19/10/11 13:52:17.27 N+O8/6h3.net
>>560
rは2以上の正整数としてよい。
(r-1)個の自然数 n-r+1、…、n-2、n-1 と1個の自然数nとからなる(n-r)個の自然数 n-r+1、…、n-2、n-1、n は
r個の自然数 1、…、r の直後に続く (r-1)+1＝r 個の自然数だから、n＝r+r＝2r。
よって、n(n-1)(n-2)…(n-r+1)＝2r(2r-1)(2r-2)…(r-1)。
故に、n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1) は r(r-1) で割り切れる。
そこで、任意の2以上の正整数rに対して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1) が (r-2)! で割り切れることを示せばよい。
1)：r＝2 のときは、定義から、(r-2)!＝0!＝1 だから、条件を満たす。
r＝3 のときも、定義から、(r-2)!＝1!＝1 だから、条件を満たす。
2)：r≧4 のとき。r＝4 のときは、定義から、(r-2)!＝2!＝2 だから、条件を満たす。
4以上の正整数rに対して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1) が (r-2)! で割り切れるとする。
すると、或る正整数mが存在して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1)＝m・(r-2)!、よって、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1)r(r-1)＝m・r!。
n＝2r とすると、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1)r(r-1)＝n(n-1)(n-2)…(r-1) となって、n(n-1)(n-2)…(r-1)＝m・r!。
故に、確かに 2(r+1)(2r+1)2r(2r-1)(2r-2)…(r-1) は (r-1)! で割り切れる。
よって、或る正整数kが存在して、2(r+1)(2r+1)2r(2r-1)(2r-2)…(r-1)＝k・(r-1)!。
r≧4 から 2r-2≧r+2 なることに注意して、両辺を r-1 で割ると、
左辺の積は部分積 2(r+1)(2r+1)2r(2r-1)(2r-2)…(r+2) の 2r-2 が r-1 で割り切れる。また、このとき、右辺も r-1 で割り切れる。
故に、或る正整数jが存在して、2(r+1)(2r+1)2r(2r-1)(2r-2)…(r+2)＝j・(r-1)! となる。
4以上の正整数rに関する帰納法により、任意の4以上の正整数rに対して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1) は (r-2)! で割り切れる。
1)、2)から、任意の2以上の正整数rに対して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1) は (r-2)! で割り切れる。