暇つぶし2chat MATH

- 暇つぶし2ch822:直疲れた。定義まではしていない。あと、打ち間違いはあるかも知れない。 [第１段]：nは2以上の正整数と仮定してよい。rは 2≦r≦n を満たす正整数と仮定してよい。そこで、nを2以上の正整数、かつrを 2≦r≦n を満たす正整数と仮定する。 A＝{1,…,n} とする。合計丁度1個の有限列 n、n-1、…、n-r+1 をBで表す。合計丁度1個の有限列 n-r+1、…、n-1、n をCで表す。合計丁度1個の有限列 1、2、…、r をDで表す。合計丁度1個の有限列Bは整数の大小関係について大きい方から順に、何れも相異なる合計丁度 1+(r-1)＝r 個の正整数 n、n-1、…、n-r+1 を重複を許さずに並べることで構成出来る。また、正整数の全体からなる集合 N＼{0} は正整数の積の二項演算×について閉じており可換な半群をなすから、任意の相異なる合計丁度r個の正整数の積は N＼{0} の点である。よって、n(n-1)(n-2)…(n-r+1)∈N＼{0}。 [第２段]：1)：r＜n のとき。階乗の定義から n! は相異なる合計丁度n個の正整数 1、2、…、r の積と見なせるから、同様に (n-r)!∈N＼{0}。ここに、0は自然数として考えている。 2)：r＝n のときは、階乗の定義から、(n-r)!＝0!＝1 だから、(n-r)!∈N＼{0}。 1)、2)から、(n-r)!∈N＼{0}。