19/10/14 11:09:29.81 X5yx4l1O.net
>>780
>nCrが自然数からnCr+1が自然数を導出する
無駄な証明だよそれ筋が悪い
810:１３２人目の素数さん
19/10/14 11:11:43.41 X5yx4l1O.net
ちなみに>>758は順列組合せ一切使っていない
単なるnからr個の数の積がr!で割り切れることの
nに関する帰納法の証明rは何でもよろしい
811:１３２人目の素数さん
19/10/14 11:38:41 NS93ZhhO.net
>>782
nCrが自然数だという前提なら、>>556は帰納法もクソもなく自明のことを
質問してるということになる。
そうじゃなくて、nCr=nPr/r!が自然数である（すなわちnPrがr!で割り切れる）
ことを、組み合わせの概念抜きに証明してくれという質問だと読み取るべき
なんじゃねーの？あんたおかしいよ。
812:１３２人目の素数さん
19/10/14 11:55:24.99 NS93ZhhO.net
>>783
おいおい、>>758を書いた本人に>>758を理解しろってどういうことだよｗ
負数の階乗が0になるのは高校数学では習わんのだから、しょうがないだろ。
それもいちいち証明しないといけないことになる。だとすれば、0≦r≦n
と限定してr=n+1の場合とn+1C0の場合について言及するしかない。
813:１３２人目の素数さん
19/10/14 11:56:42.37 NS93ZhhO.net
おっと、>>787
×負数の階乗が0になる
○負数の階乗の逆数が0になる
814:１３２人目の素数さん
19/10/14 12:05:35.36 X5yx4l1O.net
>>787
そうかすまんな
けれどnに関しては帰納法rに関しては任意という証明で
rが増えることについて特に言及は不要だろ
815:１３２人目の素数さん
19/10/14 12:08:21.11 X5yx4l1O.net
>>786
>nCrが自然数だという前提なら、>>556は帰納法もクソもなく自明のことを
>質問してるということになる。
それは違う
nPr=n…(n-r+1)
は前提の上で
nPrがr!であることを示して欲しいというものだと思うね
nPr=n…(n-r+1)は疑問ではないようだし
nPrは順列の数でそれは組合せの数であるnCrのr!倍となることは
自明ではないがそれほど難しいことでもない
nPr=n…(n-r+1)が自明であるというならそれとほぼ同等だが
ある程度の証明は必要にはなる事柄だろう
816:１３２人目の素数さん
19/10/14 12:13:52.86 X5yx4l1O.net
nPr=nCr・r!であるのは
{1,…,n}の部分集合のうちr個の要素数のものの全体の個数がnCrであり
その一つ一つについて並べたものが順列であって並べ方はr!通りあることから分かる
そのようにして構成した順列はお互い異なり
順列はすべてこのように構成できることから
nPr=nCr・r!
817:１３２人目の素数さん
19/10/14 12:19:51 X5yx4l1O.net
nPr=n…(n-r+1)は証明するべき事柄
nPr=nCr・r!も証明するべき事柄
いずれもそれほど難しくはないということでお仕舞い
それを最初から整数として定義されているnCrが整数であることを証明するとか筋が悪いことを言う人もいる
lim sinθ/θ=1をロピタルの定理で「証明」するなんてのもあるから筋の悪さの種は尽きないね
818:１３２人目の素数さん
19/10/14 12:52:56.13 lVQqfJbq.net
>>556
>>731-732
正直疲れた。
定義まではしていない。あと、打ち間違いはあるかも知れない。
[第１段]：nは2以上の正整数と仮定してよい。rは 2≦r≦n を満たす正整数と仮定してよい。
そこで、nを2以上の正整数、かつrを 2≦r≦n を満たす正整数と仮定する。
A＝{1,…,n} とする。
合計丁度1個の有限列 n、n-1、…、n-r+1 をBで表す。
合計丁度1個の有限列 n-r+1、…、n-1、n をCで表す。
合計丁度1個の有限列 1、2、…、r をDで表す。
合計丁度1個の有限列Bは整数の大小関係について大きい方から順に、
何れも相異なる合計丁度 1+(r-1)＝r 個の正整数 n、n-1、…、n-r+1 を重複を許さずに並べることで構成出来る。
また、正整数の全体からなる集合 N＼{0} は正整数の積の二項演算×について閉じており可換な半群をなすから、
任意の相異なる合計丁度r個の正整数の積は N＼{0} の点である。よって、n(n-1)(n-2)…(n-r+1)∈N＼{0}。
[第２段]：1)：r＜n のとき。階乗の定義から n! は相異なる合計丁度n個の正整数 1、2、…、r の積と見なせるから、
同様に (n-r)!∈N＼{0}。ここに、0は自然数として考えている。
2)：r＝n のときは、階乗の定義から、(n-r)!＝0!＝1 だから、(n-r)!∈N＼{0}。
1)、2)から、(n-r)!∈N＼{0}。
819:１３２人目の素数さん
19/10/14 12:56:33.36 lVQqfJbq.net
>>556
>>731-732
(>>793の続き)
[第３段]：階乗の定義から n!＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1)×(n-r)! だから、可換半群 N＼{0} の性質から同様に n!∈N＼{0}。
同様に階乗の定義から n(n-1)(n-2)…(n-r+1)＝(n!)/((n-r)!) だから、同様に (n!)/((n-r)!)∈N＼{0}。
相異なる合計丁度n個の点からなる有限集合Aに属する点の中から、
合計丁度r個の点を任意に重複を許さずに選んで並べて出来る有限列の総数は nPr と表されるから、
相異なる合計丁度n個の点からなる有限集合Aに属する点の中から
合計丁度r個の点を任意に重複を許さずに選ぶ方法の総数は nPr である。
故に、nPr＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1) から nPr＝(n!)/((n-r)!)。
[第４段]：合計丁度1個の有限列Cは、合計丁度1個の有限列Bの中に重複を許さずに表れる
相異なる合計丁度r個の正整数 n、n-1、…、n-r+1 に対して、
整数の大小関係について小さい方から順に並べることで構成出来る。
整数の大小関係について、合計丁度1個の有限列Cの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 n-r+1、…、n-1、n は
合計丁度1個の有限列Dの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 1、2、…、r の直後に続く正整数である。
よって n＝2r。
820:１３２人目の素数さん
19/10/14 12:58:49.09 lVQqfJbq.net
>>556
>>731-732
(>>794の続き)
[第５段]：mを自然数とする。xは文字とする。
1)：m＝0 のときは (1+x)^m＝(1+x)^0＝1。
階乗の定義から 0!＝1 だから、二項係数の定義から、1＝0C0。よって、(1+x)^0＝0C0。
2)：m＝1 のとき。同様に定義から 1C0＝(1!)/((0!)(1!))＝1、1C1＝(1!)/((1!)(0!))＝1 だから、
(1+x)^m つまり多項式 1+x は二項係数を用いて 1+x＝1C0＋1C1x と表される。
[第６段]：3)：m≧2 のとき。(1+x)^{m-1} を展開して、二項係数を用いて、
xについての昇ベキの順で表された多項式として表すと、
(1+x)^{m-1}＝Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k ) となる。よって、
(1+x)^m＝(1+x)(1+x)^{m-1}
＝(1+x)Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k )
＝Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k )＋Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^{k+1} )。
＝Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k )＋Σ_{k=1,…,m}( ((m-1)Ck)x^k} )。
また同様に、(1+x)^m を展開して、二項係数を用いて、
xについての昇ベキの順で表された多項式として表すと、
(1+x)^m＝Σ_{k=0,1,…,m}( (mCk)x^k ) となる。
故に、Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k )＋Σ_{k=1,…,m}( ((m-1)Ck)x^k} )＝Σ_{k=0,1,…,m}( (mCk)x^k )。
両辺で、定数項及び1以上m以下の各次数のxのベキ乗 x^k k＝deg(x)＝1,…,m の係数を見比べると、
漸化式 (m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝mCk m≧2 0≦k≦m-1 を得る。
[第７段]：得られた漸化式について、m＝1 とすると k＝0 となるから、二項係数の定義から、
(m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝0C0＋0C(-1)＝1+0＝1、mCk＝1C0＝1。
故に、漸化式 (m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝mCk m≧1 0≦k≦m-1 を得る。
821:１３２人目の素数さん
19/10/14 13:01:33.55 lVQqfJbq.net
>>556
>>731-732
(>>795の続き)
[第８段]： 1)：m＝2 のとき。Case1-1)：k＝0 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝1C0＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝1C(-1)＝0∈N。
Case1-2)：k＝1 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝1C1＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝1C0＝1∈N。
Case1-1)、Case1-2)から、1Ck∈N＼{0} k＝0,1、1C(k-1)∈N k＝0,1。
2)：m＝3 のとき。Case2-1)；k＝0 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝2C0＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝2C(-1)＝0∈N。
Case2-2)：k＝1 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝2C1＝(2!)/((1!)^2)＝2∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝2C0＝1∈N。
Case2-3)：k＝2 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝2C2＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝2C1＝2∈N。
Case2-1)、Case2-2)、Case2-3)から、2Ck∈N＼{0} k＝0,1,2、2C(k-1)∈N k＝0,1,2。
3)：m＝4 のとき。Case3-1)：k＝0 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝3C0＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝3C(-1)＝0∈N。
Case3-2)：k＝1 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝3C1＝(3!)/((1!)(2!))＝3∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝3C0＝1∈N。
Case3-3)：k＝2 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝3C2＝3C1＝3∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝3C1＝3∈N。
Case3-4)：k＝3 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝3C3＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝3C2＝3C1＝3∈N。
Case3-1)、Case3-2)、Case3-3)、Case3-4)から、3Ck∈N＼{0} k＝0,1,2,3、3C(k-1)∈N k＝0,1,2,3。
822:１３２人目の素数さん
19/10/14 13:04:11.89 lVQqfJbq.net
>>556
>>731-732
(>>796の続き)
mを4以上の正整数として、任意の 0≦k≦m-1 なる自然数kに対して、(m-1)Ck∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)∈N とする。
Case4-1)：k＝0 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝(m-1)C0＝((m-1)!)/((m-1)!)＝1 だから (m-1)C0∈N＼{0}。
同様に、(m-1)C(k-1)＝(m-1)C(-1)＝0 だから (m-1)C(-1)∈N。
Case4-2)：k≠0 のとき。
Case4-2-1)：k＝1 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝(m-1)C1＝((m-1)!)/((1!)(m-2)!)＝m-1 だから (m-1)C1∈N＼{0}。
同様に、(m-1)C(k-1)＝(m-1)C0＝1 だから (m-1)C0∈N。
823:１３２人目の素数さん
19/10/14 13:06:4
824:5.24 ID:lVQqfJbq.net
825:１３２人目の素数さん
19/10/14 13:12:55.85 lVQqfJbq.net
>>556
>>731-732
(>>798の続き)
或る 2≦k≦m-1 なる正整数kが存在して、mC(k-1) が自然数ではないとする。
正整数mは m≧4 を満たし、正整数kは 2≦k≦m を満たすから、
[第１段]から[第４段]までの議論で用いたn、rをそれぞれ m、kに置き換えて同様な議論を繰り返すことが出来る。
そこで、[第１段]から[第４段]までの議論におけるn、rをそれぞれ m、kに置き換えて同様な議論を繰り返すと、
m は m＝2k と表されることになる。よって、階乗と二項係数の各定義から、
mC(k-1)＝(m!)/( ( (k-1)! )( (m-k+1)! ) )＝((2k)!)/( ((k-1)!)((k+1)!) )＝( (2k)P(k+1) )/((k-1)!)。
有限列 1、…、k-1 を E' で表す。有限列 k、k+1、…、2k を F' で表す。
合計1個の有限列 E' の中に表れる合計丁度 k-1 個の相異なる整数 1、…、k-1 の中に表れる
すべての1または素数を (p_1)'、…、(p_{j'})' とする。
すると、整数の大小関係から、j' 個の1または素数 (p_1)'、…、(p_{j'})' はどれも丁度1個の有限列 F' の中に表れる
合計丁度 k+1 個の相異なる整数 k、k+1、…、2k のすべての積 k(k+1)…(2k)＝(2k)P(k+1) の約数となる。
よって、各 i＝1,…,j' に対して (p_i)' の指数 (q_i)' が定まり、
或る M'∈N＼{0} が存在して、(2k)P(k+1)＝M'[ Π_{i=1,…,j'}( ((p_i)')^{(q_i)'} ) ]。
また、各 i＝1,…,j' に対して (p_i)' の指数 (r_i)' が定まり、k!＝Π_{i=1,…,j'}( ((p_i)')^{(r_i)'} ) となる。
仮定から ((2k)P(k+1))/((k-1)!) は自然数ではないから、((2k)P(k+1))/((k-1)!)＞0 から、((2k)P(k+1))/((k-1)!) は正の有理数である。
826:１３２人目の素数さん
19/10/14 13:17:22.20 lVQqfJbq.net
>>556
>>731-732
(>>799の続き)
よって、或る 1≦i≦j' なる正整数iが存在して、((p_i)')^{(r_i)'}≧((p_i)')^{(q_i)'}。
しかし、(p_i)' は1または k-1 以下の素数だから、(p_i)' を素数とすると、
((p_i)')^{(r_i)'}＜((p_i)')^{(q_i)'} なることになって矛盾が生じることになる。
よって、(p_i)' は素数とはなり得ない。故に、(p_i)'＝1 となる。
有限列 E' に表れる最大の整数 k-1 について、k-1＝1 となるから、必ず k＝2 となる。
よって、2≦k≦m-1、m≧4 から、mの取り得る値は m＝3 であり m＝3 に限られる。
ところで、m＝3 はmを4以上の整数と仮定したことに反し矛盾する。
この矛盾は 2≦k≦m-1 なる正整数k が存在して、
mC(k-1) が自然数ではないとしたことから生じたから、背理法が適用出来る。
そこで、背理法を適用すると、mC(k-1) が正整数ではない正整数k 2≦k≦m-1 は存在しない。
故に、任意の 2≦k≦m-1 なる正整数kに対して、mC(k-1) は正整数である。
階乗と二項係数の各定義から mC(m-1)＝m∈N だから、
任意の 2≦k≦m なる正整数kに対して、mC(k-1) は自然数である。
Case4-2-1)、Case4-2-2)からmについての帰納法により、任意の 1≦k≦m-1 なる正整数kに対して、mCk∈N＼{0}、mC(k-1)∈N。 (Case4-2 終わり)
故に、Case4-1)、Case4-2)から、m≧4 のとき、任意の 0≦k≦m-1 なる自然数kに対して、(m-1)Ck∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)∈N。 ( 3) 終わり )
1)、2)、3)から、2以上の正整数mが任意に与えられたとき、
任意の 0≦k≦m-1 なる自然数kに対して、(m-1)Ck∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)∈N。 ( [第８段] 終わり )
827:１３２人目の素数さん
19/10/14 13:21:07.17 lVQqfJbq.net
>>556
>>731-732
(>>800の続き)
[第９段]：m＝1 のときは k＝0 となるから、階乗と二項係数の各定義から、(m-1)Ck＝0C0＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝0C(-1)＝0∈N。
故に、mを任意の正整数mとするとき、任意の 0≦k≦m-1 なる自然数kに対して、(m-1)Ck∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)∈N。
[第１０段]：N＼{0} は自然数の和＋の二項演算について閉じている可換半群Nの部分半群だから、
漸化式 (m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝mCk m≧1 0≦k≦m-1 から、
mを任意の正整数mとするとき、任意の 0≦k≦m なる自然数kに対して、mCk∈N＼{0}
[第１１段]：[第１段]から[第４段]の議論において、nは2以上の正整数、rは 2≦r≦n を満たす正整数としているから、
m＝n、k＝r とおけば、二項係数の定義及び nPr＝(n!)/((n-r)!) から、nCr＝(n!)/( (r!)((n-r)!) )＝(nPr)/(r!)∈N＼{0}。
故に、(r!)|(nPr)。
[第１２段]：任意の正整数mに対して、階乗と二項係数の各定義から、mC0＝mCm＝1。
故に、漸化式 (m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝mCk m≧1 0≦k≦m-1 を繰り返し用いると、
パスカルの三角形は存在して、パスカルの三角形は描けることになる。
828:１３２人目の素数さん
19/10/14 13:23:12.34 0oBLmHWw.net
>>769
答えて
829:１３２人目の素数さん
19/10/14 13:31:11.03 HjAoR3G9.net
>>769
全てのxに対してp(x)(が真)ならばq(x)(が真)である
あるxが存在してp(x)(が真)ならばq(x)(が真)である
830:
19/10/14 14:38:57 dBTMRIOi.net
>>801
つまり、Cの足し算に分ける漸化式使っただけなわけですよね
一行で説明できることを長々と書くのはバカだからですよ
半群だからーとか明らかにいらない言及してるのも知識自慢したいからとしか思えませんね
831:１３２人目の素数さん
19/10/14 14:48:43.53 lVQqfJbq.net
>>804
>つまり、Cの足し算に分ける漸化式使っただけなわけですよね
>一行で説明できることを長々と書く
あの～、そういう自明なことが成立する理由を説明しろと何回もいわれていて、その要望に応えて書いたんですが。
難癖は付けないでほしい。
832:ゲテモノ
19/10/14 15:24:13.62 0oBLmHWw.net
>>803
本当にありがとうございます。
833:767
19/10/14 15:34:43.33 cHIxRdsu.net
>>781
ありがとうございます！
834:１３２人目の素数さん
19/10/14 15:42:45.65 NS93ZhhO.net
>>789
>けれどnに関しては帰納法rに関しては任意
だ・か・ら、少なくとも高校数学の範囲では、0≦r≦nという条件つきで
しか定義できないんだから、rは任意にはできません。つまり、r=n+1の場合と、
r=0の場合については漸化式が適用できないので特別に言及が必要。
>>790
nPr/r!が自然数であることを証明するのと、nPrがr!で割り切れるということを
証明するのは同じことでしょ。そこが違うと言われたらなんにも言えんわ。
単純に nCr:=n!/(n-r)/r!, nPr:=n!/(n-r)! をそれぞれnCr,nPrの定義として
（つまり、「順列組合わせ」という概念抜きで）、nCrが自然数であるか、
nPrがr!で割り切れるかのどちらかが証明できればいいという話なんだと思うよ。
つまりnPr=n…(n-r+1)も、nPr=nCr・r!も単なる前提であって、>>556にとって
証明すべき事柄ではないはず。なので、あなたの指摘はまったく的ハズレ。
何度も言うけど、証明すべきは、「順列組み合わせという概念を使わず」に、
(nCr=)n!/(n-r)!/r!が整数であるか、(nPr=)n!/(n-r)!がn!で割り切れる
かのいずれかってことなんだと思うよ。
835:１３２人目の素数さん
19/10/14 17:31:19 X5yx4l1O.net
>>808
>だ・か・ら、少なくとも高校数学の範囲では、0≦r≦nという条件つきで
だからそのrの範囲は高校数学の範囲では自動的に決まるので特に言及する必要もなく
>>758の証明では
rに制限を与えない（r>nでもいい）証明になっているんだから
nに関する帰納法でrについては何でも良し
で仕舞いなの
>nPr/r!が自然数であることを証明するのと、nPrがr!で割り切れるということを
>証明するのは同じことでしょ。そこが違うと言われたらなんにも言えんわ。
それは同じですが？
そしてその証明が
nPr=nCr・r!
を示すことで与えられているって事だよ
>単純に nCr:=n!/(n-r)/r!, nPr:=n!/(n-r)! をそれぞれnCr,nPrの定義として
それは認識として間違い
どこまで行ってもnPrは順列の数でnCrは組合せの数
高校数学でもそれが上記のように計算できることを証明しているよ
最初の質問をした人がそういう認識でなかったとしたら
見識を改めるべきだろうね
836:１３２人目の素数さん
19/10/14 17:41:37.12 X5yx4l1O.net
>>809
>nPr=nCr・r!
>を示すことで与えられているって事だよ
これを示すことが
nPr=n…(n-r+1)がr!で割り切れることの証明としては最も簡単だろうね
ちなみに
{1,…,n}の部分集合のうちr個の要素数のものの全体というnCrの定義を採用するとすればr>nであっても何の問題もない
また
{1,…,n}の中からr個の異なるものを並べた順列の総数というnPrの定義を採用するに当たって
r>nであればそれは0個と認識させるのもそれほど難しいことではないので
nPrもr>nで定義しても特に問題はない
まあ若干考えにくいことではあろうが整合性もある妥当な定義だろうね
むしろ
(n-r)!を使った定義は計算には良かろうが筋が悪いね
837:１３２人目の素数さん
19/10/14 17:59:29.71 NS93ZhhO.net
>>809
おいおい、高校数学の範囲ではr>nは駄目だから、俺が書いた>>758の証明では
そこをケアしてるんだけど、何をわけのわからんことをｗ
>そしてその証明が
その証明ってどの証明だよｗ
>どこまで行ってもnPrは順列の数でnCrは組合せの数
だから、順列組み合わせでいいのなら、わざわざこんなに話はこじれずに、
nCrは組み合わせの数だから自然数、で終わる。そんな自明な質問なら>>556
はよっぽどのバカだってことになる。
順列組み合わせを使わずに、n!/(n-r)!/r!が自然数になることをどう証明する
かって話だろ。でなきゃ考える意味がない。
あんた、まったくピント外れだよ。
838:１３２人目の素数さん
19/10/14 18:11:57 NS93ZhhO.net
>>810
まったく論外だなｗ
順列組み合わせを使っていいのなら、nPrはn個の異なるものからr個をとって並べる
並べ方の総数だから、n個のものからr個を取り出したそれぞれの組み合わせについて、
r個どう並べるかというrPrをかけ合わせたものになってる（つまり、nPr=nCr*rPr)。
ゆえに、nPrはrPr=r!で割り切れるで終わり。
>>556がそんなバカみたいな質問なわけないだろ。（ま、本人に聞いてみなきゃわか
らんが、もしそうなら大馬鹿者だわｗ）
839:１３２人目の素数さん
19/10/14 18:12:23 X5yx4l1O.net
>>811
すまんすまん>>752と取り違えていたわ
>>783から間違えていたなすまんすまん
>>787
>おいおい、>>758を書いた本人に>>758を理解しろってどういうことだよｗ
そりゃあんた混乱するわｗ
俺はID:NS93ZhhO は>>752の証明の構造を理解するべきだと書いたつもりだったわけさ
840:１３２人目の素数さん
19/10/14 18:14:03 X5yx4l1O.net
>>812
まずねnPrとnCrの定義は順列の数と場合の数
それがn…(n-r+1)およびn…(n-r+1)/r!と書かれるというのはいずれも簡単な定理
それでお仕舞いなんだよ
841:１３２人目の素数さん
19/10/14 18:19:58 X5yx4l1O.net
ちなみに素因数の個数で証明するのも筋の良い証明で
それは俺も>>598で示唆したつもり
自分は証明を書いていないが他の人が書いたな>>733
842:１３２人目の素数さん
19/10/14 19:11:41.05 4Sr6zqcR.net
>>814
> まずねnPrとnCrの定義は順列の数と場合の数
> それがn…(n-r+1)およびn…(n-r+1)/r!と書かれるというのはいずれも簡単な定理
その簡単な定理の証明を聞いているのが>>556であり、>>560
それを、「定理だから成り立ち、n…(n-r+1)およびn…(n-r+1)/r!は自然数になる」で押し通したところで、質問への回答としては無意味
逆に、その簡単な定理を証明すればお仕舞、という簡単な話なんだけどな
843:１３２人目の素数さん
19/10/14 19:32:14.65 X5yx4l1O.net
>>816
それは忖度のし過ぎ
nPr=n…(n-r+1)=nCr・r!
を納得できるようにするべきだね
844:１３２人目の素数さん
19/10/14 19:35:14.34 4Sr6zqcR.net
>>817
質問スレなんだから仕方がない
> nPr=n…(n-r+1)=nCr・r!
> を納得できる
ようになるような回答は、その証明に他らない
845:１３２人目の素数さん
19/10/14 19:36:54.79 X5yx4l1O.net
>>777に書いたのも>>752の証明に関してね
846:１３２人目の素数さん
19/10/14 19:38:11 X5yx4l1O.net
>>816
>n…(n-r+1)/r!は自然数になる
は俺は言ってないよ
847:１３２人目の素数さん
19/10/14 19:39:12 X5yx4l1O.net
ああこれが定理だとは言ってはいるか
848:
849:１３２人目の素数さん
19/10/14 20:48:51.55 NS93ZhhO.net
>>813
自分で間違えといて、何を言ってるんだか。そんなにそそっかしいから
きちんと理解できないんじゃないの？
>>758と>>752は本質的に同じだよ。
C(n,r)+C(n,r-1)=P(n,r)/r! + P(n,r-1)/(r-1)!=P(n,r)/r! + rP(n,r-1)/r!
C(n+1,r)=P(n+1,r)/r!
∴P(n+1,r)=P(n,r)+rP(n,r-1)⇔C(n+1,r)=C(n,r)+C(n,r-1)
すでに >>567がC(n,r)が自然数になることを帰納的に証明してたから、それ
と同じことだって言ってるのよ。ただ、>>752ではr=n+1とr=0の場合が抜けて
て証明に穴がある。それも埋めてるのが>>758。
850:１３２人目の素数さん
19/10/14 20:49:20.20 NS93ZhhO.net
>>814,815
>まずねnPrとnCrの定義は順列の数と場合の数
そんなわかりきったことなんか誰も問題にしてないよ。
n!/(n-r)!/r!が整数になること、すなわち、n!/(n-r)!がr!で割り切れる
ことを場合の数の概念なしに証明しろって話じゃなきゃつまらんだろ。
それを証明してるのが>567や>733や>734なんだよ。
851:１３２人目の素数さん
19/10/14 20:57:43.04 NS93ZhhO.net
>>817
＞nPr=n…(n-r+1)=nCr・r!
だから、>>556もそんなことくらいわかってるから、nCr=nPr/r!だと書いてるじゃん。
忖度のしすぎもくそもなかろう。
nPr=n!/(n-r)!がr!で割り切れることを場合の数の概念抜きで証明するのは、nCrを
n!/(n-r)!/r! と置き換えて場合の概念抜きで整数であることを証明するのと同じ
こと。
852:１３２人目の素数さん
19/10/14 20:59:46.70 X5yx4l1O.net
>>822
その同値は
nPr=nCr・r!を前提としているわけ
nCrは整数として定義されているから
帰納法で整数であることを証明する必要は無いということ
筋が悪すぎ
>つまらんだろ。
つまらないかどうかは勝手に考えて良いよ
nPrがr!で割り切れることの証明としては
nPrとnCrの定義に沿うのが最も自然で簡単というだけ
何度も同じこと書くけれど
nPr=n…(n-r+1)
と
nPr=nCr・r!
を示すので仕舞いな話
どちらも簡単なことなので
これを納得するべきだね
それは当たり前でそれ以外の証明というのなら
>>733が筋が良いまた>>752もなかなかよい
nCrが整数であることを帰納法で示すのはアホ
853:１３２人目の素数さん
19/10/14 21:56:31.83 5QIr/acx.net
>>624 もあるよ
854:１３２人目の素数さん
19/10/14 22:10:32.88 yDLeEzQX.net
>>752ってパスカル三角形使う帰納法と同じに見えるけど
pf.
nについての帰納法。
n=0では自明。
n=kで成立するとしてn=k+1とする。
r=0,nでは自明。
それ以外のときは
c[k+1,r]=c[k,r]+c[k,r-1]
で右辺が帰納法の仮定より整数だからc[k+1,r]は整数。
□
と変わらん希ガス。
855:１３２人目の素数さん
19/10/14 22:19:51.20 4Sr6zqcR.net
>>825
> nCrが整数であることを帰納法で示すのはアホ
そんな話をしているのはあなただけ
質問者もしていない
この質問で示すことはどれも同じことだが、
n!/(r!*(n-r)!)が整数であること
C(n,r)がn!/(r!*(n-r)!)で表されること
P(n,r)がC(n,r)*r!で表されかつP(n,r)がn!/(n-r)!で表されること
2番目、3番目を示せば当然その過程で1番目も示されている
856:１３２人目の素数さん
19/10/14 22:24:42.31 JQb+gLUh.net
〔701の類題〕
数列 a(n), b(n), c(n), d(n) は次の条件を満たす。
・ a(1) ≧ b(1) ≧ c(1) ≧ d(1) > 0,
・ a(n) + b(n) + c(n) + d(n) = 4a(n+1),
・ a(n)b(n) + a(n)c(n) + a(n)d(n) + b(n)c(n) + b(n)d(n) + c(n)d(n) = 6b(n+1)^2,
・ a(n)b(n)c(n) + a(n)b(n)d(n) + a(n)c(n)d(n) + b(n)c(n)d(n) = 4c(n+1)^3,
・ a(n)b(n)c(n)d(n) = d(n+1)^4,
(1) a(n) は単調減少、d(n)は単調増加であることを示せ。
(2) a(n+1)-d(n+1) ≦ (3/4){a(n)-d(n)} を示せ。
(3) lim[n→∞] a(n) = lim[n→∞] d(n) を示せ。
(4) この極限値に関連する面白い問題を作れ。
ただし、マクローリンの不等式は既知とする。
857:１３２人目の素数さん
19/10/14 22:48:25.62 JQb+gLUh.net
算術幾何平均（ガウス）を拡張したもの。
Beckenbach & Bellman: "Inequalities", Springer-Verlag (1961) の§12
URLﾘﾝｸ(www.isinj.com)
なお、マクローリンの不等式は
>>705 >>710 >>745
858:１３２人目の素数さん
19/10/15 01:29:00.29 EHvVU2/z.net
>>828
nCrが整数であることを示す必要が無いのが分かったなら
nPr=nCr・r!
と
nPr=n…(n-r+1)
でお仕舞いな話でどちらも簡単な証明に過ぎない
n!/(n-r)!r!が整数であることを示す必要も無いというか
上の2つから即座に出てくることだね
>>827
(n+1)Cr=nCr+nC(r-1)
は定義から示すのが簡単でその場合整数であることを示す必要は無い
定義ではないnCr=n!/(n-r)!r!からも示せるけれど筋は悪いね
そしてここから示しているのと>>752が同じというのは
nPr=nCr・r!を前提とした同値性
nPr=nCr・r!を前提とするならわざわざn!/(n-r)!r!が整数であることを示すまでもないというわけ
859:１３２人目の素数さん
19/10/15 01:31:17.51 r5TRCi2l.net
順列だの組み合わせだのを離れて単に算術的に示してほしいという要望になんで100以上ものスレが並ぶのかねえ
860:１３２人目の素数さん
19/10/15 01:33:19.03 EHvVU2/z.net
nCrが整数であることを帰納法で示すのは
nCrの定義からでもあるいはn!/(n-r)!r!からでも
いずれにせよ筋は悪いね
861:
19/10/15 02:14:09 A5ciGByM.net
下らないことにいつまでハッスルしてんだよ
どこぞの万年助教かよ
862:
19/10/15 02:14:23 r5TRCi2l.net
>>626
> 最初から(1+1)^nで考えれば�
863:齒uで終わる気がしますけどね > > 先生が頭が悪いのでしょう これは >>626 の先生にたいする侮辱的書き込みということでOKですよね www
864:556です
19/10/15 05:36:48.17 XCxmC+Cj.net
>>556で質問したものです
久しぶりにスレを見てみたら少し荒れていて驚きました
私が質問したかった内容を改めて書きますと
｢nＣrの値は組み合わせを計算した結果なので自然数になるのは当たり前｣
という事実を使わずに
｢n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)がr!で割り切れる｣
ことを証明するにはどうすればよいか
という意図で質問しました
865:556です
19/10/15 05:54:16.81 XCxmC+Cj.net
>>836続き
まず自分で証明しようとした時は、｢分母･分子を素因数分解して指数部分を比較すればいい｣
と思ったのですがnやrをどうやれば素因数分解した形で表現出来るかが分からずに挫折
次に数学的帰納法で
｢連続するr個の自然数の積がr!で割り切れると仮定すると
連続する(r+1)個の自然数の積が(r+1)!で割り切れる｣
という事を示そうとしましたが上手くいきませんでした
それでここに質問してみました
866:
19/10/15 06:05:48 XCxmC+Cj.net
>>837続き
その後、色々検索して調べてみたところ
｢ルジャンドルの定理｣
というものを使えば素因数分解した時の指数が調べられる事が分かりました
整数に関する問題にはまだ慣れてなく、ガウス記号で表現出来る事が分かりました
また、数学的帰納法を使う方法もOKWAVEという質問サイトに同じ質問がありそれを見て納得しました
そこでは差を取って、その後足していくという方法を使っていました
867:
19/10/15 06:10:14 XCxmC+Cj.net
>>838続き
自分の中では一応解決したという事でこの質問を終了させてもらいます
今まで回答して下さった方々ありがとうございました
868:１３２人目の素数さん
19/10/15 09:49:36.82 hdlVCseP.net
>>836
こと意図すら理解できない人間がどれほどいたか。
869:
19/10/15 09:54:08 hjHOQUnB.net
理解てきていないのは、「nCrが整数であることは示す必要はない」、と言い続けていた1人だけだろう
870:１３２人目の素数さん
19/10/15 11:07:33.96 fB8d/UR7.net
>>836
ほとんどの人はそう読み取れていたよ
871:１３２人目の素数さん
19/10/15 11:46:05.09 twgrAF0j.net
「nＣrの値は組み合わせを計算した結果」を証明に使ったのは無かったのか？
872:１３２人目の素数さん
19/10/15 11:50:18.91 DPtKK4c6.net
>>832
その意図がわかんないやつが大杉なんだよねｗ
873:１３２人目の素数さん
19/10/15 11:58:04 DPtKK4c6.net
>>844
修正。
×その意図がわかんないやつが大杉なんだよねｗ
○その意図がわかんないやつの書き込みが大杉なんだよねｗ
具体的には「その意図がわかんないやつ」＝ ID:X5yx4l1O
一人だけなのかもしれない。ま、>>556 自身があらためて意図を
きちんと表明してくれたので、すべて解決。めでたし、めでたし。
874:１３２人目の素数さん
19/10/15 12:38:06.55 DPtKK4c6.net
>>838
>ルジャンドルの定理
なるほどね。そういう名前の定理があるんだ。それを使えば一発か…
rの任意の素因数をpとして、r=qp^m（qとpは素）と因数分解すれば、
1～rまでの数にはpの倍数がqp^(m-1)回、p^2の倍数はqp^(m-2)回、、、
p^mの倍数はq回だけ出てくるから、 その回数の総和をとった
q(p^m-1)/(p-1)がn!を素因数分解したときのpの次数となる。
で、連続したr個の数の積 n!/(n-r)!の場合でも同様にしてp,p^2…の
倍数が出てくる回数を数えることができるが、n≧p^(m+1)だと、さら
にp^(m+1)の倍数が存在する可能性があるので、この次数よりも大きく
はなりうる。
いずれにせよ、n!/(n-r)!はp^{q(p^m-1)/(p-1)}という因数を持ち、
rの他の素因数についてもrと同じかそれ以上の次数の素因数を持つの
で、n!/(n-r)!はr!で割り切れる。
って考えてたわ。
875:１３２人目の素数さん
19/10/15 13:12:28.03 hdlVCseP.net
一人だけだったのか
あまりにうるさいから複数いるのかと思ったよ
876:
19/10/15 13:27:23 OlwIBB86.net
一応書いておくが、>>624 は その ルジャンドルの定理 と呼ばれているものを使った証明。
証明と言ってもその定理を認めてしまえば、行うことはほぼ皆無で、
解決のためのアイデアというか、視点というか、切り口を与えただけ。
877:１３２人目の素数さん
19/10/15 21:12:11.45 eja156vF.net
>>829
AM-GM で
a(n) ≧ d(n),
b(n) ≧ d(n),
c(n) ≧ d(n),
∴ d(n+1)^4 = a(n)b(n)c(n)d(n) ≧ d(n)^4,
∴ d(n+1) ≧ d(n),
はすぐ出るが････
878:１３２人目の素数さん
19/10/15 21:18:39 DPtKK4c6.net
>>848
失礼しました。きっちり証明されてましたね。優しくない書き方だけどｗ
ってことで、どうも漸化式を作って数学的帰納法で証明する方法と
素因数の次数に注目して割り切れることを示す（ルジャンドルの定理も
これ）方法とに大別されるようですね。
ざーっと最初の方を見返すと、>>561に漸化式を使えばという示唆があって、
>>567で（式に一部間違いがあるけど）それを使った帰納法の証明があるの
が、まともな証明として初出。ついで、>>586もそれと同値な漸化式のΣを
とることで、nではなく、rに関する帰納法として証明してるのに誰も注目し
てないですね。
あとは、素因数の次数に注目せよというヒントが>>578で示されていて、その
ヒントに呼応する（実際に呼応したのかどうかはわかりませんが、ヒントの
内容に即している）証明が、あなたの>>624で初出。
そこまでで、あとは目新しいことは特になさそう。ここまで200レス以上
無駄に費やしたのは、ひとつには場合の数だから自明と叫ぶバカがいて、
ノイズに紛れちゃったんでしょうね。
879:
19/10/16 00:10:46 6WnNlmon.net
>>850
848です。私は、出題者へコメントしたつもりです。
>>その後、色々検索して調べてみたところ
とあったので、「この掲示板でも、 ルジャンドルの定理 流の証明は紹介してますよ」
という主旨で書いたまで。この掲示板の評価下落を懸念してのものです。
もし、見直して、気づいてくれたら、それで十分で、返答は無用です。
ただ、>>846の書き込みを見て、846=850さんが、ルジャンドルの定理 そのもの あるいは、
それを使った証明をきちんと理解しているとは、思えません。
例えば、“[]” という記号は“ガウス記号”として使っているのですが、あなたは意味をご存じでしょうか？
それがわかっていたら、
>>q(p^m-1)/(p-1)がn!を素因数分解したときのpの次数となる。
等とは書けない。全く意味不明。
ルジャンドルの定理 は、普通リーマン型で積算するものをルベーグ型で積算したと考えればいいだけ。
全く難しいものではありません。
「定理」等と呼ばれているようですが、内容は、中高生が０知識から「発見」しても不思議では無いレベル。
880:１３２人目の素数さん
19/10/16 01:04:01 +yW9Qu9d.net
>>851
私の書き方が悪くて誤解を招いたようですが、>>846ではルジャンドルの定理を直接利用
してはいません。というか、定理を知る前に思いついた証明を書いてます。連続するp^k
個の自然数にはp^kの倍数が必ず１つだけ含まれるということは
881:、高校生でも分かるかな、 ということで。 ルジャンドルの定理を知ってしまえば、>>624のように一発で証明できるのは承知の上です。 でもって、 >q(p^m-1)/(p-1)がn!を素因数分解したときのpの次数となる ってところは、お分かりかと思いますが、n!ではなく、r!の書き間違いです。すみません。
882:
19/10/16 01:18:07 WlmmdIz1.net
>>850
> ってことで、どうも漸化式を作って数学的帰納法で証明する方法と
> 素因数の次数に注目して割り切れることを示す（ルジャンドルの定理も
> これ）方法とに大別されるようですね。
>>625もあるようだ。
883:１３２人目の素数さん
19/10/16 05:30:57.66 LcVVQIrl.net
>>852
> >q(p^m-1)/(p-1)がn!を素因数分解したときのpの次数となる
> ってところは、お分かりかと思いますが、n!ではなく、r!の書き間違いです。すみません。
ガウス記号に言及されているからそのことじゃないだろう
qp^mより小さく、pをmより多く素因数に持つ1*p^m'等が考慮されていなく、
(qp^m)!を素因数分解したときのpの次数はq(p^m-1)/(p-1)より大きくなる
5=5*2^0
5*(2^0-1)/(2-1)=0
5!=15*2^3
6=3*2^1
3*(2^1-1)/(2-1)=3
6!=45*2^4
884:１３２人目の素数さん
19/10/16 10:14:38.52 +yW9Qu9d.net
>>853
確かに見落としてました。謝ってばかりですが、すみません。
順列組み合わせの概念を使わずに、多項式の微分の性質から二項展開の
整数係数がn!/(n-r)!/r!で与えられるという発想かと思いますが、
D(x^n)=nx^(n-1)を導く際に二項展開のn-1次の項の係数がnであることを
使ってるのはいいのかなぁ、という疑念が残ります。
>>854
まったくもって、おっしゃる通り。とんでもない勘違いをしてました。
rの素因数じゃなくて、「p≦rとなる任意の素数pとその累乗」に関して
登場回数を数え上げないといけないので、[r/p]+[r/p^2]…とガウス記号
を使って数え上げるしかありませんでした。ご指摘感謝です。
お目汚し申し訳ない。>ALL
885:１３２人目の素数さん
19/10/16 11:17:34.56 +yW9Qu9d.net
>>855
>D(x^n)=nx^(n-1)を導く際に二項展開のn-1次の項の係数がnであること
を使わなくても、積の微分で帰納的に証明できるからいいのかな。
ってことは、結局nCrの漸化式を使って二項係数を求めるのと同じ
ようなことなのかな？
886:
19/10/16 11:47:19 hcCL/uj5.net
>>625はネタに決まってるやん。
積の微分の公式も合成関数の微分の公式も数3。
数2までしか取ってない生徒には無理。
多項式に限定して授業なんかやってもついてこれる生徒なんかいない。
そもそもそんなの意味ないし。
逆に数3までやってる生徒には多項式に限定したDなんて持ち出す意味がない。
887:１３２人目の素数さん
19/10/16 13:16:02.89 JePhmUsY.net
>>857
？別に良くね？
分野を限定する必要なんてどこにもない
888:１３２人目の素数さん
19/10/16 13:39:04.46 kynI/4yw.net
別にいろんな証明を楽しむというだけならなんでもいいけどね。
>>625の内容を高校の授業でやるのがありえない。
大ウソ。
ホントに高校の授業でやるなら帰納法かまたはnPk=‥とnCk=‥を場合の数で表示する証明を厳密にやるかの二択しか考えられん。
ルジャンドルの公式使うのとか(x+1)^nのテーラー展開使うのは相当に優秀な高校生がギリギリなんとか理解はできる、でしかない。
889:１３２人目の素数さん
19/10/16 13:43:36.47 FZTEb79t.net
>>625
そもそもこれ、(x^n)=nx^(n-1)正当化するのに二項定理必要ですよね
本末転倒としか思えません
「形式的」と言い訳しても同じことです
890:
19/10/16 13:45:44 i+6L/pYa.net
>>859
何で有り得ないと思うか意味不明
それにテイラー展開なんで使ってないだろ
891:
19/10/16 13:49:16 Gw8Qmb6j.net
組み合わせが自然数でないと思う人はいませんね
892:
19/10/16 13:53:54 O5AXGIY0.net
まだ「組合せだから自然数」くんは粘ってるの？ｗ
893:１３２人目の素数さん
19/10/16 13:54:56 i+6L/pYa.net
>>860
>そもそもこれ、(x^n)=nx^(n-1)正当化するのに二項定理必要ですよね
別に二項定理なくても出来るだろ
劣等感婆も耄碌したな
894:１３２人目の素数さん
19/10/16 14:12:09.12
895:Gw8Qmb6j.net
896:１３２人目の素数さん
19/10/16 14:14:42.91 kynI/4yw.net
Dを
D(x^n)=nx^(n-1)
を満たす線形写像
なんて定義が高校生に通用するはずない。
結局explicitに
多項式Σak x^kに対してD(Σak x^k)=‥‥とやるしかない。
線形代数なんて簡単、高校生でも理解できる、授業で扱っても大丈夫と思ってる時点で妄想でしかない。
仮にそこをクリアできたとしても今度は
D(x+a)^n = n(x+a)^(n-1)
を示す。
二項定理か使うかライプニッツルールをDが満たす事をチェックするかのほぼ二択。
もう、この時点でほとんどの高校生はドロップアウト。
この方法は結局(x+1)^nのテーラー展開を適用してるのと同じ。
897:１３２人目の素数さん
19/10/16 14:19:42.89 i+6L/pYa.net
>>866
アホ丸出しだな
授業でちょっと教えるのに厳密性求めるかよ
898:１３２人目の素数さん
19/10/16 15:08:57.92 cWD3sz6W.net
f(x)=x^3はつねに増加しているのでしょうか？x=0は点であり、区間でもありません。
しかし、x=0で接線？の傾きは0になります。だから、『つねに』でもないように感じられます。
先生、どれだけ既出かわかりませんが、このようなものの考え方を今一度教えていただけないでしょうか？
899:１３２人目の素数さん
19/10/16 15:29:59.59 Gw8Qmb6j.net
授業でちょっと教えるなら組み合わせは自然数で終わりですよね
いつまでこんなくだらないことに難しく考えてるんでしょうね
900:１３２人目の素数さん
19/10/16 15:33:39.50 i+6L/pYa.net
>>865
アホか
{(x+h)^n-x^n}/h
を計算する上で(x+h)^nを全部きちんと展開しなくてもいいだろ
(勿論普通は二項定理を使って展開するが)
901:１３２人目の素数さん
19/10/16 15:34:16.25 i+6L/pYa.net
>>869
分からないんですね
902:１３２人目の素数さん
19/10/16 15:36:01.27 TibCynKO.net
>>868
常に増加している
f(x)が常に増加する条件は、「常にf(x)>0」ということの他に、「常にf(x)≧0で、f(x)=0となるxが離散的である(離れた点である)」ということ
f(x)=x^3の場合、f'(x)=0となるのはx=0の時のみで離散的なので常に増加
903:１３２人目の素数さん
19/10/16 16:52:04.16 unrbis89.net
>>866
高校生に教えるというより計算機上でプログラミングする時の定義だと思うと逆に低レベルなこと上から目線でほざいてるようにすら見える酷いレスだねえ。
904:１３２人目の素数さん
19/10/16 18:45:46 EB9Gxs/N.net
>>829
a(n)≧b(n)≧c(n)≧d(n)>0
4a(n)≧a(n) + b(n) + c(n) + d(n) = 4a(n+1)
d(n)^4≦a(n)b(n)c(n)d(n) = d(n+1)^4
4a(n+1)-4d(n+1)≦a(n) + b(n) + c(n) + d(n)-4d(n)≦3a(n)-3d(n)
>>710→a(n+1)≧b(n+1)≧c(n+1)≧d(n+1)>d(n)>0
0≦a(n)-d(n)≦(3/4)^(n-1)(a(1)-d(1))→0
この問題
a(n)≧b(n)≧c(n)≧d(n)>0
を示すのが面白みの1つだろうけど
(1)(2)(3)はa(n+1),d(n+1)の定義とb(n),c(n)がa(n),d(n)の間にあるだけで成り立つから
(4)はこの定義でa(n)≧b(n)≧c(n)≧d(n)>0となることを使わないと面白い問題にならないように思うのだが思いつかない
対称式だし解と係数の関係とかで面白い問題になるのかな？
905:１３２人目の素数さん
19/10/16 19:05:31.01 rivhBwJV.net
>>870
じゃあどうやって少しだけ展開するんですか？
906:１３２人目の素数さん
19/10/16 19:14:01 YfhLPjFR.net
俺も少しだけ展開知りたい
少しだけ展開するにしても、二項定理になりそう
テイラー展開ってのも牛刀（下手したら循環）ですよね
907:１３２人目の素数さん
19/10/16 20:21:41.77 h11aHbjx.net
a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+…+b^(n-1))使えば確かに二項定理使わずに極限計算できるな
これは(x+h)^nを展開してないから>>870の真意とは違うだろうけど
908:１３２人目の素数さん
19/10/16 20:45:29.87 EB9Gxs/N.net
>>870
Δx/Δx=1→(x)'=1
Δx^n=(x+Δx)^n-x^n=x{(x+Δx)^(n-1)-x^(n-1)}+Δx(x+Δx)^(n-1)=xΔx^
909:(n-1)+Δx(x+Δx)^(n-1) Δx^n/Δx=xΔx^(n-1)/Δx+(x+Δx)^(n-1) (x^n)'=x(x^(n-1))'+x^(n-1) (x^n)'/x^(n-1)=(x^(n-1))'/x^(n-2)+1=…=(x)'/x^0+(n-1)=n (x^n)'=nx^(n-1)
910:１３２人目の素数さん
19/10/16 20:50:43.39 Gw8Qmb6j.net
x{(x+Δx)^(n-1)-x^(n-1)}+Δx(x+Δx)^(n-1)=xΔx^(n-1)+Δx(x+Δx)^(n-1)
これはなんなんですか？
911:１３２人目の素数さん
19/10/16 20:59:52.06 EB9Gxs/N.net
Δf(x)=f(x+Δx)-f(x)
912:１３２人目の素数さん
19/10/16 21:07:06.89 kynI/4yw.net
2項からスタートしてamとgmをドンドン計算していくと上手いこと初項を選ぶと円周率に収束するって話はあるにはあるけど一般化して面白いの作れだともはや研究レベルの話な希ガス。
面白いのがあったら論文に書くよ。
913:
19/10/16 21:26:00 6WnNlmon.net
>>875 >>876
(a+b)^nの展開は、二項定理によって定義されているものでは無い。
交換法則ab=ba と、 分配法則a(x+y)=ax+by の繰り返しで行われるもの。
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd の延長上にあるものに過ぎない。
この二つの法則を使って(a+b)^nを展開したものを、整理したのが、二項定理として知られている。
従って循環論法云々等というのは全くあたらない。
二項定理を使って、出すことに、論理的な矛盾は無いが、もし、二項定理を使わずに、x^nの微分を求めたいと考えるなら、
例えば、(1+x)^n= 1+nx+O(x^2) と仮定し、数学的帰納法で正しいことを確かめ、それを使えばよい。
(1+x)^(n+1)=(1+x)(1+x)^n=(1+x)(1+nx+O(x^2))=1+nx+O(x^2)+x+nx^2+O(x^3)=1+(n+1)x+{O(x^2)+nx^2+O(x^3)}
((x+h)^n-x^n)/h = (x^n+nhx^(n-1)+O(h^2)-x^n)/h = nx^(n-1) + O(h^2)/h → nx^(n-1) (h→0)
914:
19/10/16 21:28:47 rivhBwJV.net
そんなことやるなら組み合わせは自然数で十分だと思いますけどねー
(a+b)^n
aとbの選び方の組み合わせですよね
915:
19/10/16 21:33:17 Nkz7ALTv.net
それとは別の証明方法は無いのかって話なのにと何度も言われているのに
そして質問者本人もそういう意味の質問でしたと言っているのに
916:
19/10/16 21:48:58 LcVVQIrl.net
質問に回答する気はなく、持論を主張したいだけなんだろう
917:１３２人目の素数さん
19/10/16 22:06:53.74 gTax+HTZ.net
>>868
[増加の定義]
f(x)が区間Iで増加とは、
任意のa, b∈Iについて
a<b⇒f(a)<f(b) が成り立つこと
918:１３２人目の素数さん
19/10/17 10:16:23 pmUXKYxi.net
>>883
ボケ老人みたいに同じことばっかり言ってるな
そのひねくれ具合は何やってもダメ
919:
19/10/17 10:23:35 YlilKasD.net
>>887
ある無矛盾な公理系τの任意のモデルに対してある論理式φが常に真となるならば、τからφがLKにおいて証明可能となることを示せ
920:１３２人目の素数さん
19/10/17 11:33:45.21 zOTljtwe.net
>>888
分からないんですねw
921:１３２人目の素数さん
19/10/17 12:03:43.03 kN7HuBJa.net
>>731-732
>>556は自分の中では解決して満足しているようだ。
だが、>>793-801の>>794の[第４段]には大きな間違いがあったので、軌道修正。
定義まではしていない。あと、打ち間違いはあるかも知れない。細かく形式ばって書いてもいない。
[第１段]：nは2以上の正整数と仮定してよい。rは 2≦r≦n を満たす正整数と仮定してよい。
二項係数つまりは組合せの総数 nCr は正整数として考えてよい。
そこで、nを2以上の正整数、かつrを 2≦r≦n を満たす正整数と仮定する。
A＝{1,…,n} とする。
合計丁度1個の有限列 n、n-1、…、n-r+1 をBで表す。
合計丁度1個の有限列 n-r+1、…、n-1、n をCで表す。
合計丁度1個の有限列 1、2、…、r をDで表す。
合計丁度1個の有限列Bは整数の大小関係について大きい方から順に、
何れも相異なる合計丁度 1+(r-1)＝r
922: 個の正整数 n、n-1、…、n-r+1 を重複を許さずに並べることで構成出来る。 また、正整数の全体からなる集合 N＼{0} は正整数の積の二項演算×について閉じているから、 任意の相異なる合計丁度r個の正整数の積は N＼{0} の点である。よって、n(n-1)(n-2)…(n-r+1)∈N＼{0}。 [第２段]：1)：r＜n のとき。階乗の定義から n! は相異なる合計丁度n個の正整数 1、2、…、r の積と見なせるから、 同様に (n-r)!∈N＼{0}。ここに、0は自然数として考えている。 2)：r＝n のときは、階乗の定義から、(n-r)!＝0!＝1 だから、(n-r)!∈N＼{0}。 1)、2)から、(n-r)!∈N＼{0}。
923:１３２人目の素数さん
19/10/17 12:05:24.75 kN7HuBJa.net
[第３段]：階乗の定義から n!＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1)×(n-r)! だから、空間 N＼{0} の性質から同様に n!∈N＼{0}。
同様に階乗の定義から n(n-1)(n-2)…(n-r+1)＝(n!)/((n-r)!) だから、同様に (n!)/((n-r)!)∈N＼{0}。
相異なる合計丁度n個の点からなる有限集合Aに属する点の中から、
合計丁度r個の点を任意に重複を許さずに選んで並べて出来る有限列の総数は nPr と表されるから、
相異なる合計丁度n個の点からなる有限集合Aに属する点の中から
合計丁度r個の点を任意に重複を許さずに選ぶ方法の総数は nPr である。
故に、nPr＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1) から nPr＝(n!)/((n-r)!)。
[第４段]：合計丁度1個の有限列Cは、合計丁度1個の有限列Bの中に重複を許さずに表れる
相異なる合計丁度r個の正整数 n、n-1、…、n-r+1 に対して、
整数の大小関係について小さい方から順に並べることで構成出来る。
3)：整数の大小関係について、合計丁度1個の有限列Cの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 n-r+1、…、n-1、n が
何れも合計丁度1個の有限列Dの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 1、2、…、r の中のrより大きい正整数であるとき。
このときは、有限列Dの中の重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 1、2、…、r と
有限列Cの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 n-r+1、…、n-1、n とを
小さい方から順に重複を許さずに数え上げることで n＝2r とする操作が出来る。
924:１３２人目の素数さん
19/10/17 12:08:24.51 kN7HuBJa.net
4)：整数の大小関係について、合計丁度1個の有限列Cの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 n-r+1、…、n-1、n において、
何れも小さい方から重複を許さずに数え上げた2個以上の高々r個の相異なる数が、
何れも合計丁度1個の有限列Dの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 1、2、…、r の中の
何れも大きい方から重複を許さずに数えた2個以上の高々r個の相異なる数と重複するとき。
このとき、合計丁度1個の有限列Dの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 1、2、…、r の中の
大きい方から数えた高々r個の相異なる正整数と、有限列Cの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 n-r+1、…、n-1、n の中の
小さい方から数えた高々r個の相異なる正整数とに対してのみ小さい方から順に何れも重複を許して、
有限列Dの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 1、2、…、r と
有限列Cの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 n-r+1、…、n-1、n とを
小さい方から順に数え上げると、2≦r≦n から n＝2r とする操作が出来る。
925:１３２人目の素数さん
19/10/17 12:08:30.30 YlilKasD.net
合計丁度r個の点を任意に重複を許さずに選ぶ方法の総数は nPr である。
故に、nPr＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1) から nPr＝(n!)/((n-r)!)。
これが許されてnCrが許されないのがほんと理解できませんね
926:１３２人目の素数さん
19/10/17 12:09:28.82 kN7HuBJa.net
5)：整数の大小関係について、合計丁度1個の有限列Cの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 n-r+1、…、n-1、n の中の
丁度1個の数 n-r+1 が、何れも合計丁度1個の有限列Dの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 1、2、…、r の中の丁度1個の数r
と等しくなるとき。合計丁度1個の有限列Dの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 1、2、…、r の中に表れる丁度1個の正整数rと、
有限列Cの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 n-r+1、…、n-1、n の中に表れる丁度1個の正整数 n-r+1 に対してのみ
重複を許して数え上げて、n-r+1＝r を除く他の何れの有限列Dの中に重複を許さずに表れる合計丁度 r-1 個の相異なる正整数
または有限列Cの中に重複を許さずに表れる合計丁度 r-1 個の相異なる正整数とからなる合計丁度 (r-1)+(r-1)＝2(r-1) 個の正整数に対しては、
何れも重複を許さずに数え上げることで、同様に、有限列Dの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 1、2、…、r と
有限列Cの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 n-r+1、…、n-1、n とを
小さい方から順に数え上げると、2≦r≦n から n＝2r とする操作が出来る。
3)、4)、5)から、nに対してrを用いて n＝2r と表す操作をすることが出来る。
927:１３２人目の素数さん
19/10/17 12:14:28.30 kN7HuBJa.net
>>731-732
>>890-892、>>894はその順に読んでほしい。
(>>894の続き)
[第５段]：mを自然数とする。xは文字とする。
1)：m＝0 のときは (1+x)^m＝(1+x)^0＝1。
階乗の定義から 0!＝1 だから、二項係数の定義から、1＝0C0。よって、(1+x)^0＝0C0。
2)：m＝1 のとき。同様に定義から 1C0＝(1!)/((0!)(1!))＝1、1C1＝(1!)/((1!)(0!))＝1 だから、
(1+x)^m つまり多項式 1+x は二項係数を用いて 1+x＝1C0＋1C1x と表される。
[第６段]：3)：m≧2 のとき。(1+x)^{m-1} を展開して、二項係数を用いて、
xについての昇ベキの順で表された多項式として表すと、
(1+x)^{m-1}＝Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k ) となる。よって、
(1+x)^m＝(1+x)(1+x)^{m-1}
＝(1+x)Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k )
＝Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k )＋Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^{k+1} )。
＝Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k )＋Σ_{k=1,…,m}( ((m-1)Ck)x^k} )。
また同様に、(1+x)^m を展開して、二項係数を用いて、
xについての昇ベキの順で表された多項式として表すと、
(1+x)^m＝Σ_{k=0,1,…,m}( (mCk)x^k ) となる。
故に、Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k )＋Σ_{k=1,…,m}( ((m-1)Ck)x^k} )＝Σ_{k=0,1,…,m}( (mCk)x^k )。
両辺で、定数項及び1以上m以下の各次数のxのベキ乗 x^k k＝deg(x)＝1,…,m の係数を見比べると、
漸化式 (m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝mCk m≧2 0≦k≦m-1 を得る。
[第７段]：得られた漸化式について、m＝1 とすると k＝0 となるから、二項係数の定義から、
(m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝0C0＋0C(-1)＝1+0＝1、mCk＝1C0＝1。
故に、漸化式 (m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝mCk m≧1 0≦k≦m-1 を得る。
928:１３２人目の素数さん
19/10/17 12:17:18.08 yexJv8v/.net
この長編ポエム、後藤さん？
929:１３２人目の素数さん
19/10/17 12:18:01.82 kN7HuBJa.net
>>731-732
(>>895の続き)
[第８段]： 6)：m＝2 のとき。Case6-1)：k＝0 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝1C0＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝1C(-1)＝0∈N。
Case6-2)：k＝1 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝1C1＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝1C0＝1∈N。
Case6-1)、Case6-2)から、1Ck∈N＼{0} k＝0,1、1C(k-1)∈N k＝0,1。
7)：m＝3 のとき。Case7-1)；k＝0 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝2C0＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝2C(-1)＝0∈N。
Case7-2)：k＝1 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝2C1＝(2!)/((1!)^2)＝2∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝2C0＝1∈N。
Case7-3)：k＝2 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝2C2＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝2C1＝2∈N。
Case7-1)、Case7-2)、Case7-3)から、2Ck∈N＼{0} k＝0,1,2、2C(k-1)∈N k＝0,1,2。
8)：m＝4 のとき。Case8-1)：k＝0 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝3C0＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝3C(-1)＝0∈N。
Case8-2)：k＝1 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝3C1＝(3!)/((1!)(2!))＝3∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝3C0＝1∈N。
Case8-3)：k＝2 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝3C2＝3C1＝3∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝3C1＝3∈N。
Case8-4)：k＝3 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝3C3＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝3C2＝3C1＝3∈N。
Case8-1)、Case8-2)、Case8-3)、Case8-4)から、3Ck∈N＼{0} k＝0,1,2,3、3C(k-1)∈N k＝0,1,2,3。
mを4以上の正整数として、任意の 0≦k≦m-1 なる自然数kに対して、(m-1)Ck∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)∈N とする。
Case9-1)：k＝0 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝(m-1)C0＝((m-1)!)/((m-1)!)＝1 だから (m-1)C0∈N＼{0}。
同様に、(m-1)C(k-1)＝(m-1)C(-1)＝0 だから (m-1)C(-1)∈N。
Case9-2)：k≠0 のとき。
Case9-2-1)：k＝1 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝(m-1)C1＝((m-1)!)/((1!)(m-2)!)＝m-1 だから (m-1)C1∈N＼{0}。
同様に、(m-1)C(k-1)＝(m-1)C0＝1 だから (m-1)C0∈N。
930:１３２人目の素数さん
19/10/17 12:21:10.74 kN7HuBJa.net
>>731-732
(>>897の続き)
Case9-2-2)：2≦k≦m-1 のとき。或る 2≦k≦m-1 なる正整数kが存在して、mCk が正整数ではないとする。
正整数mは m≧4 を満たし、正整数kは 2≦k≦m を満たすから、
[第１段]から[第４段]までの議論で用いたn、rをそれぞれ m、kに置き換えて同様な議論を繰り返すことが出来る。
そこで、[第１段]から[第４段]までの議論におけるn、rをそれぞれ m、kに置き換えて同様な議論を繰り返すと、
m は m＝2k と表す操作をすることが出来ることになる。よって、m＝2k とする操作をすれば、階乗と二項係数の各定義から、
mCk＝(m!)/( (k!)( (m-k)! ) )＝((2k)!)/((k!)^2)＝((2k)Pk)/(k!)
となる。有限列 1、2、…、k をEで表す。有限列 k+1、…、2k をFで表す。
合計1個の有限列Eの中に表れる合計丁度k個の相異なる整数 1、2、…、k の中に表れるすべての素数を p_1、…、p_j とする。
すると、整数の大小関係から、j個の素数 p_1、…、p_j はどれも丁度1個の有限列Eの中に表れる
合計丁度k個の相異なる整数 k+1、…、2k のすべての積 (k+1)…(2k)＝(2k)Pk の約数となる。
よって、各 i＝1,…,j に対して p_i の指数 q_i が定まり、或る M∈N＼{0} が存在して、(2k)Pk＝M[Π_{i=1,…,j}(p_i)^{q_i}] となる。
また、各 i＝1,…,j に対して p_i の指数 r_i が定まり、k!＝Π_{i=1,…,j}(p_i)^{r_i} となる。
仮定から ((2k)Pk)/(k!) は正整数ではないから、((2k)Pk)/(k!)＞0 から、((2k)Pk)/(k!) は正の有理数である。
よって、或る 1≦i≦j なる正整数iが存在して、(p_i)^{r_i}＞(p_i)^{q_i}。
しかし、2≦p_i＜k+1 だから、整数の大小関係から、(p_i)^{r_i}≦(p_i)^{q_i} であって矛盾する。
この矛盾は 2≦k≦m-1 なる正整数k が存在して、mCk が正整数ではないとしたことから生じたから、背理法が適用出来る。
そこで背理法を適用すると、mCk が正整数ではない正整数k 2≦k≦m-1 は存在しない。
故に、任意の 2≦k≦m-1 なる正整数kに対して、mCk は正整数である。
階乗と二項係数の各定義から mCm＝1∈N＼{0} だから、任意の 2≦k≦m なる正整数kに対して、mCk は正整数である。
931:１３２人目の素数さん
19/10/17 12:26:14.96 kN7HuBJa.net
>>731-732
(>>898の続き)
或る 2≦k≦m-1 なる正整数kが存在して、mC(k-1) が自然数ではないとする。
正整数mは m≧4 を満たし、正整数kは 2≦k≦m を満たすから、
[第１段]から[第４段]までの議論で用いたn、rをそれぞれ m、kに置き換えて同様な議論を繰り返すことが出来る。
そこで、[第１段]から[第４段]までの議論におけるn、rをそれぞれ m、kに置き換えて同様な議論を繰り返すと、
m は m＝2k と表す操作をすることが出来ることになる。よって、m＝2k とする操作をすれば、階乗と二項係数の各定義から、
mC(k-1)＝(m!)/( ( (k-1)! )( (m-k+1)! ) )＝((2k)!)/( ((k-1)!)((k+1)!) )＝( (2k)P(k+1) )/((k-1)!)
となる。有限列 1、…、k-1 を E' で表す。有限列 k、k+1、…、2k を F' で表す。
合計1個の有限列 E' の中に表れる合計丁度 k-1 個の相異なる整数 1、…、k-1 の中に表れる
すべての1または素数を (p_1)'、…、(p_{j'})' とする。
すると、整数の大小関係から、j' 個の1または素数 (p_1)'、…、(p_{j'})' はどれも丁度1個の有限列 F' の中に表れる
合計丁度 k+1 個の相異なる整数 k、k+1、…、2k のすべての積 k(k+1)…(2k)＝(2k)P(k+1) の約数となる。
よって、各 i＝1,…,j' に対して (p_i)' の指数 (q_i)' が定まり、
或る M'∈N＼{0} が存在して、(2k)P(k+1)＝M'[ Π_{i=1,…,j'}( ((p_i)')^{(q_i)'} ) ]。
また、各 i＝1,…,j' に対して (p_i)' の指数 (r_i)' が定まり、k!＝Π_{i=1,…,j'}( ((p_i)')^{(r_i)'} ) となる。
仮定から ((2k)P(k+1))/((k-1)!) は自然数ではないから、((2k)P(k+1))/((k-1)!)＞0 から、((2k)P(k+1))/((k-1)!) は正の有理数である。
932:１３２人目の素数さん
19/10/17 12:29:07.58 kN7HuBJa.net
>>731-732
(>>899の続き)
よって、或る 1≦i≦j' なる正整数iが存在して、((p_i)')^{(r_i)'}≧((p_i)')^{(q_i)'}。
しかし、(p_i)' は1または k-1 以下の素数だから、(p_i)' を素数とすると、
((p_i)')^{(r_i)'}＜((p_i)')^{(q_i)'} なることになって矛盾が生じることになる。よって、(p_i)' は素数とはなり得ない。
故に、(p_i)'＝1 となる。有限列 E' に表れる最大の整数 k-1 について、k-1＝1 となるから、必ず k＝2 となる。
よって、2≦k≦m-1、m≧4 から、mの取り得る値は m＝3 であり m＝3 に限られる。
ところで、m＝3 はmを4以上の整数と仮定したことに反し矛盾する。
この矛盾は 2≦k≦m-1 なる正整数k が存在して、mC(k-1) が自然数ではないとしたことから生じたから、背理法が適用出来る。
そこで、背理法を適用すると、mC(k-1) が正整数ではない正整数k 2≦k≦m-1 は存在しない。
故に、任意の 2≦k≦m-1 なる正整数kに対して、mC(k-1) は正整数である。
階乗と二項係数の各定義から mC(m-1)＝m∈N だから、任意の 2≦k≦m なる正整数kに対して、mC(k-1) は自然数である。
Case9-2-1)、Case9-2-2)からmについての帰納法により、任意の 1≦k≦m-1 なる正整数kに対して、mCk∈N＼{0}、mC(k-1)∈N。 ( Case9-2) 終わり
933: ) 故に、Case9-1)、Case9-2)から、m≧4 のとき、任意の 0≦k≦m-1 なる自然数kに対して、(m-1)Ck∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)∈N。 ( 8) 終わり ) 6)、7)、8)から、2以上の正整数mが任意に与えられたとき、 任意の 0≦k≦m-1 なる自然数kに対して、(m-1)Ck∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)∈N。 ( [第８段] 終わり )
934:１３２人目の素数さん
19/10/17 12:32:15.62 kN7HuBJa.net
>>731-732
(>>900の続き)
[第９段]：m＝1 のときは k＝0 となるから、階乗と二項係数の各定義から、(m-1)Ck＝0C0＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝0C(-1)＝0∈N。
故に、mを任意の正整数mとするとき、任意の 0≦k≦m-1 なる自然数kに対して、(m-1)Ck∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)∈N。
[第１０段]：集合 N＼{0} は正整数の和＋と正整数の積×との各二項演算について閉じている。
また、集合Nは自然数の和＋と自然数の積×との各二項演算について閉じている。
N＼{0} はNの真部分集合である。よって、漸化式 (m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝mCk m≧1 0≦k≦m-1 から、
mを任意の正整数mとするとき、任意の 0≦k≦m なる自然数kに対して、mCk∈N＼{0}。
[第１１段]：[第１段]から[第４段]の議論において、nは2以上の正整数、rは 2≦r≦n を満たす正整数としているから、
m＝n、k＝r とおけば、二項係数の定義及び nPr＝(n!)/((n-r)!) から、nCr＝(n!)/( (r!)((n-r)!) )＝(nPr)/(r!)∈N＼{0}。
故に、(r!)|(nPr)。
[第１２段]：任意の正整数mに対して、階乗と二項係数の各定義から、mC0＝mCm＝1。
故に、漸化式 (m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝mCk m≧1 0≦k≦m-1 を繰り返し用いると、
パスカルの三角形は存在して、パスカルの三角形は描けることになる。
935:１３２人目の素数さん
19/10/17 14:09:55.37 3+r36lsL.net
劣等感だったのかよ
936:
19/10/17 14:39:03 kN7HuBJa.net
>>896
一応そうだが。
私は高校数学や受験数学は得意でなく、高校や中学の教員免許も持っていない。
937:１３２人目の素数さん
19/10/17 15:02:16.73 zOTljtwe.net
誰？
この板の有名人？
938:１３２人目の素数さん
19/10/17 15:03:50.76 p0ZNYX8U.net
>>904
>>889
何いってんだお前……半年ROMってろ
939:１３２人目の素数さん
19/10/17 15:12:04.28 zOTljtwe.net
>>905
はいそうします
って言う訳ないだろがカスwwww
940:１３２人目の素数さん
19/10/17 17:33:42.90 80kS3k/T.net
じゃあ一か月うんこ禁止な
941:１３２人目の素数さん
19/10/17 17:35:45.95 fQMp07ks.net
今 5ch 数学 後藤 でググったら出てきた人であってる？
942:１３２人目の素数さん
19/10/17 17:36:53.07 fQMp07ks.net
劣等感は組み合わせの数なんだから整数になるのは当たり前って言ってた人じゃないの？
943:１３２人目の素数さん
19/10/17 17:46:21.93 zOTljtwe.net
>>907
お前の顔の上でウンコするわ
944:１３２人目の素数さん
19/10/17 18:03:06.66 YlilKasD.net
>>908
誤答おじさんって人だと思います
945:１３２人目の素数さん
19/10/17 18:23:36.20 fQMp07ks.net
>>911
ぐくったら出てくる某予備校の先生＝解答おじさんですか？
946:１３２人目の素数さん
19/10/17 18:24:33.14 Ur8BiPgW.net
組み合わせだから自然数が劣等感で、長文が誤答おじさん？
947:１３２人目の素数さん
19/10/17 18:36:02 mTycNgJ9.net
>>909
>組み合わせの数なんだから整数になるのは当たり前って言ってた人
それは私
他の人は他の人
948:
19/10/17 18:40:03 1M1tTddh.net
(x^n)′=nx^(n-1)を二項定理なしでは示せないって断言したのが劣等感だよ
949:
19/10/17 18:40:22 fQMp07ks.net
オレの推理力はまだまだだ。
組み合わせの数だから当たり前＝劣等感だと思ってた。
修行が足りんorz
950:
19/10/18 01:44:24 et14HmJl.net
>>912
>>903に「私は高校数学や受験数学は得意ではない」という旨のことを書いたことから分かると思うが、
私は予備校教師でもない。一般に、予備校の数学教師は、高校数学や受験数学が得意だと思う。
何れにしても、私が
>ぐくったら出てくる某予備校の先生＝解答おじさん
に当たるような人物という推測は外れている。
951:
19/10/18 02:02:50 et14HmJl.net
>>913
>長文が誤答おじさん？
この推測は正しい。
952:
19/10/18 02:09:24 pv4MKh8D.net
>>917
ググって出てくる後藤さんではない後藤さんですか？
953:１３２人目の素数さん
19/10/18 02:15:35.85 et14HmJl.net
>>919
チョット、紛らわしいんで、「後藤さん」と「誤答さん」とは区別して書いてほしい。
954:１３２人目の素数さん
19/10/18 02:16:49.48 mSJ5zJqy.net
なんだ、後藤さんは本名でもなんでもないのね。納得。
955:１３２人目の素数さん
19/10/19 21:38:45.87 FxHNBvQ0.net
二つの箱があり、
一方の箱には赤球3個と白球1個が入っており、他方の箱には赤球2個と白球
956:2個が入っている。 二つの箱のうち無作為に一箱を選び、そこから無作為に球を一個取り出したところ赤球であった。 同じ箱からもう1個球を取り出すとき、それも赤球である確率を求めよ。 見慣れない問題なのですが、どのように考えたらいいでしょうか。ご教授宜しくください。
957:１３２人目の素数さん
19/10/19 22:12:27.17 s7LP3KSB.net
>>922
A赤3白1
B赤2白2
C1赤
D1白
E2赤
F2白
P(A)=P(B)=1/2
P(C|A)=3/4
P(C∩A)=P(A)P(C|A)=3/8
P(C|B)=1/2
P(C∩B)=P(B)P(C|B)=1/4
P(C)=P(C∩A)+P(C∩B)=5/8
P(E|C∩A)=2/3
P(E∩C∩A)=P(C∩A)P(E|C∩A)=1/4
P(E|C∩B)=1/3
P(E∩C∩B)=P(C∩B)P(E|C∩B)=1/12
P(E∩C)=P(E∩C∩A)+P(E∩C∩B)=1/3
P(E|C)=P(E∩C)/P(C)=8/15
958:１３２人目の素数さん
19/10/19 22:18:20.02 bE00NWkf.net
>>922
E:無作為に箱を選び1球を取り出したとき、それが赤である事象
F:無作為に箱を選び2球を取り出したとき、それがどちらも赤である事象
とする。求める条件付き確率はP(F)/P(E).
P(E)=(1/2)×(3/4)+(1/2)×(2/4)=5/8
P(F)=(1/2)×(3C2/4C2)+(1/2)×(2C2/4C2)=1/3
よって、(1/3)/(5/8)=8/15(答)
959:１３２人目の素数さん
19/10/19 23:32:38.84 FxHNBvQ0.net
ありがとうございます
>求める条件付き確率はP(F)/P(E).
条件付き確率というのは P(EかつF)/P(E) じゃないのでしょうか。
960:１３２人目の素数さん
19/10/19 23:44:10.13 rxmwIj+x.net
事象Fと事象Eの定義をよく読んでね。
961:１３２人目の素数さん
19/10/19 23:48:29.38 hZCFw6Da.net
>>922
全事象書き出しなさい
君みたいなのはそういうのしたことないでしょ
962:１３２人目の素数さん
19/10/20 00:42:25.17 JZmhqpld.net
d^3+-1/3d+-322/27=0の式があります
そこで
dおe+fえと 置換 します(d=e+f)
-1/3お3Gと 置換 します(-1/3=3G)
それじゃ
(e+f)^3+3g(e+f)-322/27
e^3+f^3+3e^2f+3ef^2+3ge+3gf-322/27=0
e^3+f^3+-322/27+3ef(e+f) 3g(e+f)=0
e^3+f^3+-322/27+3(ef+g)(e+f)=0 になる
それと
e^3+f^3=322/27
e*f=1/9
e^3*f^3=1/729
そこで 解と係数の関係お 利用して(a+b=-b/a ab=c/a)
x^2-322/27+1/729
そこで x=e^3,f^3になる
それじゃ ³√(e^3)+³√(f^3)=real number dになる
なのに dか おかしいです
何が 問題ですか?
置換お しちゃいけませんか
それとも 解と係数の関係か 問題ですか?
ても 本には 置換 あんなやりかたにして 解と係数の関係お 利用しろうと かいて あります
とにかく 本か 間違たら d^3+-1/3d+-322/27=0お 置換や解と係数の関係 いがいの 方法 ありますか 教しえて ください
963:１３２人目の素数さん
19/10/20 00:48:34.34 2BBpcJZY.net
その本を写真撮ってアップロードしなさい
964:１３２人目の素数さん
19/10/20 01:22:16.56 uSiWApfY.net
まずは「お」と「を」の違いを勉強しましょう
965:１３２人目の素数さん
19/10/20 01:27:30.76 JZmhqpld.net
やはり 本か おかしいかたですね
問題点 おしえてくたさい
966:１３２人目の素数さん
19/10/20 02:14:54 xa+xtiMx.net
不等式0 <= y <= -x^2 +7x -10の表す領域をDとする。正方形Zの４つの頂点P,Q,R,Sは
この順に反時計回りに並んでいて、Q,Rはともにy軸上にある。またZの対角線の交点Tは
D内にある。次の問に答えよ。
(1) Tの座標を(x ,y)とし、Zの右下の頂点Sの座標を(X, Y)とするとき、x, yをX,Yを用いて表せ。
(2) TがD内を動くとき、Sが動く範囲を図示せよ。
(3) TがD内を動くとき、Zの周が動く範囲を図示せよ。
猛者の解答を求む
967:
19/10/20 02:23:27 sSGKUFOC.net
‪>>928
ただのカルダノの方法ですね
何もおかしい�
968:ﾆころはありません
969:
19/10/20 03:47:26 2hQE7KkD.net
>>928
e,f = (7±3√5)/6,
d = e+f = 7/3, (実解)
ただのカルダノの方法ですね
何もおかしいところはありません
> 置換や解と係数の関係 いがいの 方法
有理数解をもつので、因数分解できます。
d^3 - (1/3)d - (7/3)(46/9) = (d -7/3){dd +(7/3)d +(46/9)}
= (d - 7/3){(d+6/7)^2 + 15/4}
この { } = 0 から d (虚数解) が出ます。
970:１３２人目の素数さん
19/10/20 09:22:15.73 KcpV49eI.net
どちらの箱を選ぶかで2通り
1つめが赤か白かで2通り
2つめが赤か白かで2通り
全部で2*2*2=8通り
それぞれの確率を計算すると
1/2*3/4*2/3=1/4
1/2*3/4*1/3=1/8
1/2*1/4*3/3
1/2*1/4*0/3
1/2*2/4*1/3=1/12
1/2*2/4*2/3=1/6
1/2*2/4*2/3
1/2*2/4*1/3
(1/4+1/12)/(1/4+1/8+1/12+1/6)=(1/3)/(5/8)=8/15
971:１３２人目の素数さん
19/10/20 15:29:04.64 2hQE7KkD.net
>>877
(a^k - b^k)/(a-b)
= a^(k-1) + a^(k-2)･b + ････ + a･b^(k-2) + b(k-1),
より
|(a^k - b^k)/(a-b)| ≦ k M^(k-1) ････ (*)
ここに M = Max(|a|,|b|)
よって
| (a^n - b^n)/(a-b) - n･a^(n-1) |
= | Σ[k=1,n-1)] a^(n-1-k)･(b^k - a^k) |
= |b-a|･| Σ[k=1,n-1] a^(n-1-k)･(b^k-a^k)/(b-a) |
≦ |b-a|Σ[k=1,n-1] |a|^(n-1-k)･|(b^k-a^k)/(b-a)|
≦ |b-a|Σ[k=1,n-1] M^(n-1-k)･k･M^(k-1) (← *)
= |b-a| Σ[k=1,n-1] k･M^(n-2)
= |b-a|･{(n-1)n/2}･M^(n-2),
∴ (a^n - b^n)/(a-b) → n･a^(n-1) (b→a)
∴ (x^n)’= n･x^(n-1)
972:１３２人目の素数さん
19/10/21 10:58:51.68 +cdJT/C6.net
x^2(+2/27a^3-b)x+a^6/729の xわ いくつですか?
973:１３２人目の素数さん
19/10/21 11:35:08 +cdJT/C6.net
x^2(+2/27a^3-b)x+a^6/729=0 の xわ いくつですか?
974:１３２人目の素数さん
19/10/21 11:45:59 +cdJT/C6.net
x^2+(+2/27a^3-b)x+a^6/729=0 の xわ いくつですか?
975:１３２人目の素数さん
19/10/21 11:52:01 tLfDjBcl.net
次の予想
x^2+(2/27a^3-b)x+a^6/729=0 の xわ いくつですか?
976:１３２人目の素数さん
19/10/21 17:09:54.60 tbIQPEG+.net
>>939 >>940
平方完成すると
x^2 + [(2/27)a^3 -b]x + [(1/27)a^3]^2 = {x + (1/27)a^3 - b/2}^2 + b[(1/27)a^3 - b/4],
b[(1/27)a^3 - b/4] ≦ 0 のとき実根
x = - (1/27)a^3 + b/2 ±√{b[b/4 - (1/27)a^3]},
977:１３２人目の素数さん
19/10/21 18:20:13.71 uejcXMib.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
この問題の解答の最後の結論部(◯で囲った？のとこ)は、
どういう意味なのでしょうか？
これを示して題意を示せてる理由がわかりません。どうかご教授お願いします。
978:１３２人目の素数さん
19/10/21 18:31:35.66 J4AZl29f.net
いろいろと糞解答なので、見なかったことにするのをおすすめします
979:１３２人目の素数さん
19/10/21 19:13:25.25 uejcXMib.net
>>943
ではどうやって解けばよいでしょうか。。。
980:１３２人目の素数さん
19/10/21 19:17:48.24 iZjoeIAl.net
正四面体を立方体の中にあるものとして考えればほぼほぼ自明
981:１３２人目の素数さん
19/10/21 20:09:13 yFAKNHr/.net
OE↑ = (OA↑ + OB↑)/2
OF↑ = (OC↑ + OD↑)/2
OG↑ = (OA↑ + OD↑)/2
OH↑ = (OB↑ + OC↑)/2
(OE↑ + OF↑)/2 = (OG↑ + OH↑)/2 だから
EF と GH はそれぞれの中点で交わる。
ってか、これ、一般の四面体で成り立つよ。
982:１３２人目の素数さん
19/10/21 20:43:30.81 fnNlCFwl.net
正四面体の重心がG
ADの中点もG
アホ解答だな
983:１３２人目の素数さん
19/10/21 20:51:24.97 46x9lTfV.net
どこまで糞な解答を書けるかにチャレンジした、としか思えない
984:１３２人目の素数さん
19/10/21 23:09:25.89 uejcXMib.net
なるほど。。。自分には実力不足でどこがダメなのかはわからないんですが、
とにかくダメ解答ということですね。
やさ理っていう有名な
985:問題集のやつです。。
986:１３２人目の素数さん
19/10/21 23:16:33.78 PDjjLIY9.net
塾内の脳無し講師のやっつけ解答辺りと思ったら、ここまで酷いものが出版されていたのですか？
誰か止めなかったんでしょうかｗ
987:１３２人目の素数さん
19/10/21 23:25:13.36 PDjjLIY9.net
一事が万事というわけでもありませんが、ここまで酷いと他の部分も全く信用できません
ちょいミスとかいうレベルではなく、短い解答の中で無能っぷりを大いにアピールしています
988:１３２人目の素数さん
19/10/21 23:34:52.87 GqOFxlvB.net
言ってることは正しいですよね
証明がないだけで
989:１３２人目の素数さん
19/10/21 23:39:20.73 ms7h3WY/.net
いや、そもそもなぜに外接球の中心をOとおくのかがなぁ。
ともかく "始点は外接球の中心" ってこだわりがあるんだろうなぁ。
990:１３２人目の素数さん
19/10/22 01:11:16.24 Tbq9vH88.net
>>947
これ
991:１３２人目の素数さん
19/10/22 03:48:14 6RRb/ZK7.net
>>942
○で囲った部分は
A,B,Cが同一直線上にある⇔AC↑=kAB↑
を使っている
外接球の中心や重心をいきなり使うとか本当に糞解答だな
992:１３２人目の素数さん
19/10/22 04:55:56.79 MIOjkLQv.net
x^2+(2a^3/27-b)x a^6/729=0の式かあります
そこで -bを -27b/27に かえれば
x^2+2a^3-27b/27+a^6/729=0
x^2+2a^3-27b/27=-a^6/729
解の公式に よると
まず 2次項の 計数 1に 作て 定数項 うへんに いこうします
これわ なってるから pass
次わ 等式の りょうへんに ( 1次項の 計数*1/2)^2を 加えます
分數ようり 少數か 楽なんで 少數にします
x^2+(2a^3-27b/27)x+ (a^3-13.5b/27)^2=-a^6/729+ (a^3-13.5b/27)^2
次わ 完全平方式に かえし うへん 通分します
(x+a^3-13.5b/27)^2=-a^6/729+a^6+182.25b^2/729
(x+a^3-13.5b/27)^2=-a^6/729+a^6+182.25b^2/729
次わ ^2 利用 します
x+a^3-13.5b/27=√-a^6/729+a^6+182.25b/729
次わ また うへんをさへんに いこうします
x=a^3+13.5b/27√-a^6/729+a^6+182.25b^2/729 or a^3+13.5b/27-√-a^6/729+a^6+182.25b^2/729
ます ルートを 計算すれば √-a^6/729+a^6+182.25b/729=√182.25b/729
-√-a^6/729+a^6+182.25b^2/27=-√182.25b^2/729
そこで ルートを 有理数に かえれば 13.5b/27 or-13.5b/27
a^3+13.5b/27+ 13.5b/27
a^3+13.5b/27+-13.5b/27
=a^3+27b/27 or a^3/27
x=a^3+27b/27 or a^3/27
あたりですか
993:１３２人目の素数さん
19/10/22 04:58:35.96 MIOjkLQv.net
-a^3+13.5b/27+-13.5b/27
=-a^3+27b/27 or -a^3/27
x=-a^3+27b/27 or- a^3/27
994:１３２人目の素数さん
19/10/22 10:08:18.98 qwgte6ZY.net
>>955
おおなるほど！！そういうことだったんですね！！
ついたレスの中で一番わかりやすく僕の疑問に即したレスでした、ありがとうございます！！
氷解しました！！
995:１３２人目の素数さん
19/10/22 11:29:24.33 elvDRwpD.net
1/x>0の解ってx>0で合ってますか？
996:１３２人目の素数さん
19/10/22 11:33:48.79 nYvyjN1O.net
あってる
997:１３２人目の素数さん
19/10/22 16:56:10.78 fspFsipc.net
Re(1/z) > 0 の解って Re(z) > 0 で合ってますか？
Im(1/z) > 0 の解って Im(z) < 0 で合ってますか？
998:１３２人目の素数さん
19/10/22 17:23:06.71 nYvyjN1O.net
あってる
あってない
999:１３２人目の素数さん
19/10/22 18:27:35.75 ETZpBXDo.net
文字と整数だけで出来た整式を有理数の範囲で因数分解できるとき分数が必要な場合はありまつか？整数係数だけで表現可能なら明快な証明はありまつか
1000:１３２人目の素数さん
19/10/22 18:32:04.61 jNQ6Ng6F.net
ないです。
Thm (Gauss)
有理係数で因数分解できる
⇔整係数で因数分解できる
です。
高校生でも証明でかなくはない。
頑張りましょう。
1001:１３２人目の素数さん
19/10/22 19:15:32.76 ETZpBXDo.net
ｻﾝｸｽｺ
1002:１３２人目の素数さん
19/10/22 20:01:26.31 v9Jf8CT8.net
>>962
>あってない
なんで？
1003:１３２人目の素数さん
19/10/22 21:54:14.18 RTRQoVBu.net
ごめん。
こっちは不等号逆にしてるね。
あってる。
1004:１３２人目の素数さん
19/10/22 22:42:28.20 DjwC8GRA.net
この計算方法教えてく�
1005:ｾさい https://i.imgur.com/tws0kpd.jpg
1006:１３２人目の素数さん
19/10/22 22:46:05.55 0jZI4t6q.net
元の問題を描いてください
1007:１３２人目の素数さん
19/10/22 22:49:40.49 DjwC8GRA.net
URLﾘﾝｸ(www.toukei-kentei.jp)
統計数理の問3(3)のE[X>=1]です
求め方が間違ってますか？
1008:１３２人目の素数さん
19/10/22 22:53:10.95 0jZI4t6q.net
分母が定数だから1番からx=0のとこ引いてとかやればいいんじゃないですかね
1009:１３２人目の素数さん
19/10/22 22:56:01.50 DjwC8GRA.net
>>971
すみません、分母定数でしたね…
分母外に出すとただの二項分布の期待値なのですぐに求まりました
ありがとうございます
1010:１３２人目の素数さん
19/10/23 22:44:19 ym3bAKR8.net
URLﾘﾝｸ(dotup.org)
(※)を満たすf(x)と定数aを求めよ という問題なんですけど
?にx=aを代入するとa=0が得られるんですが、?にx=aを代入すると0=e^a となり、これを満たすaが存在しません。
?に代入するのは良くて、?に代入するのはダメなのはなんでですか？
?も正しい式ですよね？
1011:１３２人目の素数さん
19/10/23 23:07:10.44 p4Ci1UiF.net
0=e^a-1 になるんじゃないの？
1012:１３２人目の素数さん
19/10/23 23:17:26.43 YfD9UtMq.net
>>973
②から導かれる必要条件:f(x)=e^xを②に代入してみると、定数aが存在せず、矛盾する事が分かります
つまり、「aが定数ならば」それを満たすf(x)は存在しません
aがxの関数だとしたら、存在するかもしれません(計算していないので分かりません)
1013:１３２人目の素数さん
19/10/23 23:32:37 vxr9y1cF.net
>>973
問題間違えてませんか？
多分、(*)を満たすf(x)は存在しないかと。
1014:１３２人目の素数さん
19/10/23 23:41:09 vxr9y1cF.net
∫[a,x] (x - t) f(t) dt = g(x) のとき
∫[a,x] f(t) dt = g'(x)
f(x) = g''(x)
g(a) = g'(a) = 0 ……☆
g(x) = e(x) - 1 のときは
☆ を満たす a が存在しない。
問題が成立していない。
（というか解なし）
1015:１３２人目の素数さん
19/10/23 23:49:55 ym3bAKR8.net
ありがとうございます。結果を与式に代入して積分しても右辺が全く違う関数になったので(2)は問題の不備ということでいいんですね
URLﾘﾝｸ(dotup.org)
ちなみに練習問題のこの2問も同じような感じになったのですが、こちらもやはり問題がおかしいですよね
URLﾘﾝｸ(dotup.org)
1016:１３２人目の素数さん
19/10/24 00:02:25 Lz3oKbie.net
>>978
出典は何なん？
1017:１３２人目の素数さん
19/10/24 00:10:25.42 oBsjUIps.net
一応某大手予備校のテキストです、名前は伏せさせてください…
ただまあレベル的には一番下の教材なので作る側も気合い入ってないしチェックも適当なんですかね？
1018:１３２人目の素数さん
19/10/24 00:20:43 9Mhe0/PV.net
>>980
一文字目はSとかKとか？
1019:１３２人目の素数さん
19/10/24 00:27:10 8bsruw0M.net
>>973
tf(t)を積分してxで微分するとxf(x)になるでいんだっけ？部分積分しなきゃいけないけどそんな綺麗な結果になるの？
1020:１３２人目の素数さん
19/10/24 00:31:50.78 /O8Qdo9l.net
>>980
当たり前だ
1021:１３２人目の素数さん
19/10/24 00:32:21.47 /O8Qdo9l.net
>>982
ならいでか