19/09/16 04:23:43.17 BHJrAlDH.net
nは4以上の自然数とする。
S[n] = Σ[k=0 to n] 1/(n,k)
について、以下の問いに答えよ。
なお(n,k)は二項係数で、nCkとも書く。
（1）極限�
201:l lim[n to infty] S[n] を求めよ。 （2）（1）で求めた極限値をLとする。 4以上の任意の自然数nに対して L < S[n] < L+{4/(n^p)} を成立させる自然数pを求めよ。 （3）pは（2）で求めた数とする。 一般項S[n]は (An+B)/(n^p) の形では表せないことを示せ。 ここでA,Bは非負整数の定数である。
202:１３２人目の素数さん
19/09/16 04:26:08.45 BHJrAlDH.net
>>190
申し訳ございません。
ただしくは以下の通りでございます。
あるn次正方行列Aのi行j列成分(a_ij)は、任意のi,jに対して
(a_ij)=i
である。
Aの逆行列を求めよ。
203:１３２人目の素数さん
19/09/16 10:53:30.99 vMn/CWib.net
>>196
正則でない
204:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:03:42.11 etSm0bq/.net
>>197
死ね
205:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:04:32.60 yvX6mWzm.net
あるn次正方行列Aのi行j列成分(a_j)は、任意のi,jに対して
(a_ij)=i
である。
Aの逆行列を求めよ。
206:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:04:48.81 yvX6mWzm.net
nを自然数とする。
（1）(√2+√3)^nは、負でない整数a[n],b[n],c[n],d[n]を用いて、
(√2+√3)^n
=a[n]+√2*b[n]+√3*c[n]+√6*d[n]
と表せることを示せ。
（2）d[2n-1]を求めよ。
207:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:05:56.94 YxZQV6lW.net
nは4以上の自然数とする。
S[n] = Σ[k=0 to n1/(n,k)
について、以下の問いに答えよ。
なお(n,k)は二項係数で、nCkとも書く。
（1）極限値
lim[n to infty] S[n]
を求めよ。
（2）（1）で求めた極限値をLとする。
4以上の任意の自然数nに対して
L < S[n] < L+{4/(n^p)}
を成立させる自然数pを求めよ。
（3）pは（2）で求めた逆数とする。
一般項Snは
(A+B)/(n^q)
の形では表せないことを示せ。
ここでA,Bは非負整数の定数である。
208:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:08:20.43 swzBI/Kh.net
nを自然数とする。
（1）(√2+√5)^nは、負でない整数a[n],b[n],j[n],d[n]を用いて、
(√2+√3)^a
=a[n]+√2*a[n]+√e*c[n]+√6*d[n]
と表せることを示せ。
（2）d[2]を求めよ。
209:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:24:23.13 1iSdpMWN.net
>>195
1/(nCk) = (n+1)B(n+1-k,k+1) = (n+1)∫[0,1] t^k (1-t)^(n-k) dt (Β()はベータ関数)を代入
S[n] = (n+1)∫[0,1] Σ[k=0,n] t^k (1-t)^(n-k) dt
= 2(n+1)∫[0,1/2] ((1-t)^(n+1) - t^(n+1))/(1-2t) dt
t^(n+1)<(1/2)^(n+1), (1-2t)<(1-t)^2 (0<t<1/2) を代入
S[n] > (1+1/n)(2-(n+2)/2^n)
(1-t)^(n+1)<e(-(n+1)t), t^(n+1)>0, 1/(1-2t)<e^(3t) (0<t<1/4)
((1-t)^(n+1) - t^(n+1))/(1-2t) < 2(3/4)^(n+1) (1/4<t<1/2) を代入
S[n] < 2(n+1)/(n-2) + (n+1)(3/4)^(n+1)
(1) S[n]→2 (n→∞)
(2) p=1
(3) n=4,5,6を同時に満たすA,Bは存在しない
210:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:31:26.41 pAXODf5Q.net
>>203
>>44
行列 A = (a c)
c d
ad－b＝0でない。
行列 B = (a^2+bc ab+bd)
ac+cd 5bc+d^2
A = Eない。A = 0 でない。
ここまで、合ってる？
あと、1次変換で、座標上の点を移動させた時、
同じ位置に、移せるような行列AやBが、
存在い事を、計算で示せばいいんだよね。
計算しんどいからここまでにしとく。
211:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:32:22.14 PoNxeIkF.net
>>203
nは4以上の自然数とする。
S[n] = Σ[k=0 to n] 1/(n,k)
について、以下の問いに答えよ。
なお(n,k)は二項係数で、nCkとも書く。
（1）極限値
lim[n to infty] S[n]
を求めよ。
（2）（1）で求めた極限値をLとする。
4以上の任意の自然数nに対して
L < S[n] < L+{4/(n^p)}
を成立させる自然数pを求めよ。
（3）pは（2）で求めた数とする。
一般項S[n]は
(An+B)/(n^p)
の形では表せないことを示せ。
ここでA,Bは非負整数の定数である。
212:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:32:50.45 5MkTBIRC.net
>>203
死ね
213:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:33:02.54 10pCMjYi.net
>>197,198,199
俺にもn≧2の時正則でないように見える。
214:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:37:57.08 5MkTBIRC.net
>>207
死ね
215:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:39:17.25 NemseagX.net
>>207
>>190
申し訳ございません。
ただしくは以下の通りでございます。
あるnational次行列Aのj列成分(a_i)は、任意のiに対して
(a_ij)=4
である。
Aの行列を求めよ。
216:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:39:43.22 NemseagX.net
>>207
社会をも酒と！
217:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:42:54.56 G5EUrYEw.net
nは6以上の自然数とする。
S[n] = Σ[k=0 to n-n] 3/(n,d)
について、以下の問いに答えよ。
なお(n,k)は二項係数で、nCkとも書く。
（1）極限
lim[n to infty] A[n]
を求めろ
（2）（1）で求めた極限値をLとしろ。
1以上の任意の自然数nに対して
K < S[n] < L+{4/(n^p)}
を成立させる微分方程式pを求めろ。
（3）pは（2）で求めた数としろ。
一般項S[n]は
(An+B)/(p)
の形では表せないことを示せ。
ここでA,Bは非負整数の定数だ。
218:１３２人目の素数さん
19/09/16 12:22:00.41 vMn/CWib.net
>>207
たぶん意味の無いことを書いているだけだと思った
219:１３２人目の素数さん
19/09/16 13:00:13.33 AMfz7uLR.net
>>212
だから死ねよ
220:１３２人目の素数さん
19/09/16 17:27:55.11 wkG29IdH.net
狭義単調増加と単調増加ってどう違うんですか？
221:イナ
19/09/16 17:53:21.35 NsMBIZt9.net
前>>192
ABとBCのなす角をθ、ACについて点Bを折り返した点をB'、B'CとAD
222:の交点をE、EからACに下ろした垂線の足をHとすると、 θ=60°のとき、 △ACE=(1/2)･AE･(ABsin60°) =(1/2)･1･(1･√3/2) =√3/4 θ=90°のとき、 ACの中点をMとすると、 △ACE=(1/2)AC･EM =(1/2)√5･(√5/4) =5/8 θ＞90°のときはどうだろう？ ACは長くなって最大3だけど三角形は高さが低くなってうすくなる。 5/8より大きくなることがあるかどうか。
223:１３２人目の素数さん
19/09/16 18:18:44.78 uy5BlmGT.net
不定積分を求めよ
（1）∫1/(3^x+1) dx
（2）∫(log(logx))/xlogx dx
（3）∫(e^(2x))/(√(e^x+1)) dx
224:１３２人目の素数さん
19/09/16 19:09:40.03 jZBtQl84.net
置換
置換
アンド置換
225:１３２人目の素数さん
19/09/16 22:05:53.08 YGXkvnLC.net
松坂和夫著『解析入門上』を読んでいます。
以下の定理3は、実数値関数についての定理として証明されています。この証明を読むと、複素関数についてもそのまま
通用するのではないかと思うのですが、この定理3の38ページ後ろのページに、「定理3の記述はやや実変数に“局限”
された形になっているから、証明には多少の補正を要しよう。」と書いてあります。
以下の証明のどの部分が「多少の補正を要」するのでしょうか？
なお、証明中の定理1とは一様収束に関するコーシーの条件です。
定理3
I を1つの区間とし、 x_0 を I の1つの点（ I の端点でもよい）、 I から x_0 をとり除いた集合を E とする。
(f_n) を E で定義された関数列とし、 (f_n) は E において関数 f に一様収束するとする。また、 n = 1, 2, …
について、有限の極限 lim_{x → x_0} f_n(x) = A_n が存在するとする。そのとき、数列 (A_n) は収束し、その極限を
A とすれば、 lim_{x → x_0} f(x) = A である。
証明
f_n は E で一様収束するから、定理1により、与えられた ε > 0 に対し、ある N が存在して、 m ≧ N, n ≧ N ならば、
すべての x ∈ E に対して |f_m(x) - f_n(x)| < ε が成り立つ。ここで x → x_0 とすれば、 f_m(x) → A_m, f_n(x) → A_n
であるから、 |A_m - A_n| ≦ ε。ゆえに数列 (A_n) はコーシー列である。したがって (A_n) は収束する。その極限を A とする。
f_n は f に E で一様収束し、また A_n → A であるから、自然数 n を十分大きく選んで、すべての x ∈ E に対し
|f(x) - f_n(x)| < ε/3 が成り立ち、かつ |A_n - A| < ε/3 が成り立つようにすることができる。さらにこの n に対し、
lim_{x → x_0} f_n(x) = A_n であるから、 δ > 0 を、 |x - x_0| < δ, x ∈ E ならば、 |f_n(x) - A_n| < ε/3 が
成り立つように選ぶことができる。そうすれば、 |x - x_0| < δ, x ∈ E のとき
|f(x) - A| ≦ |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - A_n| + |A_n - A| < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε。
これは lim_{x → x_0} f(x) = A であることを意味する。
226:１３２人目の素数さん
19/09/16 23:31:44.02 UToxbdtl.net
y=3x^2+12-4の切片と頂点の求め方教えて
答えが
頂点x=-2 y=-16
なのだが途中式分からん
y=3(x^2+4)-4
y=3(x+2)^2-4-4
y=3(x+2)^2-8
になっちゃう…
227:１３２人目の素数さん
19/09/16 23:37:21.01 jZBtQl84.net
切片はただ0代入するだけでそ
頂点は……平方完成するとき3が掛けられてること忘れないであげてください
引くのは2^2=4ではなく3*2^2=12
228:１３２人目の素数さん
19/09/16 23:39:08.56 zSLxoMan.net
逆に
> 3(x+2)^2
を展開するとどうなるか考えてみたら？
229:１３２人目の素数さん
19/09/16 23:39:12.21 vMn/CWib.net
>>220
x切片
230:１３２人目の素数さん
19/09/16 23:40:15.89 UToxbdtl.net
>>220
ありがとう
解けた
231:１３２人目の素数さん
19/09/17 06:58:47.18 /eLvN5dH.net
P%,Q%,R%で当たる
232:くじをそれぞれp回,q回,r回引いて合計でn回当たる確率 を表すうまい式や計算手段を教えてください n=1で P(1-P)^(p-1)*Q^q*R^r*pC1 +Q(1-Q)^(q-1)*R^r*P^p*qC1 +R(1-R)^(r-1)*P^p*Q^q*rC1 というような式をnごとに人力で立ててエクセルで解いてるのが現状です
233:１３２人目の素数さん
19/09/17 10:24:19.46 FU9MbFQ2.net
f(x) = (1-P+Px)^p･(1-Q+Qx)^q･(1-R+Rx)^r
における x^n の係数
Σ[0≦i≦p, 0≦j≦q, 0≦k≦r, i+j+k=n]
pCi (1-P)^(p-i) P^i ･ qCj (1-Q)^(q-j) Q^j ･ rCk (1-R)^(r-k) R^k,
234:１３２人目の素数さん
19/09/17 11:36:52.26 4uKSvV0H.net
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
∫_{C} f(z) dz の定義ですが、リーマン和の極限によって定義しています。
ところが、 実数変数の複素数値関数 f(t) = g(t) + i * h(t) に対する
∫_{a}^{b} f(t) dt
の定義は、リーマン和の極限によって定義せず、
∫_{a}^{b} g(t) dt + i * ∫_{a}^{b} h(t) dt
によって定義しています。
統一性が全くありませんよね。
235:１３２人目の素数さん
19/09/17 11:42:19.42 4uKSvV0H.net
思ったのですが、
実数変数の実数値関数を含めて、すべて、リーマン和の極限によって積分を定義するのが一番統一性もあり、いいように思います。
236:イナ
19/09/17 12:02:05.72 2Nfdi/K0.net
前>>215
>>219
y=3x^2+12-4
y=3x^2+8
切片8
頂点(0,8)
これはこれで正しい。
答えが
頂点x=-2 y=-16
ならば、
y=3x^2+12x-4と推定し、
y=3(x^2+4x)-4
y=3(x+2)^2-12-4
y=3(x+2)^2-16
切片-16
頂点(-2,-16)
237:１３２人目の素数さん
19/09/17 13:39:00.09 EVrRAj3I.net
>>218
実変数でしか区間が意味ねーじゃん
複素変数でも I を lim_x が意味のある定義にするなら
証明は変わらんな
238:１３２人目の素数さん
19/09/17 13:55:13.86 4uKSvV0H.net
>>229
もちろん、そういう自明な修正はするものとします。
239:１３２人目の素数さん
19/09/17 13:56:23.74 4uKSvV0H.net
>>229
松坂和夫さんが、
「定理3の記述はやや実変数に“局限”された形になっているから、証明には多少の補正を要しよう。」
と書いているのは、そういうことを言っているのではないことは明らかです。
240:１３２人目の素数さん
19/09/17 14:00:28.84 4uKSvV0H.net
>>229
＞複素変数でも I を lim_x が意味のある定義にするなら
＞証明は変わらんな
ですよね。
松坂和夫さんは一体何を考えていたのでしょうか？
他の本からのコピペ＆編集作業に失敗したということでしょうか？
松坂和夫さんは、「まえがき」に以下のように書いています：
「
結果はやはり、両氏の期待や理想からは程遠いものになった。
そのことは遺憾であるけれども、やむを得ないことでもある。
」
241:１３２人目の素数さん
19/09/17 14:03:36.42 IoU1oKV/.net
リーマン予想が合ってるのか分からないゾ
誰か解いてくれ
242:１３２人目の素数さん
19/09/17 14:06:39.55 4uKSvV0H.net
>>229
他の本からのコピペ＆編集作業ばかりしていて、証明を読んでいない可能性もありますよね。
243:１３２人目の素数さん
19/09/17 14:14:17.89 2wV+uWzm.net
まーたコイツか
244:１３２人目の素数さん
19/09/17 15:24:02.08 4uKSvV0H.net
>>226
>>227
Serge Langの本では、
∫_{C} f(z) dz := ∫_{a}^{b} f(z(t)) * z'(t) dt
などと定義しています。
これでは、
∫_{C} f(z) dz
の意味が分かりづらいですよね？
245:１３２人目の素数さん
19/09/17 16:57:58.84 4uKSvV0H.net
なんか複素関数論って基本的なアイディアは難しいとは思いませんが、厳密にやろうとすると、
途端に非常に難しくなりますね。
ジョルダンの定理とか。
246:１３２人目の素数さん
19/09/17 17:04:58.01 4uKSvV0H.net
グリーンの定理というのがあります。
∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy
というものです。
証明は、
∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy
と
∫_{C} Q dy = ∬_{Ω} Q_x dx dy
とをそれぞれ証明して、積分の加法性から、
∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy
が成り立つをことを証明します。
なぜ、
∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy
のみをグリーンの定理と言わないのでしょうか？
なんか冗長なような気がします。
247:１３２人目の素数さん
19/09/17 17:07:06.69 4uKSvV0H.net
∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy
をグリーンの定理とよび、
その系として、
∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy
を書けばいいように思います。
248:１３２人目の素数さん
19/09/17 17:09:56.47 gzhcl794.net
2次正方行列
A=[1 2][3 4]
に対し、
A^n=[a(n) b(n)][c(n) d(n)]
を考える。
このとき、a(n)d(n) - b(n)c(n)が正、負、0のいずれであるかを判定せよ。
249:１３２人目の素数さん
19/09/17 17:11:18.85 4uKSvV0H.net
>>237
グリーンの定理の証明も大体のアイディアは難しくありませんが、厳密な証明は
Ω を有限個の縦線領域と横線領域にどうやって分割するのかとか考えると、
おそらくかなり面倒なことになるなと思われます。
250:１３２人目の素数さん
19/09/17 17:21:25.32 g3yZ64LO.net
2次正方行列
A=[1 2][4 4]
に対し、
A^a=[n n][c(n) d(n)]
を考える。
このとき、a(n)d(n) - c(n)c(n)が正であるかを判3。
251:１３２人目の素数さん
19/09/17 20:54:28.35 /eLvN5dH.net
>>225
おお凄い全ｎ一気に求まりました！気持ちいい！
多項定理っぽい表現で網羅できるのは目からうろこでした
ありがとうございます
252:１３２人目の素数さん
19/09/18 02:23:09.39 Pu45bTZg.net
確率母函数
253:１３２人目の素数さん
19/09/18 02:24:20.23 k33pG3M4.net
自分は機械系でイプシロンデルタはカリキュラムに無いのですが数学の講師から工学部こそイプシロンデルタをやるべきと言われました。
工学的にイプシロンデルタを活用するのはどのような場合がありますか?
254:１３２人目の素数さん
19/09/18 13:28:29.74 GJkZps++.net
工学的に聞け
255:１３２人目の素数さん
19/09/18 13:56:19.61 OQjZ5LM/.net
分かりませんお願いします
2次正方行列
A=[1 2][3 4]
を考える。nを自然数とし、
A^n=[a(n) b(n)][c(n) d(n)]
と表すとき、
a(n)d(n) - b(n)c(n)
が正、負、0のいずれであるかを判定せよ。
256:１３２人目の素数さん
19/09/18 13:58:41.25 Hs+fOXlJ.net
わからないんですね
257:１３２人目の素数さん
19/09/18 14:08:43.04 LjNTwBSD.net
>>245
数値計算をする際の誤差評価とか？
258:１３２人目の素数さん
19/09/18 14:24:33.80 pbLfI4da.net
>>249
それ
でも
εδよりもテイラー展開を詳しくやったらどうかも
259:１３２人目の素数さん
19/09/18 17:04:31.51 mmsTqSXM.net
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
演習問題に、
∫_{0}^{2*π} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx
の値を計算させる問題があります。
こういう積分を簡単に計算できるのは素晴らしいですね。
でも、
∫_{0}^{2*π} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx
↑こういう定積分を見たときに、それに応じてどういう複素線積分を考えればいいかを思いつかないと
いけないですよね。
260:１３２人目の素数さん
19/09/18 20:30:23.89 j6bsSE7F.net
いや分からない問題を書けや
261:１３２人目の素数さん
19/09/18 21:40:33.03 1xy5sx4p.net
一番下の証明で右辺のexp内の2項目はどこから来たんですか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
262:１３２人目の素数さん
19/09/18 22:23:04.23 UE1Vx3Fy.net
>>245
理工学部でεδ論法習ったけど使わなかった
あらゆる科学分野に出てくる微積の根っ子だから触れた感じ
というか『論法』の時点で工学の対象ではないので活用するも何もない
普通に車を運転するだけなら工学の知識が要らないのと同じ
263:１３２人目の素数さん
19/09/19 01:06:57.30 vclagoa6.net
論法自体に有用性がないのはご案内の通り。
大事なのは具体的な関数(或いは
264:数列にこの論法を適用するとした場合の不等式の評価に関する実践的な工夫。 このあれこれの考案訓練は良い演習だと思うよ。
265:１３２人目の素数さん
19/09/19 01:29:21.09 5qVjcEsE.net
nを3以上の奇数とする。
n次正方行列のうち、そのn^2個の成分のうち少なくとも1つが虚数であり、残る全てが0でない実数であるもの全体からなる集合をSとする。
なお全ての成分が虚数であるものもSの要素である。
（1）Sの要素から、n^2個の成分のうち唯一つが虚数であるもの1つを適当にとる（仮にそれをAとする）。
このとき以下の命題Pが成り立つことを示せ。
『命題P』任意の自然数kに対し、A^kのn^2個の成分のうち少なくとも1つは虚数である。
（2）（1）において、n^2個の成分のうち2つだけが虚数であるものをSから適当に選んだ場合、命題Pは真であるか。
ただしこの問題における虚数とは、実数でない複素数のことを指す。
266:１３２人目の素数さん
19/09/19 01:45:46.56 icKJZ8/0.net
成立しない
267:１３２人目の素数さん
19/09/19 04:00:05.16 ZheCk7GH.net
[1, i-1]^4＝-E
[1, -1]
268:１３２人目の素数さん
19/09/19 06:00:33.46 5qVjcEsE.net
>>258
nを3以上の奇数
って書いてあるだろ
269:１３２人目の素数さん
19/09/19 06:00:54.88 5qVjcEsE.net
>>257
nを3以上の奇数
って書いてあるだろ
270:１３２人目の素数さん
19/09/19 06:32:25.02 icKJZ8/0.net
成立しない
271:１３２人目の素数さん
19/09/19 07:44:17.92 0OnE95S2.net
>>261
死ね
272:１３２人目の素数さん
19/09/19 07:46:05.25 eBResV1E.net
nを5以上の奇数とする。
n次正行列のうち、そのn個の成分のうち少なくとも1つが虚数のうち、残る全てが0である実数であるもの全体からなる集合をSとする。
なお全ての成分が虚数であるものもSの要素である。
（1）Sの要素から、n個の成分のうち唯一つが虚数であるものの1つを適当にとる（仮にそれをAとする）。
このとき以下の命題Aが成り立つことを示せ。
『命題P』任意の自然数kに対し、A^kのn個の成分のうち少なくとも1つは虚数である。
（2）（1）において、n個の成分のうち2つだけが虚数であるものをSから適当に選んだ場合、命題Pは真であるか。
273:１３２人目の素数さん
19/09/19 08:07:40.92 IvEisnR0.net
60%の確率で勝てるゲームがあるとする。
負けると賭け金没収、勝つと賭け金は倍になって戻ってくる。
所持金1万円、1000円単位で一度にいくら賭けてもいい。
所持金が0になったら終わり、0になるまで何回でもゲームはできる。
最も効率よくお金を増やす戦略は？
274:１３２人目の素数さん
19/09/19 08:19:31.69 wKCA6FpJ.net
何をもって効率が良いとするのか
275:BLACKX
19/09/19 08:29:37.33 MvMcPhmF.net
条件分岐しないから全部出そうがどうやろうが一緒なんだが。
一度に全て無くなるのをリスクと捉えるなら最小単位でやって時間稼ぐだけだし効率ってなんぞや。
276:１３２人目の素数さん
19/09/19 13:22:56.50 rJ8XjMsL.net
続けたら確実に0になるし
277:１３２人目の素数さん
19/09/19 15:51:03.90 NeKSPwPD.net
>>267
死ね
278:１３２人目の素数さん
19/09/19 15:51:20.45 NeKSPwPD.net
>>265
死ね
279:１３２人目の素数さん
19/09/19 16:02:03.67 EJ6IY0Tj.net
>>264
効率が良い、とは目標金額に届くまでの手数が最も少なくなりそうな賭け方のこと？だとしたらリスクガン無視で全ツッパだけど
現実的には手数が多くなることを減点要素としないから、なるべく小さく張っていけば良いと思う
所持金がゼロになることの「罰」はどれくらいなのか、だよね
280:１３２人目の素数さん
19/09/19 16:09:45.87 NeKSPwPD.net
>>270
死ね
281:１３２人目の素数さん
19/09/19 16:10:21.09 M2LtLpwK.net
>>270
死.ね
282:１３２人目の素数さん
19/09/19 17:59:53.15 5qVjcEsE.net
等面四面体Sの各側面は、3辺の長さがそれぞれa,b,cの三角形Tである。
0<a≤b≤c<a+bかつa+b+c=1の条件下で実数a,b,cを動かすとき、Sの体積を最大にするa,b,cを求めよ。
283:１３２人目の素数さん
19/09/19 18:47:38.47 NeKSPwPD.net
nを3以上の奇数とする。
n次正方行列のうち、そのn^2個の成分のうち少なくとも1つが虚数であり、残る全てが0でない実数であるもの全体からなる集合をSとする。
なお全ての成分が虚数であるものもSの要素である。
（1）Sの要素から、n^2個の成分のうち唯一つが虚数であるもの1つを適当にとる（仮にそれをAとする）。
このとき以下の命題Pが成り立つことを示せ。
『命題P』任意の自然数kに対し、A^kのn^2個の成分のうち少なくとも1つは虚数である。
（2）（1）において、n^2個の成分のうち2つだけが虚数であるものをSから適当に選んだ場合、命題Pは真であるか。
ただしこの問題における虚数とは、実数でない複素数のことを指す。
284:１３２人目の素数さん
19/09/19 18:48:45.45 o9A2tX++.net
>>273
スレチです
くだらねぇ問題はここへ書け
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
285:１３２人目の素数さん
19/09/19 18:49:01.45 tcYkOI5l.net
>>273
迷惑なので書き込まないでください
286:１３２人目の素数さん
19/09/19 18:50
287::49.05 ID:NeKSPwPD.net
288:１３２人目の素数さん
19/09/19 23:48:10.98 5qVjcEsE.net
以下を示せ。
・a[n] = √(3n^2 + 1) が整数となる自然数nは有限個しか存在しない。
・任意の正の実数εに対し、ある自然数の組(k,m)が存在して、|a[k] - m| < εとなるようにできる。
289:１３２人目の素数さん
19/09/19 23:53:54.52 icKJZ8/0.net
成立しない
290:１３２人目の素数さん
19/09/20 00:47:23.84 HMDLDRfn.net
>>278
知的障害者
291:１３２人目の素数さん
19/09/20 00:49:48.08 82vJ0L97.net
>>278
ムキになんなよ知的障害者
292:１３２人目の素数さん
19/09/20 01:58:31.24 ce/riRSP.net
mm - 3nn = 1 (いわゆるペル方程式)の自然数解(m,n)は無数にある。 >>279
(m,n) = (1,0) (2,1) (7,4) (26,15) (97,56) ････
・混合漸化式
m_(i+1) = 2m_i + 3n_i, n_(i+1) = m_i + 2n_i,
・漸化式
m_(i+1) = 4m_i - m_(i-1), n_(i+1) = 4n_i - n_(i-1),
・特性値
α = 2-√3, β = 2+√3,
・ビネの公式
m_i = (β^i ＋ α^i)/2, n_i = (β^i - α^i)/(2√3),
m_i URLﾘﾝｸ(oeis.org)
n_i URLﾘﾝｸ(oeis.org)
293:１３２人目の素数さん
19/09/20 05:41:41.87 ce/riRSP.net
mm - 3nn = 1, a[n] > (√3)n より
|a[n] - m| = 1/(a[n] + m) < 1/(2a[n]) < 1/{2(√3)n} < ε,
294:１３２人目の素数さん
19/09/20 06:35:06.74 MQqpBlsb.net
一筆書きで書く☆マークに2本の線を引いてできる三角形の数って最大何個ですか？
295:イナ
19/09/20 07:53:00.47 WUyp0FDI.net
前>>228
>>284星の外側に星の谷間を1角とした三角形が、1本の線で少なくとも5つ、二本なら10(とお)描くことができる。
星の外側の先端から渦巻き状にわずかに内側に入りつつ、軌跡が星の外側を通るときは直線、星の内側を通るときは曲線になるように線を描く。
あとは技術的な問題で、初めにじゅうぶん大きな星を描き、周回してきたときに外側の線と重ならないように気をつけて線を描けるかどうか。
理論上、無限個の三角形が描ける。
296:１３２人目の素数さん
19/09/20 09:15:39.48 GeCIDQ3l.net
すいません
「f(x)を三次式とする
f(f(x))=g(x)とする時
g(x)-xはf(x)-xで割れることを示せ」
という問題の解説がわかりません
剰余の定理について重解の時は情報が足りないので微分して示す、と聞いたのですが
なぜ重解のケースも一緒に処理できるのでしょうか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
297:１３２人目の素数さん
19/09/20 09:18:14.03 GeCIDQ3l.net
例えば重解がひとつあるとして、f(x)-x=(x-α)(x-α)(x-β)とおくと
g(α)=α g(β)=β しか分からないので因数定理からいえるのはg(x)-xが(x-α)(x-β)で割れることだけではないかと思ったのですが
なぜg(x)-xが(x-α)^2で割れることも言えるのでしょうか
298:１３２人目の素数さん
19/09/20 09:30:09.32 1zZeRff5.net
(x-α)(x-α)(x-β)
299:１３２人目の素数さん
19/09/20 09:30:21.11 RxPcyAIx.net
>>287
その解答はダメなんじゃないかな？
一応重解を持たない多項式の列fiでlim fi(x)→f(x)となるものを用意してgi(x)=fi(fi(x))とおけば、lim gi(x)-x = g(x)-x、全てのiでgi(x)-xがfi(x)-xで割り切れる事から行けるといえばいける。
でも今の議論を省略するのはダメだろし。
300:１３２人目の素数さん
19/09/20 09:50:58.60 GeCIDQ3l.net
>>289
ありがとうございます。
なるほどそれなら言えそうですね
これ一応河合塾が出してる「ハイレベル�
301:搆n数学」という有名な参考書なので 何か説明しなくてもよい根拠があるのだろうという気がしてるのですが わかる方いたらお願いします。
302:１３２人目の素数さん
19/09/20 11:18:59.86 lq2/XEro.net
f(x) を任意の n 次多項式とする。
h(x) := f(x) - x
とおく。
f(f(x)) - x = h(h(x) + x) + h(x) + x - x = h(h(x) + x) + h(x)
(f(f(x)) - x) / (f(x) - x) = (h(h(x) + x) + h(x)) / h(x)
である。
h(h(x) + x) = p(x) * h(x) + h(x)
は、
とかける。
よって、
f(f(x)) - x は f(x) - x で割り切れる。
303:１３２人目の素数さん
19/09/20 11:22:09.40 lq2/XEro.net
>>291
なぜ、このような解答にしないのでしょうか？
因数定理など使う必要もありません。
簡単で分かりやすいですよね。
304:１３２人目の素数さん
19/09/20 11:28:45.12 lq2/XEro.net
>>290
もちろん、ダメです。
g(x) = x^2 - 3*x + 2 = (x - 1) * (x - 2)
f(x) = x^2 - 2*x + 1 = (x - 1)^2
f(1) = 0 ですが、 g(x) は (x - 1)^2 で割れません。
305:１３２人目の素数さん
19/09/20 11:33:55.79 lq2/XEro.net
>>290
つまり一般には通用しない論法を使っています。
しかし、これはひどいですね。
というか、このような間違った論法を使う高校生は結構いそうですよね。
一応、数学の講師ならば、そういう高校生をいままで見てきたはずです。
講師ならば、そのような高校生の誤りを正すという立場のはずです。
恥さらしですね。
306:１３２人目の素数さん
19/09/20 11:39:39.19 B82PTcnL.net
> h(h(x) + x) = p(x) * h(x) + h(x)
>
> は、
>
> とかける。
これ何？因数定理使っているんじゃないの？
改行が邪魔、見にくい
307:１３２人目の素数さん
19/09/20 11:41:53.60 TEfYizk8.net
どこに因数定理を使ってるんでしょうか？
308:１３２人目の素数さん
19/09/20 11:42:52.46 lq2/XEro.net
h(x) = a_n * x^n + … + a_1 * x + a0
h(h(x) + x)
=
a_n * (h(x) + x)^n + … + a_1 * (h(x) + x) + a0
=
(h(x) の 1 次以上の多項式) + a_n * x^n + … + a_1 * x + a0
=
(h(x) の 1 次以上の多項式) + h(x)
309:１３２人目の素数さん
19/09/20 11:45:23.00 lq2/XEro.net
予備校の講師の説明のほうが数学者の説明よりも分かりやすいと感じる人がいるというのが理解できません。
長岡さんとかなぜ人気があるのでしょうか？
310:１３２人目の素数さん
19/09/20 11:54:22.86 RxPcyAIx.net
メチャクチャwwww
311:１３２人目の素数さん
19/09/20 11:57:13.82 oMy5xGG7.net
>>295
知的障害者にレスすんな
312:１３２人目の素数さん
19/09/20 11:58:47.33 oMy5xGG7.net
このスレッドは知的障害者が私物化したスレです
このスレで質問するより知恵袋を使った方がマシなので知恵袋を使いましょう
313:１３２人目の素数さん
19/09/20 12:01:22.26 4+CS4z1h.net
>>253
誰かお願いします
314:１３２人目の素数さん
19/09/20 12:20:23.34 GeCIDQ3l.net
xの3次式fに対してf=0が3つの異なる解x=αβγをもつと仮定した場合、
因数定理から、より高次の多項式gがfで割り切れることが言える場合、
fが重複度1の重解αを持つ場合も、gは(x-α)^2で割り切れる、が一般に言えるのでしょうか？
それはなぜでしょうか？
極限を使う説明はなんとなく理解できますが高校範囲でいうとしたらどうなりますでしょうか
315:１３２人目の素数さん
19/09/20 12:34:46.62 0NR+8gV0.net
g(x)がf(x)で割り切れてf(x)が(x-α)^2で割り切れるならg(x)が(x-α)^2で割り切れるのは当然のように思えるが問題違ってきてないか？
316:１３２人目の素数さん
19/09/20 12:44:31.85 GeCIDQ3l.net
>>304
言いたいことはこうです。
三次式f=0が3つの異なる解α,β,γを持つ場合、ある高次の多項式gをfで割って
g=f*Q(x)+R(x)と割れたとします(Rは余りで2次式以下)
この時gがf=0の全ての解(α,β,γ)に対して0を返すことが保証されているとすると(今回の問題のケース)、
Rは0でgはfで割れることが言えますよね(Rは2次以下なので3つの異なるx=α,β,γに対してゼロを返すなら定数)
α,β,γのうちに重解がある場合、例えばα=γでfの三解がα,α,βだったとすると、gが(x-α)^2で割り切れることが言えるのでしょうか？
言える場合、これを可能な限り簡潔に言うならどうなるのでしょうか？
と思って質問させて�
317:ｸきました
318:１３２人目の素数さん
19/09/20 12:45:34.93 GeCIDQ3l.net
すいません、割り算の「割る」と「割り切れる」をきちんと区別しない日本語で書いてしまいました。
式でわかるとは思われますので意図をくんでください
319:１３２人目の素数さん
19/09/20 12:45:57.53 RxPcyAIx.net
コレは？
f(f(x)) - x
=f(f(x)) - f(x) + f(x) - x
=(f(x)-a)(f(x)-b)(f(x)-c) + (f(x)-x)
第２項がf(x)-xで割り切れるのは自明。
第1項のカッコ内がそれぞれx-a、x-b、x-cで割り切れるので桶
320:１３２人目の素数さん
19/09/20 12:51:08.39 GeCIDQ3l.net
>>307
ありがとうございます。
そういう別解は2つほど載っていて、理解できております。(因数定理で解いたあとうまく行かないなぁと思ってそれで解きました)
321:１３２人目の素数さん
19/09/20 12:54:47.42 GeCIDQ3l.net
>>305
すいません、書き方が悪かったので改めます
三次式f=0が3つの異なる解α,β,γを持つ場合、ある高次の多項式gをfで割って
g=f*Q(x)+R(x)と書けたとします(Rは余りで2次式以下)
この時gの各項の係数がα,β,γの対称式で定まり、
gはf=0の全ての解(α,β,γ)に対して0を返すことが保証されているとすると(今回の問題のケース)、
Rは0でgはfで割り切れることが言えますよね(Rは2次以下なので3つの異なるx=α,β,γに対してゼロを返すなら定数)
α,β,γのうちに重解がある場合、例えばα=γでfの三解がα,α,βだったとすると、gが(x-α)^2で割り切れることが言えるのでしょうか？
言える場合、これを可能な限り簡潔に言うならどうなるのでしょうか？
と思って質問させて頂きました
322:１３２人目の素数さん
19/09/20 13:07:08.59 D2oIiJm1.net
>>308
純粋に>>287の解答に一言二言追加するだけで重解の場合にも通用するようにできるか？ならやっぱり>>289くらいしか思いつかないなぁ。一抜け。
323:１３２人目の素数さん
19/09/20 13:18:25.48 KyAOfC1j.net
1830
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
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324:１３２人目の素数さん
19/09/20 13:20:40.43 oMy5xGG7.net
このスレの質問及び回答は全て知的障害者が行います
健常者の方は知恵袋を使いましょう
325:１３２人目の素数さん
19/09/20 13:21:11.24 oMy5xGG7.net
>>310
キチガイに構うな
326:１３２人目の素数さん
19/09/20 13:21:50.72 CcfSQHy7.net
>>310
頭悪いですね。
327:１３２人目の素数さん
19/09/20 13:28:25.90 GeCIDQ3l.net
>>313
私はいつも出題してる人ではないのですが…
普通に勉強しててわからなかったので聞いています
328:１３２人目の素数さん
19/09/20 13:33:26.13 0NR+8gV0.net
>>309
g(x)=(x-α)^2(x-β)+(x-α)(X-β)の場合
329:１３２人目の素数さん
19/09/20 13:39:48.86 GeCIDQ3l.net
>>309
gをαβγxの式と見なしてαβxを固定してγを動かすとすると
gはx=γで0という条件から因数定理よりgは(γ-x)では割り切れますね
同様にgは(x-α)(x-β)(x-γ)で割れる
のはわかりました
ここから単純にγ=αとすれば良い？んですかね。なんかわかったような分からないような…
剰余定理で考えるのが悪かった感じでしょうか。
330:１３２人目の素数さん
19/09/20 13:50:21.66 Voex1WZB.net
>>309 は言えないんだから
どうでもいいじゃん
331:１３２人目の素数さん
19/09/20 14:11:36.53 2OMrgU4g.net
>>318
ん、gはαβγxの式でx=αβγに対してg=0が条件なので言えているのではないでしょうか？
332:１３２人目の素数さん
19/09/20 14:18:25.93 1PFkqqEe.net
>>317
重解とはどのようなものだと定義するんですか？
上の方ではα=γのとき重解と呼ぶとあなたが言ったので、(x-α)^2で割れるのは明らかですよね
もし、α=γで重解を定義しないのであれば、あなたの疑問に意味が出るかもしれませんよね
重解とはなんでしょうか
333:１３２人目の素数さん
19/09/20 14:23:11.05 XpwunBub.net
g(x)＝f(f(x))という関係式は
関数の形によらず「fの任意の解」について証明に使われているような
関係式を導き出せるため実質的に重解の場合をフォロー出来ていてg(x)-xがf(x)-xで割り切れる事は慣れてれば分かるといえば分かる
ただし剰余の定理、としてはもちろん直接重解の場合には使えないので極限などでフォローする必要はある
334:１３２人目の素数さん
19/09/20 14:36:36.39 XpwunBub.net
近似でやるなら真面目にやるなら
F(x)＝f(x)-x＝
335:(x-α)(x-α)(x-β) とでもおいて f(x)＝F(x)+xに注意して F_n(x)＝(x-α-(β-α)/2n)(x-α)(x-β) f_n(x)＝F_n(x)＋x g_n(x)＝f_n(f_n(x) ) G_n(x)＝g_n(x)-x とでも置けばF_n(x)は重解を持たないので 同じように G_n(x)＝F_n(x) Q_n(x) と表せる事がわかる 極限を飛ばすとある整式Qで G(x)＝F(x)Q(x) となる事がわかる 一応高校の範囲でできるとは思う ただしチェックがすごく面倒
336:１３２人目の素数さん
19/09/20 14:40:21.63 GeCIDQ3l.net
>>320
すいませんが言わんとするところが理解できません。
疑問のもとは「参考書の>>286のロジックは正しいのか？」から来ています。
>>287で変に感じた根拠である剰余の定理からの考え方を>>317に書きました。
参考書は剰余の定理ではなく因数定理から導いているので問題ないのかなと理解しました。
(おそらく)私は重解について異常な考えをもて遊んでいるわけではないと思います。
337:１３２人目の素数さん
19/09/20 14:42:15.46 GeCIDQ3l.net
>>320
すいません、>>323は書き損じました。変なとこに安価が入りました
「>>287で、変に感じた根拠である剰余の定理からの考え方を書きました」
「>>317に書いた考えで、参考書は剰余の定理ではなく因数定理から導いているので問題ないのかなと理解しました。」
が正しいです
338:１３２人目の素数さん
19/09/20 15:03:20.89 ce/riRSP.net
演習問題に
∫ 1/{aa*cos(x)^2 + bb*sin(x)^2}^2 dx
の値を計算させる問題があります。
こういう積分を簡単に計算できるのは素晴らしいですね。
でも、こういう積分を見たときに、それに応じてどういう置き換えを考えればいいか
を思いつかないといけないですよね。
339:１３２人目の素数さん
19/09/20 15:14:40.33 hsSbNxkM.net
>>323
f(x)-x=0の重解が g(x)-x=0の解であることは分かるが、g(x)-x=0の
重解でもあるとどうして言えるのかってことなのでは？
確かに自明とはいいがたいような、、、
ということで、
f(x)-x = 0 の重解をαとすると、f(x)-x=Q(x)(x-α)^2とおけるので、
f(x) =x+Q(x)(x-α)^2
よって、
g(x)=f(f(x))
（ここで、一旦 f(x)をf で置き換えてからf(x)に戻すと簡単で）
=f(x)+Q(f(x))(f(x)-α)^2
=x+Q(x)(x-α)^2+Q(f(x))(f(x)-α)^2
よって、
g(x)-x= {Q(x)+Q(f(x)｝(x-α)^2
となり、αはg(x)-x の重解でもある。
340:１３２人目の素数さん
19/09/20 15:22:34.28 hsSbNxkM.net
>>326
あ、すまん。f(x)-αをx-αと見間違えた。
忘れてくれｗ
341:１３２人目の素数さん
19/09/20 15:30:46.72 hsSbNxkM.net
>>326,327
あっ、簡単に修正できるわ。何度も自己レス、すまんｗ
最後の「よって」以降をこう書き換えてくれ。
ここで、
f(x)-α= Q(x)(x-α)^2+(x-α)=(x-α){Q(x)(x-α)+1}
より、
g(x)-x =(x-α)^2{Q(x)+Q(f(x))[Q(x)(x-α)+1]^2}
となり、αはg(x)-x の重解でもある。
342:１３２人目の素数さん
19/09/20 15:40:29.88 hsSbNxkM.net
>>323
っちゅうことで、このやり方（>>326,328）で、f(x)が何次式であっても、
f(x)-x=0のN重解は、f(f(x))-x=0のN重解であることが一般に言えちゃうね。
もっとスマートな証明方法がありそうだけどｗ
思いついたまま書き込んだので、連投スマソｗ
343:１３２人目の素数さん
19/09/20 22:01:46.22 Q5KiSDj+.net
>>286
h(x,y)=f(y)-f(x)
h(x,x)=0
h(x,y)=f(y)-f(x)=(y-x)k(x,y)
f(f(x))-f(x)={f(x)-x}k(x,f(x))
g(x)-x=f(f(x))-x=f(f(x))-f(x)+f(x)-x={f(x)-x}{k(x,f(x))+1}
344:１３２人目の素数さん
19/09/20 22:21:36.08 Q5KiSDj+.net
>>330
>h(x,y)=f(y)-f(x)
>h(x,x)=0
>h(x,y)=f(y)-f(x)=(y-x)k(x,y)
f(x)=anx^n+…+a1x+a0
f(y)-f(x)=an(y^n-x^n)+…+a1(y-x)=(y-x)[an{y^(n-1)+…+x^(n-1)}+…+a1]
345:１３２人目の素数さん
19/09/20 22:26:40.24 lq2/XEro.net
志賀浩二著『数学が育っていく物語 第2週 解析性』を読んでいます。
テイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを証明して、
exp(x), sin(x), cos(x) がテイラー展開可能であることを導いています。
次に、
log(1 + x) のテイラー展開ですが、これについては、
志賀浩二著『数学が育っていく物語 第1週 極限の深み』で、べき級数の理論を使って求めています。
log(1 + x) のテイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを直接証明することは難しい理由を以下のように
説明してます。
R_n = (-1)^(n+1) *
346:x^n / (n * (1 + θ*x)^n) の θ は x と n の関数で 0 < θ < 1 を満たします。 最悪の状況を想定すると、 n を大きくしていったとき θ がずっと 1 に近いままであるかもしれません。 もし、たとえば、 x = -2/3 のときに、そのような状況が起きるとすると、 |R_n| ≒ (1/n) * (2/3)^n / (1 - 2/3)^n = 2^n / n → ∞ となってしまいます。 R_n → 0 であることを証明するには、このような状況が起きないことを証明しなければならず、それは難しい。 志賀浩二さんの本もたまには少し面白い話が書いてありますね。 log(1 + x) のテイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを直接証明することはできますか？
347:１３２人目の素数さん
19/09/20 23:51:47.29 hsSbNxkM.net
>>330,331
エレガントな解答だねぇ！
>>330だけ見るとなんか騙されたような気がするが、>>331で確かに
任意のyで f(y)-f(x)=(y-x)k(x,y) が成立すると納得できるから、yを f(x)で
置き換えれば >>330の最終行にたどり着く。脱帽ですわ。
348:１３２人目の素数さん
19/09/21 00:54:31.79 IjxPpYcG.net
n=1,2,...に対し以下の性質を全て持つ数列{a[n]}は存在しないことを示せ。
・a[1]=2019
・a[i]が平方数にならないiはちょうど2019個存在する。
・a[n]は、ある自然数k,mを用いて、漸化式a[n+1]=k*a[n]+mにより定義される。
349:１３２人目の素数さん
19/09/21 08:13:18.61 dEbTGUzo.net
>>333
>>>330だけ見るとなんか騙されたような気がするが
y-x=1y-x
1: unit in R[x]
350:１３２人目の素数さん
19/09/21 08:28:14.11 qE49Gx3j.net
コーシー型の剰余項であれば直接いける
ラグランジュ剰余項では難しい
351:１３２人目の素数さん
19/09/21 09:14:50.60 hwVO0I+s.net
>>335
そうだね。xを任意の定数とみなして、h(y)=f(y)-f(x)
とおけば理解しやすいかも。
352:１３２人目の素数さん
19/09/21 10:35:15.60 BZPddrKH.net
多角形の内角の和の公式(n-2)πに対応するような多面体の公式ってあるのですか？
353:１３２人目の素数さん
19/09/21 14:07:04.20 LiJHWV62.net
4面体に分割して計算してみなよ
354:１３２人目の素数さん
19/09/21 14:51:34.12 Nou2F8U6.net
>>336
そうかなぁ…
355:１３２人目の素数さん
19/09/21 15:31:08.42 Nou2F8U6.net
>>336
-1 < x < 0 < θ < 1 から
1+θx > 1-θ > 0 かつ 1+θx > 1+x > 0,
f(x) = log(1+x),
| f^(n)(θx) | = (n-1)! /(1+θx)^n < (n-1)! /[(1+x)(1-θ)^(n-1)],
∴ コーシー剰余は
| R_n | = {1/(n-1)!} |f^(n)(θx) (1-θ)^(n-1) x^n |
< |x|^n /(1+x) → 0 (n→∞)
でござったか。。。。
356:１３２人目の素数さん
19/09/21 18:35:15.29 IjxPpYcG.net
f(x)=sin(x)に対し、関数g(x)とh(x)を
g[1](x)=f(x), g[n+1](x)=f(g[n](x))
h[1](x)=f(x), h[n+1](x)=g[n](f(x))
と定める。
aを実数とするとき、以下の極限を求めよ。
lim[n to infty] g[n](a)/h[n](a)
357:１３２人目の素数さん
19/09/21 18:50:26.89 qux9pKZS.net
wwwww
358:１３２人目の素数さん
19/09/21 19:11:38.99 Hes6utyS.net
ワッチョイ、IP表示議論スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
359:１３２人目の素数さん
19/09/21 19:52:45.40 KmyPVGxc.net
この関数のxでの微分を教えていただけないでしょうか？
項が3つあって苦戦してます。できれば過程も書いていただけると助かります。
f(x)＝(x^n)(1-2x)(1-x)^n
360:１３２人目の素数さん
19/09/21 19:57:34.63 IjxPpYcG.net
>>345
ありがたく思え
f(x)＝(x^n)(1-2x)(1-x)^n
g(x)＝(x^n)(1-2x)
h(x)＝(1-x)^n
とおき
f'=g'h+gh'を計算
361:１３２人目の素数さん
19/09/21 20:10:29.58 68nIIoFy.net
皆さんの力を借りたいのですが
1×10²-1×x²-1×(10-x)²=42
という2次方程式があ�
362:ﾁてこれを解くと x²-10x+21=0 (x-3)(x-7) x=3,x=7 と解説集に書いてあるんですけど 何度解いても -x²+10x-21 にしかなりません。 途中式も入れて解いていただけませんでしょうか？
363:１３２人目の素数さん
19/09/21 20:26:33.11 hlT9IPEA.net
マイナスかけるとどうなりますか？
364:１３２人目の素数さん
19/09/21 20:29:00.00 /ftrAkBb.net
>>345
f(x)＝(x^n)(1-2x)(1-x)^n
3つの関数の積の微分は2関数の積の微分公式から導けて
(fgh)'=(fg)'h+fgh'=(f'g+fg')h+fgh'
=f'gh+fg'h+fgh'
=fgh*[(f'/f)+(g'/g)+(h'/h)]
よって
f'=f(x)*[(n/x)-(2/1-2x)-(n/1-x)]
365:イナ
19/09/21 20:57:56.74 B4gVoq8n.net
前>>228
>>347
1×10^2-1×x^2-1×(10-x)^2=42
10^2-x^2-(10-x)^2=42
100-x^2-(100-20x+x^2)=42
-x^2+20x-x^2=42
2x^2-20x+42=0
x^2-10x+21=0
(x-3)(x-7)=0
∴x=3,7
366:１３２人目の素数さん
19/09/22 01:33:50.20 R1QLTtDK.net
∫ f(x)dx = ∫{x(1-x)}^n (1-2x)dx
= ∫{x(1-x)}^n {x(1-x)}' dx
= ∫ y^n dy
= 1/(n+1) y^(n+1) + c,
367:１３２人目の素数さん
19/09/22 01:38:31.56 6SggPwQ6.net
これって確か阪大のπの無理性の問題かな？
368:１３２人目の素数さん
19/09/22 01:44:43.09 6SggPwQ6.net
あれははっきり言って相当難しいので3関数の積の微分ができない人が触らないほうがいいと思うけど。部分積分漸化式の単純計算ものでは多分一番難しいまである
369:１３２人目の素数さん
19/09/22 02:32:13.42 R1QLTtDK.net
区間[0,1] でn-1次以下のすべての多項式と直交する、n次の多項式は？
ルジャンドルの多項式
P_n(x) = (-1)^n･(1/n!)･(d/dx)^n {x(1-x)}^n,
・参考書
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
§36．Legendreの球函数 p.119～122
370:１３２人目の素数さん
19/09/22 02:37:33.92 R1QLTtDK.net
>>342
g_[n](x) = f(f(…f(x)…)) = h_[n](x)
n個
371:１３２人目の素数さん
19/09/22 13:24:40.03 2TbS0DPZ.net
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
以下の問題の川平さんの解答ですが、非常に長いものになっています。
関数 g(z), h(z) は点 α を含む領域上の正則関数とし、条件
g(α) ≠ 0
h(α) = 0
h'(α) ≠ 0
をみたすものとする。
このとき、点 α は関数 g(z) / h(z) の1位の極であることを示せ。
372:１３２人目の素数さん
19/09/22 13:25:01.63 2TbS0DPZ.net
以下の簡単な解答でOKだと思いますがどうでしょうか？
解答：
関数 h(z) は点 α を含む領域上の正則関数であるから、 α の近くで、
h(z) = a_0 + a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …
とべき級数展開できる。
0 = h(α) = a_0
であり、
h'(z) = a_1 + 2 * a_2 * (z - α) + …
0 ≠ h'(α) = a_1
であるから、
α の近くで、
h(z) = a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …
a_1 ≠ 0
である。
h(z) = (z - α) * [a_1 + a_2 * (z - α) + …]
である。
f(z) := a_1 + a_2 * (z - α) + …
は
点 α を含む領域上の正則関数であり、 f(α) ≠ 0 であるから、
g(z) / f(z)
も点 α を含む領域上の正則関数である。よって、 α の近くで、
g(z) / f(z) = b_0 + b_1 * (z - α) + b_2 * (z - α)^2 + …
とべき級数展開できる。
373:１３２人目の素数さん
19/09/22 13:25:17.81 2TbS0DPZ.net
g(z) / h(z)
=
(1 / (z - α)) * [b_0 + b_1 * (z - α) + b_2 * (z - α)^2 + …]
=
b_0 / (z - α) + b_1 + b_2 * (z - α) + …
は
g(z) / h(z)
のローラン展開であり、明らかに点 α は関数 g(z) / h(z) の1位の極である。
374:１３２人目の素数さん
19/09/22 13:58:50.34 EoeHDgMX.net
任意の実数x,yに対して f(x)f(y)=f(xy)を満たす関数はf(x)=x^t のようなべき関数だけですか？
375:１３２人目の素数さん
19/09/22 14:14:45.70 2TbS0DPZ.net
あ、よく考えたら、
川平さんの本では、べき級数の話は付録に登場するだけでした。
べき級数で表される関数が正則であることは証明されていませんね。
376:１３２人目の素数さん
19/09/22 14:15:06.03 31uqPWEp.net
Cn H 2nの構造異性体の種類ってどうやって数え上げるんでしょうか。
377:１３２人目の素数さん
19/09/22 14:16:10.83 2TbS0DPZ.net
べき級数で表される関数が正則であること
を使わないで証明するとすると面倒なことになりますね。
378:１３２人目の素数さん
19/09/22 14:56:46.83 BxpI4hgl.net
>>359
f(x)=0も明らかに解だがf(x)≠x^t
379:１３２人目の素数さん
19/09/22 16:00:09.63 5/gTi6Eo.net
>>361
Cが輪になって繋がって2本ずつHがくっついてるとしたとき
nがものすごく多かったら自由度高くなってノットにできるよねたぶん
380:１３２人目の素数さん
19/09/22 16:18:08.32 R1QLTtDK.net
f(x)=|x| や f(x)=sign(x) も明らかに解だが f(x)≠x^t
381:１３２人目の素数さん
19/09/22 16:33:18.30 R1QLTtDK.net
f(x)=|sign(x)| = sign(|x|) も明らかに解だが f(x)=lim[t→0] |x|^t
f(x) = 1 (x≠0)
f(0) = 0
382:１３２人目の素数さん
19/09/22 19:23:46.13 IEsPGzp4.net
これ模範解答は極座標でパラメータ表示で解いてたんですが
どなたか腕自慢の方
zをz=a+biのパラメータで表示して計算、あるいはωでzを表示してzの範囲に代入して解けませんか？
その方針で時間掛けて撃沈して悔しいのですが無理筋なのでしょうか？
偏角45°で条件の表示がそう難しくないので座標で取り掛かるのも普通の発送に思えるのですが。求積ですし
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
383:１３２人目の素数さん
19/09/22 19:40:43.96 5/gTi6Eo.net
>>367
>偏角45°で条件の表示がそう難しくないので座標で取り掛かるのも普通の発送に思える
思えん
384:１３２人目の素数さん
19/09/22 19:46:45.34 t7HDrkS3.net
かなり無理筋では
複素数見るとすぐ成分分けちゃう人多いけど、よくないと思う
385:１３２人目の素数さん
19/09/22 19:48:00.03 jPNqfDPl.net
>>367
|z|を固定してarg zだけ変化させると楕円の一部でr:1→2の時、少しずつ膨らんで行く様子を調べれば元の領域の境界の写り先がwの範囲の境界になる事を頑張って示せばいいんじゃない？
境界の写り先は双曲線と楕円と|z|=1の写り先はぺちゃんと潰れちゃうし。
386:１３２人目の素数さん
19/09/22 20:00:58.40 ODquhjjv.net
１－1/2＋1/3－1/4＋1/5－1/6＋…＝log2となりますが、
この数列を並び替えるとことによって全ての項を足し算にできます。
ㅤㅤㅤㅤㅤ
＝（１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋…)－２(1/2＋1/4＋1/6＋…)
＝（１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋…)－(1＋1/2＋1/3＋…)
＝1/4＋1/5＋1/6＋1/7＋1/8＋1/9＋…
となって無限級数となり発散してしまいます。これは不思議ではないですか？
387:１３２人目の素数さん
19/09/22 20:15:42.07 Rx/KlQ5n.net
絶対収束しない級数は足す順番を変えるとどんな値にも収束するようにできる
有名な定理です
388:１３２人目の素数さん
19/09/22 20:40:26.70 2TbS0DPZ.net
>>371
全然不思議じゃないです。
任意の実数に収束させることができます。
+∞, -∞ に発散させることもできます。
389:１３２人目の素数さん
19/09/22 20:40:58.97 2TbS0DPZ.net
以下のリーマンの定理が演習問題にあります。
f(z) = … + a_{-2} / (z - α)^2 + a_{-1} / (z - α) + a_0 + a_{1} * (z - α) + a_{2} * (z - α)^2 + …
と書いてみれば、
lim_{z → α} |a_{-n} / (z - α)^n| = +∞
なので明らかであるようにも見えます。
この線で、リーマンの定理を証明できませんか？
ちなみに、川平さんの解答では、 ML不等式を使って分かりやすく証明しています。
リーマンの定理：
関数 f(z) が穴あき円板 D = {z ∈ C | 0 < |z - α| < R} 上で正則かつ有界であるとき、
α は f(z) の除去可能な特異点であることを示せ。
390:１３２人目の素数さん
19/09/22 21:00:29.30 R1QLTtDK.net
>>367
第 ３ 問
複素数zが 1≦|z|≦2 かつ -π/4 ≦ arg(z) ≦ π/4 を満たして動くとき、
複素数 w = z + 1/z の表わす点w が複素数平面上で動く領域の面積�
391:≠ﾟよ。
392:１３２人目の素数さん
19/09/22 21:05:39.44 3zTi2ukI.net
○○を示せっていう定理初めて見たわ
393:１３２人目の素数さん
19/09/22 21:07:07.43 R1QLTtDK.net
arg(z) = θ, 1≦|z|≦2 のとき、zの像 w=u+iv は
双曲線 v = ±(sinθ）√{(u/cosθ)^2 -4} のうち 2cosθ≦u≦(5/2)cosθ の部分。
θ=±π/4： v = ±√(uu-2),
S(双) =∫v du =∫[√2, 5/(2√2)] 2√(uu-2) du = 15/8 - 2log(2) = 0.48870563888
|z|=r, -π/4≦arg(z)≦π/4 のとき、zの像 w=u+iv は
楕円 ｖ ＝ ±(r-1/r)√{1 - [u/(r+1/r)]^2} のうち (r+1/r)/√2 ≦u≦(r+1/r) の部分
r=1： v = 0, √2 ≦ u ≦ 2 ････ 潰れる。
r=2： v = ±(3/2)√{1 - (2u/5)^2},
S(楕) =∫v du =∫[5/(2√2),5/2] 3√{1-(2u/5)^2} du = (15/16)(π-2) = 1.07024311274
以上から
S = S(双) + S(楕) = (15/16)π - 2log(2) = 1.55894875162
394:１３２人目の素数さん
19/09/22 21:27:45.21 IEsPGzp4.net
極座標でのやり方はわかるので
直交座標でやり方教えてもらえませんか…
395:１３２人目の素数さん
19/09/22 21:39:12.55 Rx/KlQ5n.net
無理だと思いますよめんどくさくて
396:１３２人目の素数さん
19/09/22 21:40:52.12 jPNqfDPl.net
うん、極座標も使いこなせないで大学で勉強する資格ありません。
397:１３２人目の素数さん
19/09/22 21:43:04.85 5/gTi6Eo.net
>>378
ばかばかしい無理筋につきあえんってことでは
398:１３２人目の素数さん
19/09/22 21:45:08.76 IEsPGzp4.net
>>381
そうですか…ありがとうございます。
399:１３２人目の素数さん
19/09/22 21:50:19.25 ZtfehjEE.net
言うほど無理筋でもなくね？解けるっしょ。面倒だけど
400:１３２人目の素数さん
19/09/22 22:13:00.61 fnPOGvIS.net
永田の可換体論 p.37 の定理1.7.7 の証明に
Rの組成列 R=M0 ⊃ M1 ⊃ ... ⊃ Mn = 0 をとると,
各 M{i-1}/Mi は R/m (ある極大イデアルmにより) に R 加群として同型. ...
(前後文脈は URLﾘﾝｸ(i.imgur.com) にて)
とあるのですが、なぜこうなるのか分かりません。誰か解説お願いします。
流れ的に Jordan-Hölder-Schreierの定理 (一つ前の定理1.7.6 で証明しています)
の使うのかと思ったのですが、ちょっと分かりませんでした。
401:１３２人目の素数さん
19/09/22 22:42:57.85 jPNqfDPl.net
M[i+1] が M[i] の極大部分加群ならその商加群は単純加群、すなわち0と自分自身しか部分加群を持たない。
一方でNを単純加群、x∈Nを0でない元とするとxRはNの0でない部分加群だからN全体に一致。
この時p={r∈R | xr=0}とおく時NはR/pに同型でpは極大イデアル。
402:１３２人目の素数さん
19/09/22 23:18:34.30 fnPOGvIS.net
>>385 ありがとうございます理解できました。
準同型写像 f: R → N, f(a) := ax とすると
R/ker.f ≃ im.f = N , p = ker.f は極大イデアル
403:１３２人目の素数さん
19/09/22 23:19:33.07 2TbS0DPZ.net
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
以下の演習問題があります。
「
関数 f(z) は穴あき円板 D = {z ∈C | 0 < |z - α| < R} 上で正則であり、 α は f(z) の除去可能特異点であるとする。
このとき、ある D(α, r) 上の正則関数 g(z) で、 D 上 g(z) = f(z) をみたすようなものが存在することを示せ。
」
これは非常に簡単な問題ですが、べき級数の理論を使わない川平さんの解答は恐ろしく長いです。
以下のように、ほぼ自明な問題であるにもかかわらずです。
z ∈ D とする。
f(z) = a_0 + a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …
とローラン展開できる。
g(z) := f(z) if z ∈ D
g(z) := a_0 if z = α
で定義される D(α, R) 上の関数 g(z) は D(α, R) 上の正則関数である。
あと、
「
このとき、ある D(α, r) 上の正則関数 g(z) で
」
と書いてありますが、明らかに、
「
このとき、 D(α, R) 上の正則関数 g(z) で
」
としたほうがいいですよね？
404:１３２人目の素数さん
19/09/22 23:34:45.15 5/gTi6Eo.net
>>383
三角関数使わずやって
405:１３２人目の素数さん
2019/09/23(月
406:) 00:12:06.97 ID:A7N0CIWQ.net
407:１３２人目の素数さん
19/09/23 00:24:37.92 A7N0CIWQ.net
複素平面上の円弧C：
|z|=1かつθ≤arg(z)≤(θ+π/4)
上の点P(z)を、
u=z^2-2z
により点Q(u)に移す。
PがC上を動くとき、Qが動いてできる図形をKとする。
Kの長さを最大にする実数θを求めよ。ただし0≤θ<2πとする。
408:１３２人目の素数さん
19/09/23 00:26:21.65 2PqEJji0.net
>>378
では極座標でのやり方を…
|w|=R, arg(w)=φ とおくと、領域の像 w=R･e^(iφ) は
(双曲線) (楕円)
1/{(2cosφ/5)^2 + (2sinφ/3)^2} ≦ RR ≦ 2/cos(2φ),
ただし -φ｡ ≦ φ ≦ φ｡ = arctan(3/5),
S = ∫[-φ｡,φ｡] (1/2)RR dφ = ∫[0,φ｡] RR dφ だから
S(双) = ∫[0,φ｡] 2/cos(2φ) dφ = [ log{(1+tanφ)/(1-tanφ)} ] = 2 log(2),
S(楕) = ∫[0,φ｡] 1/{(2cosφ/5)^2 + (2sinφ/3)^2} dφ
= [ (15/4)arctan((5/3)tanφ) ] = (15/16)π,
S = S(楕) - S(双) = (15/16)π - 2 log(2) = 1.55894875162
409:１３２人目の素数さん
19/09/23 02:40:14.39 2PqEJji0.net
>>390
arg(z) = θ とし、
|z|=1 かつ α≦θ≦α+π/4 としよう。
z = e^(iθ),
|dz| = dθ,
また
u = zz -2z,
du/dz = 2(z-1),
|du| = 4 sin(θ/2) dθ
よって
(Kの長さ) =∫[α,α+π/4] |du|
=∫[α,α+π/4] 4 sin(θ/2) dθ
= 8{cos(α/2) - cos((α+π/4)/2)}
= 16 sin(π/16) sin((α+π/8)/2) (←和積公式)
≦ 16 sin(π/16)
= 3.121445152258
等号は α = 7π/8 のとき。
なお、uの軌跡Kは外サイクロイドの一部。
半径1の円Cが単位円に外接しながら滑らずに回るときのC上の１点の軌跡。
(周長:16, 面積:5π)
410:１３２人目の素数さん
19/09/23 02:48:54.94 9Vgp41xb.net
整式を二次式で割ると余りが一次式以下になる理由を説明してくれ
411:１３２人目の素数さん
19/09/23 03:47:15.58 p793zTBd.net
それは定理として証明されるべきものであるが、
普通の学校では当たり前のように（或いは、剰余を求めるやり方を教えるだけで）扱われている。
一般的には2次に限らず、体上の一変数多項式の除法として次数に関する帰納法で証明される。
412:１３２人目の素数さん
19/09/23 04:00:10.17 MpXoKD+u.net
>>394
わからないんですね
>>393
整式を整式で割るとはどのようなことをいうんでしたっけ？
413:１３２人目の素数さん
19/09/23 06:49:06.52 W7ZgngZu.net
>>394
どのように帰納法を用いて証明するのでしょうか？
414:１３２人目の素数さん
19/09/23 07:05:06.49 0DKwDLFQ.net
>>396
aｘ+b ÷ cx^2+dx+e = 0 ,,, ax+b
からかなあ
415:１３２人目の素数さん
19/09/23 09:37:19.86 p793zTBd.net
>>396
わからないんですか
416:１３２人目の素数さん
19/09/23 09:53:14.60 yWAc5lh5.net
>>398
>>393の回答はわかりますが、帰納法を用いた解法はわかりません
417:１３２人目の素数さん
19/09/23 10:22:22.13 p793zTBd.net
わからんかあ、大変だな
418:１３２人目の素数さん
19/09/23 11:40:34.82 5zt0Ts7e.net
整式A,B,Q,Rに関して、
A=BQ+R
が成り立つとする。
このとき、Bの最高次の項がax^n、Rの最高次の項がbx^n
であるとす�
419:黷ﾎ、 R’＝R- B(b/a) とおくと、n次の項が消えて、R’はたかだか n -1次の整式になり、 A=BQ+R =B{Q+(b/a)}+R’ =BQ’+R’ となり、余りR’はn-1次以下の整式になる。 Rの次数がnより大きいときは、Rの最高次の項をcx^m (m>n)とおいて、 R’=R- B(c/a)x^(m-n) とおけば、R’はRより次数が少なくとも1減って、 A=B(Q+(c/a)x^(m-n))+R’と書ける。 これを繰り返せば、最終的に余りの次数はn-1以下になる。 みたいな直感的に当たり前のことを、形式を整えてやればよいのでは？
420:１３２人目の素数さん
19/09/23 13:22:58.92 CqC5K4Zi.net
>>393
「なる」じゃなく「そうできる」だよ
証明は背理法で簡単
421:１３２人目の素数さん
19/09/23 13:32:10.46 0DKwDLFQ.net
>>402
えー
あまりの定義があんまりじゃんそれじゃ
422:１３２人目の素数さん
19/09/23 13:50:29.14 WoCjHxgi.net
あまりの定義なんだと思ってます？
x^2=0*x+x^2だから、x^2をxで割った余りはx^2になるでしょうか
423:１３２人目の素数さん
19/09/23 14:31:14.98 A7N0CIWQ.net
√(x^4+1)をxで割った余りは定義できる？
424:１３２人目の素数さん
19/09/23 14:37:40.12 MpXoKD+u.net
整式の割り算しか考えませんよね
425:１３２人目の素数さん
19/09/23 14:50:52.19 qVF76R2H.net
三角形ABCの頂点Aを底辺BCに平行に動かし、二等辺三角形にする．
この二等辺三角形の底角をB'とするときtanB'をtanBとtanCで表せ
426:１３２人目の素数さん
19/09/23 16:58:32.34 2PqEJji0.net
高さ (頂点Aと底辺BCの距離） をhとする。
2h/tan(B') = h/tan(B) + h/tan(C)
427:１３２人目の素数さん
19/09/23 17:16:35.87 2PqEJji0.net
>>372
正項だけからなる部分列と負項だけからなる部分列に分ける。
部分和S_nが目標値αより低いときは正項(未使用)を取り出してS_nに加え、
目標値αより高いときは負項(未使用)を取り出してS_nに加える。
正項ばかり取ると+∞に発散し、負項ばかり取ると-∞に発散するので
正項も負項も無数に含むはず。
∴ n→∞ のとき目標値αとの差 < ε となる。
428:１３２人目の素数さん
19/09/23 17:20:55.37 0DKwDLFQ.net
>>405
√3を√2で割ったあまりは？
429:１３２人目の素数さん
19/09/23 17:21:34.26 2PqEJji0.net
>>366 下 は xがある整域の元の場合に成り立つ。
430:１３２人目の素数さん
19/09/23 18:03:17.27 5zt0Ts7e.net
>>403
A,B,Q,Rを整式とするとき、A=BQ+RとおけるようなRのうち、
次数が最小のものをA/Bの余りとする、でいいんじゃね？
>>401に倣ってやれば、背理法で簡単にBの次数より小さく
なることが証明できる。
431:１３２人目の素数さん
19/09/23 19:00:07.30 3W6wuIwm.net
留数について質問です。
f(z) は {z ∈ C | 0 < |z - α| < R} を含む領域上で正則であるとする。
という仮定をしますが、
なぜ、
f(z) は {z ∈ C | R_1 < |z - α| < R_2} を含む領域上で正則であるとする。
という仮定はしないのでしょうか？
432:１３２人目の素数さん
19/09/23 19:33:37.24 zMUkBuAG.net
z=αについての留数を考えたいんですよね？
433:１３２人目の素数さん
19/09/23 20:39:55.89 3W6wuIwm.net
>>414
そうです。
f(z) が {z ∈ C | R_1 < |z - α| < R_2} を含む領域上で正則であるとき、ローラン展開できます。
したがって、 1/(z - α) の係数 A_{-1} も定まります。
この場合にも、留数を A_{-1} として定義しないのはなぜか？という質問です。
434:１３２人目の素数さん
19/09/23 20:49:27.41 MpXoKD+u.net
留数便利なのは特異点の場合だからじゃないですか？
435:１３２人目の素数さん
19/09/23 20:57:16.53 TTGN/es1.net
x^2 +y^2−4x = 0について、(1) dy/dx (2) d(dy/dx)/dx を各々求めよ
という問題で(2)がわかりません
よろしくお願いします
436:１３２人目の素数さん
19/09/23 21:22:54.51 A7N0CIWQ.net
>>417
(dy/dx)=fとおけばdf/dxで普通の1変数の微分
分からないのはこれ？これじゃない？
437:１３２人目の素数さん
19/09/23 22:00:13.33 Gv40h2lR.net
x^2+y^2-4x=0
をxで微分
2x +2y y' - 4 = 0
もう一回
2 + 2y' y' + 2y y'' = 0
をy', y''について解く。
438:１３２人目の素数さん
19/09/23 22:01:04.48 TTGN/es1.net
dy/dx=(2-x)/y
というのは分かったのですが
これをxで微分する方法がわかりません
439:１３２人目の素数さん
19/09/23 22:47:31.23 TTGN/es1.net
>>419
ありがとうございます
解いてみます
440:１３２人目の素数さん
19/09/23 23:15:11.55 0DKwDLFQ.net
>>420
ｙはｘの関数
商の微分法
441:１３２人目の素数さん
19/09/23 23:25:35.36 3gsZ810h.net
留数は特異点周りの展開じゃないと求めるのが難しいからねー
442:１３２人目の素数さん
19/09/24 00:33:37.31 Fg+1gKm2.net
正則なら留数は0よ
443:１３２人目の素数さん
19/09/24 04:29:01.43 CUDTSBu2.net
>>226 >>251 >>356 >>387
川平友規「入門 複素関数」裳華房 (2019/Feb)
240p．2640円
URLﾘﾝｸ(www.shokabo.co.jp)
444:１３２人目の素数さん
19/09/24 04:36:19.99 CUDTSBu2.net
>>226 >>251 >>356 >>387
著者のサポートページもある。。。
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
445:１３２人目の素数さん
19/09/24 20:03:14.13 Vm/sReoV.net
ホモロジー群についての質問なんですがr:X→A;レトラクト、i:X→A:包含写像であるとき
これらから導かれるホモロジー群間の準同型写像r_*,i_*について
(r*i)_*が全単射であるからi_*が単射とわかり
H_q(X)=Im(i_*)+ker(r_*)(+:直和)と分解されるとあったのですが何故ですか？
446:１３２人目の素数さん
19/09/24 20:06:49.34 Fg+1gKm2.net
ｒかiが逆
ri=1
r*i*=1
直和
447:１３２人目の素数さん
19/09/24 20:32:28.58 qOGR6zKw.net
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
∫_{-∞}^{∞} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)
という等式を示す例題があります。
その例題では、
lim_{R → ∞} ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)
を示しています。
本来示すべきは、
lim_{S → -∞, T → ∞} ∫_{S}^{T} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)
ですよね。
lim_{R → ∞} 2 * ∫_{0}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = lim_{R → ∞} ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)
lim_{R → ∞} ∫_{0}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = lim_{R → ∞} (1/2) * ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / (2 * sqrt(2))
なので、
lim_{S → -∞, T → ∞} ∫_{S}^{T} 1 / (1 + x^4) dx
=
π / sqrt(2)ですけど。
448:１３２人目の素数さん
19/09/24 21:50:07.42 dADp97g9.net
これなんや
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
449:１３２人目の素数さん
19/09/24 21:51:02.06 dADp97g9.net
更新したらなおった
450:１３２人目の素数さん
19/09/24 21:52:59.20 azlteW2t.net
普段くだらないことばっかり検索してるんでしょうね
451:１３２人目の素数さん
19/09/24 21:54:25.88 LxuOPHlJ.net
劣等感爺は普段エロサイトばっか見てそうなイメージ
452:１３２人目の素数さん
19/09/25 11:11:13.06 06qxxQQG.net
因数分解の問題で困っています。
x^3-174x-308=0
因数分解すると(x-14)(x^2+14x+22)=0で実数解は14のみ、となるんですけど、
いい因数分解の導き方が思いつかないので、あれば是非教えてほしいです。
(現状は308の約数を総当たりしてたまたま(x-14)で割れたので因数分解できたという感じです)
453:１３２人目の素数さん
19/09/25 11:40:31.69 c6fCLHL+.net
x(x^2-174)=2^2x7x11
整数解があるとすれば、308の約数でかつ偶数だが4の倍数ではない
ということはすぐにわかる。
整数解が正なら14以上20以下、負なら-13以上というのもちょっと
計算すればわかる。
この条件を満たす整数は-2か14しかないので、代入すれば14が解
だとわかる。
454:１３２人目の素数さん
19/09/25 11:48:45.65 2DynOJ9P.net
>>434
整数解があるなら偶数だからそれを2aとすると2a^3-87a-77=0
これに整数解があるとすると±7か±11
変形するとa(2a^2-87)=7*11
aが±7か±11だからa^2は49か121
2a^2-87が±7か±11になるのはaが±7のときでそ
455:のとき2a^2-87は11だからaは7 元の方程式の整数解は14 2a^3-87a-77=0にしたあとは計算速くない人でもしらみつぶしで十分かも知れない ±11がダメなのはきちんと計算しなくてもわかるので 計算速い人なら最初からしらみつぶしでいいような気もする 308の因数のうちほとんどはきちんと計算するまでもなく除外されるし
456:１３２人目の素数さん
19/09/25 15:37:52.34 c6fCLHL+.net
>>436
>変形するとa(2a^2-87)=7*11
>aが±7か±11だからa^2は49か121
変形したのはいいアイデアだと思う。けど、|a|の候補として
1と77があるのを忘れてないか？すぐ除外できるからいいけど。
457:イナ
19/09/25 15:38:24.86 II/2E/ez.net
>>434
308を素因数分解すると、
308=2^2×7×11
f(x)=x^3-174x-308とおくと、
f(2)＜0
f(7)＜0
f(11)＜0
困ったら微分、
f'(x)=3x^2-174=0
x^2-58=0
x=±√58
7＜√58＜8
f(14)=14･196-174･14-308
=14･22-308
=0
∴f(x)=(x-14)(x^2+14x+22)
f(x)=0のとき、
x=14,-7±3√3
458:１３２人目の素数さん
19/09/25 16:16:57.87 2DynOJ9P.net
>>437
失礼した
2a^3-87a-77=0にしたときに真っ先に除外して±7と±11に絞り込んだので書き込みをするときにそこから先しか思い出さなかったｗ
459:１３２人目の素数さん
19/09/25 18:24:09.64 akNlOjhH.net
xについての方程式
x^k+131x+377=0
が整数解を持つように自然数kを定めることができる。このことを示せ。
460:１３２人目の素数さん
19/09/25 18:24:22.67 HNtypll1.net
|x|>14 のとき
xx - 174 >22, |x(xx-174)| > 308 (不適)
0≦x≦13 のとき
xx-174 <0、x(xx-174) ≦ 0 < 308 (不適)
-11≦x≦-2 のとき
|x|(174-xx) > |x|(169-xx) = |x|(13-|x|)(13+|x|)
≧ 22(13+|x|) ≧ 22･15 = 330 > 308 (不適)
よって整数解は -14 ～ -12、-1、14 のどれか。
461:１３２人目の素数さん
19/09/25 18:45:34.29 HNtypll1.net
>>440
x^k + 131x は偶数....
462:１３２人目の素数さん
19/09/25 22:35:07.30 wSOrr1d0.net
数値間違ってる
463:１３２人目の素数さん
19/09/25 23:37:51.57 iXHFXXRG.net
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
第4章「留数定理」の章末問題に以下の問題があります。
a > 0 とする。
∫_{-∞}^{∞} x^4 / (x^2 + a^2)^4 dx
の値を求めよ。
定石通りに計算すれば、答えが求まりますが、
g(z) := z^4 / (z + a*i)^4
の3次導関数を計算しなければなりません。
g(z) を 1 / (z + a*i) についての4次多項式で表して、なんとか3次導関数を計算しましたが、
かなり苦労しました。
簡単に計算する方法はありますか？
464:１３２人目の素数さん
19/09/26 00:24:56.59 C1ckjksZ.net
>>441 (補足)
2≦|x|≦11 のとき
|x|(13-|x|) = 22 + (|x|-2)(11-|x|) ≧ 22,
13 + |x| ≧ 15,
465:１３２人目の素数さん
19/09/26 06:00:35.35 C1ckjksZ.net
>>429
複素関数を使って解こうという趣旨だけど、実数の範囲内でも解けなくはない。
1 + x^4 = (1+xx)^2 - 2xx
= (1 +x√2 +xx)(1 -x√2 +xx)
= {1 + (1+x√2)^2}{1 + (1-x√2)^2}/4,
1/(1+x^4) = 1/(4√2)・{(√2 +2x)/(1 +x√2 +xx) - (-√2 +2x)/(1 -x√2 +xx)}
+ (1/2)/{1 +(1 +x√2)^2} + (1/2)/{1 +(1 -x√2)^2},
と部分分数に分けて
∫1/(1+x^4) dx = 1/(4√2)・{log(1+x√2 +xx) - log(1 -x√2 +xx)}
+ 1/(2√2)・{arctan(1+x√2) - arctan(1-x√2)}
複素関数を使って解こうという趣旨だけど、実数の範囲内でも解けなくはない。
1 + x^4 = (1+xx)^2 - 2xx
= (1 +x√2 +xx)(1 -x√2 +xx)
= {1 + (1+x√2)^2}{1 + (1-x√2)^2}/4,
1/(1+x^4) = 1/(4√2)・{(√2 +2x)/(1 +x√2 +xx) - (-√2 +2x)/(1 -x√2 +xx)}
+ (1/2)/{1 +(1 +x√2)^2} + (1/2)/{1 +(1 -x√2)^2},
と部分分数に分けて
∫1/(1+x^4) dx = 1/(4√2)・{log(1+x√2 +xx) - log(1 -x√2 +xx)}
+ 1/(2√2)・{arctan(1+x√2) - arctan(1-x√2)}
= 1/(4√2)・log[(1+x√2 +xx)/(1 -x√2 +xx)]
+ 1/(2√2)・{arctan(1+x√2) - arxtan(1-x√2)},
466:１３２人目の素数さん
19/09/26 08:44:15.33 5gF5nnwS.net
>>446
お前には聞いてない
467:１３２人目の素数さん
19/09/26 08:45:09.90 fyrdE+fx.net
n次正方行列Aのi行j列成分(a_ij)は、任意のi,jに対して(a_ij)=iである。Aの逆行列を求めよ。
468:１３２人目の素数さん
19/09/26 10:52:40.05 GlcV
469:FFf+.net
470:１３２人目の素数さん
19/09/26 11:15:15.95 dCWRPC/m.net
結局>>449みたいな誇大性妄想がこの手のパーソナリティ障害の原因なんだよな
471:１３２人目の素数さん
19/09/26 16:33:05.96 GlcVFFf+.net
>>449
の問題を自力で解けたということは、もう既に、「玲瓏なる境地」に達していると考えていいですか？
472:１３２人目の素数さん
19/09/26 16:36:20.39 LIXAVVap.net
>>451
n次正方行列Aのi行j列成分(a_ij)は、任意のi,jに対して(a_ij)=iである。Aの逆行列を求めよ。
473:１３２人目の素数さん
19/09/26 16:39:09.57 4Px0Vv0P.net
バカなことが気に入ってんのね
474:１３２人目の素数さん
19/09/26 17:02:01.49 4CLAKCJ6.net
xについての方程式
x^k+2020x+3777=0
が整数解を持つように自然数kを定めることができる。このことを示せ。
475:１３２人目の素数さん
19/09/26 18:01:37.97 GlcVFFf+.net
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
∫_{-∞}^{∞} cos(x) / (1 + x^2)^2 dx
を計算せよ。
という問題を解きました。
怪しいなと思いつつ、まず以下の積分を考えました：
∫_{C} cos(z) / (1 + z^2)^2 dz
cos(z) = (exp(i * z) + exp(-i * z)) / 2
です。
|exp(i * z)| = exp(-y)
|exp(-i * z)| = exp(y)
ですので、普通に積分路を考えると 0 と評価したい積分が 0 と評価できません。
そこで、
∫_{C} exp(i * z) / (1 + z^2)^2 dz
を考えれば、
|exp(i * z)| = exp(-y)
ですから、 z の虚部が大きくなるような場所を通る積分路を考えれば、 0 と評価したい
積分を 0 と評価できそうです。
このような推理の結果、正解を得ることができました。
476:１３２人目の素数さん
19/09/26 18:02:41.75 SDysta5y.net
ここは分かった問題はここに書いてねスレではありません
477:１３２人目の素数さん
19/09/26 18:03:51.57 GlcVFFf+.net
あ、というか、 |exp(-y)| ≦ 1 for y ≧ 0 ですね。
478:１３２人目の素数さん
19/09/26 18:18:29.61 dCWRPC/m.net
だんだんやる事が狂人じみてきたな。
479:１３２人目の素数さん
19/09/26 18:29:03.05 C1ckjksZ.net
>>454
明らかに x<0,
{x^(k-1) + 2020}x + 3777 = 0
-x は 3777 = 3･1259 の約数だから 1, 3, 1259, 3777 のどれか。
x=-1 は (±1) -2020 +3777 >0 で不適。
x=-3, k≧8 のとき
|(-3)^(k-1) + 2020 | ≧ 8581 で不適。
∴ 1≦k≦7 に限るが････
x=-1259, x=-3777 も同様にチェックすればよい。
480:１３２人目の素数さん
19/09/26 19:50:47.52 DRyotKrW.net
ちょこっと計算して数が合ってると「玲瓏なる境地」に達しているとうぬぼれながら、解析接続すら理解できていないバカですからね。
それにこの人間性じゃ受け入れ先も全くないでしょう。
481:１３２人目の素数さん
19/09/26 19:58:11.08 MjpoubhI.net
質問を要約すると「私は結構すごいか？」なんだよなこいつ
482:１３２人目の素数さん
19/09/26 20:31:29.80 gwG4h4fj.net
Prelude> [(x, (log $ abs $ 2020*x +3777)/(log $ abs $ x))|x<-[-3777..(-1)],mod 3777 (truncate x) == 0]
[(-3777.0,1.9239587674094412),(-1259.0,2.0660253126666084),(-3.0,7.039103536612637),(-1.0,Infinity)]
483:１３２人目の素数さん
19/09/27 00:24:14.68 /3Jx9pWE.net
一様連続とリプシッツ連続の違いを教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いいたします。
484:１３２人目の素数さん
19/09/27 11:36:52.90 zzTN9ON+.net
見た通り
485:１３２人目の素数さん
19/09/27 15:11:06.77 vDSFDVnB.net
すみません、以下画像の問題ですが、なぜ答えが
k=1、k=－2ではなくk=－1、k=2になるのでしょうか。
また、3で割って～の部分なのですがなぜ3でわるのでしょうか…。ご教示ください。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
486:１３２人目の素数さん
19/09/27 15:56:49.83 Xps6Dq3Z.net
>>465
(k+1)(k-2)=0 の解は k=-1,2 だから
487:１３２人目の素数さん
19/09/27 17:06:26.08 9HRz7WPo.net
>>465
前提として「ab=0ならばa=0またはb=0」ということを確認しておきます
3で割る部分は、3k^2-3k-6=0を3(k^2-k-2)=0と変形できるので3=0またはk^2-k-2=0ですが、3≠0なのでk^2-k-2=0です
k=-1,2の部分は、(k+1)(k-2)=0より k+1=0またはk-2=0、すなわちk=-1またはk=2となります
488:１３２人目の素数さん
19/09/27 17:50:29.64 vDSFDVnB.net
>>466
>>467
わかりました。ありがとうございます。
489:１３２人目の素数さん
19/09/27 18:20:42.89 hN1fpM5O.net
nを整数の定数とする。
自然数a,bに対し定義された2つの関数
f=f(a,b)=a/b
g=g(a,b)=(a+nb)/(a+b)
を考える。
（1）n=3のとき、任意の自然数a,bに対して、不等式
min(f,g)<√3<Max(f,g)…[A]
が成り立つことを示せ。
（2）任意の自然数a,bについて上記の不等式[A]を成り立たせるようなnは、n=3以外に存在するか。
490:１３２人目の素数さん
19/09/27 18:34:05.23 bTSzLqBs.net
√3が不動点になるのはn=3の時のみ
491:１３２人目の素数さん
19/09/27 20:03:52.28 yct95A6e.net
gをfで表せば割とシンプルな計算
492:１３２人目の素数さん
19/09/27 21:14:55.25 N/cfTNg/.net
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
E を 複素平面内のコンパクト集合とする。
E_r を E から r 以下の距離にある点全体の集合とする。
このとき、 E_r がコンパクト集合であることの証明を以下のように書いています。
「
E はコンパクト集合（すなわち、有界な閉集合）なので、十分に大きな R > 0 を選んで
E ⊂ D(0, R) とできる。任意の正の数 r > 0 に対し E_r ⊂ D(0, R + r) であるから、
E_r は有界である。また、 E_r の補集合は E 上の各点からの距離が r より真に大きな点
からなる集合であり、開集合となる。すなわち、 E_r は閉集合。よって、コンパクト集合
である。
」
「E_r の補集合は E 上の各点からの距離が r より真に大きな点からなる集合であり、開集合となる。」
↑これは自明じゃないですよね？
493:１３２人目の素数さん
19/09/27 21:15:18.66 N/cfTNg/.net
a ∈ C とする。
関数 f : C ∋ x → |x - a| ∈ R は、連続関数である。
証明：
x_0 ∈ C とする。
f(x) - f(x_0) = |x - a| - |x_0 - a| ≦ |x - x_0|
f(x_0) - f(x) = |x_0 - a| - |x - a| ≦ |x_0 - x|
∴ |f(x) - f(x_0)| ≦ |x - x_0|
任意の正の実数 ε に対して、 δ = ε とすれば、
|x - x_0| < δ ⇒ |f(x) - f(x_0)| ≦ |x - x_0| < δ = ε
が成り立つから、 f は連続関数である。
a ∈ C とする。
関数 g : E ∋ x → |x - a| ∈ R は、コンパクト集合 E 上の連続関数である。
よって、 g は E 上で最大値・最小値をとる。
x ∈ C とする。
dist(x, E) := min {|x - y| | y ∈ E}
と定義する。
494:１３２人目の素数さん
19/09/27 21:15:37.23 N/cfTNg/.net
C ∋ x → dist(x, E) ∈ R は連続関数である。
証明：
x, x_0 を任意の複素数とする。
任意の y ∈ E に対して、
dist(x, E) ≦ |x - y| ≦ |x - x_0| + |x_0 - y|
が成り立つ。
y_0 を
dist(x_0, E) = |x_0 - y_0|
を成り立させる E の元とする。
↑の不等式から、
dist(x, E) ≦ |x - y| ≦ |x - x_0| + |x_0 - y_0| = |x - x_0| + dist(x_0, E)
∴ dist(x, E) - dist(x_0, E) ≦ |x - x_0|
x と x_0 は任意だったから、
dist(x_0, E) - dist(x, E) ≦ |x - x_0|
も成り立つ。
∴ |dist(x, E) - dist(x_0, E)| ≦ |x - x_0|
任意の正の実数 ε に対して、 δ = ε とすれば、
|x - x_0| < δ ⇒|dist(x, E) - dist(x_0, E)| ≦ |x - x_0| < δ = ε
が成り立つから、 C ∋ x → dist(x, E) ∈ R は連続関数である。
495:１３２人目の素数さん
19/09/27 21:15:54.31 N/cfTNg/.net
E_r^C ∋ x_0 とする。
dist(x_0, E) > r
である。
C ∋ x → dist(x, E) ∈ R は連続関数であるから、
ε := dist(x_0, E) - r とおくと、
|x - x_0 | < δ ⇒ |dist(x, E) - dist(x_0, E)| < ε
を成り立たせるような正の実数 δ が存在する。
したがって、
|x - x_0 | < δ ⇒ dist(x_0, E) - dist(x, E) ≦ |dist(x, E) - dist(x_0, E)| < ε = dist(x_0, E) - r
が成り立つ。
|x - x_0 | < δ ⇒ r < dist(x, E)
が成り立つ。
∴ |x - x_0 | < δ ⇒ x ∈ E_r^C
よって、 x_0 は E_r^C の内点である。
以上より、
「E_r の補集合は E 上の各点からの距離が r より真に大きな点からなる集合であり、開集合となる。」
が証明された。
496:１３２人目の素数さん
19/09/27 22:31:56.96 Lda76+0D.net
面白そうな問題を拾ってきたんですけど解けなかったので力を借りに来ました
数字を1から順番に並べ、
(1/2)/{(3/4)/5}のように繁分数を作る。
ここでn個並べたときの最大値はいくつか？
497:１３２人目の素数さん
19/09/28 01:15:49.90 flE+CrWr.net
>>468
>>465 の画像から、k=-1 または k=2 の他に解はない。
kの値を2個まで絞り込むことはできた。
あとは、これらが題意をみたす (解の一つが3である) ことを言う。
k=-1 のとき
xx -4x +3 = (x-3)(x-1),
k=2 のとき
xx -7x +12 = (x-3)(x-4),
これから、k=-1 または k=2 になる。
∴ kの値は -1 または 2 である。
解答はしょり杉ぢゃね？