19/10/12 10:10:36.74 WA+ShdaC.net
(1)
AP=a、BP=bとすると、
△ARP=(asinθ)(-acosθ)/2=(-sinθcosθ)a²︎/2
△BQP=(bsinθ)(-bcosθ)/2=(-sinθcosθ)b²︎/2
△APB=(1/2)absinθ
なので、
S=△ARP+△BQP+△APB=(sinθ/2)(ab-(a²︎+b²︎)cosθ)
ここで、余弦定理より a²︎+b²︎-2abcosθ=4…(＊)
よって、a²︎+b²︎=4+2abcosθなので、
S=(sinθ/2)(ab-4cosθ-2abcos²︎θ)
=(sinθ/2)(ab(1-2cos²︎θ)-4cosθ)
=(sinθ/2)(-abcos(2θ)-4cosθ)
=(-sinθcos(2θ)/2)ab-sin(2θ)…(%)
あとは、abの取りうる値の範囲を求めよう。
まず、円周角の定理からπ/2<θ<π…(#)である。
(＊)より、(a-bcosθ)²︎+b²︎sin²︎θ=4なので、
b=2sinφ/sinθ , a-bcosθ=2cosφ
とおける。(∵(#)よりsinθ≠0)a>0,b>0なので、
2sinφ/sinθ>0…① , 2cosφ+2sinφ/tanθ>0…②
①より、0<φ<πとしてよい。
このときsinφ>0であり、(#)よりtanθ<0なので
②からcosφ>0が必要。よって、0<φ<π/2としてよく、
②より-cosφ<sinφ/tanθ ∴ tan(π-θ)>tanφ
したがって、①∧②⇔0<φ<π-θ…(☆)である。
よって、(#)と合わせて
π/2<θ<2φ+θ<2π-θ<3π/2 であり、
ab=(2sinφ/sinθ)(2cosφ+2sinφ/tanθ)
=4(sinφ/sin²︎θ)(sinθcosφ+cosθsinφ)
=4sinφsin(θ+φ)/sin²︎θ
=2(cosθ-cos(2φ+θ))/sin²︎θ
であるから、0<ab≦2(cosθ+1)/sin²︎θ=2/(1-cosθ)
したがって、(%)と合わせて
[1]π/2<θ<3π/4のとき
-sin(2θ)<S≦(-sinθcos(2θ)/(1-cosθ))-sin(2θ)
すなわち -sin(2θ)<S≦(sinθ-sin(2θ))/(1-cosθ)
[2]θ=3π/4のとき
S=-sin(2θ)
[3]3π/4<θ<πのとき
-sin(2θ)>S≧(sinθ-sin(2θ))/(1-cosθ)
(2)
左辺を微分すれば求まる。