19/10/13 19:53:30 6F2PPbdU.net
>556
通りすがりだが、略解のみ。
任意の自然数n と非負整数r (0≦r≦n) に対して、P(n,r):= n(n-1)(n-2)…(n-r+1)
任意の自然数n に対して、 P(n,0):= 1,
i) n=1 に対しては r=0,1 なので r!=1、P(1,r)=1 は r! で割り切れる。
また r=0 のときは定義から明らか。
ii) ある自然数nに対して P(n,r) が r!で割り切れるとすれば、P(n+1,r)も r! で割り切れることを以下に示す。
P(n+1,r) = (n+1)n(n-1)････(n-r+2)
= {(n-r+1) + r}n(n-1)････(n-r+2)
= n(n-1)････(n-r+1) + r*n(n-1)･･･(n-r+2)
= P(n,r) + r*P(n,r-1),
ここで P(n,r)はr!で割り切れ、P(n,r-1)は(r-1)!で割り切れる。
∴ P(n+1,r) も ｒ! で割り切れる。
i),ii)より、数学的帰納法により証明できた。
こんなんでどう？