19/10/13 08:31:18.58 KE/DQQhy.net
>>556
>組み合わせの記号nＣrの値は必ず自然数になりますよね
このことは認めた上で回答してよい訳ですか。文章を読むと、どうやらそのようですな。
[第１段]：nは2以上の正整数と仮定してよい。rは 2≦r≦n を満たす正整数と仮定してよい。
二項係数つまりは組合せの総数 nCr は正整数として考えてよい。
そこで、nを2以上の正整数、かつrを 2≦r≦n を満たす正整数と仮定する。
そのように仮定した上で、尚かつ二項係数つまりは組合せの総数 nCr を正整数と仮定して考える。
A＝{1,…,n} とする。
合計丁度1個の有限列 n、n-1、…、n-r+1 は整数の大小関係について大きい方から順に、
何れも相異なる合計丁度 1+(r-1)＝r 個の正整数 n、n-1、…、n-r+1 を重複を許さずに並べることで構成出来る。
また、正整数の全体からなる集合 N＼{0} は正整数の積の二項演算×について可換な半群をなすから、
任意の相異なる合計丁度r個の正整数の積は N＼{0} の点である。よって、n(n-1)(n-2)…(n-r+1)∈N＼{0}。
[第２段]：1)：r＜n のとき。階乗の定義から (n-r)! は相異なる合計丁度 n-r+1 個の自然数の積として表される正整数だから、
同様に (n-r)!∈N＼{0}。ここに、0は自然数として考えている。
2)：r＝n のときは、階乗の定義から、(n-r)!＝0!＝1 だから、(n-r)!∈N＼{0}。
1)、2)から、(n-r)!∈N＼{0}。
[第３段]：階乗の定義から n!＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1)×(n-r)! だから、可換半群 N＼{0} の性質から同様に n!∈N＼{0}。
同様に階乗の定義から n(n-1)(n-2)…(n-r+1)＝(n!)/((n-r)!) だから、同様に (n!)/((n-r)!)∈N＼{0}。
相異なる合計丁度n個の点からなる有限集合Aに属する点の中から、
合計丁度r個の点を任意に重複を許さずに選んで並べて出来る有限列の総数は nPr と表されるから、
相異なるn個の点からなる有限集合Aに属する点の中から合計丁度r個の点を任意に重複を許さずに選ぶ方法の総数は nPr である。
故に、nPr＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1) から nPr∈N＼{0}。
二項係数つまりは組合せの総数 nＣr の定義から、nCr＝(n!)/( (r!)((n-r)!) ) だから、r!×nCr＝(n!)/( ((n-r)!) )。
よって、r!×nCr＝nPr。ところで二項係数 nCr を正整数と仮定しているから、(nPr)/(r!)∈N＼{0}。故に、(r!)|(nPr)。