暇つぶし2chat MATH

- 暇つぶし2ch828:＝(2k)Pk の約数となる。よって、各 i＝1,…,j に対して p_i の指数 q_i が定まり、或る M∈N＼{0} が存在して、(2k)Pk＝M[Π_{i=1,…,j}(p_i)^{q_i}] となる。また、各 i＝1,…,j に対して p_i の指数 r_i が定まり、k!＝Π_{i=1,…,j}(p_i)^{r_i} となる。仮定から ((2k)Pk)/(k!) は正整数ではないから、((2k)Pk)/(k!)＞0 から、((2k)Pk)/(k!) は正の有理数である。よって、或る 1≦i≦j なる正整数iが存在して、(p_i)^{r_i}＞(p_i)^{q_i}。しかし、2≦p_i＜k+1 だから、整数の大小関係から、(p_i)^{r_i}≦(p_i)^{q_i} であって矛盾する。この矛盾は 2≦k≦m-1 なる正整数k が存在して、mCk が正整数ではないとしたことから生じたから、背理法が適用出来る。そこで背理法を適用すると、mCk が正整数ではない正整数k 2≦k≦m-1 は存在しない。故に、任意の 2≦k≦m-1 なる正整数kに対して、mCk は正整数である。階乗と二項係数の各定義から mCm＝1∈N＼{0} だから、任意の 2≦k≦m なる正整数kに対して、mCk は正整数である。

次ページ