19/10/11 14:22:34.93 GTPYQkkl.net
>>645
自分の解答はかなり泥臭いものなので、他の人の解答と見比べたいのです
だから先に自分の解答を提示するのは意図的に避けています
673:１３２人目の素数さん
19/10/11 14:38:42.12 k22vy743.net
正直に、わからないので模範解答を書いてください、と言えば良いのに
674:１３２人目の素数さん
19/10/11 15:00:55.81 UeHPaXRl.net
嘘を言いたくはありません
675:１３２人目の素数さん
19/10/11 15:31:15.31 riYvBzKN.net
>>603
いやいや、だからその式が自然数になることの説明は？
676:１３２人目の素数さん
19/10/11 15:35:12.11 riYvBzKN.net
>>650
誰かが泥臭い解答で出してきたら二度手間なんだから、初めからこの解答は無しで、って言わないと失礼だろ
677:１３２人目の素数さん
19/10/11 15:38:44.05 VG89j/Ih.net
>>654
自分としては自由に解いてほしいんです
スマートじゃなくてもいいので
誰かが解答を上げてくれましたら自分の解答も上げます
678:１３２人目の素数さん
19/10/11 15:46:20.82 iZJWnoK0.net
ふざけてんの？
679:１３２人目の素数さん
19/10/11 15:47:16.96 riYvBzKN.net
>>655
失礼な奴だなあ
680:１３２人目の素数さん
19/10/11 15:49:35.83 xY2Nv4Cf.net
なぜそんなに自分の解答が見たいんですか…
681:イナ
19/10/11 15:55:28.11 AWks4Xyn.net
前>>403
>>591おもしろい。
(2)題意に添ってPを動かすと、P(0,1/2)のとき、Sは最大だと思う。APまたはBPはピタゴラスの定理より、
{(1/2)^2+1^2}=√5/2
S=△ABQ+△ABR-△ABP
√3-(1/2)(√5/2){(√5/2)(1/√3)}
=√3-5/8√3
=19√3/24
19号ですね。
682:１３２人目の素数さん
19/10/11 16:02:13.98 YULRpgNc.net
1～nを並べてな集合Xに最初のr個の並べ替えと最後のn-r個の並べ替えでS[r]×S[n-r]を作用させた時の軌道の数は
#X/#S[r]×S[n-r]=n!/(r!(n-r)!)。
683:１３２人目の素数さん
19/10/11 16:51:24.46 Q+QVtJOo.net
19号（ハギビス）情報
<11日15時>
大型、非常に強い
八丈島の南南西約550km にあって
北北西に進む 25km/h
中心気圧 925hPa
中心付近の最大風速 50m/s
最大瞬間風速 70m/s
684:１３２人目の素数さん
19/10/11 17:40:02.89 2sV8Wxw2.net
>>659
一致しません
P(0,1/2)で最大というのは勘ですか？
685:１３２人目の素数さん
19/10/11 19:03:32.46 Capl8jbt.net
不等式0 <= y <= -x^2 +7x -10の表す領域をDとする。正方形Zの４つの頂点P,Q,R,Sは
この順に反時計回りに並んでいて、Q,Rはともにy軸上にある。またZの対角線の交点Tは
D内にある。次の問に答えよ。
(1) Tの座標を(x ,y)とし、Zの右下の頂点Sの座標を(X, Y)とするとき、x, yをX,Yを用いて表せ。
(2) TがD内を動くとき、Sが動く範囲を図示せよ。
(3) TがD内を動くとき、Zの周が動く範囲を図示せよ。
猛者の解答を求む
686:１３２人目の素数さん
19/10/11 19:14:56.15 MvXp2U/u.net
>>591
書くのが大変なんですが、∠PAB=α、∠PBA=βにしてまずθ+α+β=π
五角形の面積を△RAB+△QAB-△PABで求める
という流れでいけば
2sinθ-cosθ/2sinθから2sinθ-(1+cosθ)/sinθまでの範囲ではないかと
687:１３２人目の素数さん
19/10/11 19:15:28.94 D3BhNefa.net
>>653
場合の数と順列の数だからだよ
定義なんですがｗ
688:１３２人目の素数さん
19/10/11 20:16:54.55 dIWjlWmf.net
>>664
書くのが大変かどうかは私と関係ありません。
方針だけ書いてマウント取るのはやめてください
689:１３２人目の素数さん
19/10/11 20:19:38.98 x3Pm3RJL.net
>>666
これは自分ではありませんのでご注意を
690:１３２人目の素数さん
19/10/11 20:21:31.45 x3Pm3RJL.net
>>664
自分はそうなりませんでした…
できれば細かに書いて頂けると助かります
691:１３２人目の素数さん
19/10/11 20:46:09.79 TGC/qhJf.net
一人称「自分」は例外なくバカ、もしくはキチガイ
692:１３２人目の素数さん
19/10/11 21:35:22.24 D3BhNefa.net
>>669
自分が一番みたいやでｗ
693:イナ
19/10/11 21:52:12.32 AWks4Xyn.net
前>>659
>>663
(1)x=X/2
y=Y+x=X/2+Y
(2)作図した。
Dの境界である放物線、
y=-x^2+7x-10
=-(x-2)(x-5)の頂点(7/2,9/4)およびx軸上の点(2,0),(5,0)を右下45°の方向に移動させるには、
x方向に、X-x=X-X/2=X/2
y方向に、y-Y=X/2+Y-Y=X/2
だけ移動させたらよい。
同じX/2になったのであってる可能性が高い。
(3)作図した。(2)と同様にして放物線をあと3つ描いた。
694:１３２人目の素数さん
19/10/12 00:55:55.41 hFZo15fW.net
>>661
19号 (ハギビス)
695: 情報 <12日00時> 大型、非常に強い 八丈島の南西約410 km にあって 北に進行中 20 km/h 中心気圧 935 hPa 中心付近の最大風速 45 m/s 最大瞬間風速 65 m/s
696:１３２人目の素数さん
19/10/12 03:34:14.05 1pQ9GS+/.net
>>622
こいつ頭悪すぎて草生える
697:
19/10/12 03:36:53 S+X7GMfk.net
>>673
こいつ話題に乗り遅れすぎて草生える
698:１３２人目の素数さん
19/10/12 03:39:18 hDzSssMZ.net
>>674
こんな流れの遅いスレで何いってんだこいつ
他板からのお客さんか？
半年ROMってろって文化が廃れたのは悲しいな
699:
19/10/12 03:41:13 S+X7GMfk.net
と顔真っ赤で必死に書き込むトーシローｗ
700:１３２人目の素数さん
19/10/12 03:48:36 nNIWyF9A.net
なんか顔真っ赤にしちゃってるな
701:１３２人目の素数さん
19/10/12 04:50:48.26 1zAx5Z+F.net
>>676
半年romってろ
702:１３２人目の素数さん
19/10/12 05:16:53.97 S+X7GMfk.net
>>678
一生romってろ
703:１３２人目の素数さん
19/10/12 09:41:51.92 5jar0q4E.net
>>591
△APR+△BPQ
=(AP^2+BP^2)sin(-2θ)/4
=(AB^2+2AP*BPcosθ)sin(-2θ)/4
=(1+△PAB/tan(θ))sin(-2θ)
=sin(-2θ)-(cos(2θ)+1)△PAB
S=-sin(2θ)-cos(2θ)△PAB
0<△PAB<=sin(θ)/(1-cos(θ))
-sin(2θ)<S<=(sin(θ)-sin(2θ))/(1-cos(θ))
sin(θ)=√(2√3)/2, cos(θ)=(1-√3)/2のとき右辺最大
0<S<=(3+√3)√(2√3)/2
704:１３２人目の素数さん
19/10/12 09:47:19.08 LBq3GV/u.net
>>647
>r個の自然数 1、…、r の直後に続く (r-1)+1＝r 個の自然数だから、n＝r+r＝2r。
？
705:１３２人目の素数さん
19/10/12 09:48:47.70 LBq3GV/u.net
>>647
>よって、n(n-1)(n-2)…(n-r+1)＝2r(2r-1)(2r-2)…(r-1)。
n-r+1=2r-r+1=r+1
706:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:09:40.93 WA+ShdaC.net
>>680
やり方まで完璧に一致しました！
ちょっと計算量多いですけど、これが一般的なやり方だったんですかね
707:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:10:00.01 WA+ShdaC.net
本当にありがとうございます
詳しく書いた自分の解答も載せます
708:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:10:36.74 WA+ShdaC.net
(1)
AP=a、BP=bとすると、
△ARP=(asinθ)(-acosθ)/2=(-sinθcosθ)a²︎/2
△BQP=(bsinθ)(-bcosθ)/2=(-sinθcosθ)b²︎/2
△APB=(1/2)absinθ
なので、
S=△ARP+△BQP+△APB=(sinθ/2)(ab-(a²︎+b²︎)cosθ)
ここで、余弦定理より a²︎+b²︎-2abcosθ=4…(＊)
よって、a²︎+b²︎=4+2abcosθなので、
S=(sinθ/2)(ab-4cosθ-2abcos²︎θ)
=(sinθ/2)(ab(1-2cos²︎θ)-4cosθ)
=(sinθ/2)(-abcos(2θ)-4cosθ)
=(-sinθcos(2θ)/2)ab-sin(2θ)…(%)
あとは、abの取りうる値の範囲を求めよう。
まず、円周角の定理からπ/2<θ<π…(#)である。
(＊)より、(a-bcosθ)²︎+b²︎sin²︎θ=4なので、
b=2sinφ/sinθ , a-bcosθ=2cosφ
とおける。(∵(#)よりsinθ≠0)a>0,b>0なので、
2sinφ/sinθ>0…① , 2cosφ+2sinφ/tanθ>0…②
①より、0<φ<πとしてよい。
このときsinφ>0であり、(#)よりtanθ<0なので
②からcosφ>0が必要。よって、0<φ<π/2としてよく、
②より-cosφ<sinφ/tanθ ∴ tan(π-θ)>tanφ
したがって、①∧②⇔0<φ<π-θ…(☆)である。
よって、(#)と合わせて
π/2<θ<2φ+θ<2π-θ<3π/2 であり、
ab=(2sinφ/sinθ)(2cosφ+2sinφ/tanθ)
=4(sinφ/sin²︎θ)(sinθcosφ+cosθsinφ)
=4sinφsin(θ+φ)/sin²︎θ
=2(cosθ-cos(2φ+θ))/sin²︎θ
であるから、0<ab≦2(cosθ+1)/sin²︎θ=2/(1-cosθ)
したがって、(%)と合わせて
[1]π/2<θ<3π/4のとき
-sin(2θ)<S≦(-sinθcos(2θ)/(1-cosθ))-sin(2θ)
すなわち -sin(2θ)<S≦(sinθ-sin(2θ))/(1-cosθ)
[2]θ=3π/4のとき
S=-sin(2θ)
[3]3π/4<θ<πのとき
-sin(2θ)>S≧(sinθ-sin(2θ))/(1-cosθ)
(2)
左辺を微分すれば求まる。
709:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:14:02.24 WA+ShdaC.net
△PABでSを表していない所は異なるから完璧に一致とまでは言えないかもしれないですが
710:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:17:22.38 WA+ShdaC.net
いや、先方のやり方のほうがだいぶ計算量少な�
711:｢…？
712:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:24:25.51 +0t3lN+M.net
この程度で計算量多いか？普通だろ
713:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:31:54.56 9aeHIF7K.net
>>688
この問題はB5サイズの解答用紙を想定してるので
自分の解答だと収まるか微妙ということで計算量は多いです
714:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:44:53.50 +0t3lN+M.net
全ての計算式を答案に書く必要はないでしょ
適当に間引けば良いじゃん
715:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:48:04.18 Ty9mG3gK.net
てか>>591は(1)が(2)の誘導のつもりなんだろうけど(2)だけなら(1)はかえって無駄に手間取るクソ問なんだよな。
716:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:51:52.47 dBNhjaL1.net
>>681-682
>>649に
＞>>647も間違っていた。
と書いてある。細かい揚げ足取りは不要。
nCr＝n!/(r!(n-r)!) は二項係数だから、パスカルの三角形の性質から、>>560は証明するまでもなく直観的に分かる話。
717:１３２人目の素数さん
19/10/12 11:39:11 +0t3lN+M.net
>>692
数学の証明で直観的に明らかって書くのか…
718:１３２人目の素数さん
19/10/12 11:50:03.66 mbp8aACd.net
そもそも、場合の数を表す式だから当然に自然数ということ以外の証明を求めている質問なんじゃないのか
719:１３２人目の素数さん
19/10/12 11:55:33.73 dBNhjaL1.net
>>693
漸化式を得てその漸化式を用いて、二項係数が自然数であることや
パスカルの三角形の存在性を示すことは出来るが、高校でそんなことしないだろ。
正の整数と正の整数の和は正の整数である。
高校ではパスカルの三角形やっているから、殆ど自明だよ。
もし、>>560が問題になるのであれば、漸化式を得ることから始まる。
720:１３２人目の素数さん
19/10/12 12:04:27.31 p5/2jBdr.net
>>674様がお前らに話題の流行について何か言いたそうにしている
721:１３２人目の素数さん
19/10/12 12:12:16.77 LBq3GV/u.net
>>692
>ID:dBNhjaL1
の書いた文字の数が自然数であることを証明せよ
722:１３２人目の素数さん
19/10/12 12:19:33.85 dBNhjaL1.net
>>697
問題文に「文字」の定義やレスの個数が不明なことなどといった曖昧な点もあり、証明する気もない。
723:１３２人目の素数さん
19/10/12 12:47:54.23 /8I65Fdj.net
出発点は >>556
724:１３２人目の素数さん
19/10/12 13:31:07.98 LBq3GV/u.net
>>698
頑張ったで賞
725:１３２人目の素数さん
19/10/12 16:57:34 7NaOG/ZF.net
正の数a,b,c,dは満たす次の条件を。
・ a+b+c+d=4a
・ ab+ac+ad+bc+bd+cd=6b^2
・ abc+abd+acd+bcd=4c^3
・ abcd=d^4
a=b=c=dのときなら明らか。これ以外の場合はありますか。
726:
19/10/12 16:59:24 Vy+smElV.net
ない
727:
19/10/12 18:09:08 hFZo15fW.net
a≧b≧c≧d
また
0 = 4a - (a+b+c+d) = (a-b) + (a-c) + (a-d) ≧0,
1 = abcd/(d^4) = (a/b)(b/d)(c/d) ≧ 1,
728:
19/10/12 18:09:51 hFZo15fW.net
>>672
19号 (ハギビス) 情報
<12日16時>
大型、非常に強い
下田市の南西約90 km にあって
北北東に進行中 35 km/h
中心気圧 945 hPa
中心付近の最大風速 45 m/s
最大瞬間風速 60 m/s
729:１３２人目の素数さん
19/10/12 18:17:01.53 quNqMqaH.net
a≧b≧c≧dってできるか？
730:１３２人目の素数さん
19/10/12 23:22:28.49 By254hnA.net
できない
731:１３２人目の素数さん
19/10/12 23:27:12.13 ooKAZ1y5.net
f(x)=(x^π)-(π^x)(0<x<π)
f(x)の最大値をMとおく。
(1)f(x)はただ一つの実数解を持つことを示せ
(2)(1)の実数解をαとしたときf(x)=Mとなるxはα<x<πをみたすことを示せ
(3)M>1/2を示せ
(1)は対数をとって、(2)は平均値の定理から解けたのですが(3)がどうしても解けません
解法分かる方教えて頂きたいです
732:１３２人目の素数さん
19/10/12 23:29:11.02 u27lHLBB.net
>>705
頑張ってみたけど、�
733:ｳの問題を解いた後の系になってしまうｗ
734:１３２人目の素数さん
19/10/13 01:51:52.40 yJs0KBvR.net
微分して増減取るのかねえ
735:１３２人目の素数さん
19/10/13 02:27:11.56 6F2PPbdU.net
>>705 >>708
頑張ってみた。
3(a+b+c+d)^2 - 8(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
= (a-b)^2 + (a-c)^2 + (a-d)^2 + (b-c)^2 + (b-d)^2 + (c-d)^2 ≧ 0,
∴ a ≧ b,
3(ab+ac+ad+bc+bd+cd)^2 - 9(a+b+c+d)(abc+abd+acd+bcd)
= (cc+cd+dd)(a-b)^2 + (bb+bd+dd)(a-c)^2 + (bb+bc+cc)(a-d)^2
+ (aa+ad+dd)(b-c)^2 + (aa+ac+cc)(b-d)^2 + (aa+ab+bb)(c-d)^2 ≧ 0,
∴ b^4 ≧ ac^3,
∴ b ≧ c,
AM-GMで
abc+abd+acd+bcd ≧ 4(abcd)^(3/4),
∴ c ≧ d,
736:１３２人目の素数さん
19/10/13 02:49:13.21 m8dyiQfg.net
実質後半は
a,b,c≧d と abc=d^3
だけでいけるからam≧gmだけでいけそうだけど
737:１３２人目の素数さん
19/10/13 08:31:18.58 KE/DQQhy.net
>>556
>組み合わせの記号nＣrの値は必ず自然数になりますよね
このことは認めた上で回答してよい訳ですか。文章を読むと、どうやらそのようですな。
[第１段]：nは2以上の正整数と仮定してよい。rは 2≦r≦n を満たす正整数と仮定してよい。
二項係数つまりは組合せの総数 nCr は正整数として考えてよい。
そこで、nを2以上の正整数、かつrを 2≦r≦n を満たす正整数と仮定する。
そのように仮定した上で、尚かつ二項係数つまりは組合せの総数 nCr を正整数と仮定して考える。
A＝{1,…,n} とする。
合計丁度1個の有限列 n、n-1、…、n-r+1 は整数の大小関係について大きい方から順に、
何れも相異なる合計丁度 1+(r-1)＝r 個の正整数 n、n-1、…、n-r+1 を重複を許さずに並べることで構成出来る。
また、正整数の全体からなる集合 N＼{0} は正整数の積の二項演算×について可換な半群をなすから、
任意の相異なる合計丁度r個の正整数の積は N＼{0} の点である。よって、n(n-1)(n-2)…(n-r+1)∈N＼{0}。
[第２段]：1)：r＜n のとき。階乗の定義から (n-r)! は相異なる合計丁度 n-r+1 個の自然数の積として表される正整数だから、
同様に (n-r)!∈N＼{0}。ここに、0は自然数として考えている。
2)：r＝n のときは、階乗の定義から、(n-r)!＝0!＝1 だから、(n-r)!∈N＼{0}。
1)、2)から、(n-r)!∈N＼{0}。
[第３段]：階乗の定義から n!＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1)×(n-r)! だから、可換半群 N＼{0} の性質から同様に n!∈N＼{0}。
同様に階乗の定義から n(n-1)(n-2)…(n-r+1)＝(n!)/((n-r)!) だから、同様に (n!)/((n-r)!)∈N＼{0}。
相異なる合計丁度n個の点からなる有限集合Aに属する点の中から、
合計丁度r個の点を任意に重複を許さずに選んで並べて出来る有限列の総数は nPr と表されるから、
相異なるn個の点からなる有限集合Aに属する点の中から合計丁度r個の点を任意に重複を許さずに選ぶ方法の総数は nPr である。
故に、nPr＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1) から nPr∈N＼{0}。
二項係数つまりは組合せの総数 nＣr の定義から、nCr＝(n!)/( (r!)((n-r)!) ) だから、r!×nCr＝(n!)/( ((n-r)!) )。
よって、r!×nCr＝nPr。ところで二項係数 nCr を正整数と仮定しているから、(nPr)/(r!)∈N＼{0}。故に、(r!)|(nPr)。
738:１３２人目の素数さん
19/10/13 08:36:51.27 leA/TMxk.net
違うと思うけどな
組み合わせの数と考えれば自然数になるのは当然だけどそれは使わずに数式から証明することは出来ないかっていう質問だと思う
739:１３２人目の素数さん
19/10/13 10:23:12.80 yJs0KBvR.net
>>712
一行目から違う
740:１３２人目の素数さん
19/10/13 10:30:37 z/eu28dU.net
>>712
すんげ～低能ｗｗｗ
741:
19/10/13 10:40:22 KE/DQQhy.net
>>714
問題文の解釈や質問者の意図をめぐる>>713の是非は別にして、>>556には
>つまりnＰr＝n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)がr!で割り切れるって意味ですよね？
と式が書いてある。そこの等式にはn、n-1 という異なる2個の正整数が表れていることが見て取れる。
正整数と見なさないと等式に表れている数 n-2 の意味がなくなる。
それ故、一般的には n≧2、2≦r≦n と仮定して話を進める。
742:１３２人目の素数さん
19/10/13 10:47:07.73 z/eu28dU.net
>>716
>>714は
>>二項係数つまりは組合せの総数 nCr は正整数として考えてよい。
が違うつってんだろクソアホが。
743:１３２人目の素数さん
19/10/13 10:52:42.91 KE/DQQhy.net
>>717
＞>>714は
＞>>二項係数つまりは組合せの総数 nCr は正整数として考えてよい。
＞が違うつってんだろクソアホが。
この主張を認めるには>>714の「一行目」は「二行目」と訂正することになり、互いの主張に食い違いが生じる。
744:１３２人目の素数さん
19/10/13 10:52:43.03 KE/DQQhy.net
>>717
＞>>714は
＞>>二項係数つまりは組合せの総数 nCr は正整数として考えてよい。
＞が違うつってんだろクソアホが。
この主張を認めるには>>714の「一行目」は「二行目」と訂正することになり、互いの主張に食い違いが生じる。
745:１３２人目の素数さん
19/10/13 12:14:59.23 yJs0KBvR.net
>>716
この一行目が違うと言っている
これを証明しろと言ってる
>>組み合わせの記号nＣrの値は必ず自然数になりますよね
746:１３２人目の素数さん
19/10/13 12:21:49.48 m8dyiQfg.net
もういいじゃん。
あらかた出揃ったでしょ？
747:１３２人目の素数さん
19/10/13 12:45:43.76 z/eu28dU.net
>>721
とっくに終わってる話なのに何一つ理解できてないクソアホが
間違いだらけの長文でドヤ顔してるから叩かれてんだろ
748:１３２人目の素数さん
19/10/13 12:50:47.68 Qs1E5XjQ.net
以上、場合の数が整数でないと思う異常者たちの遠吠えでした
749:１３２人目の素数さん
19/10/13 12:55:36.97 J+O0/r6Y.net
負数も困るがな
750:１３２人目の素数さん
19/10/13 13:03:18.57 KE/DQQhy.net
>>720
>組み合わせの記号nＣrの値は必ず自然数
これはマトモな組合せ論(但しグラフ理論ではない)の本に載っているから、それを読めば済む話。
それより、むしろ>>713がいうように
>(順列の)数式から(代数的)に)証明すること
の方に関心がある。
>>722
お前さんが理解出来ないだけだと思う。
751:１３２人目の素数さん
19/10/13 13:09:12.49 11hvg21o.net
>>725
証明しろと言ってる中で本を読めとか感覚的に明らかとかそういう言葉遊びはやめましょうね、と言ってるんじゃ無いのかな
752:１３２人目の素数さん
19/10/13 13:13:55.04 KE/DQQhy.net
>>726
>>720のいうことを実行したら、実質的には本を書き写すことと同じようなことになる。
753:１３２人目の素数さん
19/10/13 13:17:09.47 11hvg21o.net
>>727
？それでいんじゃ無いの？
少なくとも書いてる内容は求められてることでは無いし
754:１３２人目の素数さん
19/10/13 13:20:29.22 KE/DQQhy.net
>>729
講義をするようなことになると思うけど。
755:１３２人目の素数さん
19/10/13 13:22:08.82 KE/DQQhy.net
>>728
>>729は>>728へのレス。
756:１３２人目の素数さん
19/10/13 13:35:57.75 c3fh1rSu.net
御託はいいからさっさと書いたらどうですか？
757:１３２人目の素数さん
19/10/13 13:45:27.67 11hvg21o.net
>>729
それが求められてることなんだけど…
758:
19/10/13 13:45:49 BLOFwXP+.net
>>556
通りすがりだが、略解のみ。
n≧r>1として
X=r!=Π[k=1,r]k、Y=nPr=Π[k=n-r+1,n]k とおく。
r!の素因数はr以下の素数のみ。
以下、1からrまでの自然数の集合をA、n-r+1からnまでの自然数の集合をBとする。
まず
【補題１】aを自然数として、Aに含まれるaの倍数の個数≦Bに含まれるaの倍数の個数
を示す（証明略）
r以下の素数の個数をK、r以下の素数をpi（i=1～K）とする。
Xの素因数分解に含まれるpiの個数をxi，Yの素因数分解に含まれるpiの個数をyiとおくと
pi^(N+1)>nとなる適当なNをとって
xi=Σ[k=1,N]（Aに含まれるpi^kの倍数の個数）
yi=Σ[k=1,N]（Bに含まれるpi^kの倍数の個数）
であり、補題１よりxi≦yi
Xの任意の素因数について Xに含まれる個数≦Yに含まれる個数 なので、YはXの倍数。
759:１３２人目の素数さん
19/10/13 14:13:36.52 oQHi6q4j.net
>556
任意の自然数n,r(r≦n)に対して、C(n,r):= n(n-1)(n-2)…(n-r+1)/r! と定義すると
i)任意の自然数nに対してC(n,1)=n/1=n なので、C(n,1)は自然数となる。
ii)ある自然数rに対してC(n,r)が自然数であるとすれば、C(n,r+1)も自然数となることを以下に示す。
r+1の一つの素因数をpとするとr+1= kp^l (k,lは自然数）とおける。
1からr+1までの連続するkp^l個の自然数に現れるp,p^2,p^3…の回数を重複するものを避けて数え上
げて、(r+1)!=qp^mとなったとする（ただし、qはpとは素な
760:自然数で、m≧l）。 (r+1)!/r!=r+1=kp^lなので、r!に含まれる素因数pの次数は(m-l)となる。 一方、n(n-1)…(n-r+1)(n-r)は連続するkp^l個の自然数なので、その中に現れるp,p^2,,,の回数 を重複するものを避けて数え上げれば少なくともpの次数はm以上となる。 ゆえに、C(n,r)(n-r)=n(n-1)…(n-r+1)(n-r)/r!はpのl乗の倍数でなければならない。 r+1の他の素因数に対しても同じことが言えるので、C(n,r)(n-r)は(r+1)の倍数となる。 よって、C(n,r+1)=C(n,r)(n-r)/(r+1)は自然数。 i),ii)より、数学的帰納法により証明できた。 こんなんでどう？
761:１３２人目の素数さん
19/10/13 14:16:46.13 NZ+QexBD.net
>>733
>Aに含まれるaの倍数の個数
たぶん
「それは整数ですか？証明してください！」
と言い出す奴がでる
に100万ガウス
762:１３２人目の素数さん
19/10/13 14:18:20.13 oQHi6q4j.net
よく確かめてないけど、もしかして、>>733に先を越されちゃってた？
だとしたら、悲しい… (T_T)
763:１３２人目の素数さん
19/10/13 14:22:21.41 oQHi6q4j.net
>>734
気を取り直して、ちと修正。
×p,p^2,p^3…の回数
↓
○p,p^2,p^3…の倍数の回数
もう一箇所も同様。
764:１３２人目の素数さん
19/10/13 14:23:47.76 NZ+QexBD.net
>>736
だとしたら
隣り合うr個の代わりに2ずつ離れたr個ならどうだかって風に拡張するのが数学だろ
765:１３２人目の素数さん
19/10/13 14:27:49.03 oQHi6q4j.net
ん？レス先間違い？ >>738
766:１３２人目の素数さん
19/10/13 14:29:55.68 oQHi6q4j.net
高校生的には>>734のほうがわかり易くないか？（自画自賛でスマン）
767:１３２人目の素数さん
19/10/13 14:36:27.61 9wflnQXn.net
>>567で片付いてる議論をいつまでやるの？
768:１３２人目の素数さん
19/10/13 14:44:30.51 KE/DQQhy.net
>>731-732
>>730を書いた直後にメシ食ったし、それじゃ今から準備する。
769:１３２人目の素数さん
19/10/13 14:46:28 lHGK/+40.net
>>674
そんな話してるとこのキチガイがまた怒り出すぞ
770:１３２人目の素数さん
19/10/13 14:47:29 NZ+QexBD.net
>>741
>>567は筋が悪いね
771:
19/10/13 14:53:22 6F2PPbdU.net
>>705 >>710
〔マクローリンの不等式〕
Ｐ_k = (n文字のk次の基本対称式) / nＣk,
とおくと
Ｐ_1 ≧ √(Ｐ_2) ≧ ････ ≧ (Ｐ_k)^(1/k) ≧ ････ ≧ (Ｐ_n)^(1/n),
数セミ増刊「数学の問題」第(1)集、日本評論社 (1977)
●21
E.F.Beckenbach & R.Bellmann: "Inequalities", Ergebnisse叢書, Springer-Verlag (1961)
p.11
772:１３２人目の素数さん
19/10/13 15:11:34.79 6F2PPbdU.net
>>711
a+b+c+d = 4a,
abcd = d^4,
から
(b+c)/2 ≧ a ≧ d ≧ √(bc),
になるけど････
773:１３２人目の素数さん
19/10/13 15:50:37.93 z/eu28dU.net
アホらしいから昼寝してたぜ。
終わったか低能ども。
774:１３２人目の素数さん
19/10/13 18:31:27.31 H8AX9dDl.net
>>671イナ ◆/7jUdUKiSM 2019/10/11(金) 21:52:12.32ID:AWks4Xyn
>全くの誤りだから、役立たず。もう一度やり直し
775:１３２人目の素数さん
19/10/13 19:01:39.86 m8dyiQfg.net
>>746
amgmだけで
a = (a+b+c+d)/4 ≧ (abcd)^(1/4) = d
b = ((ab + ac+ ad + bc + bd + cd)/6)^(1/2)
≧ ((abacadbcbdcd)^(1/6))^(1/2) = (abcd)^(1/4) = d
c = ((abc + abd+ acd + bcd)/4)^(1/3)
≧ ((abcabdacdbcd)^(1/4))^(1/3) = (abcd)^(1/4) = d
776:１３２人目の素数さん
19/10/13 19:04:58.06 tiEywG3W.net
>>643
わかりやすい解説ありがとうございました！
納得しました
777:１３２人目の素数さん
19/10/13 19:25:08.02 tiEywG3W.net
>>642
>>64
778:6 いまようやく解りました。 ありがとうございました。 とても助かりました。 このスレは親切な方が多くて良スレですね。
779:
19/10/13 19:53:30 6F2PPbdU.net
>556
通りすがりだが、略解のみ。
任意の自然数n と非負整数r (0≦r≦n) に対して、P(n,r):= n(n-1)(n-2)…(n-r+1)
任意の自然数n に対して、 P(n,0):= 1,
i) n=1 に対しては r=0,1 なので r!=1、P(1,r)=1 は r! で割り切れる。
また r=0 のときは定義から明らか。
ii) ある自然数nに対して P(n,r) が r!で割り切れるとすれば、P(n+1,r)も r! で割り切れることを以下に示す。
P(n+1,r) = (n+1)n(n-1)････(n-r+2)
= {(n-r+1) + r}n(n-1)････(n-r+2)
= n(n-1)････(n-r+1) + r*n(n-1)･･･(n-r+2)
= P(n,r) + r*P(n,r-1),
ここで P(n,r)はr!で割り切れ、P(n,r-1)は(r-1)!で割り切れる。
∴ P(n+1,r) も ｒ! で割り切れる。
i),ii)より、数学的帰納法により証明できた。
こんなんでどう？
780:
19/10/13 19:58:21 c3fh1rSu.net
nCrが組み合わせだという回答の次にスッキリしてて良い回答だと思います
P(n,n)がn!で割り切れるというのも必要な気がしますけど
781:１３２人目の素数さん
19/10/13 20:07:39.29 0Jzm3j2a.net
>>752
rの方を固定するの？nを固定したらダメなの？
nPrがr!で割り切れると仮定するとnPr+1が(r+1)!で割り切れる
としちゃダメなの？
782:１３２人目の素数さん
19/10/13 20:21:02.78 NZ+QexBD.net
>>754
なんでダメって思うのがダメ
783:１３２人目の素数さん
19/10/13 20:24:18.28 6F2PPbdU.net
>>753
r=n のときは P(n,n)=n! から明らか。
が抜けてますた。
>>754
nについての帰納法です。
r=0,1,･･･,n のn+1個を一まとめにして扱いました。
784:
19/10/13 20:34:08 6F2PPbdU.net
>>749
a, b, c ≧ (abcd)^(1/4),
ですね。
第4式から
(abcd)^(1/4) = d,
つまり
a･b･c = (abcd)^(3/4),
これらより
a = b = c = (abcd)^(1/4),
わかりやすい解説ありがとうございました！
納得しました。
いまようやく解りました。
ありがとうございました。
とても助かりました。
このスレは親切な方が多くて良スレですね。
785:１３２人目の素数さん
19/10/14 01:27:00 NS93ZhhO.net
>>756
それって、C(n+1,r)=C(n,r)+C(n,r-1)を使った>>567とまったく同じだろ？
(>>567は式をちょっと書き間違えてるけどねｗ）
ぱっと見、nについての帰納法だと、rが増やせない感じで気持ち悪いんだよね。
だから、そこんとをきちんと定式化して、
i)C(1,1)=1!/(1-1)!/1!=1, C(1,0)=1!/(1-0)!/0!=1
ii) ある自然数nに対して、0≦r≦nとなるすべての整数rについてC(n,r)が
自然数になると仮定すると、
1≦r≦nの場合、C(n+1,r)=C(n,r)+C(n,r-1)が自然数となることは自明。
また、C(n+1,0)=(n+1)!/(n+1-0)!0!=1、C(n+1,n+1)=(n+1)!/(n+1-n-1)!/(n+1)!=1
なので、やはり 0≦r≦n+1となるすべての整数rに対してC(n+1,r)は自然数になる。
i),ii)より数学的帰納法から、任意の自然数nに対して、0≦r≦nとなるどの整数r
についてもC(n,r)は自然数となる。
とすれば明快じゃないかな。
786:１３２人目の素数さん
19/10/14 01:35:20.86 NS93ZhhO.net
もちろん、C(n,1)=n!/(n-1)!/1!=n から出発して、C(n,r)が自然数なら、
C(n,r+1)も自然数としていく >>733や>>734の証明も別解としてありだと
思うが、C(n+1,r)=C(n,r)+C(n,r-1)を使うほうが簡単だな。
787:１３２人目の素数さん
19/10/14 01:36:56.45 NS93ZhhO.net
あ、すまん、>>733は帰納法じゃなかったね。
788:１３２人目の素数さん
19/10/14 01:40:46.05 ghs5S51C.net
組み合わせは自然数が一番簡単なのに未だに文句言ってる人はなんなんですかね
789:１３２人目の素数さん
19/10/14 01:52:01 NS93ZhhO.net
>>761
どれを簡単と感じるかは人それぞれ。いろんな証明法があっていい。
というか、あったほうがいい。
790:１３２人目の素数さん
19/10/14 02:20:44.15 aopKGu2j.net
>>755
アホ丸出し
791:１３２人目の素数さん
19/10/14 02:25:40.04 ghs5S51C.net
>>762
なくていいですよね
こんなくだらない問題いつまで続けてるんですか
792:１３２人目の素数さん
19/10/14 02:37:09.82 aopKGu2j.net
>>764
解けないんですね
793:１３２人目の素数さん
19/10/14 03:22:53.60 IM6ubKlo.net
>>761
その場合は、自然数である組み合わせC(n,r)がn!/(r!*(n-r)!)で表せることの証明に置き換わるだけ
や
794:ることは何も変わらない
795:
19/10/14 05:16:37 cHIxRdsu.net
この計算で合っているでしょうか？
問１
カードAが7毎、カードBが8枚、計15枚のカードがある。
ここから5枚引たときカードBが3枚以上含まれる確率を求めよ。
(8C5 + 8C4*7C1 + 8C3*7C2 ) / 15C5
=(56+490+1176)/3003
=82/143
問２
カードBの8枚にはそれぞれB1、B1、B1、B2、B2、B2、B3、B3、と書かれている。
問１から、B1B1B1AA、及びB2B2B2AAの場合を除外したときの確率を求めよ
(8C5 + 8C4*7C1 + 8C3*7C2 -7C2*2) / 15C5
=(56+490+1176-21)/3003
=81/143
問３
問２で失敗した場合、もう一度15枚のカードから5枚引いてやり直してよい場合の確率を求めよ。
81/143 + (143-81)/143 * 81/143
=16605/20449
≒0.812
スマホゲーのfate/grand orderやっていて、
ふと高校数学が懐かしくなって確率を厳密に計算したくなったやつです。
ゲーム的にはB8枚構成でBチェインで1wave1T突破する確率なんだけど
もしゲーム知ってる人がいたら、問題立てそのものも検証してくれると嬉しいです。
796:１３２人目の素数さん
19/10/14 08:18:14.30 rlE8oMm3.net
「組合せだから自然数！」くんは質問の趣旨を全く理解できてないな
797:無碍
19/10/14 09:21:06.83 0oBLmHWw.net
こんにちは。
わからない問題があるので質問させていただきます。
-------以下問題-------
all x{p(x) ⇒ q(x)}
と
exist x{p(x) ⇒ q(x)}
の意味を日本語で記述せよ。
----------------------
です。解答お待ちしております。
798:１３２人目の素数さん
19/10/14 09:47:20.63 NS93ZhhO.net
>>768
それにつきるねｗ
799:１３２人目の素数さん
19/10/14 10:03:56 X5yx4l1O.net
>>758
>それって、C(n+1,r)=C(n,r)+C(n,r-1)を使った>>567とまったく同じだろ？
>>567はその式証明してないが>>758は証明になってるから
同じというのは語弊がある
>>567も>>758もrに付いての帰納法ではない
rを増やせなくても良いわけ
(n+1,r)についての言明を(n,r)と(n,r-1)から導くというだけ
800:１３２人目の素数さん
19/10/14 10:10:37 X5yx4l1O.net
>>770
忖度し過ぎだね
連続したr個の数の積がr!で割り切れることの最も簡単な証明が
nPr=nCr・r!
および
nPr=n!/(n-r)!
を示すというもの
後者を示している書き込みがないところから見て
こちらの証明はほぼ自明と認識されているのだろうね
それに比すれば前者もほぼ自明なので
他にもいろいろな証明があるにせよ
これが最も簡単だろうね
801:１３２人目の素数さん
19/10/14 10:12:17 NS93ZhhO.net
>>771
>その式証明してないが>>758は証明になってるから
まあ、証明もなにも、そもそも>>567は式を書き間違えてるからねｗ
とはいえ、内容的にはまったく同じこと。
C(n+1,r)=C(n,r)+C(n,r-1)はよく出てくる公式で、証明も簡単にできる
ので省略したんでしょうね。
>rを増やせなくても良いわけ
いや、rはnとともに増やせなきゃだめでしょ。つまり、nが決まれば
r（の範囲）が決まり、その全てのrで成り立つことを明示的に示さな
いと証明としては不十分。
802:１３２人目の素数さん
19/10/14 10:14:31 X5yx4l1O.net
>>773
それは間違い
かの証明は
nについての帰納法であって
rは任意（帰納法ではない）
803:１３２人目の素数さん
19/10/14 10:17:17.16 X5yx4l1O.net
rの範囲はnによりほぼ自動的に定まり
その中のどのrでもよいので
明示的に書く必要はないね
804:１３２人目の素数さん
19/10/14 10:18:34.85 X5yx4l1O.net
>>775
>rの範囲はnによりほぼ自動的に定まり
定める必要すらないか
rは0（1でもよい）以上の整数何でもよろしい
805:１３２人目の素数さん
19/10/14 10:23:53.46 X5yx4l1O.net
証明をきれいにするには
n,r≧0にして
0Pr=0 (r>0)
nP0=1
から始めるのかな
806:１３２人目の素数さん
19/10/14 10:28:39 NS93ZhhO.net
>>772
ん？
質問者(=>>556)はnCrが自然数になるということの証明を求めて、間接的に
nPrがn!で割り切れることの証明を求めてるんだってことを理解してるの？
それだとnCrが自然数だからnPrがr!で割り切れるって言ってるだけだから
まったくのナンセンス。
807:１３２人目の素数さん
19/10/14 10:32:09 NS93ZhhO.net
>>774
rは任意じゃないでしょ。1Cr=1!/(1-r)!r!
ってr>1でどうすんのよｗ
0≦r≦nって制限があるんだから、nが増えれば、rの上限も
増えるのでr=n+1とr=0の場合はn+1に対して明示的に証明し
ておかないとだめだよ。
808:１３２人目の素数さん
19/10/14 10:38:00 NS93ZhhO.net
一方、nCrが自然数からnCr+1が自然数を導出するほうは、
n≧1の任意の自然数に対してnC1=nが自然数となることから出発
できるのでそのまま素直に帰納法として理解できる。が、証明は面倒。
809:１３２人目の素数さん
19/10/14 10:40:00 NS93ZhhO.net
>>767
やり方は正しいと思う。数値まではチェックしてない。
810:１３２人目の素数さん
19/10/14 11:06:00.65 X5yx4l1O.net
>>779
ここではnからr個の積をnPrとするわけ
1Pr=0 (r>1)でr!で割り切れるのよ
rは何でも良い
それからnCrが自然数であることを示せではなく
n個の積がr!で割り切れることを示せですよ
811:１３２人目の素数さん
19/10/14 11:07:22.89 X5yx4l1O.net
まあいずれにせよID:NS93ZhhO は>>758の証明の構造を良く理解してね
nについては帰納法rについては何でもよろしい
812:１３２人目の素数さん
19/10/14 11:09:29.81 X5yx4l1O.net
>>780
>nCrが自然数からnCr+1が自然数を導出する
無駄な証明だよそれ筋が悪い
813:１３２人目の素数さん
19/10/14 11:11:43.41 X5yx4l1O.net
ちなみに>>758は順列組合せ一切使っていない
単なるnからr個の数の積がr!で割り切れることの
nに関する帰納法の証明rは何でもよろしい
814:１３２人目の素数さん
19/10/14 11:38:41 NS93ZhhO.net
>>782
nCrが自然数だという前提なら、>>556は帰納法もクソもなく自明のことを
質問してるということになる。
そうじゃなくて、nCr=nPr/r!が自然数である（すなわちnPrがr!で割り切れる）
ことを、組み合わせの概念抜きに証明してくれという質問だと読み取るべき
なんじゃねーの？あんたおかしいよ。
815:１３２人目の素数さん
19/10/14 11:55:24.99 NS93ZhhO.net
>>783
おいおい、>>758を書いた本人に>>758を理解しろってどういうことだよｗ
負数の階乗が0になるのは高校数学では習わんのだから、しょうがないだろ。
それもいちいち証明しないといけないことになる。だとすれば、0≦r≦n
と限定してr=n+1の場合とn+1C0の場合について言及するしかない。
816:１３２人目の素数さん
19/10/14 11:56:42.37 NS93ZhhO.net
おっと、>>787
×負数の階乗が0になる
○負数の階乗の逆数が0になる
817:１３２人目の素数さん
19/10/14 12:05:35.36 X5yx4l1O.net
>>787
そうかすまんな
けれどnに関しては帰納法rに関しては任意という証明で
rが増えることについて特に言及は不要だろ
818:１３２人目の素数さん
19/10/14 12:08:21.11 X5yx4l1O.net
>>786
>nCrが自然数だという前提なら、>>556は帰納法もクソもなく自明のことを
>質問してるということになる。
それは違う
nPr=n…(n-r+1)
は前提の上で
nPrがr!であることを示して欲しいというものだと思うね
nPr=n…(n-r+1)は疑問ではないようだし
nPrは順列の数でそれは組合せの数であるnCrのr!倍となることは
自明ではないがそれほど難しいことでもない
nPr=n…(n-r+1)が自明であるというならそれとほぼ同等だが
ある程度の証明は必要にはなる事柄だろう
819:１３２人目の素数さん
19/10/14 12:13:52.86 X5yx4l1O.net
nPr=nCr・r!であるのは
{1,…,n}の部分集合のうちr個の要素数のものの全体の個数がnCrであり
その一つ一つについて並べたものが順列であって並べ方はr!通りあることから分かる
そのようにして構成した順列はお互い異なり
順列はすべてこのように構成できることから
nPr=nCr・r!
820:１３２人目の素数さん
19/10/14 12:19:51 X5yx4l1O.net
nPr=n…(n-r+1)は証明するべき事柄
nPr=nCr・r!も証明するべき事柄
いずれもそれほど難しくはないということでお仕舞い
それを最初から整数として定義されているnCrが整数であることを証明するとか筋が悪いことを言う人もいる
lim sinθ/θ=1をロピタルの定理で「証明」するなんてのもあるから筋の悪さの種は尽きないね
821:１３２人目の素数さん
19/10/14 12:52:56.13 lVQqfJbq.net
>>556
>>731-732
正
822:直疲れた。 定義まではしていない。あと、打ち間違いはあるかも知れない。 [第１段]：nは2以上の正整数と仮定してよい。rは 2≦r≦n を満たす正整数と仮定してよい。 そこで、nを2以上の正整数、かつrを 2≦r≦n を満たす正整数と仮定する。 A＝{1,…,n} とする。 合計丁度1個の有限列 n、n-1、…、n-r+1 をBで表す。 合計丁度1個の有限列 n-r+1、…、n-1、n をCで表す。 合計丁度1個の有限列 1、2、…、r をDで表す。 合計丁度1個の有限列Bは整数の大小関係について大きい方から順に、 何れも相異なる合計丁度 1+(r-1)＝r 個の正整数 n、n-1、…、n-r+1 を重複を許さずに並べることで構成出来る。 また、正整数の全体からなる集合 N＼{0} は正整数の積の二項演算×について閉じており可換な半群をなすから、 任意の相異なる合計丁度r個の正整数の積は N＼{0} の点である。よって、n(n-1)(n-2)…(n-r+1)∈N＼{0}。 [第２段]：1)：r＜n のとき。階乗の定義から n! は相異なる合計丁度n個の正整数 1、2、…、r の積と見なせるから、 同様に (n-r)!∈N＼{0}。ここに、0は自然数として考えている。 2)：r＝n のときは、階乗の定義から、(n-r)!＝0!＝1 だから、(n-r)!∈N＼{0}。 1)、2)から、(n-r)!∈N＼{0}。
823:１３２人目の素数さん
19/10/14 12:56:33.36 lVQqfJbq.net
>>556
>>731-732
(>>793の続き)
[第３段]：階乗の定義から n!＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1)×(n-r)! だから、可換半群 N＼{0} の性質から同様に n!∈N＼{0}。
同様に階乗の定義から n(n-1)(n-2)…(n-r+1)＝(n!)/((n-r)!) だから、同様に (n!)/((n-r)!)∈N＼{0}。
相異なる合計丁度n個の点からなる有限集合Aに属する点の中から、
合計丁度r個の点を任意に重複を許さずに選んで並べて出来る有限列の総数は nPr と表されるから、
相異なる合計丁度n個の点からなる有限集合Aに属する点の中から
合計丁度r個の点を任意に重複を許さずに選ぶ方法の総数は nPr である。
故に、nPr＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1) から nPr＝(n!)/((n-r)!)。
[第４段]：合計丁度1個の有限列Cは、合計丁度1個の有限列Bの中に重複を許さずに表れる
相異なる合計丁度r個の正整数 n、n-1、…、n-r+1 に対して、
整数の大小関係について小さい方から順に並べることで構成出来る。
整数の大小関係について、合計丁度1個の有限列Cの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 n-r+1、…、n-1、n は
合計丁度1個の有限列Dの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 1、2、…、r の直後に続く正整数である。
よって n＝2r。
824:１３２人目の素数さん
19/10/14 12:58:49.09 lVQqfJbq.net
>>556
>>731-732
(>>794の続き)
[第５段]：mを自然数とする。xは文字とする。
1)：m＝0 のときは (1+x)^m＝(1+x)^0＝1。
階乗の定義から 0!＝1 だから、二項係数の定義から、1＝0C0。よって、(1+x)^0＝0C0。
2)：m＝1 のとき。同様に定義から 1C0＝(1!)/((0!)(1!))＝1、1C1＝(1!)/((1!)(0!))＝1 だから、
(1+x)^m つまり多項式 1+x は二項係数を用いて 1+x＝1C0＋1C1x と表される。
[第６段]：3)：m≧2 のとき。(1+x)^{m-1} を展開して、二項係数を用いて、
xについての昇ベキの順で表された多項式として表すと、
(1+x)^{m-1}＝Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k ) となる。よって、
(1+x)^m＝(1+x)(1+x)^{m-1}
＝(1+x)Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k )
＝Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k )＋Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^{k+1} )。
＝Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k )＋Σ_{k=1,…,m}( ((m-1)Ck)x^k} )。
また同様に、(1+x)^m を展開して、二項係数を用いて、
xについての昇ベキの順で表された多項式として表すと、
(1+x)^m＝Σ_{k=0,1,…,m}( (mCk)x^k ) となる。
故に、Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k )＋Σ_{k=1,…,m}( ((m-1)Ck)x^k} )＝Σ_{k=0,1,…,m}( (mCk)x^k )。
両辺で、定数項及び1以上m以下の各次数のxのベキ乗 x^k k＝deg(x)＝1,…,m の係数を見比べると、
漸化式 (m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝mCk m≧2 0≦k≦m-1 を得る。
[第７段]：得られた漸化式について、m＝1 とすると k＝0 となるから、二項係数の定義から、
(m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝0C0＋0C(-1)＝1+0＝1、mCk＝1C0＝1。
故に、漸化式 (m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝mCk m≧1 0≦k≦m-1 を得る。
825:１３２人目の素数さん
19/10/14 13:01:33.55 lVQqfJbq.net
>>556
>>731-732
(>>795の続き)
[第８段]： 1)：m＝2 のとき。Case1-1)：k＝0 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝1C0＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝1C(-1)＝0∈N。
Case1-2)：k＝1 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝1C1＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝1C0＝1∈N。
Case1-1)、Case1-2)から、1Ck∈N＼{0} k＝0,1、1C(k-1)∈N k＝0,1。
2)：m＝3 のとき。Case2-1)；k＝0 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝2C0＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝2C(-1)＝0∈N。
Case2-2)：k＝1 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝2C1＝(2!)/((1!)^2)＝2∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝2C0＝1∈N。
Case2-3)：k＝2 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝2C2＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝2C1＝2∈N。
Case2-1)、Case2-2)、Case2-3)から、2Ck∈N＼{0} k＝0,1,2、2C(k-1)∈N k＝0,1,2。
3)：m＝4 のとき。Case3-1)：k＝0 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝3C0＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝3C(-1)＝0∈N。
Case3-2)：k＝1 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝3C1＝(3!)/((1!)(2!))＝3∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝3C0＝1∈N。
Case3-3)：k＝2 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝3C2＝3C1＝3∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝3C1＝3∈N。
Case3-4)：k＝3 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝3C3＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝3C2＝3C1＝3∈N。
Case3-1)、Case3-2)、Case3-3)、Case3-4)から、3Ck∈N＼{0} k＝0,1,2,3、3C(k-1)∈N k＝0,1,2,3。
826:１３２人目の素数さん
19/10/14 13:04:11.89 lVQqfJbq.net
>>556
>>731-732
(>>796の続き)
mを4以上の正整数として、任意の 0≦k≦m-1 なる自然数kに対して、(m-1)Ck∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)∈N とする。
Case4-1)：k＝0 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝(m-1)C0＝((m-1)!)/((m-1)!)＝1 だから (m-1)C0∈N＼{0}。
同様に、(m-1)C(k-1)＝(m-1)C(-1)＝0 だから (m-1)C(-1)∈N。
Case4-2)：k≠0 のとき。
Case4-2-1)：k＝1 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝(m-1)C1＝((m-1)!)/((1!)(m-2)!)＝m-1 だから (m-1)C1∈N＼{0}。
同様に、(m-1)C(k-1)＝(m-1)C0＝1 だから (m-1)C0∈N。
827:１３２人目の素数さん
19/10/14 13:06:45.24 lVQqfJbq.net
>>556
>>731-732
(>>797の続き)
Case4-2-2)：2≦k≦m-1 のとき。或る 2≦k≦m-1 なる正整数kが存在して、mCk が正整数ではないとする。
正整数mは m≧4 を満たし、正整数kは 2≦k≦m を満たすから、
[第１段]から[第４段]までの議論で用いたn、rをそれぞれ m、kに置き換えて同様な議論を繰り返すことが出来る。
そこで、[第１段]から[第４段]までの議論におけるn、rをそれぞれ m、kに置き換えて同様な議論を繰り返すと、
m は m＝2k と表されることになる。よって、階乗と二項係数の各定義から、
mCk＝(m!)/( (k!)( (m-k)! ) )＝((2k)!)/((k!)^2)＝((2k)Pk)/(k!)。
有限列 1、2、…、k をEで表す。有限列 k+1、…、2k をFで表す。
合計1個の有限列Eの中に表れる合計丁度k個の相異なる整数 1、2、…、k の中に表れるすべての素数を p_1、…、p_j とする。
すると、整数の大小関係から、j個の素数 p_1、…、p_j はどれも丁度1個の有限列Eの中に表れる
合計丁度k個の相異なる整数 k+1、…、2k のすべての積 (k+1)…(2k)
828:＝(2k)Pk の約数となる。 よって、各 i＝1,…,j に対して p_i の指数 q_i が定まり、或る M∈N＼{0} が存在して、(2k)Pk＝M[Π_{i=1,…,j}(p_i)^{q_i}] となる。 また、各 i＝1,…,j に対して p_i の指数 r_i が定まり、k!＝Π_{i=1,…,j}(p_i)^{r_i} となる。 仮定から ((2k)Pk)/(k!) は正整数ではないから、((2k)Pk)/(k!)＞0 から、((2k)Pk)/(k!) は正の有理数である。 よって、或る 1≦i≦j なる正整数iが存在して、(p_i)^{r_i}＞(p_i)^{q_i}。 しかし、2≦p_i＜k+1 だから、整数の大小関係から、(p_i)^{r_i}≦(p_i)^{q_i} であって矛盾する。 この矛盾は 2≦k≦m-1 なる正整数k が存在して、mCk が正整数ではないとしたことから生じたから、背理法が適用出来る。 そこで背理法を適用すると、mCk が正整数ではない正整数k 2≦k≦m-1 は存在しない。 故に、任意の 2≦k≦m-1 なる正整数kに対して、mCk は正整数である。 階乗と二項係数の各定義から mCm＝1∈N＼{0} だから、任意の 2≦k≦m なる正整数kに対して、mCk は正整数である。
829:１３２人目の素数さん
19/10/14 13:12:55.85 lVQqfJbq.net
>>556
>>731-732
(>>798の続き)
或る 2≦k≦m-1 なる正整数kが存在して、mC(k-1) が自然数ではないとする。
正整数mは m≧4 を満たし、正整数kは 2≦k≦m を満たすから、
[第１段]から[第４段]までの議論で用いたn、rをそれぞれ m、kに置き換えて同様な議論を繰り返すことが出来る。
そこで、[第１段]から[第４段]までの議論におけるn、rをそれぞれ m、kに置き換えて同様な議論を繰り返すと、
m は m＝2k と表されることになる。よって、階乗と二項係数の各定義から、
mC(k-1)＝(m!)/( ( (k-1)! )( (m-k+1)! ) )＝((2k)!)/( ((k-1)!)((k+1)!) )＝( (2k)P(k+1) )/((k-1)!)。
有限列 1、…、k-1 を E' で表す。有限列 k、k+1、…、2k を F' で表す。
合計1個の有限列 E' の中に表れる合計丁度 k-1 個の相異なる整数 1、…、k-1 の中に表れる
すべての1または素数を (p_1)'、…、(p_{j'})' とする。
すると、整数の大小関係から、j' 個の1または素数 (p_1)'、…、(p_{j'})' はどれも丁度1個の有限列 F' の中に表れる
合計丁度 k+1 個の相異なる整数 k、k+1、…、2k のすべての積 k(k+1)…(2k)＝(2k)P(k+1) の約数となる。
よって、各 i＝1,…,j' に対して (p_i)' の指数 (q_i)' が定まり、
或る M'∈N＼{0} が存在して、(2k)P(k+1)＝M'[ Π_{i=1,…,j'}( ((p_i)')^{(q_i)'} ) ]。
また、各 i＝1,…,j' に対して (p_i)' の指数 (r_i)' が定まり、k!＝Π_{i=1,…,j'}( ((p_i)')^{(r_i)'} ) となる。
仮定から ((2k)P(k+1))/((k-1)!) は自然数ではないから、((2k)P(k+1))/((k-1)!)＞0 から、((2k)P(k+1))/((k-1)!) は正の有理数である。
830:１３２人目の素数さん
19/10/14 13:17:22.20 lVQqfJbq.net
>>556
>>731-732
(>>799の続き)
よって、或る 1≦i≦j' なる正整数iが存在して、((p_i)')^{(r_i)'}≧((p_i)')^{(q_i)'}。
しかし、(p_i)' は1または k-1 以下の素数だから、(p_i)' を素数とすると、
((p_i)')^{(r_i)'}＜((p_i)')^{(q_i)'} なることになって矛盾が生じることになる。
よって、(p_i)' は素数とはなり得ない。故に、(p_i)'＝1 となる。
有限列 E' に表れる最大の整数 k-1 について、k-1＝1 となるから、必ず k＝2 となる。
よって、2≦k≦m-1、m≧4 から、mの取り得る値は m＝3 であり m＝3 に限られる。
ところで、m＝3 はmを4以上の整数と仮定したことに反し矛盾する。
この矛盾は 2≦k≦m-1 なる正整数k が存在して、
mC(k-1) が自然数ではないとしたことから生じたから、背理法が適用出来る。
そこで、背理法を適用すると、mC(k-1) が正整数ではない正整数k 2≦k≦m-1 は存在しない。
故に、任意の 2≦k≦m-1 なる正整数kに対して、mC(k-1) は正整数である。
階乗と二項係数の各定義から mC(m-1)＝m∈N だから、
任意の 2≦k≦m なる正整数kに対して、mC(k-1) は自然数である。
Case4-2-1)、Case4-2-2)からmについての帰納法により、任意の 1≦k≦m-1 なる正整数kに対して、mCk∈N＼{0}、mC(k-1)∈N。 (Case4-2 終わり)
故に、Case4-1)、Case4-2)から、m≧4 のとき、任意の 0≦k≦m-1 なる自然数kに対して、(m-1)Ck∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)∈N。 ( 3) 終わり )
1)、2)、3)から、2以上の正整数mが任意に与えられたとき、
任意の 0≦k≦m-1 なる自然数kに対して、(m-1)Ck∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)∈N。 ( [第８段] 終わり )
831:１３２人目の素数さん
19/10/14 13:21:07.17 lVQqfJbq.net
>>556
>>731-732
(>>800の続き)
[第９段]：m＝1 のときは k＝0 となるから、階乗と二項係数の各定義から、(m-1)Ck＝0C0＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝0C(-1)＝0∈N。
故に、mを任意の正整数mとするとき、任意の 0≦k≦m-1 なる自然数kに対して、(m-1)Ck∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)∈N。
[第１０段]：N＼{0} は自然数の和＋の二項演算について閉じている可換半群Nの部分半群だから、
漸化式 (m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝mCk m≧1 0≦k≦m-1 から、
mを任意の正整数mとするとき、任意の 0≦k≦m なる自然数kに対して、mCk∈N＼{0}
[第１１段]：[第１段]から[第４段]の議論において、nは2以上の正整数、rは 2≦r≦n を満たす正整数としているから、
m＝n、k＝r とおけば、二項係数の定義及び nPr＝(n!)/((n-r)!) から、nCr＝(n!)/( (r!)((n-r)!) )＝(nPr)/(r!)∈N＼{0}。
故に、(r!)|(nPr)。
[第１２段]：任意の正整数mに対して、階乗と二項係数の各定義から、mC0＝mCm＝1。
故に、漸化式 (m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝mCk m≧1 0≦k≦m-1 を繰り返し用いると、
パスカルの三角形は存在して、パスカルの三角形は描けることになる。
832:１３２人目の素数さん
19/10/14 13:23:12.34 0oBLmHWw.net
>>769
答えて
833:１３２人目の素数さん
19/10/14 13:31:11.03 HjAoR3G9.net
>>769
全てのxに対してp(x)(が真)ならばq(x)(が真)である
あるxが存在してp(x)(が真)ならばq(x)(が真)である
834:
19/10/14 14:38:57 dBTMRIOi.net
>>801
つまり、Cの足し算に分ける漸化式使っただけなわけですよね
一行で説明できることを長々と書くのはバカだからですよ
半群だからーとか明らかにいらない言及してるのも知識自慢したいからとしか思えませんね
835:１３２人目の素数さん
19/10/14 14:48:43.53 lVQqfJbq.net
>>804
>つまり、Cの足し算に分ける漸化式使っただけなわけですよね
>一行で説明できることを長々と書く
あの～、そういう自明なことが成立する理由を説明しろと何回もいわれていて、その要望に応えて書いたんですが。
難癖は付けないで�
836:ﾙしい。
837:ゲテモノ
19/10/14 15:24:13.62 0oBLmHWw.net
>>803
本当にありがとうございます。
838:767
19/10/14 15:34:43.33 cHIxRdsu.net
>>781
ありがとうございます！
839:１３２人目の素数さん
19/10/14 15:42:45.65 NS93ZhhO.net
>>789
>けれどnに関しては帰納法rに関しては任意
だ・か・ら、少なくとも高校数学の範囲では、0≦r≦nという条件つきで
しか定義できないんだから、rは任意にはできません。つまり、r=n+1の場合と、
r=0の場合については漸化式が適用できないので特別に言及が必要。
>>790
nPr/r!が自然数であることを証明するのと、nPrがr!で割り切れるということを
証明するのは同じことでしょ。そこが違うと言われたらなんにも言えんわ。
単純に nCr:=n!/(n-r)/r!, nPr:=n!/(n-r)! をそれぞれnCr,nPrの定義として
（つまり、「順列組合わせ」という概念抜きで）、nCrが自然数であるか、
nPrがr!で割り切れるかのどちらかが証明できればいいという話なんだと思うよ。
つまりnPr=n…(n-r+1)も、nPr=nCr・r!も単なる前提であって、>>556にとって
証明すべき事柄ではないはず。なので、あなたの指摘はまったく的ハズレ。
何度も言うけど、証明すべきは、「順列組み合わせという概念を使わず」に、
(nCr=)n!/(n-r)!/r!が整数であるか、(nPr=)n!/(n-r)!がn!で割り切れる
かのいずれかってことなんだと思うよ。
840:１３２人目の素数さん
19/10/14 17:31:19 X5yx4l1O.net
>>808
>だ・か・ら、少なくとも高校数学の範囲では、0≦r≦nという条件つきで
だからそのrの範囲は高校数学の範囲では自動的に決まるので特に言及する必要もなく
>>758の証明では
rに制限を与えない（r>nでもいい）証明になっているんだから
nに関する帰納法でrについては何でも良し
で仕舞いなの
>nPr/r!が自然数であることを証明するのと、nPrがr!で割り切れるということを
>証明するのは同じことでしょ。そこが違うと言われたらなんにも言えんわ。
それは同じですが？
そしてその証明が
nPr=nCr・r!
を示すことで与えられているって事だよ
>単純に nCr:=n!/(n-r)/r!, nPr:=n!/(n-r)! をそれぞれnCr,nPrの定義として
それは認識として間違い
どこまで行ってもnPrは順列の数でnCrは組合せの数
高校数学でもそれが上記のように計算できることを証明しているよ
最初の質問をした人がそういう認識でなかったとしたら
見識を改めるべきだろうね
841:１３２人目の素数さん
19/10/14 17:41:37.12 X5yx4l1O.net
>>809
>nPr=nCr・r!
>を示すことで与えられているって事だよ
これを示すことが
nPr=n…(n-r+1)がr!で割り切れることの証明としては最も簡単だろうね
ちなみに
{1,…,n}の部分集合のうちr個の要素数のものの全体というnCrの定義を採用するとすればr>nであっても何の問題もない
また
{1,…,n}の中からr個の異なるものを並べた順列の総数というnPrの定義を採用するに当たって
r>nであればそれは0個と認識させるのもそれほど難しいことではないので
nPrもr>nで定義しても特に問題はない
まあ若干考えにくいことではあろうが整合性もある妥当な定義だろうね
むしろ
(n-r)!を使った定義は計算には良かろうが筋が悪いね
842:１３２人目の素数さん
19/10/14 17:59:29.71 NS93ZhhO.net
>>809
おいおい、高校数学の範囲ではr>nは駄目だから、俺が書いた>>758の証明では
そこをケアしてるんだけど、何をわけのわからんことをｗ
>そしてその証明が
その証明ってどの証明だよｗ
>どこまで行ってもnPrは順列の数でnCrは組合せの数
だから、順列組み合わせでいいのなら、わざわざこんなに話はこじれずに、
nCrは組み合わせの数だから自然数、で終わる。そんな自明な質問なら>>556
はよっぽどのバカだってことになる。
順列組み合わせを使わずに、n!/(n-r)!/r!が自然数になることをどう証明する
かって話だろ。でなきゃ考える意味がない。
あんた、まったくピント外れだよ。
843:１３２人目の素数さん
19/10/14 18:11:57 NS93ZhhO.net
>>810
まったく論外だなｗ
順列組み合わせを使っていいのなら、nPrはn個の異なるものからr個をとって並べる
並べ方の総数だから、n個のものからr個を取り出したそれぞれの組み合わせについて、
r個どう並べるかというrPrをかけ合わせたものになってる（つまり、nPr=nCr*rPr)。
ゆえに、nPrはrPr=r!で割り切れるで終わり。
>>556がそんなバカみたいな質問なわけないだろ。（ま、本人に聞いてみなきゃわか
らんが、もしそうなら大馬鹿者だわｗ）
844:１３２人目の素数さん
19/10/14 18:12:23 X5yx4l1O.net
>>811
すまんすまん>>752と取り違えていたわ
>>783から間違えていたなすまんすまん
>>787
>おいおい、
845:>>758を書いた本人に>>758を理解しろってどういうことだよｗ そりゃあんた混乱するわｗ 俺はID:NS93ZhhO は>>752の証明の構造を理解するべきだと書いたつもりだったわけさ
846:１３２人目の素数さん
19/10/14 18:14:03 X5yx4l1O.net
>>812
まずねnPrとnCrの定義は順列の数と場合の数
それがn…(n-r+1)およびn…(n-r+1)/r!と書かれるというのはいずれも簡単な定理
それでお仕舞いなんだよ
847:１３２人目の素数さん
19/10/14 18:19:58 X5yx4l1O.net
ちなみに素因数の個数で証明するのも筋の良い証明で
それは俺も>>598で示唆したつもり
自分は証明を書いていないが他の人が書いたな>>733
848:１３２人目の素数さん
19/10/14 19:11:41.05 4Sr6zqcR.net
>>814
> まずねnPrとnCrの定義は順列の数と場合の数
> それがn…(n-r+1)およびn…(n-r+1)/r!と書かれるというのはいずれも簡単な定理
その簡単な定理の証明を聞いているのが>>556であり、>>560
それを、「定理だから成り立ち、n…(n-r+1)およびn…(n-r+1)/r!は自然数になる」で押し通したところで、質問への回答としては無意味
逆に、その簡単な定理を証明すればお仕舞、という簡単な話なんだけどな
849:１３２人目の素数さん
19/10/14 19:32:14.65 X5yx4l1O.net
>>816
それは忖度のし過ぎ
nPr=n…(n-r+1)=nCr・r!
を納得できるようにするべきだね
850:１３２人目の素数さん
19/10/14 19:35:14.34 4Sr6zqcR.net
>>817
質問スレなんだから仕方がない
> nPr=n…(n-r+1)=nCr・r!
> を納得できる
ようになるような回答は、その証明に他らない
851:１３２人目の素数さん
19/10/14 19:36:54.79 X5yx4l1O.net
>>777に書いたのも>>752の証明に関してね
852:１３２人目の素数さん
19/10/14 19:38:11 X5yx4l1O.net
>>816
>n…(n-r+1)/r!は自然数になる
は俺は言ってないよ
853:１３２人目の素数さん
19/10/14 19:39:12 X5yx4l1O.net
ああこれが定理だとは言ってはいるか
854:１３２人目の素数さん
19/10/14 20:48:51.55 NS93ZhhO.net
>>813
自分で間違えといて、何を言ってるんだか。そんなにそそっかしいから
きちんと理解できないんじゃないの？
>>758と>>752は本質的に同じだよ。
C(n,r)+C(n,r-1)=P(n,r)/r! + P(n,r-1)/(r-1)!=P(n,r)/r! + rP(n,r-1)/r!
C(n+1,r)=P(n+1,r)/r!
∴P(n+1,r)=P(n,r)+rP(n,r-1)⇔C(n+1,r)=C(n,r)+C(n,r-1)
すでに >>567がC(n,r)が自然数になることを帰納的に証明してたから、それ
と同じことだって言ってるのよ。ただ、>>752ではr=n+1とr=0の場合が抜けて
て証明に穴がある。それも埋めてるのが>>758。
855:１３２人目の素数さん
19/10/14 20:49:20.20 NS93ZhhO.net
>>814,815
>まずねnPrとnCrの定義は順列の数と場合の数
そんなわかりきったことなんか誰も問題にしてないよ。
n!/(n-r)!/r!が整数になること、すなわち、n!/(n-r)!がr!で割り切れる
ことを場合の数の概念なしに証明しろって話じゃなきゃつまらんだろ。
それを証明してるのが>567や>733や>734なんだよ。
856:１３２人目の素数さん
19/10/14 20:57:43.04 NS93ZhhO.net
>>817
＞nPr=n…(n-r+1)=nCr・r!
だから、>>556もそんなことくらいわかってるから、nCr=nPr/r!だと書いてるじゃん。
忖度のしすぎもくそもなかろう。
nPr=n!/(n-r)!がr!で割り切れることを場合の数の概念抜きで証明するのは、nCrを
n!/(n-r)!/r! と置き換えて場合の概念抜きで整数であることを証明するのと同じ
こと。
857:１３２人目の素数さん
19/10/14 20:59:46.70 X5yx4l1O.net
>>822
その同値は
nPr=nCr・r!を前提としているわけ
nCrは整数として定義されているから
帰納法で整数であることを証明する必要は無いということ
筋が悪すぎ
>つまらんだろ。
つまらないかどうかは勝手に考えて良いよ
nPrがr!で割り切れることの証明としては
nPrとnCrの定義に沿うのが最も自然で簡単というだけ
何度も同じこと書くけれど
nPr=n…(n-r+1)
と
nPr=nCr・r!
を示すので仕舞いな話
どちらも簡単なことなので
これを納得するべきだね
それは当たり前でそれ以外の証明というのなら
>>733が筋が良いまた>>752もなかなかよい
nCrが整数であることを帰納法で示すのはアホ
858:１３２人目の素数さん
19/10/14 21:56:31.83 5QIr/acx.net
>>624 もあるよ
859:１３２人目の素数さん
19/10/14 22:10:32.88 yDLeEzQX.net
>>752ってパスカル三角形使う帰納法と同じに見えるけど
pf.
nについての帰納法。
n=0では自明。
n=kで成立するとしてn=k+1とする。
r=0,nでは自明。
それ以外のときは
c[k+1,r]=c[k,r]+c[k,r-1]
で右辺が帰納法の仮定より整数だからc[k+1,r]は整数。
□
と変わらん希ガス。
860:１３２人目の素数さん
19/10/14 22:19:51.20 4Sr6zqcR.net
>>825
> nCrが整数であることを帰納法で示すのはアホ
そんな話をしているのはあなただけ
質問者もしていない
この質問で示すことはどれも同じことだが、
n!/(r!*(n-r)!)が整数であること
C(n,r)がn!/(r!*(n-r)!)で表されること
P(n,r)がC(n,r)*r!で表されかつP(n,r)がn!/(n-r)!で表されること
2番目、3番目を示せば当然その過程で1番目も示されている
861:１３２人目の素数さん
19/10/14 22:24:42.31 JQb+gLUh.net
〔701の類題〕
数列 a(n), b(n), c(n), d(n) は次の条件を満たす。
・ a(1) ≧ b(1) ≧ c(1) ≧ d(1) > 0,
・ a(n) + b(n) + c(n) + d(n) = 4a(n+1),
・ a(n)b(n) + a(n)c(n) + a(n)d(n) + b(n)c(n) + b(n)d(n) + c(n)d(n) = 6b(n+1)^2,
・ a(n)b(n)c(n) + a(n)b(n)d(n) + a(n)c(n)d(n) + b(n)c(n)d(n) = 4c(n+1)^3,
・ a(n)b(n)c(n)d(n) = d(n+1)^4,
(1) a(n) は単調減少、d(n)は単調増加であることを示せ。
(2) a(n+1)-d(n+1) ≦ (3/4){a(n)-d(n)} を示せ。
(3) lim[n→∞] a(n) = lim[n→∞] d(n) を示せ。
(4) この極限値に関連する面白い問題を作れ。
ただし、マクローリンの不等式は既知とする。
862:１３２人目の素数さん
19/10/14 22:48:25.62 JQb+gLUh.net
算術幾何平均（ガウス）を拡張したもの。
Beckenbach & Bellman: "Inequalities", Springer-Verlag (1961) の§12
URLﾘﾝｸ(www.isinj.com)
なお、マクローリンの不等式は
>>705 >>710 >>745
863:１３２人目の素数さん
19/10/15 01:29:00.29 EHvVU2/z.net
>>828
nCrが整数であることを示す必要が無いのが分かったなら
nPr=nCr・r!
と
nPr=n…(n-r+1)
でお仕舞いな話でどちらも簡単な証明に過ぎない
n!/(n-r)!r!が整数であることを示す必要も無いというか
上の2つから即座に出てくることだね
>>827
(n+1)Cr=nCr+nC(r-1)
は定義から示すのが簡単でその場合整数であることを示す必要は無い
定義ではないnCr=n!/(n-r)!r!からも示せるけれど筋は悪いね
そしてここから示しているのと>>752が同じというのは
nPr=nCr・r!を前提とした同値性
nPr=nCr・r!を前提とするならわざわざn!/(n-r)!r!が整数であることを示すまでもないというわけ
864:１３２人目の素数さん
19/10/15 01:31:17.51 r5TRCi2l.net
順列だの組み合わせだのを離れて単に算術的に示してほしいという要望になんで100以上ものスレが並ぶのかねえ
865:１３２人目の素数さん
19/10/15 01:33:19.03 EHvVU2/z.net
nCrが整数であることを帰納法で示すのは
nCrの定義からでもあるいはn!/(n-r)!r!からでも
いずれにせよ筋は悪いね
866:
19/10/15 02:14:09 A5ciGByM.net
下らないことにいつまでハッスルしてんだよ
どこぞの万年助教かよ
867:
19/10/15 02:14:23 r5TRCi2l.net
>>626
> 最初から(1+1)^nで考えれば一瞬で終わる気がしますけどね
>
> 先生が頭が悪いのでしょう
これは >>626 の先生にたいする侮辱的書き込みということでOKですよね www
868:556です
19/10/15 05:36:48.17 XCxmC+Cj.net
>>556で質問したものです
久しぶりにスレを見てみたら少し荒れていて驚きました
私が質問したかった内容を改めて書きますと
｢nＣrの値は組み合わせを計算した結果なので自然数になるのは当たり前｣
という事実を使わずに
｢n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)がr!で割り切れる｣
ことを証明するにはどうすればよいか
という意図で質問しました
869:556です
19/10/15 05:54:16.81 XCxmC+Cj.net
>>836続き
まず自分で証明しようとした�
870:桙ﾍ、｢分母･分子を素因数分解して指数部分を比較すればいい｣ と思ったのですがnやrをどうやれば素因数分解した形で表現出来るかが分からずに挫折 次に数学的帰納法で ｢連続するr個の自然数の積がr!で割り切れると仮定すると 連続する(r+1)個の自然数の積が(r+1)!で割り切れる｣ という事を示そうとしましたが上手くいきませんでした それでここに質問してみました
871:
19/10/15 06:05:48 XCxmC+Cj.net
>>837続き
その後、色々検索して調べてみたところ
｢ルジャンドルの定理｣
というものを使えば素因数分解した時の指数が調べられる事が分かりました
整数に関する問題にはまだ慣れてなく、ガウス記号で表現出来る事が分かりました
また、数学的帰納法を使う方法もOKWAVEという質問サイトに同じ質問がありそれを見て納得しました
そこでは差を取って、その後足していくという方法を使っていました
872:
19/10/15 06:10:14 XCxmC+Cj.net
>>838続き
自分の中では一応解決したという事でこの質問を終了させてもらいます
今まで回答して下さった方々ありがとうございました
873:１３２人目の素数さん
19/10/15 09:49:36.82 hdlVCseP.net
>>836
こと意図すら理解できない人間がどれほどいたか。
874:
19/10/15 09:54:08 hjHOQUnB.net
理解てきていないのは、「nCrが整数であることは示す必要はない」、と言い続けていた1人だけだろう
875:１３２人目の素数さん
19/10/15 11:07:33.96 fB8d/UR7.net
>>836
ほとんどの人はそう読み取れていたよ
876:１３２人目の素数さん
19/10/15 11:46:05.09 twgrAF0j.net
「nＣrの値は組み合わせを計算した結果」を証明に使ったのは無かったのか？
877:１３２人目の素数さん
19/10/15 11:50:18.91 DPtKK4c6.net
>>832
その意図がわかんないやつが大杉なんだよねｗ
878:１３２人目の素数さん
19/10/15 11:58:04 DPtKK4c6.net
>>844
修正。
×その意図がわかんないやつが大杉なんだよねｗ
○その意図がわかんないやつの書き込みが大杉なんだよねｗ
具体的には「その意図がわかんないやつ」＝ ID:X5yx4l1O
一人だけなのかもしれない。ま、>>556 自身があらためて意図を
きちんと表明してくれたので、すべて解決。めでたし、めでたし。
879:１３２人目の素数さん
19/10/15 12:38:06.55 DPtKK4c6.net
>>838
>ルジャンドルの定理
なるほどね。そういう名前の定理があるんだ。それを使えば一発か…
rの任意の素因数をpとして、r=qp^m（qとpは素）と因数分解すれば、
1～rまでの数にはpの倍数がqp^(m-1)回、p^2の倍数はqp^(m-2)回、、、
p^mの倍数はq回だけ出てくるから、 その回数の総和をとった
q(p^m-1)/(p-1)がn!を素因数分解したときのpの次数となる。
で、連続したr個の数の積 n!/(n-r)!の場合でも同様にしてp,p^2…の
倍数が出てくる回数を数えることができるが、n≧p^(m+1)だと、さら
にp^(m+1)の倍数が存在する可能性があるので、この次数よりも大きく
はなりうる。
いずれにせよ、n!/(n-r)!はp^{q(p^m-1)/(p-1)}という因数を持ち、
rの他の素因数についてもrと同じかそれ以上の次数の素因数を持つの
で、n!/(n-r)!はr!で割り切れる。
って考えてたわ。
880:１３２人目の素数さん
19/10/15 13:12:28.03 hdlVCseP.net
一人だけだったのか
あまりにうるさいから複数いるのかと思ったよ
881:
19/10/15 13:27:23 OlwIBB86.net
一応書いておくが、>>624 は その ルジャンドルの定理 と呼ばれているものを使った証明。
証明と言ってもその定理を認めてしまえば、行うことはほぼ皆無で、
解決のためのアイデアというか、視点というか、切り口を与えただけ。
882:１３２人目の素数さん
19/10/15 21:12:11.45 eja156vF.net
>>829
AM-GM で
a(n) ≧ d(n),
b(n) ≧ d(n),
c(n) ≧ d(n),
∴ d(n+1)^4 = a(n)b(n)c(n)d(n) ≧ d(n)^4,
∴ d(n+1) ≧ d(n),
はすぐ出るが････
883:１３２人目の素数さん
19/10/15 21:18:39 DPtKK4c6.net
>>848
失礼しました。きっちり証明されてましたね。優しくない書き方だけどｗ
ってことで、どうも漸化式を作って数学的帰納法で証明する方法と
素因数の次数に注目して割り切れることを示す（ルジャンドルの定理も
これ）方法とに大別されるようですね。
ざーっと最初の方を見返すと、>>561に漸化式を使えばという示唆があって、
>>567で（式に一部間違いがあるけど）それを使った帰納法の証明があるの
が、まともな証明として初出。ついで、>>586もそれと同値な漸化式のΣを
とることで、nではなく、rに関する帰納法として証明してるのに誰も注目し
てないですね。
あとは、素因数の次数に注目せよというヒントが>>578で示されていて、その
ヒントに呼応する（実際に呼応したのかどうかはわかりませんが、ヒントの
内容に即している）証明が、あなたの>>624で初出。
そこまでで、あとは目新しいことは特になさそう。ここまで200レス以上
無駄に費やしたのは、ひとつには場合の数だから自明と叫ぶバカがいて、
ノイズに紛れちゃったんでしょうね。
884:
19/10/16 00:10:46 6WnNlmon.net
>>850
848です。私は、出題者へコメントしたつもりです。
>>その後、色々検索して調べてみたところ
とあったので、「この掲示板でも、 ルジャンドルの定理 流の証明は紹介してますよ」
という主旨で書いたまで。この掲示板の評価下落を懸念してのものです。
もし、見直して、気づいてくれたら、それで十分で、返答は無用です。
ただ、>>846の書き込みを見て、846=850さんが、ルジャンドルの定理 そのもの あるいは、
それを使った証明をきちんと理解しているとは、思えません。
例えば、“[]” という記号は“ガウス記号”として使っているのですが、あなたは意味をご存じでしょうか？
それがわかっていたら、
>>q(p^m-1)/(p-1)がn!を素因数分解したときのpの次数となる。
等とは書けない。全く意味不明。
ルジャンドルの定理 は、普通リーマン型で積算するものをルベーグ型で積算したと考えればいいだけ。
全く難しいものではありません。
「定理」等と呼ばれているようですが、内容は、中高生が０知識から「発見」しても不思議では無いレベル。
885:１３２人目の素数さん
19/10/16 01:04:01 +yW9Qu9d.net
>>851
私の書き方が悪くて誤解を招いたようですが、>>846ではルジャンドルの定理を直接利用
してはいません。というか、定理を知る前に思いついた証明を書いてます。連続するp^k
個の自然数にはp^kの倍数が必ず１つだけ含まれるということは、高校生でも分かるかな、
ということで。
ルジャンドルの定理を知ってしまえば、>>624のように一発で証明できるのは承知の上です。
でもって、
>q(p^m-1)/(p-1)がn!を素因数分解したときのpの次数となる
ってところは、お分かりかと思いますが、n!ではなく、r!の書き間違いです。すみません。
886:
19/10/16 01:18:07 WlmmdIz1.net
>>850
> ってことで、どうも漸化式を作って数学的帰納法で証明する方法と
> 素因数の次数に注目して割り切れることを示す（ルジャンドルの定理も
> これ）方法とに大別されるようですね。
>>625もあるようだ。