19/09/27 21:15:37.23 N/cfTNg/.net
C ∋ x → dist(x, E) ∈ R は連続関数である。
証明：
x, x_0 を任意の複素数とする。
任意の y ∈ E に対して、
dist(x, E) ≦ |x - y| ≦ |x - x_0| + |x_0 - y|
が成り立つ。
y_0 を
dist(x_0, E) = |x_0 - y_0|
を成り立させる E の元とする。
↑の不等式から、
dist(x, E) ≦ |x - y| ≦ |x - x_0| + |x_0 - y_0| = |x - x_0| + dist(x_0, E)
∴ dist(x, E) - dist(x_0, E) ≦ |x - x_0|
x と x_0 は任意だったから、
dist(x_0, E) - dist(x, E) ≦ |x - x_0|
も成り立つ。
∴ |dist(x, E) - dist(x_0, E)| ≦ |x - x_0|
任意の正の実数 ε に対して、 δ = ε とすれば、
|x - x_0| < δ ⇒|dist(x, E) - dist(x_0, E)| ≦ |x - x_0| < δ = ε
が成り立つから、 C ∋ x → dist(x, E) ∈ R は連続関数である。