暇つぶし2chat MATH

- 暇つぶし2ch917:分配法則a(x+y)=ax+by　の繰り返しで行われるもの。 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd　の延長上にあるものに過ぎない。この二つの法則を使って(a+b)^nを展開したものを、整理したのが、二項定理として知られている。従って循環論法云々等というのは全くあたらない。二項定理を使って、出すことに、論理的な矛盾は無いが、もし、二項定理を使わずに、x^nの微分を求めたいと考えるなら、例えば、(1+x)^n=　1+nx+O(x^2)　と仮定し、数学的帰納法で正しいことを確かめ、それを使えばよい。 (1+x)^(n+1)=(1+x)(1+x)^n=(1+x)(1+nx+O(x^2))=1+nx+O(x^2)+x+nx^2+O(x^3)=1+(n+1)x+{O(x^2)+nx^2+O(x^3)} ((x+h)^n-x^n)/h　=　(x^n+nhx^(n-1)+O(h^2)-x^n)/h = nx^(n-1) + O(h^2)/h　→　nx^(n-1) 　　 (h→0)