケースが増えてくる。
みたいなイメージですか？
729:１３２人目の素数さん
19/10/12 13:15:39.71 mogCYbSe.net
n次関数をaからbまで積分するときの、リーマン積分での計算量とルベーグ積分での計算量の大小を比較せよ。
730:１３２人目の素数さん
19/10/12 13:24:14.42 hX/F/mRq.net
（１）
S が空でない集合であるとき、 r ∈ S を取ることができる。
（２）
任意の A ∋ a に対して、 S_a ≠ φ とする。
任意の A ∋ a に対して、 r(a) ∈ S_a を取ることができる。
（２）ではなぜ選出公理が必要なのでしょうか？
731:１３２人目の素数さん
19/10/12 13:27:30.69 ECN1Py89.net
Aが�
732:ｳ限集合だからです
733:１３２人目の素数さん
19/10/12 13:44:53.32 Ty9mG3gK.net
空でない閉集合
734:
19/10/12 15:55:52 VuG8MN2p.net
マルチ馬鹿は不快だな
735:１３２人目の素数さん
19/10/12 16:32:02.46 9lTB6FYQ.net
>>684
教科書の問題も解けなくてユーモアのセンスもない馬鹿が数学者気取ってここにいるんじゃねえよ！低脳ｗ
このスレに相応しい頭のいい先生、2/{3^(1/3)-1} を簡単にしてください
736:１３２人目の素数さん
19/10/12 16:35:10.27 9lTB6FYQ.net
途中の計算式もよろしくお願いします
737:１３２人目の素数さん
19/10/12 17:07:30.31 hX/F/mRq.net
>>683
a^3 - b^3 = (a - b) * (a^2 + a*b + b^2)
が成り立ちますので、
1 / (a - b) = (a^2 + a*b + b^2) / (a^3 - b^3)
が成り立ちます。
a = 3^(1/3)
b = 1
とすると、
1 / (a - b)
=
(a^2 + a*b + b^2) / (a^3 - b^3)
=
(3^(2/3) + 3^(1/3) + 1) / (3 - 1)
=
(3^(2/3) + 3^(1/3) + 1) / 2
が成り立ちます。
この結果を使うと、
2 / (3^(1/3) - 1)
=
2 / (a - b)
=
2 * (3^(2/3) + 3^(1/3) + 1) / 2
=
3^(2/3) + 3^(1/3) + 1
となります。
「簡単」の定義が分からないのでこれが正解かどうかは分かりません。
738:１３２人目の素数さん
19/10/12 18:36:20.54 gCUg0Mza.net
>>705
この前、常用対数の問題解けなかったバカか？教科書レベルも解けないカス
こんなのが塾講師とかw生徒が可哀想ww
739:１３２人目の素数さん
19/10/12 19:28:35.12 Be8kVK2J.net
>>630と同一人物なんかな
だとしたら>>631とか書くんじゃなかったわ
740:１３２人目の素数さん
19/10/12 19:36:03.43 2e8nt9wC.net
常用対数と聞いてlog[2]を連想する貴方は情報科学屋さんですか？
741:１３２人目の素数さん
19/10/12 21:45:57.60 mogCYbSe.net
c,sを実数とする。
実数x,yについての連立方程式
cx-sy=1
sx+cy=2
が-1≤x≤1かつ-1≤y≤1の範囲に解(x,y)を持つとき、|c|+|s|の取りうる値の範囲を求めよ。
742:１３２人目の素数さん
19/10/12 22:33:54 LBq3GV/u.net
>>710
(0,∞)
743:
19/10/13 00:04:36 6F2PPbdU.net
>>710
[2,∞)
744:１３２人目の素数さん
19/10/13 00:08:02.06 6F2PPbdU.net
明らかに (c,s)≠(0,0)
cc+ss > 0
与式から
x = (c+2s)/(cc+ss), y = (2c-s)/(cc+ss),
(cc+ss)^2 (1-xx) = (cc+ss)^2 - (c+2s)^2
= (cc+c+ss+2s)(cc-c+ss-2s)
= {(c+1/2)^2 +(s+1)^2 -5/4] {(c-1/2)^2 +(s-1)^2 -5/4},
xx≦1 ⇒ 原点で接する2円の外側。
(cc+ss)^2 (1-yy) = (cc+ss)^2 - (2c-s)^2
= (cc+2c+ss-s)(cc-2c+ss+s)
= {(c+1)^2 +(s-1/2)^2 -5/4] {(c-1)^2 +(s+1/2)^2 -5/4},
yy≦1 ⇒ 原点で接する2円の外側。
よって求める領域は、原点を通る4円の外側。
|c|+|s| はそれらの交点で最小になる。
交点 (c,s) = (3/2,1/2) (-1/2,3/2) (-3/2,-1/2) (1/2,-3/2)
|c|+|s| = 2.
745:１３２人目の素数さん
19/10/13 15:27:53.84 U4e9++g9.net
>>706
さすが先生合っています
ありがとうございました
746:１３２人目の素数さん
19/10/13 18:22:49.15 O7sZwhdv.net
松坂和夫著『解析入門中』を読んでいます。
以下の命題の証明で、「選出公理」を使っていますよね？
A を距離空間 X の部分集合、 a を X の点とする。 a が A の触点であるためには、 lim_{n → ∞} x_n = a となる
ような A の点列 (x_n) の存在することが必要かつ十分である。
証明
a ∈ 「A の閉包」ならば、任意の n = 1, 2, 3, … に対して
B(a ; 1/n) ∩ A ≠ φ
である。そこで B(a ; 1/n) ∩ A から点 x_n をとれば、 (x_n) は A の点列で、
d(x_n, a) < 1/n であるから、 x_n → a となる。
747:
19/10/13 23:41:16 6F2PPbdU.net
〔710の類題〕
c, s を実数とする。
実数 x, y についての連立方程式
cx-sy = 1
sx+cy = 2
が xx+yy ≦ 2 の範囲に解 (x, y) を持つとき、|c|+|s| の取りうる値の範囲を求めよ。
748:１３２人目の素数さん
19/10/14 1
749:0:57:19.59 ID:7m/m3h4y.net
750:１３２人目の素数さん
19/10/14 11:01:27.01 7m/m3h4y.net
あ、一般の距離空間では成り立ちませんね。
ユークリッド空間の場合にはどうですか？
751:
19/10/14 13:23:26 IDZ0LyL+.net
有限次元なら証明可能
752:１３２人目の素数さん
19/10/14 17:40:13.46 JQb+gLUh.net
>>716
[ √(5/2), ∞)
ラグランジュの恒等式で
(cc+ss)(xx+yy) = (cx-sy)^2 + (sx+cy)^2 = 5,
xx+yy ≦ 2 ⇔ cc+ss ≧ 5/2,
よって、求める領域は 半径√(5/2) の円の外側。
|c|+|s| ≧ √(cc+ss) ≧ √(5/2),
753:
19/10/15 02:30:39 GPgd56iv.net
行列[a,-b][b,a]（a,bは実数）が長さを保ったままの回転を表す一次変換である必要十分条件は、
「ある実数x,yが存在して、a=cos(x),b=sin(x)と表せること」
で合っていますか？
754:１３２人目の素数さん
19/10/15 06:30:33 imnYaC8C.net
無限次元の球はコンパクトにはならない
有限次元である事が必要十分
755:１３２人目の素数さん
19/10/15 08:03:25.61 EHvVU2/z.net
>>722
en=(0,…,0,1)として
{en}は集積点を持たない
756:
19/10/15 09:58:11 re42hqGv.net
長さ保たない回転ってあるん？
757:１３２人目の素数さん
19/10/15 10:22:42.79 esVivUyK.net
松坂和夫著『解析入門（中）』を読んでいます。
距離空間 X が完備かつ全有界 ⇒ X はコンパクト
の証明ですが、おかしなことを書いています。
背理法で証明しているのですが、
「(U_λ) λ∈ Λ を X の任意の被覆とする。 X が U_λ のうちの有限個では決して被覆されないと仮定して矛盾を導こう。」
などと書かれています。
これはまずいですよね。
「X の任意の被覆 (U_λ) λ∈ Λ に対して、 X が U_λ のうちの有限個では決して被覆されないと仮定して矛盾を導こう。」
とも解釈できますよね。
「(U_λ) λ∈ Λ を X のある被覆とする。 X が U_λ のうちの有限個では決して被覆されないと仮定して矛盾を導こう。」
と書くべきですよね。
758:１３２人目の素数さん
19/10/15 10:56:38.91 crcn8fbS.net
その訂正後の日本語もおかしい
759:１３２人目の素数さん
19/10/15 10:57:07.25 7YV6GcZY.net
構うなや
760:１３２人目の素数さん
19/10/15 11:28:15.95 G7Oeo7o+.net
メルカトル図法で大円に相当するものは地図上では曲線に見えますが
どういう曲線なんでしょうか？北（南）回帰線もどんな曲線？
761:１３２人目の素数さん
19/10/15 11:42:37.06 twgrAF0j.net
計算して式を見せろよ
回帰線は直線だったな
762:
19/10/15 12:00:14 RfqxIrwH.net
k cosθcosφ=sinφ
だから
φ=arctan(k cosθ)
763:１３２人目の素数さん
19/10/15 13:14:54.15 K/6FCgXM.net
なんて気持ち悪い式だ
764:１３２人目の素数さん
19/10/15 13:55:04.99 Xk2UgjU7.net
Q=[1,1][1,1]とする。
以下の等式を同時に満たす2次正方行列A,Pの組を1つ与えよ。
Eは2次の単位行列である。
P^(-1)AP=E
A^(n)=(Q-E)
765:１３２人目の素数さん
19/10/15 17:25:52.16 Xk2UgjU7.net
A=[a,a+d][a+2d,a+3d]
が対角化可能でない非負整数a,dを全て決定せよ。
766:１３２人目の素数さん
19/10/15 19:07:20.50 GPgd56iv.net
自然数nを２進法表記したとき、その数字列に現れる1の数をa[n]、0の数をb[n]とおく。
また自然数kに対して
S_k = Σ[n=2^k to 2^(k+1)-1] a[n]
T_k = Σ[n=2^k to 2^(k+1)-1] b[n]
とするとき、極限
767: lim[k→∞] T_k/S_k を求めよ。
768:１３２人目の素数さん
19/10/15 21:58:26.54 eja156vF.net
>>721
変換を (u, v) → (u’, v’) とすると
u’= au - bv,
v’= bu + av,
ラグランジュの恒等式から
(u’)^2 + (v’)^2 = (au-bv)^2 + (bu+av)^2 = (aa+bb)(uu+vv),
長さを保つ ⇔ aa+bb=1 ⇔ ∃θ; (a=cosθ, b=sinθ)
ところで、yって何？
>>732
上の式から {P^(-1) が存在すれば}
A = PEP^(-1) = E,
下の式から
A^n = [0,1][1,0]
∴ これらを同時に満たすAは存在しない。
769:
19/10/15 23:50:43 GPgd56iv.net
0でないある実数s,tを用いて
[0,s][t,0]
の形で表される2次正方行列を逆対角行列と呼ぶこととする。
行列A=[a,b][c,d]を考える。
このとき、以下の命題を真とするような実数a,b,c,dの条件を述べよ。
『Aに対しある2次正方行列Pが存在し、P^(-1)APが逆対角行列となる。』
770:
19/10/16 00:03:02 wUBxHoD9.net
trace
771:
19/10/16 01:38:15 5dVhgqq0.net
a+d = tr(A) = tr(P^(-1)AP) = tr([0,s][t,0]) = 0,
ad-bc = det(A) = det(P^(-1)AP) = det([0,s][t,0]) = -st,
少し緩めて
『Aに対しある2次正方行列 P≠O が存在し、AP = P(逆対角行列) となる。』
にすると
a+d = 0 以外に (a-d)^2 + 4bc ≧0,
もかな？ stは
(st +ad -bc)^2 - (a+d)^2･st = 0,
から････
772:１３２人目の素数さん
19/10/16 02:14:37.54 5dVhgqq0.net
>>734
各kについて、2^k個のnがある。
上1桁はすべて1であり、下k桁は 1と0が同数である。
S_k = 2^(k-1)･(k+2)
T_k = 2^(k-1)･k
より
T_k/S_k = k/(k+2),
773:１３２人目の素数さん
19/10/16 02:30:26.82 5dVhgqq0.net
>>730
緯度をφ、経度(方位角)をθとする。
デカルト座標に直すと
x = R cosθcosφ, y = R sinθcosφ, z = R sinφ,
Rは地球の半径
さて、大円は中心を通る平面との交線だからデカルト座標で
kx = z
と表わせる。極座標では
k cosθcosφ = sinφ
ところで、メルカトル図法は、横軸が経度θ、縦軸が tanφ だから
(縦) = k cos(横)
つまり、余弦曲線。
774:
19/10/16 03:39:10 5dVhgqq0.net
どうでもいいけど、
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ････ = log(2)
もメルカトル級数って云うらしいよ。
1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - ・・・・ = 1/(1+x),
を積分する？
775:
19/10/16 03:57:38 5dVhgqq0.net
>>737 >>738
令和の問題だから 零和だろうな。
776:１３２人目の素数さん
19/10/16 10:03:20.52 xUQyQspC.net
URLﾘﾝｸ(livedoor.blogimg.jp)
777:１３２人目の素数さん
19/10/16 14:21:05.27 5dVhgqq0.net
面白スレ２９－934 にありますた。
778:
19/10/16 14:53:24 5dVhgqq0.net
>>738
A = [ [a,b] [c,d] ]
P = [ [p11,p12] [p21,p22] ]
Q = [ [0,s] [t,0] ]
とする。
AP = PQ
を成分で表わせば
a p11 -t p12 +b p21 = 0,
-s p11 +a p12 +b p22 = 0,
c p11 +d p21 -t p22 = 0,
c p12 -s p21 +d p22 = 0,
これが解 (p11,p12,p21,p22) ≠ (0,0,0,0) をもつ条件は
0 = det([a,-t,b,0] [-s,a,0,b] [c,0,d,-t] [0,c,-s,d])
= (st +ad -bc)^2 - (a+d)^2･st,
これが実解stをもつ条件は、判別式
D = (aa+dd+2bc)^2 - 4(ad-bc)^2
= (a+d)^2 {(a-d)^2 + 4bc}
≧ 0,
∴ a+d = 0 または (a-d)^2 + 4bc ≧ 0,
779:１３２人目の素数さん
19/10/16 21:05:53.12 ExCMN39w.net
これは、どうパラメータ置いて何に注目して解くのがいい�
780:ﾆ思いますか？ https://i.imgur.com/BxfuQOu.jpg 円C1の中心D(0,t)を固定し、C2上の点P(x,x³)をとり、 xの関数f(x)=DP²をとる ①単純に微分していってf(x)の最小値を探る →円と三次曲線の接し方が言い切れないので却下(y=x³と直線y=0みたいに交差しつつ接するかもしれない) ②接点をA(a,a³)B(b,b³)とおきf(x)が (x-a)²(x-b)²で割り切れることから係数条件で求める →6次は計算が鬼過ぎ、解ける自信もなく挫折 ③「f(x)=0かつf'(x)=0」に関数の互助法を使っていって次数下げを試みる →まだ試していないが、②よりマシそうだが、これも計算がきつそうではある ④A(a,a³)B(b,b³)を固定して、法線に着目し、法線の交点Eがy軸上に来て、かつAE=BEとなる条件を満たすabを探して解く →a³+1/3a²=b³+1/3b²かつa²+1/9a²=b²+1/9b²みたいな変な連立方程式になって解けそうにもなく挫折 どれを使う、あるいはこれ以外では何に注目するのが良い手段と思われますか？
781:１３２人目の素数さん
19/10/16 21:08:45.20 ExCMN39w.net
③は誤記しましたすいません
円の半径をrとおいて、「f(x)-r²=0、かつ、f'(x)=0」に互助法を～が正しいです
782:１３２人目の素数さん
19/10/16 21:10:23.32 ExCMN39w.net
②も同じ誤記してますね…長文なのにミスし過ぎですいません
「円の半径をrとおき、f(x)-r²が(x-a)²(x-b)²で割り切れることから～」でした
783:１３２人目の素数さん
19/10/16 21:53:07 pkVpUH+R.net
無限に広い平面に、密度ρで点をポアソン配置(つまりランダムの配置)して
点と点の最近接距離の分布をみるとレイリー分布になることが分かるそうです。
URLﾘﾝｸ(www.fbs.osaka-u.ac.jp)
f(x) = x/σ^2 * exp(- 1/2 * (x/σ)^2), σ^2=1/(2πρ)
ところで上記を、ポアソン配置ではなく中心からの距離にしたがって
N個の点が分散ξ^2のガウス分布をしているとするとどうなるでしょうか。
ξ^2=1で数値実験して最近接距離の分布をみるとレイリー分布から
ずれるようです。Nが十分大きければ、
f(x) = 12/(πδ)^2 * x/(1 + exp(x/δ))
δもNに依存して、大体δ～1/√Nになりそう。
これらはあくまで実験式でまちがってるかもです。
基本は上のサイトみたいな方針なのでしょうが、まともに計算できそうもないし
どういう方針で証明すればよいでしょうか。
784:１３２人目の素数さん
19/10/16 22:24:44 dREipWvs.net
>>746
＞→a³+1/3a²=b³+1/3b²かつa²+1/9a²=b²+1/9b²みたいな変な連立方程式になって解けそうにもなく挫折
問題見てないけど、これは落ち着けば普通に解けるでしょ
785:１３２人目の素数さん
19/10/17 00:17:07.48 QehUeJ/R.net
>>746
⑤a,b,rを変数に取る
A,B起点にC2の法線ベクトルを長さr伸ばした点α、βが一致し、かつy軸上に来る条件を探る
長さをあとから考えると計算がより複雑になる
786:１３２人目の素数さん
19/10/17 00:24:15.52 tf+RB697.net
>>750
どう見ても初等的には解けないと思うけどw
まさか適当解答じゃあるまいし
750が鮮
787:やかに解いてくれるだろうからみんなしっかり見とけよ
788:１３２人目の素数さん
19/10/17 01:01:06.66 mTycNgJ9.net
>>751
>かつy軸上に来る
なんで？
789:１３２人目の素数さん
19/10/17 01:02:44.43 mTycNgJ9.net
>>752
a'+1/3a'=b'+1/3b'
a'+1/9a'=b'+1/9b'
a'=b'
790:１３２人目の素数さん
19/10/17 02:14:45.27 QehUeJ/R.net
>>753
？
791:１３２人目の素数さん
19/10/17 02:15:31.59 QehUeJ/R.net
>>753
問題文に円C1の中心はy軸上と書いてあるからだな
792:１３２人目の素数さん
19/10/17 03:41:25.16 ljhziFQV.net
傾きに着目した方が楽な予感はする。
A(t,t^3), B(u,u^3)での接線の偏角をα、βとすると直線ABの偏角は(α+β)/2だから
tan α=3t^2、tan β=3u^2、tan(α+β)/2=t^2+tu+u^2
なので
(3t^2+3u^2)/(1-9t^2u^2)
=2(t^2+tu+u^2)/(1-(t^2+tu+u^2)^2)
これの解だけどt^2+u^2=p、t^2+tu+u^2=qとかおいて整理すると、そこそこ簡単になるよう。
これのp≧2(q-p)≧0における解からt,u求めて行けそうで無理そうで。
ここで力尽きたのであてにすな。
793:１３２人目の素数さん
19/10/17 07:48:53 ir0kkLmW.net
>>752
ああ、もしかして(a^3+1)/(3a^2)じゃなくてa^3+1/(3a^2)なのか
分母に括弧つけてないから分子の方も省略してるのかと思ったわてへぺろ
794:１３２人目の素数さん
19/10/17 09:16:20.57 zOTljtwe.net
>>758
アホ丸出し
795:
19/10/17 10:13:51 QehUeJ/R.net
出題ガイジやイナ以下のゴミだな
796:
19/10/17 11:07:57 0TahQqdi.net
>>746,>>751
?と?は本質的に同じものだろうから計算テクの違いでしかないと思う
解いてみたが、質問者は計算ミスしてる
ab≠0の条件下で
a^2+1/(9a^2)=b^2+1/(9b^2)
a^3+1/(3a)=b^3+1/(3b)
これが条件
下の式からabの正負は一致するから対称性から両方正としていい
上の式は実はb^2=BとおいてBについて単に二次方程式の解の公式で解けて、B=a^2、1/(9a^2)
a、b正でa≠bだからb=1/(3a)
下の式に戻って整理すると27a^6-27a^4+9a^2+1=0
上の式を一階微分するとa>0で解なしが言える
だからそういう円が存在するならab=0が必要でb=0とすると一変数になるから適当にやるとすぐ解ける
797:
19/10/17 13:31:36 vAbNKuTQ.net
a,bを正の実数とする。2つの放物線
C1:y=x^2
C2:y=(x-a)^2+b
の共通接線をlとする。
（1）以下の閉領域Dがただ1つ存在することを示せ。
「DはC1とC2とlで囲まれ、Dの面積は有限値である。」
（2）lの方向ベクトルで長さ1のものをv↑=[s,t]とおく。ただしs>0とする。
C2をp*v↑だけ平行移動した放物線をC3とすると、C1,C3,lで囲まれる領域の面積EはE=2Dとなった。
実数pの値を求めよ。
798:１３２人目の素数さん
19/10/17 15:16:31.90 w8xIJ+8J.net
>>746
C2の接線でC2と接点で交差するものは(0,0)でだけだから①の方針でも解ける
C2のAにおける接線はy=3aax-2aaa
y=xxxと差を取るとy=xxx-3aax+2aaa、微分してy'=3(xx-aa)
a=0以外だとx=aの前後でy'が符号変化するので交差しない
799:１３２人目の素数さん
19/10/17 15:17:58.70 w8xIJ+8J.net
どうやっても6次方程式は出てくる。これは当たり前
どうやると計算量少ないかは腕
800:１３２人目の素数さん
19/10/17 17:17:09 +KHVm520.net
この問題について教えて頂けないでしょうか。
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
画像のように、2点A,Bが円Oの周上にあります。円Oの周上に、点Oが∠APBの内部に
あるように点Pをとり、直線POと孤ABとの交点のうち、PではないほうをCとします。
このとき、次の問いに答えなさい。
(1)∠AOC=2∠APCとなることを、円周角の定理を用いずに証明しなさい。
(2)∠APB=1/2∠AOBとなることを証明しなさい。ただし、(1)の結果を利用しても
構いません。
801:イナ
19/10/17 23:34:40.85 L48Pq9Ty.net
前>>518
>>765(1)
∠APC+∠PAO=∠AOC―①
∵△PAOにおいて、三角形の2つの内角の和はもう1つの内角の外角に等しいから。
∠APC=∠PAO―②
∵△PAOはOA=OPの二等辺三角形で、二等辺三角形の底角は等しいから。
②を①に代入すると、
∠APC+∠APC=∠AOC
∴∠AOC=2∠APC
802:イナ
19/10/17 23:44:32.04 L48Pq9Ty.net
前>>766
>>765(2)
(1)より2∠APC=∠AOC―③
同様に2∠BPC=∠BOC―④
③④を辺々足すと、
2(∠APC+∠BPC)=∠AOC+∠BOC
2∠APB=∠AOB
∴∠APB=(1/2)∠AOB
803:１３２人目の素数さん
19/10/17 23:51:18.53 +KHVm520.net
>>766
>>767
おお、ありがとうございます。
助かりました。
804:１３２人目の素数さん
19/10/18 02:25:58.13 IstggiQN.net
（↓）がニュー速に貼られた問題なのですが
色々な解答が出ていて、さらにブログの解答は間違えているという人もいて混乱しています。
数学板の人からみて、何が正解なのでしょうか？
問・1枚だけページが破れた本があります。
破れていないページ番号を合計すると15000になります。
破れたページは何ページ目でしょうか？
805:１３２人目の素数さん
19/10/18 02:58:42.56 Wc3J6CfH.net
１枚目からページが振られてると仮定して
172ページまでなら計14878なので足りない。
174ページまでなら計15225で112+113は不可。
176ページ以上なら抜けたページが最終ページでも計15225以上なので多すぎ。
0ページ目からスタートしてるとか、最終ページは片面白紙とかその手の事情が許されないと解なしになるな。
806:１３２人目の素数さん
19/10/18 03:21:04.25 gwoG+Zki.net
下三角行列の積は可換ですか？可換でないと思うんだけど、その例を挙げられない（2*2とか3*3で1つ例を挙げることは出来そうだけど、一般にn*nの場合ではどうなるの？）
807:
19/10/18 06:13:46 nO1XpZx3.net
> 2*2 とか 3*3 で1つ例を挙げることは出来そうだけど、
A = { [1,0] [a, -1] }
B = { [1,0] [b, -1] }
AB = { [1,0] [a-b, 1] }
BA = { [1,0] [b-a, 1] }
808:
19/10/18 06:31:45 nO1XpZx3.net
> 一般に n*n の場合ではどうなるの？
n → r + (n-r)
C = { [E_r, O] [A, -E_(n-r)] }
D = { [E_r, O] [B, -E_(n-r)] }
CD = { [E_r, O] [A-B, E_(n-r)] }
DC = { [E_r, O] [B-A, E_(n-r)] }
809:１３２人目の素数さん
19/10/18 06:58:54.86 nO1XpZx3.net
>>746
第４問
xy座標平面において、
y軸上に中心を持つ円 Ｃ1
y=x^3 で表わされる曲線 Ｃ2
は異なる2つの共有点Ａ，Ｂをもち、
ＡおよびＢの両方の点においてＣ1とＣ2は共通の接線をもつとする。
(1) 点Ａまたは点Ｂは原点Ｏと一致することを示せ。
(2) 円Ｃ1の中心の座標を求めよ。
810:１３２人目の素数さん
19/10/18 07:12:50.22 6sbnuIiy.net
>>765
円周角の定理を証明しろと言っているだけなのでは？
811:１３２人目の素数さん
19/10/18 07:56:02.05 nO1XpZx3.net
>>746
(1)
f(x) -rr = xx + (x^3 -t)^2 -rr, (t,r≧0 は定数)
f’(x) = 2x + 6xx(x^3 -t)
= 6x(x^4 -tx +1/3) ････ (I)
これより、根a=0
(2)
∴ f(0)-rr = 0
∴ t=±r,
f(x) -rr = xx(x^4 -2tx+1) ････ (II)
もう一方の根bについては (I)(II) から
b^4 -bt +1/3 = 0,
b^4 -2bt +1 = 0,
bを消去して
t = ±2/{3^(3/
812:4)} = 0.8773826753 Ｃ1の中心は(0,t) なお、f(x) -rr = x^2･(x-b)^2･(xx+2bx+3bb)
813:１３２人目の素数さん
19/10/18 07:58:36.55 Un4RnkMs.net
>>770
最初が白ページでその裏が1ページ目なら174ページで112+113も可能
最後も白ページ
814:１３２人目の素数さん
19/10/18 08:03:42.61 Un4RnkMs.net
あるいは173ページで合計は15225-174=15051=15000+25+26
最後の裏ページが白ページ
あるいは51ページの裏がページ番号無しとか
815:
19/10/18 11:23:09 ucTX0xj7.net
前>>767
>>769数学板の人はプロの作家とかではないとして、文芸雑誌に投稿する本の場合、応募原稿を両面印刷したりしないから、すべてのページは片面印刷とし、ページナンバーはゴム印で1から順に打つものとし、最終ページをn、破れているページをa(1≦a≦n)とすると、
{(1+n)/2}n-a=15000
n^2+n-30000-2a=0
n=-1+√(1+30000+2a)
(n+1)^2=30001+2a
2a=(n+1)^2-30001
n=173のときa=137.5
四捨五入すると、
a=138
もし仮に破れているページがP138で、それ以外のすべてのページ番号を足したとしたら、
{(1+173)/2}･173-138=14913
15000-14913=87
P87を2枚印刷していたと推測する。
破れているページがP137とすると、P86を2枚印刷していたと疑われる。
あとは字組だな。縦横の字数をどうするかで枚数変わるから。
816:１３２人目の素数さん
19/10/18 12:47:13.72 FT4zyhaA.net
2019個の連続する自然数の和としても、31個の連続する自然数の和としても表せる自然数が存在すれば求めよ。
817:
19/10/18 15:40:21 ESq7Yp7D.net
62589n+2065437
818:
19/10/18 16:07:17 IstggiQN.net
>>770>>778
ありがとうございました。
元は数学オリンピックの問題らしくて、下のブログだと「解答は25・26ページのみ」
となっているのですが、これは本のページのふり方の解釈如何という事なのでしょうね。
URLﾘﾝｸ(sist8.com)
819:
19/10/18 16:18:30 IstggiQN.net
>>779
ありがとうございました。
この方（↓）の途中式にも87という数字が出ていました。
問題文に「ページのふり方についての注釈」が無い以上、数学的には何通りか答えが出るという事ですね？
>>180
nを本に使われた紙の枚数とすると、総ページ数はΣ(4n-1)だから、2n^2+n。
これで15000超えるのはn>86。
但し、破れたページの和はかならず奇数になるのでn=87と予測。
n=87の時、2n^2+n=15225となるので、破れたページ数の和は225。
よって、112～113ページが破れたと予測。
820:１３２人目の素数さん
19/10/19 02:27:15.17 j0qSwPAR.net
>>779
n(1+n)/2 - a = 15000
に n=173 を入れると
n(1+n)/2 = 15051
a = 51,
にて決着。
>>780
2019個の中央の数をa, 31個の中央の数をb とおく。 (a≧1010, b≧16)
題意より N = 2019a = 31b,
∴ a = 31(n+33), b = 2019(n+33) と書ける。
∴ N = 62589(n+33)
821:１３２人目の素数さん
19/10/19 13:56:02.64 dQOFY82v.net
nを自然数、kを1≤k≤2n-1の整数とする。
いま袋の中に、k個の赤玉と(2n-k)個の青玉、合計2n個の玉がある。これらに対して以下の操作（ア）（イ）を繰り返し行う。
（ア）袋の中から1つの玉を無作為に取り出す（どの玉が選ばれるかは同様に確からしい）。
（イ）取り出した玉を捨て、捨てた玉とは異なる色の玉を1つ袋に入れる。袋に入れるための玉は十分に用意されているとする。
これらをm回行った後の、袋の中の赤玉の数がn個である確率をP(m,n,k)とおく。
822:極限 lim[m→∞] P(m,n,k) について、以下(a)～(c)のいずれが正しいか述べよ。 (a) P(m,n,k)はn,kに依らない数である (b) P(m,n,k)はnまたはkのいずれか一方のみを使った式で表される (c) P(m,n,k)はnとkの両方を使った式で表される
823:
19/10/19 14:48:52 oYk/dlZn.net
l周期2の有限マルコフ過程。
収束すらしない。
824:１３２人目の素数さん
19/10/19 15:09:17.18 DXYyjiH9.net
「極限について」といいつつ、各選択肢では極限を取ってないのは何故なのか
825:１３２人目の素数さん
19/10/19 17:07:21.78 KZ6j/y46.net
ax^2=a^x
a>0の時 x=1以外の解を求めたい
のだが方針を教えてくれ
826:１３２人目の素数さん
19/10/19 17:54:13.45 s7LP3KSB.net
対数
827:１３２人目の素数さん
19/10/19 18:10:14 PNbKSwPH.net
a>0で y=x^2 とy=x/x+a の交点がちょうど2つのとき、aの値を求めよ。 さらにこのとき2つの曲線で囲まれた面積を求めよ。
この問いのやり方を教えていただきたいです。
aの値は求まったのですが、2曲線の交点の座標が求められません…
どなたかよろしくお願い致します
828:１３２人目の素数さん
19/10/19 18:33:18.68 3t9IYAGj.net
aの値求まったの？
829:１３２人目の素数さん
19/10/19 19:07:09.81 PNbKSwPH.net
>>791
求まりました
その後がわかりません
830:１３２人目の素数さん
19/10/19 19:18:10.30 63YmLqFV.net
お願いします。
(2m-1)個の二項係数 2m_C_t (1≦t≦2m-1) の最大公約数を求めよ。
831:１３２人目の素数さん
19/10/19 19:37:02.38 PNbKSwPH.net
>>790
自己解決しました
計算ミスでした汗
832:788
19/10/19 21:43:11 O+e56v0o.net
>>789
ax^2=a^x → log(ax^2)=log(a^x)
log(a)+2logx=xlog(a)
2logx=(x-1)log(a)
x^{2/(x-1)}=a
何か余計にややこしくなってしまった
ヒントくれ
833:１３２人目の素数さん
19/10/19 22:26:55.75 s7LP3KSB.net
>>795
>2logx=(x-1)log(a)
グラフ
834:１３２人目の素数さん
19/10/20 16:11:09.62 2hQE7KkD.net
>>793
gcd{ nＣt | 1≦t≦n-1 } = p (nがpベキ (pは素数)のとき)
= 1 (nが素因数を2つ以上もつとき)
835:１３２人目の素数さん
19/10/20 16:38:49.96 A03Gw/Do.net
m,n,aを自然数とする。
いま袋の中に2m個の白玉、n個の黒玉、a個の赤玉がある。
この袋の中から玉を1個ずつ取り出していき、取り出した順に左から右へと1列に並べる。
ただし取り出した玉は元に戻さないとし、またどの玉が取れ出されるかは同様に確からしいとする。
これら(2m+n+a)個の玉を並び終えた後、左から数えてちょうどm番目の白玉が現れる位置をpとする。
例えばm=2,n=1,a=2のとき、玉が列の左から
白赤黒白白白赤
と並んだ場合、左から4番目に2番目の白玉が現れるから、p=4である。
pの期待値をm,n,aで表せ。
836:１３２人目の素数さん
19/10/20 16:43:54.44 XrrFFtjy.net
(n+a)/(2m+1)×2+2
837:１３２人目の素数さん
19/10/20 17:02:05 KcpV49eI.net
>>799
lim[m→∞](p-m)=0
838:１３２人目の素数さん
19/10/20 17:05:02 KcpV49eI.net
>>798
p=m+(n+a)/2
839:１３２人目の素数さん
19/10/20 17:14:24.21 KcpV49eI.net
ちょっと違うな
2m-1ならｍ個目は真ん中だが
2mなら差半の最後だからなあ
840:１３２人目の素数さん
19/10/20 17:18:06.38 KcpV49eI.net
p=m+(n+a)m/(2m+1)
かな
841:１３２人目の素数さん
19/10/20 17:19:48 KcpV49eI.net
いずれにせよ赤黒区別する必要がない問題だけど
ホントにこの問題文？
842:１３２人目の素数さん
19/10/20 17:23:10 KcpV49eI.net
2m個並べてその間と両端で2m+1箇所にn+a個を分配すると考えると
平均で(n+a)/(2m+1)個ずつなのでm番目の左にはm(n+a)/(2m+1)個あるから
p=m+m(n+a)/(2m+1)
843:１３２人目の素数さん
19/10/20 17:31:19 KcpV49eI.net
>>800
スマン
lim(p-m)=(n+a)/2
だわ
844:１３２人目の素数さん
19/10/20 17:46:03.63 EgVBmu6J.net
m番目か。
例が2番目だから2番目で計算して
845:た。 今更のクソ有名問題だから問題文あんま読んでなかったよ。
846:１３２人目の素数さん
19/10/20 18:13:55 b8amhMNj.net
>>807
言い訳するなよカス
847:１３２人目の素数さん
19/10/20 18:30:17 KcpV49eI.net
>>807
なるほど
赤ｎ個白ｍ個で白ｋ個目は平均p=k+kn/(m+1)
848:
19/10/20 19:04:09 qxnnRzZj.net
座標空間に
O(0,0,0)
A(a,0,0)
B(0,b,0)
C(0,0,b)
の4点を取る。a>0,b>0とする。
△ABCの外接円の半径が1の時、
平面ABCとOの距離hの取りうる範囲を求めよ。
東大模試の問題ですが、簡単そうに見えて難しすぎて手が付きません。
お願いします
849:１３２人目の素数さん
19/10/20 19:36:54.69 KcpV49eI.net
>>810
A(1,0,0)
B(x=cosθ,sinθ,0)
C(cosθ,-sinθ,0)
0<θ<π
O(k,0,h)
AO=(k-1,0,h)
BO=(k-cosθ,-sinθ,h)
CO=(k-cosθ,sinθ,h)
AO・BO=AO・CO=(k-1)(k-cosθ)+h^2=0
BO・CO=(k-cosθ)^2-sin^2θ+h^2=0
(cosθ-1)(k-cosθ)+sin^2θ=0
k=cosθ+sin^2θ/(1-cosθ)=1+2cosθ
h^2=sin^2θ-(1+cosθ)^2=-2cosθ-2cos^2θ=-2x^2-2x=-2x(x+1)≦1/2
0<h≦1/√2
850:１３２人目の素数さん
19/10/20 19:52:45.74 KcpV49eI.net
h=1/√2
x=-1/2
θ=2π/3
△ABCは一辺√3の正三角形
a=b=√(3/2)
C(0,0,c),c>0でも答えは同じだろうが面倒くさそう
851:１３２人目の素数さん
19/10/20 21:31:03.10 2hQE7KkD.net
>>797
Ｃ(n,1) = C(n,n-1) = n,
∴ gcd はnの約数。
∴ nの素因数pを見よう。
・nがpベキのとき
pの指数を見ると
e(t) = e(n-t) ≦ e(n) -1,
e{Ｃ(n,t)} = e{n!/[t!(n-t)!]} = e(n) - e(t) ≧ 1,
e(gcd) = 1,
gcd = p,
・nが素因数を2つ以上もつとき
n = p^e･r (r>1, rとpは素)
t = p^e
とする。(t < n)
下記の補題2より
Ｃ(n, t) ≡ r ≠ 0 (mod p)
∴ e(C(n,t)) = 0 なるtがある。
∴ e(gcd) = 0, ････ nのすべての素因数pについて
∴ gcd = 1,
〔補題2〕(Wielandt)
pが素数、e≧0 ならば
Ｃ(p^e･r, p^e) ≡ r (mod p)
彌永昌吉・彌永健一「代数学」岩波全書285 (1976) p.141
852:１３２人目の素数さん
19/10/20 23:05:38.89 7/6VtIIZ.net
3次方程式x^3-3a^2x+a=0が異なる3個の実数解をもつように，定数aのとり得る値の範囲を定めよ。
y=a，y=-x^3+3a^2x
『x＜1のとき』と『x＜1かつ』が頭の中で整理ができません。本質がわかっていません。先生教えてください。
853:１３２人目の素数さん
19/10/20 23:47:18.59 7/6VtIIZ.net
3次方程式x^3-3a^2x+a=0が異なる3個の実数解をもつように，定数aのとり得る値の範囲を定めよ。
y=a，y=-x^3+3a^2x
『a＜1のとき』と『a＜1かつ』が頭の中で整理ができません。本質がわかっていません。先生教えてください。すいません、xではなくてaでした。
854:１３２人目の素数さん
19/10/20 23:48:05.15 b8amhMNj.net
>>814
対数解けなくて暴言吐きまくってたアホだろ？
オマエに数学講師なんて無理だから
855:１３２人目の素数さん
19/10/20 23:50:12.96 KcpV49eI.net
>>814
f(x)=x^3-3a^2x+a
f'(x)=3x^2-3a^2=0
x=±a
f(a)f(-a)=(-2a^3+a)(2a^3+a)=(-2a^2+1)(2a^2+1)a^2<0
-2a^2+1<0
a<-1/√2, 1/√2<a
856:１３２人目の素数さん
19/10/21 00:00:49.69 047ylNxr.net
a＜0のとき，a＜-√2/2，a＞√2/2
かつ
a＜0
答えa＜-√2/2
となってしまいます。
857:１３２人目の素数さん
19/10/21 00:11:32.46 047ylNxr.net
a＜0
a(2a^2-1)＜0
858:１３２人目の素数さん
19/10/21 00:19:12.48 m5R6mUaJ.net
>>810
AB = √(aa+bb) ≧ √(2ab),
BC = √(bb+cc) ≧ √(2bc),
CA = √(cc+aa) ≧ √(2ca),
四面体O-ABC の体積は
V = abc/6,
よって
h = 3V/S
= abc/(2S)
= abc{2R/(AB･BC･CA)}
≦ R/√2,
Sは△ABCの面積, Rは△ABCの外接円の半径
なお、 S = (1/2)√(aabb+bbcc+cca
859:a), 簡単そうに見えて簡単すぎてすいません。
860:１３２人目の素数さん
19/10/21 00:30:12.46 m5R6mUaJ.net
>>820
外接円の中心は
x = (a/2){1 - (bbcc)/(aabb+bbcc+ccaa)},
y = (b/2){1 - (ccaa)/(aabb+bbcc+ccaa)},
z = (c/2){1 - (aabb)/(aabb+bbcc+ccaa)},
x/a + y/b + z/c = 1,
861:１３２人目の素数さん
19/10/21 00:45:46.12 047ylNxr.net
自己解決しました。aのときが極大極小にもなり、-aのときも極大極小になるということでした。
つまり、-a＞aもありえるということでした。
862:１３２人目の素数さん
19/10/21 01:12:19.08 m5R6mUaJ.net
>>814 >>815
本問では
x=min{-a,a} で極大 (f"<0)
x=max{-a,a} で極小 (f">0)
となるから
f(-a)/a = (2aa+1) > 0 … 常に成立,
f(a)/a = (-2aa+1) < 0,
よって
|a| > 1/√2,
863:１３２人目の素数さん
19/10/21 02:52:38.93 IZbBKPbt.net
f(x)=x^2-3x+1
に対し、関数g_[n](x)を以下のように定義する。
g_[0](x)=f(x)
g_[n+1](x)=f(x)
864:１３２人目の素数さん
19/10/21 02:57:01.36 IZbBKPbt.net
f(x)=x^2-3x+1
に対し、関数g_[n](x)を以下のように定義する。
g_[0](x) = f(x)
g_[n+1](x) = | g_[n](x) - |x-1| |
このとき、極限
lim[n→∞] g_[n](1/2)
を求めよ。
865:１３２人目の素数さん
19/10/21 05:41:05.81 m5R6mUaJ.net
>>817 >>823 より
1/(2aa) < 1,
cos(3α) = 1/(2aa) をみたすαが存在する。
f(x)=0 は異なる3個の実数解
x = -2a cosα, -2a cos(α±2π/3)
をもつ。
866:１３２人目の素数さん
19/10/21 08:36:04.87 fnNlCFwl.net
高校入試の問題ですけど分かりません
三角比などを使わずに中学数学の知識で解くにはどうすればよいですか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
867:１３２人目の素数さん
19/10/21 14:37:34.76 9zHfgZaq.net
面積がどれだけ小さい領域であっても長さ無限大の曲線はその領域内に存在できるのでしょうか？
868:１３２人目の素数さん
19/10/21 14:44:18.27 peL5RycB.net
>>828
単位円盤内に長さ無限の曲線を書いたら、それを縮小すれば良い。
869:１３２人目の素数さん
19/10/21 17:25:40.23 tbIQPEG+.net
境界線の内側から厚さεのセロテープを貼り付けてゆく。
中心まで貼り付けると、
テープの長さ ≒ (面積)/ε
ここで、ε→0 とする。
870:１３２人目の素数さん
19/10/21 20:13:45 zT5m2+eQ.net
それはあかん
871:１３２人目の素数さん
19/10/21 22:57:08.16 NweztjQz.net
>>827
Mは円の中心。
〈略証〉
AHの延長と円の交点をD、
AMの延長と円の交点をEとすると、
弧BD=弧CE なので
DE//BC
よってAD⊥DE
ゆえにAEは円の直径
その中点Mは円の中心
(1) BC=√(aa+bb)
△ABH∽△CBAよりAB:BH=CB:BA
BH=AB^2/BC=aa/√(aa+bb)
(2) ∠HAM=θとおくと
∠BAH=∠CAM=3θ=∠MCA
∠ABM=∠MAB=4θ
△ABCの内角の和=14θ=180°
∠BAH=3θ=270°/7
872:１３２人目の素数さん
19/10/21 23:09:08.46 fnNlCFwl.net
>>832
ありがとうございました
873:１３２人目の素数さん
19/10/21 23:13:57.66 IZbBKPbt.net
（1）p,qを互いに素な2以上の自然数とするとき、(q/p)+(p/q)は整数でないことを示せ。
（2）2以上の自然数p,q,rのどの2つも互いに素である。このとき、(q/p)+(r/q)+(p/r)は整数でないことを示せ。
874:１３２人目の素数さん
19/10/21 23:19:44.62 D05aPsuY.net
v(p)>0⇒v((q/p)+(r/q)+(p/r))<0
875:１３２人目の素数さん
19/10/21 23:25:46.13 Ec7LaCUT.net
URLﾘﾝｸ(j-town.net)
876:１３２人目の素数さん
19/10/22 00:05:29.93 v9Jf8CT8.net
>>832
>Mは円の中心。
でたらめ
877:１３２人目の素数さん
19/10/22 01:43:11.83 fspFsipc.net
>>829
長さ無限の曲線の例
y = f(x) = x･sin(π/2x), (0<|x|≦1)
= 0, (x=0)
f(1/(2n-1)) = (-1)^(n-1) /(2n-1),
f(1/(2n+1)) = (-1)^n /(2n+1),
∴ |
878:f(1/(2n-1)) - f(1/(2n+1))| = 1/(2n-1) + 1/(2n+1) > 1/n, 0<x≦1 における曲線の長さ > ζ(1) = ∞ -1≦x<0 でも同様。 それを縮小してコピペする。
879:１３２人目の素数さん
19/10/22 02:17:27.31 fspFsipc.net
>>827
(高校数学・2枚のうち2)
４．円周上に3点 A, B, C を (線分ABの長さ) < (線分ACの長さ) となるようにとり、
線分BCの中点をMとする。
また AH⊥BC となるように直線BC上に点Hをとる。
このとき，∠BAH = ∠CAM となった。
次の問いに答えよ。
(1) AB=a, AC=b とおくとき，BHの長さを a, b を用いて表わせ。
(2) ∠BAH = (1/3)∠HAM のとき，∠BAHの大きさを求めよ。
る点のうち，頂点Aに近い方の点をそれぞれ P, Q とし，
R, S とする。
を V を用いて表わせ。
880:１３２人目の素数さん
19/10/22 02:47:11 fspFsipc.net
>>834
(1) (q/p) + (p/q) = k とおくと
qq + pp = pq k,
よって
qq = p(qk-p),
pp = q(pk-q),
(2) (q/p) + (r/q) + (p/r) = n とおくと
qqr + rrp + ppq = pqr n,
よって
qqr = p(qrn -rr -pq),
rrp = q(rpn -pp -qr),
ppq = r(pqn -qq -rp),
881:１３２人目の素数さん
19/10/22 03:55:30 fKwk6re9.net
>>832はMが円の中心を示すところでギャップはあるけど結論は合ってるのでは？
直線AEについてBの対称点をFとするとMB=MC=MFによりこれらはMは△BCFの外接円の中心。
一方でBは元の円O上でFはその直径に関する対称点だからFもまたO上にある。
よってOは△BCFの外接円。
882:１３２人目の素数さん
19/10/22 04:11:24 nPgnbeAJ.net
>>837
批判するなら根拠をあげろよな。
>>841
フォローthanksです。
私（832）はMを通るBCに垂直な直径を
イメージして略証を書きました。
この直径はADに平行で、
辺DEを二等分しているから、
MはAEの中点だということです。
（ここまで書くべきだったか）
883:１３２人目の素数さん
19/10/22 07:17:58.31 fspFsipc.net
>>838
( 1/(2n-1), (-1)^(n-1) /(2n-1)),
( 1/(2n+1), (-1)^n /(2n+1) ),
を線分で結んだ折れ線でもいいんぢゃね？
884:１３２人目の素数さん
19/10/22 08:39:14.77 v9Jf8CT8.net
>>842
>批判するなら根拠をあげろよな。
>>841
885:１３２人目の素数さん
19/10/22 08:42:57.83 v9Jf8CT8.net
>>842
>MはAEの中点だということです。
でたらめ
886:１３２人目の素数さん
19/10/22 08:54:47.35 v9Jf8CT8.net
>>841
>直線AEについてBの対称点をFとするとMB=MC=MFによりこれらはMは△BCFの外接円の中心。
Mが円の中心だとこの論証成り立たないね
887:１３２人目の素数さん
19/10/22 08:55:53.91 z3GUJ2kx.net
論証が不十分なのであって結論がでたらめなわけではないだろう
それを結論に対してでたらめというのであればその指摘の仕方もでたらめということになる
888:１３２人目の素数さん
19/10/22 09:02:07.54 v9Jf8CT8.net
>>846
これは撤回
>>847
いずれにせよでたらめ
889:１３２人目の素数さん
19/10/22 09:18:48.82 z3GUJ2kx.net
Mを通るBCの垂線で対称の図形を描くと対称性から中心だなとわかるんだけど
ちゃんと論証しようとするとなかなか面倒だな
すげえ回りくどい方法しか思いつかない
890:１３２人目の素数さん
19/10/22 09:53:18.39 uW5K1zmW.net
Mが円の中心とは限らないのでは？
891:１３２人目の素数さん
19/10/22 09:56:18.80 mGU6l6pl.net
>>841で証明できてない？
892:１３２人目の素数さん
19/10/22 10:18:10.17 v9Jf8CT8.net
>>850
>Mが円の中心とは限らないのでは？
円の中心
893:１３２人目の素数さん
19/10/22 10:22:18.20 Q/ObsqEG.net
>>841でMが元の円Oの中心と示せてない？
894:１３２人目の素数さん
19/10/22 10:22:29.99 uW5K1zmW.net
>>850
勘違いしてた。すまぬ。
895:１３２人目の素数さん
19/10/22 12:02:19.45 OwafSnPF.net
>>849
△ABEと△AECが合同になることを言えばいいんでないかい？
まず直角三角形ABHから∠ABC+∠BAH=∠R
円周角の定理と題意から∠EBC=∠EAC=∠BAH
ゆえに、∠ABE=∠ABC+∠EBC=∠R
△ABE�
896:ﾍ円に内接する直角三角形なのでAEは円の直径。 したがって、∠ACE=∠Rで△AECも直角三角形。 一方、三角形の面積を考えると、BM=MCより、△ABM=△AMC,△EBM=△EMC なので、△ABE(=△ABM+△EBM)=△AEC=△AMC+△EMC) △ABEと△AECは面積が同じで斜辺を共有する直角三角形なので、 △ABE≡△AEC（ここ、さらに証明がいる？） ってことで、∠A=∠BAE+∠EAC=∠BAE+∠BEA=∠Rとなり、 △ABCは円に内接する直角三角形なので、BCは円の直径である。 故にBCの中点は円の中心。
897:１３２人目の素数さん
19/10/22 12:30:17.71 nYvyjN1O.net
AEからみてBと同じ高さになる点はAEに関して線対称の点と中心に対して対称の点と二つあってCが後者になる事は示さないとダメでは？
898:１３２人目の素数さん
19/10/22 14:08:59.79 5Oo5GTlx.net
結論は出ているようだが、納得できていない人のために、別解説
B(-1,0),M(0,0),C(1,0),A(x,y),H(x,0),Z(1000,0)
∠ABZ=α、∠AMZ=β、∠ACZ=γ
と置くと、∠BAH=∠CAM という条件は、tan(π/2-α)=tan(γ-β)になるが、
tanα=y/(x+1),tanβ=y/x,tanγ=y/(x-1)
を使って、条件式を整理すると x(x^2+y^2-1)=0 が出てくる。
Aは単位円上の点で無ければならない。つまり、BCの中点Mは、三点A,B,Cを通る円の中心で無ければならない。
899:１３２人目の素数さん
19/10/22 14:12:18.08 F76FDZ6s.net
>>841
> Fはその直径に関する対称点
これってどうしてそう言えるん？
900:イナ
19/10/22 14:14:32.16 JXeDyoH3.net
前>>779
>>827
題意より、a＜b
∠BAH=xとおくと、
BH=Asinx
HM=AMsin3x
HC=bsin4x
AH=acosx=bcos4x
BH+HM=asinx+AMsin3x=BC/2
正弦定理より、
BC/sin∠BAC=AC/sin∠ABC
(BH+HM+MC)/sin5x=b/cosx
(asinx+AMsin3x+BM)/sin(2x+3x)=b/cosx
2(asinx+AMsin3x)/(sin2xcos3x+cos2xsin3x)=b/cosx
AH^2=AB^2-BH^2=AM^2-HM^2
a^2-(asinx)^2=AM^2-(AMsin3x)^2
acosx=AMcos3x
=AM(4cos^3x-3cosx)
難しいな。
図を描きなおすと、
3x+2x=90°でいい気がする。
∠BAC=x=18°
901:イナ
19/10/22 14:18:04.16 JXeDyoH3.net
前>>859訂正。
∠BAH=x=18°
902:１３２人目の素数さん
19/10/22 15:08:43.46 nYvyjN1O.net
>>858
直径に対して直線AE対称になる点をFと置いてる。
MはAE上なので論を待たずBM=FM。
もしC=FとなってしまったらコレでCはBの直径対称点になり、その場合BCとAEは垂直になってH=Mになる。
この場合には確かにMが円の中心でない場合にはなるけど図が与えられててM=Hにはなってないからそのケースは抜いていいんじゃない？
903:１３２人目の素数さん
19/10/22 15:21:49.35 nYvyjN1O.net
>>861
酷い日本語。
直線AEに対するBの線対称点がFね。
暗黙にCとFが一致しないと仮定してるけどC=Fのケースは問題文のAB<ACに反するから図無関係に排除されるね。
904:１３２人目の素数さん
19/10/22 15:35:53.03 RtzJXhtD.net
数式5chで綺麗かつ簡単ににかけるようにならないかな
905:１３２人目の素数さん
19/10/22 16:27:26.28 F76FDZ6s.net
>>862
？
AEが直径かどうかはわかっていないのでは？
906:１３２人目の素数さん
19/10/22 16:45:35.62 v9Jf8CT8.net
>>862
B=CおよびB=Fも排除で
907:１３２人目の素数さん
19/10/22 17:24:27.59 nYvyjN1O.net
>>864
それは前の方で誰かやってる。
908:855
19/10/22 18:06:35.38 OwafSnPF.net
>>856
そうでした！△ABE≡△AECで裏返しの場合も考慮すべきでした。
△ABEと△AECが裏返しの場合にはAB=ACとなってしまうので、AB<ACという題意に
反するので除外できる。
909:855
19/10/22 18:11:17.27 OwafSnPF.net
>>857
中学生向けではありませんよね。
910:１３２人目の素数さん
19/10/22 20:32:47.
911:25 ID:5Oo5GTlx.net
912:１３２人目の素数さん
19/10/22 21:52:45.65 vD0gETra.net
そんなのそもそも成立しないのでは？
AB≠ACの場合ですよ？
913:855
19/10/22 21:54:50.46 OwafSnPF.net
>>869
中学生向けには拘らない解説とのこと、失礼いたしました。
>四角形ABDCが平行四辺形になるように、点Dを取り
ABDCが平行四辺形になるような点Dを円周上に取れるという保証は
ないので、その方針では駄目なのでは？
914:１３２人目の素数さん
19/10/22 21:59:00.47 OGa5AQSO.net
あ、長方形になるか。読み間違えた。>>870は無視でおながいします。
915:１３２人目の素数さん
19/10/22 22:16:17.47 z3GUJ2kx.net
やっぱりかなり回りくどいことになるんかな
記述問題で出されたらかなわんな
答えだけでいいならMが円の中心なら条件を満たすからそれで計算して答え出すけど
受験問題としては悪問の気がする
916:イナ
19/10/22 22:36:33.38 JXeDyoH3.net
前>>860
>>827(1)BH=asinx
AMの延長線上にCD=bsinxかつCD⊥ADとなるDをとると、
AD=bcosx
AH=acosx
BM=CMを使ってxを消せってことだと思う。
△AHM∽△CDMで、
相似比はacosx:bsinx
917:１３２人目の素数さん
19/10/23 00:02:10.99 Ez0ypxZ6.net
>>839
>４．円周上に3点 A, B, C を (線分ABの長さ) < (線分ACの長さ) となるようにとり、
Aを通る直径に関してB,Cが同じ側ではどう？
918:
19/10/23 00:40:01.44 732ZkTKK.net
前>>874
Mが円の中心なのかもね。
919:１３２人目の素数さん
19/10/23 04:40:58.26 vxr9y1cF.net
>>845
バカなの？
>>832 >>841 をよく読め
Mを通りBCに垂直な直線をFGとする。
ただしF, Gは円周上の点。
MはBCの中点だから、FGは円の直径。
AHの延長と円の交点をD、
AMの延長と円の交点をEとする。
∠BAD=∠CAEだから、弧BD=弧CE。
D, Eはlに関して線対称だから、DE⊥FG。
AD//FGだから、∠ADE=90°。
よってAEは円の直径。
MはAE, FGの交点であり、
AE, FGともに円の直径だから、
Mは円の中心である。
でたらめかね？
920:１３２人目の素数さん
19/10/23 06:16:02.14 Ez0ypxZ6.net
>>875
この場合明らかにMは円の中心ではないけど
これを排除できるのは図からというのも
元々Mが円の中心と推測できないように描いたある意味正しくない図であるし
問題文を少々変更して
Hの定義を直線BCに下ろしたではなく線分BCに下ろしたとすればよいかな
でもその場合線分BCには下ろせないから問題に不備とか言われそう
921:１３２人目の素数さん
19/10/23 06:40:36 BlOU1/1z.net
>>829
長さ無限の曲線（単位円内）の例
r = 1/√θ, (θ>1)
s > ∫r dθ = ∫(1/√θ)dθ = [ 2√θ ](1,∞) = ∞
922:855
19/10/23 09:36:23.44 GoYd/f1z.net
>>875,878
ほんとだね。
問題文だけからだと、Hは「線分BC」上ではなく「直線BC上」にあるので、
円の外でもいいことになっちゃう。その場合、解けるんかねぇ？
円の中心をOとして、AM//OCとなるような三角形になるはずだけど、
そこで手詰まり。
923:イナ
19/10/23 13:33:25.15 732ZkTKK.net
前>>876
直角三角形の辺の比は、
a:b:√(a^2+b^2)
BH=a^2/√(a^2+b^2)
=a^2√(a^2+b^2)/(a^2+b^2)
924:１３２人目の素数さん
19/10/23 15:55:39.64 wiyp1kok.net
20bitの値をランダムに選んだ時、1のbitが16個以上存在している確率はどう計算したらいい？
925:１３２人目の素数さん
19/10/23 16:29:01.76 gcwGnCKc.net
(20C0+20C1+20C2+20C3+20C4)/(2^20)
926:１３２人目の素数さん
19/10/23 17:10:56.11 wiyp1kok.net
>>883
ありがと。
やっぱりそれでよかったのか
927:１３２人目の素数さん
19/10/23 17:35:20.62 b61e0juS.net
いつもお世話になっております 質問させて下さい
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
これを求めるのに
t=tanθとおいて、0<θ≦π/4として
t=tanθの時のA,BをAθ、Bθとして
△OAθBθはxz平面となす角がθなので
△OAθBθをz軸中心に微小角⊿θ回転させた微小体積⊿Vを寄せ集めると考えて、
その微小体積⊿Vは(⊿θ/2π)*π*(tanθ^6+tanθ^4)*(2/3)で与えられるので(問題の直角三角形をz軸中心に一周させると円柱から円錐をくり抜いた形になるため)、これをθで積分する、
とやったら全然違う答えになりました。
前も対数螺旋っぽい回転体の問題でこういうことやって全然違う答えが出たのですが
こういう手法はどういう理由で成り立たないのでしょうか？
この求積はどんな形の立体を求積していることになるんでしょうか？
928:１３２人目の素数さん
19/10/23 17:42:14.99 b61e0juS.net
平面の極座標の積分はなんかこんな感じでやってるしいけるかなあ？と思ったらいけなかったのですが
逆にどういう時なら行けますかね？
（そもそも計算ミスしてたら申し訳ありません）
929:１３２人目の素数さん
19/10/23 18:06:48 KGbiC32Q.net
答えは？
930:１３２人目の素数さん
19/10/23 18:12:47 AVFDnPSw.net
底面が1/2 (sinθ/cos^2θ)^2dθ、高さがtan^2θなので微小体積は
dV=1/2 tan^4θ/cos^2θdθ
でないの？
931:１３２人目の素数さん
19/10/23 18:16:12 b61e0juS.net
すいません、よく考えたら
微小部分のハサミうちの原理考えればこの求積はうまくいくに決まってるんだから多分計算ミスですね
スレ汚し失礼しました
932:１３２人目の素数さん
19/10/23 21:48:30 nO+9kV77.net
変な事書いた。
微小体積は柱じゃないね。
底面が(tanθ/cosθ)dθ×(tanθ)^2で高さが(tanθ/cosθ)の四角錐ですな。
933:１３２人目の素数さん
19/10/23 21:50:35.04 HcMsgnAh.net
すみません、次の確率を教えて貰ってもいいですか？
・１から30までの30個の数値うち、１・２・３が当たりとします
・30個の中から３つ、ランダムで引きます
・１つでも当たりを引く確率
私が求めた計算式は以下の通り
1回目で当たる確率・・・30分の3
2回目で当たる確率・・・30分の27（1回目ハズレの確率）×29分の3
3回目で当たる確率・・・｛30分の27×29分の26｝（1・2回目ハズレの確率）×28分の3
1回目で当たる確率＋2回目で当たる確率＋2回目で当たる確率＝これが解
……だと考えたのですが、間違ってますよね？
934:１３２人目の素数さん
19/10/23 21:51:09.83 HcMsgnAh.net
訂正一箇所
1回目で当たる確率＋2回目で当たる確率＋3回目で当たる確率＝これが解
935:１３２人目の素数さん
19/10/23 21:59:38.38 ROnYjFd3.net
あってんじゃね？
答えないの？
936:１３２人目の素数さん
19/10/23 22:02:57.44 HcMsgnAh.net
おっ マジか
良かったこの計算式でいいんですね
いや、計算するだけしといて間違ってたら悲しいので再確認してしまいました
ありがとうございます
937:１３２人目の素数さん
19/10/23 22:17:36 HcMsgnAh.net
「812分の227」になったので、約28％ですね。
ちなみに、「１」が2回連続で当たる確率は、
812分の227を2乗すればいいのでしょうか？御指南お願いします。
938:１３２人目の素数さん
19/10/23 22:34:35 OkctwQaA.net
1が2回連続ってどういう意味？
1～30までの30個の札から1枚引くということを2回行う（1回目が終わったら引いた札は元にも戻す）ってこと？
それなら(1/30)^2だよ
なぜ227/812が関係してくると思うのか
939:１３２人目の素数さん
19/10/23 22:36:31 HcMsgnAh.net
いや、違いますね・・・「１」に限定するのだから
1回目で当たる確率・・・30分の1
2回目で当たる確率・・・30分の29（1回目ハズレの確率）×29分の1＝30分の1
3回目で当たる確率・・・｛30分の29×29分の28｝（1・2回目ハズレの確率）×28分の1＝30分の1
30個のうち3回引いて「１」が出る確率＝10分の1
「１」を2回連続で引いて当たる確率＝（10分の1）＾2＝100分の1＝1％
これで合ってますか？
940:１３２人目の素数さん
19/10/23 22:37:40 HcMsgnAh.net
>>896
ごめんなさい！3回引けるんです！
3回引いて30個のうちの「１」を、"2回連続で"引ける確率を求めたかったんです
941:１３２人目の素数さん
19/10/23 22:38:36.87 HcMsgnAh.net
引いたくじは戻さないで、30個のうち3個抽出する、という意味です。
そして2回目は一旦くじを全部戻して、また30個のうちから3個引きます。
942:１３２人目の素数さん
19/10/23 23:02:32.40 Ez0ypxZ6.net
>>885
D=∪[0<t≦1]OA : 0≦x≦1, x^2≦y≦x
V : (x,y)∈D 0≦z≦y^2/x
Sx=∫[x^2,x]y^2/x dy=[y^3/3x][x^2,x]=(x^2-x^5)/3
V=∫[0,1]Sx dx=[x^3/9-x^6/18][0,1]=1/18
943:１３２人目の素数さん
19/10/23 23:09:03.19 Ez0ypxZ6.net
>>891
1-27C3/30C3=1-27*26*25/30*29*28=1-2*3^3*5^2*13/2^3*3*5*7*29=1-3^2*5*13/2^2*7*29=227/812
944:１３２人目の素数さん
19/10/23 23:14:45.54 Ez0ypxZ6.net
>>899
29C2/30C3=29*28*3/30*29*28=1/10
(1/10)^2=1/100
945:１３２人目の素数さん
19/10/23 23:15:03.04 OkctwQaA.net
何が「当たり」で何を「回」と言っているのかがあいまいで回答しづらい
>>891は「1～30までの30個から3個引いて、その中に1、2、3が一つでもある確率」
>>895は「『1～30までの30個から3個引いて、その中に1があれば当たり』を2回やって2回とも当たる確率」
ってことでいい？
それなら>>891も>>897も合っている
こういう計算でよく使われるのは>>891の場合だと「1から『1、2、3が一つも入っていない確率』を引く」というもの
946:１３２人目の素数さん
19/10/23 23:24:27.61 HcMsgnAh.net
>>902-903
ありがとうございます
説明不足もあってすみませんでした
>>902の回答で間違いなさそうです
助かりました！
947:１３２人目の素数さん
19/10/24 00:37:30.57 3FhA2RkM.net
>>885
第 ４ 問
実数tは 0<t≦1 の範囲を動くものとする。
このとき，座標空間の3点
Ｏ(0,0,0) Ａ(t,tt,0) B(t,tt,tt)
を頂点とする△OABの周および内部が通過してできる立体の体積を求めよ。
>>890
おっしゃる通りです。
底面が OA･dθ×AB で高さが OA の四角錐。
OA = t√(1+tt),
AB = tt,
dθ = dt/(1+tt),
∴ V = ∫[0,1] (t^4)/3 dt
= [ (t^5)/15 ](t=0,1)
= 1/15.
>>900
V: 0≦z≦y,
Sx = ∫[xx,x] ydy = [yy/2](xx→x) = (x^2 -x^4)/2,
V = ∫[0,1] Sx dx = [ (x^3)/6 - (x^5)/10](0→1) = 1/15.
948:１３２人目の素数さん
19/10/24 00:44:42.99 3FhA2RkM.net
>>879
リチュース(Lituus) と云うらしい。
949:１３２人目の素数さん
19/10/24 00:54:16 /O8Qdo9l.net
>>905
>V: 0≦z≦y,
なんで？
950:１３２人目の素数さん
19/10/24 00:56:23 /O8Qdo9l.net
ああ(t,t^2,t^3)のねじれ3次曲線かと思った
(t,t^2,t^2)か
951:１３２人目の素数さん
19/10/24 01:14:52.27 3FhA2RkM.net
>>829
長さ無限の曲線（単位円内）の例
r = 1/θ, (θ>1)
s = ∫√{(r')^2 + r^2} dθ
= ∫ √(1/θ^4 + 1/θ^2) dθ
= ∫ (1/θ^2) √(1+θ^2) dθ
= ∫ {1/sinh(t)^2 + 1} dt (θ=sinh(t)とおく)
= -1/tanh(t) + t
= -(1/θ) √(1+θ^2) + log{θ+√(1+θ^2)} → ∞
双曲らせん と云うらしい。
952:イナ
19/10/24 08:40:22.81 0B1Yt9dc.net
前>>881
>>827(1)直角三角形の辺の比は、
a:b:√(a^2+b^2)
∴BH=a^2/√(a^2+b^2)
(2)∠BAH+3∠BAH+∠BAH=90°
5∠BAH=90°
∴∠BAH=
953:18° 270°/7ってなんや？ 思て脅威やったんやが、角度が1/3倍のとこ3倍にした誤答やないんか。
954:１３２人目の素数さん
19/10/24 14:16:04.25 WuHsEr3s.net
確率の問題です。どなたかよろしくお願いします。
A、Bの2名の前にスイッチがあります。2人はゲームがスタート時(0(s))から100(s)経過までにそれぞれ合計X(s)、Y(s)の間スイッチを押さなければならないとします(なお、X>=Y)。
また、途中のスイッチの押し離しは自由にできる。
この条件で、
「Cさんが0(s)~100(s)に一度だけスイッチを押したとき、AとBのうち少なくとも1人がスイッチを押している」確率は幾らでしょうか？
(なお、ABCは互いに別の部屋にいるため干渉出来ないものとする)
955:１３２人目の素数さん
19/10/24 14:32:12.42 zQm6DgOh.net
確率の問題になっていないと思う
956:１３２人目の素数さん
19/10/24 14:38:54.96 zAS90JwW.net
>>911
スイッチを押してる分布が与えられてないから問題としてそもそも成立してないけど、
∀a 0≦t,u≦100
P(時刻tにAがボタンを押してる)=P(時刻uにAがボタンを押してる) かつ
P(時刻tにBがボタンを押してる)=P(時刻uにBがボタンを押してる)
を仮定出来るなら
1-(1-X)(1-Y)
なんだろう。
しかし大学以降の確率の問題で標本空間もその測度も与えないで確率求めよなんて問題ありえないけど。
957:１３２人目の素数さん
19/10/24 14:45:11 mtwH8LP1.net
A君「（(X+1)秒経過後）やべえｗｗｗｗｗ間に合わねえｗｗｗｗｗ」
とならないように、十分にプレッシャーが与えられた状態ですか？
間に合わなかったA君はどうなるんでしょう？殺されるんですか？
958:１３２人目の素数さん
19/10/24 14:55:20.74 WuHsEr3s.net
>>913
1-(1-X)(1-Y)この部分もう少し詳しく教えてください><
959:１３２人目の素数さん
19/10/24 14:58:37.83 /O8Qdo9l.net
>>911
ある時点で押したら離す時点までずっと押し続け離す時点から次の押す時点まではずっと離し続けるのね？
その区間は可算個でも良いの？
カントールセットに含まれる時刻ではスイッチを押しておりそれ以外の中から可算個の区間幅の合計X押すというのは許されないのね？
問題を解く上で問題にはならないことだけれど
問題の設定がハッキリしない問題は問題として問題だと思う
960:１３２人目の素数さん
19/10/24 15:14:48.99 ptDSaeQ8.net
>>915
間違えた。
一様性が成り立つならある時刻tにAがボタンを押してる確率は全ての0≦t≦100に対してX/100だけどそうでない問題文に適合するモデルなんかいくらでもあるし。
当然違うモデル使ったら答えも変わる。
そんな理系の人間なら誰が見ても問題として成立してないとわかるクソ問なんか無視で桶。
961:１３２人目の素数さん
19/10/24 15:24:23.67 WuHsEr3s.net
>>917
確率のなんて分野ですか？
勉強しなおします
962:１３２人目の素数さん
19/10/24 15:34:18.39 WuHsEr3s.net
測度論的確率論ですね
調べました
ども
963:１３２人目の素数さん
19/10/24 15:35:19.66 wyWTVRGi.net
なんて分野とかいう以前の確率論の話。
測度空間も測度も与えないで確率の計算なんかできるわけないというお話。
この問題が問題として成立するような測度空間をどうやったら構成できるかとかならカラテオドリ測度の理論とかチェボタレフ測度とかラドン測度とかの理論を勉強し終わるまで無理。
964:１３２人目の素数さん
19/10/24 19:56:47.97 hFQskzp1.net
複素平面上に適当な積分路をとることにより、
∫[0→∞] {sin(x)}^2/{(1+x)^2} dx
を求めよ。
965:１３２人目の素数さん
19/10/25 08:55:47.90 onRxBb1C.net
∫{sin(x)}^2/(1+x)^2 dx = -sin(2)Ci(2(1+x)) + cos(2)Si(2(1+x)) - {sin(x)}^2 /(1+x),
∫{sin(x)}^2/(1+x)^2 dx = sin(2)Ci(2) + cos(2){π/2 -
966:Si(2)} = 0.399021
967:１３２人目の素数さん
19/10/25 09:51:10.14 rkzzIfYc.net
F(Y_1, ..., Y_n)をZ[x](整数係数１変数多項式環)係数の, Y_1,...,Y_nに関する斉次2次式とせよ. 任意の素数pと任意の自然数mに対しF(Y_1,...,Y_n)=0 mod p^mを満たす整数係数1変数多項式Y_1,...,Y_nが存在すると仮定せよ.
此の時, 整数係数1変数多項式Y_1(x),...,Y_n(x)であってF(Y_1(x),...,Y_n(x))=0
を満たす物は存在するか？
968:イナ
19/10/25 10:54:47.73 YOBv0D/a.net
前>>910
>>905
V=∫[0～1](1/2)√(t^2+t^4)･t^2
=(1/2)∫[0～1]t^3√(t^2+1)
t=sinxとおくと、
V=(1/2)∫[0～π/2]sin^3x√(sin^2x+1)
969:１３２人目の素数さん
19/10/25 11:53:51.63 npZfw841.net
>>923
no
970:１３２人目の素数さん
19/10/25 12:36:28.75 oBAbGRoA.net
あ、任意の素数か、ならyes
971:１３２人目の素数さん
19/10/25 12:37:29.45 oBAbGRoA.net
あ、いや実素点が抜けてるからやっぱりno
972:１３２人目の素数さん
19/10/25 13:08:57.51 NNmQ5NOy.net
すいません、(3)の解説が全然わからないのですが
なぜこの形式でABを通る全ての円を表示できるのでしょうか？
バカですみません
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
973:１３２人目の素数さん
19/10/25 13:50:26.42 cT3+8H/h.net
>>928
その式（※）は円を表している
Aの座標、Bの座標はC1の式とLの式の両方を成り立たせるので※も成り立たせる
従って※はA、Bを円周上に持つ円
974:１３２人目の素数さん
19/10/25 14:22:22.74 NNmQ5NOy.net
>>929
なーーるほど
納得です
ありがとうございます
975:１３２人目の素数さん
19/10/25 14:24:38.78 NNmQ5NOy.net
>>929
すいませんもう一つお願いします
この式でABをとおる全ての円を網羅できることはどうやって言えるのでしょうか？
976:１３２人目の素数さん
19/10/25 14:47:13.17 cT3+8H/h.net
>>931
※の円は直線L上の2点A、Bを通るのでこの2点以外ではLとの共有点は存在しない
A、Bとさらにもう1点L上にはない点Cを用意すればそれらを円周上に持つ円が存在し、
CをL上を除く全ての点を取り得るとすればA、Bを通る全ての円を網羅出来る
Cの座標はL上にはないのでLを表す式を成り立たせることがない
従って、Cの座標を※の式に代入すれば必ずtの一次式になるのでtには解が存在する
つまり、A、Bを通る全ての円に対してtが存在するので※の式はtを実数全体で動かせばA、Bを通る全ての円を網羅している
977:１３２人目の素数さん
19/10/25 14:55:17.68 NNmQ5NOy.net
>>932
なるほど！！！
ありがとうございます
978:イナ
19/10/25 15:55:25.48 YOBv0D/a.net
前>>924
>>905
V=∫[0～1](1/2)√(t^2+t^4)･t^2dt
=(1/2)∫[0～1]t^3√(t^2+1)dt
t=sinxとおくと、
V=(1/2)∫[0～π/2]sin^3x√(sin^2x+1)dx
=(1/2)∫[0～π/2]sin^3x√(sin^2x+1)dx
関数の積の積分はどうやってやるんだったか。
sin^3x√(sin^2x+1)を微分すると、
sin^2xcosx√(sin^2x+1)+sin^3x･2sinxcosx/2√(sin^2x+1)
=sin^2xcosx√(sin^2x+1)+sin^4xcosx√(sin^2x+1)/(sin^2x+1)
だれも解かないみたいだけど、sin^3xと√(sin^2x+1)の積の積分どうやってやるんだったか。
979:１３２人目の素数さん
19/10/25 16:31:27.12 f98Thky1.net
もう答え出てんのに何言ってんの？
980:１３２人目の素数さん
19/10/25 17:29:02.52 X8B2Tg+D.net
松坂和夫著『解析入門（中）』を読んでいます。
以下の事実が証明抜きで使われています。
D_2 Φ および D_3 Φ が連続であることは分かります。
D_1 Φ が連続であることはどうやって証明するのでしょうか？
I を R の区間とする。
f : [a, b] × I → R とする。
D_2 f が [a, b] × I で存在し、連続であるとする。
Φ : I × [a, b] × [a, b] → R を Φ(y, u, v) := ∫_{u}^{v} f(x, y) dx で定義する。
Φ は C^1 級関数である。
981:１３２人目の素数さん
19/10/25 17:37:37.90 onRxBb1C.net
>>922
部分積分と△加法公式により
∫{sin(x)}^2/(1+x)^2 dx = - {sin(x)}^2/(1+x) + ∫sin(2x)/(1+x) dx
= - {sin(x)}^2/(1+x) + ∫{sin(-2)cos(2(1+x)) + cos(-2)sin(2(1+x))}/(1+x) dx
= - {sin(x)}^2/(1+x) - sin(2)∫cos(2(1+x))/(1+x) dx + cos(2)∫sin(2(1+x))/(1+x) dx
= - {sin(x)}^2/(1+x) - sin(2)
982:Ci(2(1+x)) + cos(2)Si(2(1+x)), ここに Si(x) = ∫[0,x] sin(t)/t dt, Ci(x) = ∫[0,x] {cos(t)-1}/t + log(x) + γ,
983:１３２人目の素数さん
19/10/25 18:42:34.74 YutomBhQ.net
>>936
久々にスレ覗いたけど
相変わらずだねー
984:１３２人目の素数さん
19/10/25 19:08:48.88 X8B2Tg+D.net
>>936
他の本（英語の教科書）やWikipediaも見てみたのですが、 Φ が C^1 であることには触れずに、
d/dy Φ(y, u(y), v(y)) を計算するのに、チェインルールを使っています。
985:１３２人目の素数さん
19/10/25 22:54:48.31 Qzgx2fLY.net
自然数k=1,2,...に対して、方程式
x^k-kx-1=0
の解のうち最大のものをM(k)とおく。
lim[k→∞] M(k+1)/M(k)を求めよ。
986:１３２人目の素数さん
19/10/26 04:29:59.22 S8xxgIdK.net
k=1 は解なしのようだけど････
与式は
x^(k-1) = k + (1/x),
kが大きいときも、左辺は有限値に留まるから
x = M(k) ≒ 1
与式から
M(k)^(k-1) ≒ k+1,
M(k) ≒ (k+1)^{1/(k-1)} → 1 (k→∞)
987:１３２人目の素数さん
19/10/26 09:25:42.45 S8xxgIdK.net
>>921 を改作････
1/3 < ∫[0→∞] {sin(x)/(1+x)}^2 dx < 1/2
を示せ。
[不等式スレ１０．243-245]
988:１３２人目の素数さん
19/10/26 20:56:03.56 3GseaLPx.net
m^2 - n^3 = 6 となる整数組 (m, n) が存在しないことを示してください
989:１３２人目の素数さん
19/10/27 08:27:44.13 nRsaMl4S.net
楕円曲線
m^2 - n^3 = k (k≠0)
の整数解 (m,n) については
任意のε>0 に対して、定数 c(k,ε) が存在して
max{|m|,|n|} < exp(c･k^(1+ε))
H.M.Stark: Acta Arith. ２４, p.251-259 (1973)
(例)
m^2 - n^3 = 17, m>0 は 8個の整数解を持つ。
(m,n) = (4,-1), (3,-2), (5,2), (9,4), (23,8), (282,43), (375,52), (378661,5234).
T.Nagell: (1929)
990:１３２人目の素数さん
19/10/27 11:06:52.87 zUNwdL6l.net
>>940
なんか、>>941のロジックがよく分かんなかったので別解考えてみた。
k≧2で、関数f_k(x):=x^k-kx-1 はx=1で極小値-kもち、x>1で単調増加かつf(∞)=∞
なので、M(k)はx>1におけるf_k(x)=0の唯一の解であることが言える。
ここでまず、M(k)>1+1/kを示す。
f_k(1+1/k)=(1+1/k)^k- k(1+1/k) -1 =Σ[i=2 to k]{C(k,i)(1/k)^i} -k
において、C(k,i)(1/k)^i=k(k-1)…(k-i+1)/i!/k^i < 1 なので、Σ… < k-1 となり、
f_k(1+1/k) < -1 ゆえに M(k) >1+1/k
これを利用して、M(k)がkとともに減少する単調数列であることが示せる
f_k(M(k))=M(k)^k -kM(k) -1 =0 より、M(k)^k=kM(k) +1
f_(k+1)(M(k))=M(k)^(k+1)-(k+1)M(k) -1 =M(k)(kM(x) +1) -(k+1)M(x) -1
=kM(k)(M(x) -1) -1 >kM(k)(1/k) -1 = M(k) -1 >1/k >0
したがって、f_(k+1)(x)=0となる最大の解は (1, M(k))の区間内にあるので、
M(k+1) < M(k)
以上よりM(k)は下に有界な単調減少数列なので、単調収束定理より収束値α(≧1)を持つ。
よって、lim[k→∞]M(k+1)/M(k) =α/α=1
991:１３２人目の素数さん
19/10/27 12:01:45.78 zUNwdL6l.net
あ！
M(k) < k^(2/k) と上から抑えられることが示せるので、
1≦lim[k→∞]M(K) ≦ lim[k→∞]k^(2/k) =1 だね。
こっちのほうが簡単か。
f_k(k^(2/k))=k^2 -k^(1+2/k) -1 =k(k-k^(2/k)) -1 >0
∵ {x^(2/x)} = - 2x^(2/x -2)(log x - 1) より、x^(2/x)はx > e で
単調減少なので、k≧4 では、k^(2/k) ≦4^(2/4) =2 → k(k-k(2/k))≧8
ゆえに、1<M(K)<k^(2/k)
992:１３２人目の素数さん
19/10/27 16:58:32.46 /6DQGrbE.net
長方形の向かい合った辺を一回ひねってくっつけるとメビウスの帯になるけど
二回ひねってくっつけたものはひねらないでくっつけた帯と位相同型なんですか？
993:イナ
19/10/27 17:17:04.34 claL+3AV.net
前>>934
もう一回、題意を把握してしっかり図を描いたほうがよさそうだ。
OAが二回出てきて√が消えて、積分がシンプルになるのか。
四角錘か。1/3と1/5で1/15はありうる。
994:１３２人目の素数さん
19/10/27 17:44:29.16 TTd9uH3r.net
>>947
はい
995:１３２人目の素数さん
19/10/27 18:13:52.67 Kr8qHKQN.net
恥ずかしいんですが以下の意味が全く分かりません。
小学生に教えるレベルで解説してもらえないでしょうか？
長さ＝√（ 1700の２乗＋2700の２乗）＝3191
996:１３２人目の素数さん
19/10/27 19:15:36.89 nRsaMl4S.net
>>940
M(k) は x>1 における
x^(k-1) = k + 1/x
の唯一の実解だから >>945
1 < M(k)^(k-1) = k + 1/M(k) < k+1,
1 < M(k) < (k+1)^{1/(k-1)},
ところで
log(k+1) < 2log(1+√k) ≦ 2√k,
log(k+1)/(k-1) → 0 (k→∞)
より
M(k) → 1 (k→∞) >>946
997:946
19/10/27 20:36:36 zUNwdL6l.net
>>951
やはり上から抑えるパターンだけど、>>946よりそっちの不等式の方が自然だね。
lim[k→∞]k^(2/k)=1も飛躍があったし。
log(k+1)/(k-1)→0 (k→∞)はなかなかうまい導出ですね。
ロピタルの定理で済ませちゃいそうなところですが。
998:１３２人目の素数さん
19/10/27 20:53:28 nRsaMl4S.net
>>950
(与式) = √(1700^2 + 2700^2) = 2700√{(17/27)^2 + 1}
3(4･27)^2 - (11･17)^2 = 23 ですが、繰り込んで 0 とします。
これより
(17/27)^2 = 3(4/11)^2,
(17/27)^2 + 1 = (13/11)^2,
なので
(与式) = 2700 * (13/11) = 3190.9
となります。
繰り込み理論では
√3 = (11/4)(17/27)
は有理数です。
999:１３２人目の素数さん
19/10/28 03:59:53.66 M55VqgNP.net
√3 を求めるなら、
a_n - b_n√3 = (2-√3)^n (*)
→ 0 (n→∞)
とおいて
√3 = a_n/b_n
とする方がいいな。
(*) とその共役
a_n + b_n√3 = (2+√3)^n
をかけると
(a_n)^2 - 3(b_n)^2 = 1, (**)
いわゆるペル方程式となる。
これから
a_(n+1) = 2a_n + 3b_n,
b_(n+1) = a_n + 2b_n,
a_(n+1) = 4a_n - a_(n-1),
b_(n+1) = 4b_n - b_(n-1),
1000:１３２人目の素数さん
19/10/28 04:41:20.49 M55VqgNP.net
>>951 より
1/M(k) > (k+1)^{-1/(k-1)} = e^{-log(k+1)/(k-1)} > 1 - log(k+1)/(k-1),
M(k)^(k-1) = k + 1/M(k) > (k+1) - log(k+1)/(k-1),
1 < {(k+1) - log(k+1)/(k-1)}^{1/(k-1)} < M(k) < (k+1)^{1/(k-1)},