暇つぶし2chat MATH
- 暇つぶし2ch758:
19/10/13 13:45:49 BLOFwXP+.net
>>556
通りすがりだが、略解のみ。
n≧r>1として
X=r!=Π[k=1,r]k、Y=nPr=Π[k=n-r+1,n]k とおく。
r!の素因数はr以下の素数のみ。
以下、1からrまでの自然数の集合をA、n-r+1からnまでの自然数の集合をBとする。

まず
【補題1】aを自然数として、Aに含まれるaの倍数の個数≦Bに含まれるaの倍数の個数
を示す(証明略)

r以下の素数の個数をK、r以下の素数をpi(i=1~K)とする。
Xの素因数分解に含まれるpiの個数をxi,Yの素因数分解に含まれるpiの個数をyiとおくと
pi^(N+1)>nとなる適当なNをとって
xi=Σ[k=1,N](Aに含まれるpi^kの倍数の個数)
yi=Σ[k=1,N](Bに含まれるpi^kの倍数の個数)
であり、補題1よりxi≦yi

Xの任意の素因数について Xに含まれる個数≦Yに含まれる個数 なので、YはXの倍数。


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