19/10/04 21:09:36.78 qeBlIg9t.net
f(x)-f(y) = (x-y)g(x,y)
ｆが整数係数だからgも整数係数、対称式。
f(a)-f(b) = (a-b)g(a,b)
f(b)-f(c) = (b-c)g(b,c)
f(c)-f(a) = (c-a)g(c,a)
辺々掛けて
⊿{f(a),f(b),f(c)} = ⊿(a,b,c) g(a,b)g(b,c)g(c,a)
題意より
f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a,
∴ ⊿{f(a),f(b),f(c)} = ⊿(a,b,c) ≠ 0,
∴ g(a,b)g(b,c)g(c,a) = 1,
左辺の因子は {1,1,1} か {-1,-1,1} となり
3つのうち2つは等しい。
f(x) = Axx+Bx+C (A≠0) のとき g(x,y) = A(x+y)+B,
∴ {a,b,c} のうち2つが等しい。
これは題意に反する。
524:１３２人目の素数さん
19/10/04 21:28:12.04 FNkPsNmv.net
なんとか順列みたいな
525:名前のジャンル習ったんですけど忘れてしまいました！ なんて名前だったかな？？ なんか n!-nC1-nC2-････みたいに引き算して出すやつです なんとか順列！わすれた～
526:１３２人目の素数さん
19/10/04 22:50:14.90 HrKJTOLS.net
撹乱順列(かくらんじゅんれつ、完全順列とも)ではないですか
n個のモノの撹乱順列はΣ[k=0→n](-1)^k*n!/k!(通り)です
527:１３２人目の素数さん
19/10/04 23:43:38.06 DmL5HC+P.net
>>510
完全順列です！！ありがとうございます！
すげー！よくわかるね！
528:１３２人目の素数さん
19/10/05 09:18:22.96 YkKJMn9d.net
普通わかるだろ
529:１３２人目の素数さん
19/10/05 10:46:06.30 fAjU2lmj.net
>>504 >>506
α、β、γ が公約数d >1 をもてば
α/d、β/d、γ/d に対しても -A は整数のはず。
∴ α、β、γ が互いに素の場合に帰着する。
したがって
-A = 1/α + 1/β + 1/γ が整数になるのは |α| = |β| = |γ| = 1 の場合に限る。
530:１３２人目の素数さん
19/10/05 10:52:03.34 zxdrzS7d.net
>>513
> α/d、β/d、γ/d に対しても -A は整数のはず。
これは当然ですが
>∴ α、β、γ が互いに素の場合に帰着する。
なんで？
531:１３２人目の素数さん
19/10/05 10:55:42.60 zxdrzS7d.net
>>513
>∴ α、β、γ が互いに素の場合に帰着する。
>したがって
>-A = 1/α + 1/β + 1/γ が整数になるのは |α| = |β| = |γ| = 1 の場合に限る。
ここもなんで？
532:１３２人目の素数さん
19/10/05 11:25:10.09 bsE7hQLo.net
>>506,507
|A|≦3 なので、|A|=1,2,3の場合について考えれば、
i)|A|=3は|α|=|β|=|α+β|=1 の場合に対応するなのでありえない。
α+β=-γとおくと（γ≠0）
iii)|A|=2の場合は、±2αβγ=αβ＋βγ＋γαの場合になるが、
α、βがいずれも偶数（したがって、γも偶数）の場合にのみ右辺は偶数。
よって、α=2k, β=2l, γ=2m=-2(k+l) とゼロではない整数k,l,mで置き換えると、±4klm=kl+lm+mkとなり、やはり、右辺は偶数なので、k,l,mは偶数。と、この操作
を限りなく続けていけることになり矛盾する。よって、この方程式をみたすα、β
は存在しえない。
ii)|A|=1 は、±αβγ=αβ＋βγ＋γαの場合になるが、
(1±α)(1±β)(1±γ)=1±(α+β+γ）+(αβ+βγ+γα)±αβγを利用して、
(1±α)(1±β)(1±γ)=1 （複合同順）となり、各因子が1,1,1か1,-1,-1の
組み合わせの場合に限る。(1±α)=1 or -1、(1±β)=1 or -1 のゼロではない
解はそれぞれ±2に限られるが、α+βがゼロではないので、（α、β）=(2,2) or(-2,-2)
に限られる。しかし、それらがもとの方程式を満たさないのは明らか。
533:１３２人目の素数さん
19/10/05 11:28:32.66 bsE7hQLo.net
直感的には明らかなんだが、きちんと示すのは意外と面倒なのかな。
と、>>516を考えてみての感想でした。
534:１３２人目の素数さん
19/10/05 11:41:52.30 bsE7hQLo.net
>>508
おお！めちゃくちゃ明快だね。いつもの人かな？（と、勝手に特定ｗ）
毎度のことながら、感動するわ。凡人の俺から見ると天才的。
>>515
俺の凡庸な証明は忘れていいから、>>508をとくと味わうようにｗ
535:１３２人目の素数さん
19/10/05 11:53:57.04 zxdrzS7d.net
>>518
>俺の凡庸な証明
証明なの？
536:１３２人目の素数さん
19/10/05 11:56:19.85 zxdrzS7d.net
>>519
ああそうか
証明は>>516ね
聞きたいのは>>513
537:１３２人目の素数さん
19/10/05 12:23:45.68 bsE7hQLo.net
>>520
>>504は>>516で証明されてるので、>>513は必要ないし、
そもそも>>508ではるかにスマートに証明されてんだから、
どうでもいいんじゃね？
538:１３２人目の素数さん
19/10/05 12:32:56.49 fAjU2lmj.net
>>514
α、β、γが最大公約数 d>1 をもてば
α/d, β/d, γ/d の最大公約数は1,
また α+β+γ=0 の関係から、どの2つも互いに素になる。
539:１３２人目の素数さん
19/10/05 12:37:05.44 zxdrzS7d.net
>>521 >>513が証明になっているんなら 「はるかにスマート」じゃなくて？
541:１３２人目の素数さん
19/10/05 12:38:15.14 zxdrzS7d.net
>>522
だからその場合に帰着するのはなんで？
542:１３２人目の素数さん
19/10/05 12:51:00.74 zxdrzS7d.net
>>522
証明したい事柄は
整数α,β,γがα+β+γ=0の条件を満たしているとき1/α+1/β+1/γが整数となる事はあり得ない
でしょうか？（もしもそういう意図ならば>>514の質問は撤回）
543:513
19/10/05 13:01:07.43 fAjU2lmj.net
互いに素である(α,β,γ) は存在しない。
↓
一般の(α,β,γ) も存在しない。
の順で示すのが簡単です。
544:１３２人目の素数さん
19/10/05 13:26:02.46 zxdrzS7d.net
>>526
証明したい事柄は>>525でよいのですね？
>>515は？
545:513
19/10/05 13:30:26.13 fAjU2lmj.net
>>515
（背理法で）
|α| >1 と仮定する。
βγ/α = -Aβγ -β －γ = n,
βγ = nα (n≠0、整数)
βγ と |α| >1 は互いに素であることに矛盾。
546:１３２人目の素数さん
19/10/05 13:35:03.65 bsE7hQLo.net
>>523
かりに>>513が証明として十分だとしても、>>508のほうがはるかにスマート。
なんとなれば、大元になる>>495を書いた俺が言ってるからｗ
547:１３２人目の素数さん
19/10/05 13:38:31.97 fAjU2lmj.net
したがって
-A = 1/α + 1/β + 1/γ が整数になるのは |α| = |β| = |γ| = 1 の場合に限る。
∴ α+β+γ= (奇数) ≠ 0
これは定義に矛盾。
548:１３２人目の素数さん
19/10/05 13:41:00.79 bsE7hQLo.net
とはいえ、>>513 + >>528が >>516よりはるかにスマートであることは認める。
549:１３２人目の素数さん
19/10/05 14:06:49.55 SqxcvWFG.net
つか対称性を捨てて g(x):=f(x+a)-a とでもした方が見通しよくね
550:１３２人目の素数さん
19/10/05 15:07:36.91 zxdrzS7d.net
>>528
ありがとう
551:１３２人目の素数さん
19/10/05 18:16:46.17 jW2uzLFu.net
お世話になります。
関数f(x)=(2x^2+x-2)/(x^2+ x-2)について、次のものを求めよ。
・関数y=f(x)と直線y=kが１点だけを共有するときのkの値
ご教示、宜しくお願い致します。
552:534
19/10/05 19:20:28.24 jW2uzLFu.net
解答では、１回微分で増減表を書き、グラフを描いていますが、漸近線とグラフの関係が、いまひとつよく判りません。
一部、グラフと漸近線が交わる箇所もあるようです。
553:１３２人目の素数さん
19/10/05 19:38:54.97 c/fBEt7S.net
k=10/9かな
554:１３２人目の素数さん
19/10/05 19:42:19.48 c/fBEt7S.net
グラフで解かずにf(x)=kと置き、分母を払う
k≠2の時に2次方程式になるから判別式=0で求める
555:１３２人目の素数さん
19/10/05 19:49:11.10 c/fBEt7S.net
ちなみにグラフでも解いてみた
漸近線は分母≠0よりx=-2とx=1
あとx→±∞の極限を考えるとf(x)→2になるので
y=2も漸近線
このグラフとy=kのグラフの共有点を調べると(-1/2,10/9)を通る時のみ共有点が1個になる
556:534
19/10/05 21:02:32.70 jW2uzLFu.net
>>536-538
ご回答、どうも有難うございます。
問題は、黄チャートのものですが、答は、k=1、17/9、2の３つ書いてあります。
その上によく判らないのが、第一象限で、グラフがy=2の漸近線と交わっているように描かれていることです。
グラフでも解かれたとのことですが、第一象限のグラフは、漸近線と交わるのでしょうか？
557:１３２人目の素数さん
19/10/05 21:08:09.63 c/fBEt7S.net
>>539
問題の式を写し間違えてない？
もちろん俺が解き間違えた可能性もあるけどw
558:１３２人目の素数さん
19/10/05 21:11:03.11 c/fBEt7S.net
>>539
式を勘違いしてたわ
ごめんなさい
559:534
19/10/05 21:23:46.73 jW2uzLFu.net
>>541
いいえ、こちらこそ、お手数をお掛けして申し訳ありません。
560:１３２人目の素数さん
19/10/05 21:39:12.23 c/fBEt7S.net
>>542
解き直しました
分母≠0よりx=-2とx=1が漸近線
x→±∞の時にf(x)→2なのでy=2も漸近線
x=0の時に極大で極大値 1
x=4の時に極小で極小値 17/9
第1象限でx>1の部分のグラフは
+∞からグラフが減少してきてx=4の時に極小になり極小値17/9になるその後は増加していきy=2に近付いていく
561:１３２人目の素数さん
19/10/05 21:45:02.04 c/fBEt7S.net
>>543
よってy=f(x)とy=kの共有点が1個なのは
(0,1),(2,2),(4,17/9)を通る時の3通りある
562:１３２人目の素数さん
19/10/05 21:55:47.50 c/fBEt7S.net
分母≠0よりx≠-2,1
f(x)=kとして分母を払う
(k-2)x^2+(k-1)x-2(k-1)=0
k=2の時、1次方程式になりx=2
k≠2の時は2次方程式になるので判別式=0とするとk=1,17/9で
k=1の時 x=0
k=17/9の時 x=4
563:１３２人目の素数さん
19/10/05 22:06:04.25 c/fBEt7S.net
>>539
y=f(x)と漸近線y=2は(2,2)で１度交わります
x→∞でy→2-0で近付いていきます
あくまでx→∞で漸近線y=2に近付いていけばいいので(2,2)で交わっていても構いません
564:534
19/10/05 22:19:13.97 jW2uzLFu.net
>>543-545
何度もお手数をお掛けして申し訳ありませんでした。
そして、有難うございます。
ご回答、よく理解出来ました。
最後にもうひとつだけ、第一象限で、グラフがy=2の漸近線と交わっていますが、グラフと漸近線が交わるのは一般的によくあることなのでしょうか？
565:534
19/10/05 22:21:34.34 jW2uzLFu.net
>>546
何度もご丁寧に有難うございました。
よく理解できました。
それでは、失礼致します。
566:１３２人目の素数さん
19/10/05 22:28:09.87 c/fBEt7S.net
>>547
雑な回答でごめんね
例えばy={e^(-x)}sin(x)の漸近線はx軸
x=nπ(nは整数)で何度もx軸と交わりながら段々と振幅が小さくなっていき
x→∞でy→0に近付いていく
567:１３２人目の素数さん
19/10/06 10:06:55.53 4tBXkTQ/.net
f(x) = (2xx+x-2)/(xx+x-2) = 2 + (1/3){1/(x-1) - 4/(x+2)},
を微分して
f '(x) = (1/3){-1/(x-1)^2 + 4/(x+2)^2}
= (1/3){-(x+2)^2 + 4(x-1)^2}/(xx+x-2)^2
= x(x-4)/(xx+x-2)^2,
f '(x) = 0 より
x=0 の時 k=f(0)=1,
x=4 の時 k=f(4)=17/9,
568:１３２人目の素数さん
19/10/06 10:10:40.67 Gc2q5hFd.net
極値意外の解があるのは意外に見落とすよな。
判別式でも同じ値が盲点になるのがへぇっと思った。
569:１３２人目の素数さん
19/10/07 14:34:42.21 iZfBHchd.net
意外な解以外は意外では無い
570:１３２人目の素数さん
19/10/07 21:20:40.39 njNaAton.net
f(x)とg(x)の交点のx座標をa,bとおく。aとbの間に他の交点は無いものとする。
a<c<bとなる点cがあるとき、f(c)≥g(c)なら、a≤x≤bで常にf(x)≥g(x)
これは真ですか？
もし真なら積分するときの式の上下考えるとき使えますか？
571:１３２人目の素数さん
19/10/07 21:30:37.67 40AR4nXN.net
連続なら
572:１３２人目の素数さん
19/10/08 01:27:58.89 NeZllIRc.net
>>552
意味不明だけど文字化けしてるのか
573:１３２人目の素数さん
19/10/08 13:42:09.91 1119beF2.net
質問です
組み合わせの記号nＣrの値は必ず自然数になりますよね
異なるn個の中からr個取る組み合わせのが何通りあるかなので当たり前と言えば当たり前かもしれません
この記号を別の記号で表すと
nＣr＝(nＰr)/r!
となります
ということは、nＰrはr!の倍数って事になりますよね？
つまりnＰr＝n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)がr!で割り切れるって意味ですよね？
これを証明するにはどうすればよいでしょうか？
お願いします
574:１３２人目の素数さん
19/10/08 14:00:38.51 6efQAZWc.net
帰納法かな
575:１３２人目の素数さん
19/10/08 15:09:08.95 62z8kMAU.net
>>556
nPr=nCr・r!
576:１３２人目の素数さん
19/10/08 15:11:30.83 5XJ7Iwjv.net
nCrが整数なのはなんで？ というお話じゃないの？
577:１３２人目の素数さん
19/10/08 15:47:00.72 1119beF2.net
>>559
はい、その通りです。ごちゃごちゃ書いてしまいましたが、質問したかったのは
n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)がr!で割り切れる
この事を証明するにはどうすればよいかという事です
578:１３２人目の素数さん
19/10/08 15:49:57.32 6uy05fw
579:s.net
580:１３２人目の素数さん
19/10/08 18:12:28.68 UKbrBBYY.net
>>556
当たり前でいいんじゃないの？
nCrの定義がそのものの意味なんだから
581:１３２人目の素数さん
19/10/08 18:28:21.32 1119beF2.net
>>562
もし
n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)がr!で割り切れる事を示せ
という問題ならば
nＣr＝n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)/r!
＝整数
なので割り切れる
という証明でいいという事ですか
何かモヤモヤします
582:１３２人目の素数さん
19/10/08 18:30:03.52 8Can1DI0.net
>>560
連続するn個の自然数はnで割り切れるので、1～nをすべて
約数に持つのは自明なんだけど、その延長線でなんとか
ならんもんかねぇ。
583:１３２人目の素数さん
19/10/08 18:38:44.46 UKbrBBYY.net
>>563
n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)がr!で割り切れる事を示せ
n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)/r!=n!/(n-r)!*r!
となるが、この右辺はn個からr個を選ぶ組み合わせの数を表すから、自然数となる。
ではどうですか？
584:１３２人目の素数さん
19/10/08 18:38:51.50 1119beF2.net
>>564
最初それを考えました
分子が連続するr個の整数の積なので、とりあえずrで約分出来る
→約分しちゃうと分子が連続する(r-1)個の整数では無くなるのでそこで躓きましたw
585:１３２人目の素数さん
19/10/08 18:43:54.47 3Rgiembn.net
nCr∈Zをnに関する帰納法で示す。
[1]n=1のとき、nCr∈Zは自明。
[2]n=m(∈N)でnCr∈Z(r=0,1,…,n)となるとき
(m+1)Cr=mC(r-1)+mC(r-1)より、
r=1,2,…,m+1については(m+1)Cr∈Zとなる。
また、r=0についてはnCr=1∈Z
以上より示された。//
586:１３２人目の素数さん
19/10/08 18:54:47.70 1119beF2.net
>>567
整数＝整数＋整数
を示してるって事でしょうか？
587:１３２人目の素数さん
19/10/08 19:04:43.88 3Rgiembn.net
>>568
そうです
588:１３２人目の素数さん
19/10/08 19:34:46.42 62z8kMAU.net
>>559
だからそれは組合せの数だからだよ
589:１３２人目の素数さん
19/10/08 19:36:03.23 62z8kMAU.net
>>564
無リス
590:１３２人目の素数さん
19/10/08 23:29:32.03 P0q4xx73.net
r個の並べ方の集合を考えて、
並べかえれば同じものを同値関係で結ぶようにして
その商集合の要素数は当然整数になる
みたいにすれば数学っぽい体にはなるけどどうなんやろか
591:１３２人目の素数さん
19/10/08 23:52:25.57 ZGwvIDY+.net
>>570
バカは黙ってろよ
592:１３２人目の素数さん
19/10/09 00:10:30.64 3Nr2l/CF.net
>>573
はぁ
組合せの数がnCrでそれは定義から自然数
順列の数であるnPrはそれぞれの組合せを順番に並べて得られるから
nPr=nCr・r!なんですが・・・・
なんかnPr=n!/(n-r)!とかnCr=n!/r!(n-r)!とかが定義だと思い込んでない？
593:１３２人目の素数さん
19/10/09 00:25:35.21 WyWZg8ye.net
数学というより算数みたいな考え方だな
594:１３２人目の素数さん
19/10/09 00:27:36.95 N6K1JaVI.net
数学だろうが算数だろうが別に組み合わせだからで十分だと思いますけどね
595:１３２人目の素数さん
19/10/09 02:07:28.96 s1lDx8xJ.net
>>574
アホ丸出しなんですね
596:１３２人目の素数さん
19/10/09 03:50:54.95 ZuT1lI/k.net
>>556
r以下のすべての素数pについて、
nＰrはpの何乗で割りきれるか、
r!はpの何乗で割りきれるか、
そういった考察をしてみるといい
597:１３２人目の素数さん
19/10/09 04:47:18.07 HxGbWTTb.net
C[n, r]は（組み合わせの数なので）整数である
C[n, r] = n!/(n-r)!r!である
ゆえにn!/(n-r)!r!は整数である
↑確かにこれを否定する道理はないな
採点官だったらぐうの音も出ずに丸付けるしかないよ
598:１３２人目の素数さん
19/10/09 07:02:03.97 3Nr2l/CF.net
>>579
それを証明するんなら
nCr=n!/r!(n-r)!
であることを示さないと0点
599:１３２人目の素数さん
19/10/09 07:36:45.57 V8D7ukMA.net
>>579
それ以外の方法で証明せよって問題でそれを書いたら0点じゃないかな？
>>556の質問ってそういう意味だろ
600:１３２人目の素数さん
19/10/09 09:26:30.
601:79 ID:vw6jBuCV.net
602:１３２人目の素数さん
19/10/09 09:45:58.64 s1lDx8xJ.net
>>582
アホ丸出しだな
試験問題に出ないなら考えなくていいとかw
603:１３２人目の素数さん
19/10/09 09:48:33.19 vRcKNHmq.net
組み合わせ数だから整数で明らかなわけですよね
漸化式使えばもっと綺麗に示せますよ
604:１３２人目の素数さん
19/10/09 10:08:25.46 5YBrqeGe.net
問題で出ないから考えなくてもいい、ですってｗ
数理論理は問題で出るんですか～？？？
605:１３２人目の素数さん
19/10/09 10:39:04.94 XwZMTM39.net
>>560
rについての帰納法で････
左辺を P(n,r) とおく。
r=1 のときは明らか。
r>1 のとき
P(n,r) = n･P(n-1,r-1)
= (n-r)P(n-1,r-1) + r･P(n-1,r-1)
= P(n-1,r) + r･P(n-1,r-1)
= P(n-2,r) + r{P(n-2,r-1)+P(n-1,r-1)}
= ････
= P(r,r) + rΣ[k=r,n-1] P(k,r-1)
ここで P(r,r) = r!, P(k,r-1) は (r-1)! で割り切れる。
∴ P(n,r) は r! で割り切れる。 (終)
606:１３２人目の素数さん
19/10/09 11:10:21.67 /FkGrnwJ.net
バカが多いな
607:１３２人目の素数さん
19/10/09 12:02:47.83 72t3M1zr.net
お利口さんなら１レスでバカどもを黙らせてくれよ
608:１３２人目の素数さん
19/10/09 15:18:18.63 KLHtotgG.net
連続するn個の自然数の中に、nの倍数がただ一つある
609:１３２人目の素数さん
19/10/09 15:42:08.61 rFFSRADX.net
被る可能性がある
610:１３２人目の素数さん
19/10/09 15:52:35.50 2/5A8C8C.net
xy平面上の長さ2の線分ABを直径とする半円をDとする。
半円Dの内部(周を含まない)の1点をPとする。
AとPを通る直線と半円Dの円弧の部分との交点をQとし、
BとPを通る直線と半円Dの円弧の部分との交点をRとする。
五角形ARPQBの面積をSとおく。
(1)∠APBを一定に保ったまま点Pが半円Dの内部を
動くとき、Sの取る値の範囲を∠APB=θを使って表せ。
(2)点Pが、半円Dの内部を自由に動くとき、
Sの取る値の範囲を求めよ。
この問題を教えて下さい
自分でも一応解きましたが自信がありません
611:１３２人目の素数さん
19/10/09 17:36:42.49 3Nr2l/CF.net
>>586
面白いな
612:１３２人目の素数さん
19/10/09 17:38:25.65 VBRIVkHD.net
次の不等式が成り立つことを、どのように解けば良いかご助言ください。
x^(1-t) * y^t ≦ (1-t)*x + t*y
x,y,t は正の実数で、tは 0<t<1とします。
613:
19/10/09 17:40:21.44 HpzqmXoP.net
>>593
ウェイトつき相加・相乗平均の不等式そのもの
凸不等式を使えば一発
614:１３２人目の素数さん
19/10/09 17:45:30.57 VBRIVkHD.net
ご助言どうもありがとうございます
615:586
19/10/09 20:11:49.11 iYJrGFAo.net
>>589
いろんな倍数を兼務してる奴がいる鴨････
616:１３２人目の素数さん
19/10/09 21:03:33.62 V8D7ukMA.net
1対1対応ではないもんね
例えば5*6*7が1*2*3で割り切れるかを考えるときとか
617:１３２人目の素数さん
19/10/10 11:27:01.62 5ALjupsI.net
>>578
n個の連続する数に含まれるmの倍数の個数の最低は1からnに含まれるmの倍数の個数であることを証明するわけですね
そしてそれは0がmの倍数だからほぼ自明
618:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:12:05.11 ShaXoKI1.net
>>570
それは感覚的な話であって、それを証明せよと言われているんだろう
619:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:24:47.09 A/G4amsk.net
>>599
感覚的ではなくて、組み合わせの数を計算で求めたら実際そうなるんじゃね？
620:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:30:21.51 ShaXoKI1.net
>>600
実際そうなるからそうだというのは証明にならないだろ？
621:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:30:21.61 Y5XXj9Dj.net
場合の数ってものが現実に観察できてそれが自然数だと言ってるならそれは数学じゃなくて自然科学っぽい
622:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:32:18.72 5ALjupsI.net
>>599
nCrは組合せの数nPrは順列の数というのが定義
その値がn!/r!(n-r)!およびn!/(n-r)!となるというのが証明されるべき事柄
623:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:32:27.17 Y5XXj9Dj.net
集合論からちゃんと出発して場合の個数を言ってるならいいんだけどそういうふうには見えないから証明になってないと言われる
624:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:36:07.99 5ALjupsI.net
>>602
数学というものを知らないのな
625:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:36:31.81 AJmtf85U.net
「場合の数を表すことになるから」以外の証明方法を求めているんじゃないの？
626:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:38:22.70 Y5XXj9Dj.net
>>605
煽りたいだけのアホは黙ってて
違うならちゃんと公理から初めて数学的に言ってみてね
627:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:39:25.68 SRlrr+Hl.net
>>604
集合論で定義される自然数を用いて場合の数と言ったメタ概念を表現することはできないと思いますけど
628:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:42:41.26 5ALjupsI.net
>>607
集合論から始めてもできようけど
>>602のような書き方をする人を満足させられるかは不明
つまりね
君は普通の数学というものを知らないか
より原理的に考えたいというだけで
それは君にお任せした方がよさそうね
629:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:43:11.05 Y5XXj9Dj.net
>>608
？
場合の数の定義をnCrで行うことには異議はないけどその場合は結局これが自然数であることは別に証明する事柄になるよ
630:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:45:43.47 5ALjupsI.net
>>601
>>600が言っていることは実際そうなることが「証明」できるという意味だと思うよ
実際nCr=n!/r!(n-r)!となることは証明できるわけで
631:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:46:12.21 SRlrr+Hl.net
>>610
一階述語論理の集合論では場合の数と言ったメタ概念を扱えないと言っています
普通の集合論みたいにテキトーにやるならそれでもいいのかもしれませんけどね
自然数を何かしらの方法で定義して満足するなら
ぶっちゃけ、高階述語論理はよくわからないんですけど、それなら場合の数を集合論で定義した対象としての自然数として扱えるんですかね
632:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:47:29.09 5ALjupsI.net
>>610
>場合の数の定義をnCrで行うことには異議はない
ええっと
じゃあそのnCrってそもそもどんな数？
633:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:47:56.97 Y5XXj9Dj.net
>>611
そういう解釈するなら異論ないよ
>>612
逆にこの質問の場合の場合の数をどう考えてるのか気になる
634:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:51:12.55 KygoCtVQ.net
高校数学自体が非論理的なのにそこに論理性を持ち込もうとするから非論理的な論理だらけになるんだよな
まず公理すら明確に述べられてないので論理的な議論など不可能なのに
635:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:51:15.01 SRlrr+Hl.net
別に難しく考えないでも場合の数は場合の数ですよね
集合論がーとか本気でやるなら、ちゃんと考えるべきです
中途半端は良くないですよ
636:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:52:03.85 SRlrr+Hl.net
>>615
形式主義にそぐわないからと言って非論理的だとは言えないとは思いますけど
あとふつうに定義して証明してっていう道筋はある程度辿ってますよね
そこには論理がありますよ
637:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:53:50.60 5ALjupsI.net
>>614
普通の数学では
場合の数とは{1,2,…,n}の部分集合のうち要素数がrであるもの全体の要素数だよ
638:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:55:06.82 5aq+Bjru.net
そもそもの>>556の疑問は、「組み合わせの数nCrが自然数になるのか」ではなく、
>>560の通り、「n!/(r!*(n-r)!)が自然数になるのか」だろうに
639:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:56:12.03 4MNDsrsX.net
〔補題〕
nCr
640:が自然数 ⇔ nPr がr!で割り切れる。 （証明) nCr = nPr / r!
641:１３２人目の素数さん
19/10/10 22:57:45.72 /fBB0X/G.net
自然数であるnCrが、n!/r!(n-r)!であることを証明すべきか、n!/r!(n-r)!が自然数であることを証明すべきかすら高校の教科書を開いても不明なのに論理とは
642:１３２人目の素数さん
19/10/10 23:11:03.18 SRlrr+Hl.net
nCrは組み合わせの数を表す自然数で、それはn!/(n-r)!r!で表される
とっても簡単な論理ですね
643:１３２人目の素数さん
19/10/10 23:12:37.85 ygCIzVGj.net
それは高校数学ではなくあなたの感想ですよね
644:１３２人目の素数さん
19/10/10 23:14:02.78 NZpM/rz4.net
n!を素因数分解したとき、素因数pの指数は [n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+... で与えられる。
「n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)がr!で割り切れる」事を示すには、「n!が(n-r)!*r!で割り切れる」事を示せばよい。
これは、n以下の任意の素因数pについて、
[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+...≧([(n-r)/p]+[(n-r)/p^2]+[(n-r)/p^3]+...)+([r/p]+[r/p^2]+[r/p^3]+...)
を示せばよいが、自明。
645:１３２人目の素数さん
19/10/10 23:20:40.07 WcHKk+Nw.net
僕の高校では
多項式の形式的な微分（D(x^n)=nx^(n-1))を定義したあとで、簡単なDの性質を証明付きで示したあとで
(1+x)^n=A_0+(A_1)x+(A_2)x^2+・・・+(A_n)x^n と展開すれば各項の係数は自然数であり
この両辺の r 回の微分 D^r を考えて、両辺の定数項を比較すれば
n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1)=r(r-1)(r-2)・・・(2)(1)A_r
そしてもともとA_rは自然数だったのでこの式は
r(r-1)(r-2)・・・(2)(1) がn(n-1)(n-2)・・・(n-r+1)の約数であることを示している、
と習いました。
646:１３２人目の素数さん
19/10/10 23:23:26.11 OiFKBwFE.net
最初から(1+1)^nで考えれば一瞬で終わる気がしますけどね
先生が頭が悪いのでしょう
647:１３２人目の素数さん
19/10/11 00:58:30.26 v/nqb0Ot.net
つまり、m個からn個のものを選ぶ組み合わせはmCnであることを証明なしに解答に使ってはいけないということなんですか？
あり得ないんですけど(笑)
648:１３２人目の素数さん
19/10/11 01:08:08.92 YULRpgNc.net
まぁしかし何年か前の阪大の「(sin x)' = cos x を示せ」みたいなノリでありえなくはない。
649:１３２人目の素数さん
19/10/11 01:16:07.98 D3BhNefa.net
>>628
この証明
最近の教科書だと
sin(θ+h)-sinθ=sinθcosh+cosθsinh-sinθ=sinθ(cosh-1)+cosθsinh
にして
(sin(θ+h)-sinθ)/h=sinθ(cosh-1)/h+cosθsinh/h=sinθ(cosh-1)(cosh+1)/h(cosh+1)+cosθsinh/h=sinθ(-sinh)sinh/h(cosh+1)+cosθ(sinh/h)
で
sinh→0
cosh→1
sinh/h→1
から導くのが主流なのね
昔は
sin(θ+h/2+h/2)-sin(θ+h/2-h/2)=2cos(θ+h/2)sin(h/2)
からが主流だったのに
650:１３２人目の素数さん
19/10/11 08:41:33.11 CCaNDre9.net
>>624
今までの証明でこれが一番エレガントやな
他のは馬鹿っぽい
651:１３２人目の素数さん
19/10/11 08:53:09.83 f/gP0fQt.net
組み合わせの数が整数でないと思う人の方がバカですよね
652:１３２人目の素数さん
19/10/11 09:01:07.18 v/nqb0Ot.net
エレガント(笑)
653:１３２人目の素数さん
19/10/11 10:46:31.75 4AiXHldu.net
>>631
寧ろ何の疑問も持たずに整数だと思ってる方がバカだろ
654:１３２人目の素数さん
19/10/11 12:06:01.29 6Je7Frke.net
│ ― │ ― │ ― │ ―b │
│ ― c│―d │ ― │ ― │
│ ― │ ― │ ― │ ― │
│a― │ ― │ ― │ ― │
最短の経路が何通りあるのかという問題で
a地点からb地点に行く最短の経路のうちcとdの少なくとも１つの地点を通るものを求めよ
↑答えは9+12-6＝15となっていますが
9×12-6の解き方の方が正しいと思います
なぜ間違っているのかわかりません
よろしくお願いします
655:１３２人目の素数さん
19/10/11 12:10:04.85 M3RG+g26.net
>>633
組み合わせの数が整数でないと思う人はいませんね
656:１３２人目の素数さん
19/10/11 12:10:43.16 6Je7Frke.net
504の正の約数は全部で何個
657:あるのかという問題で ２の3乗×３の2乗×７から答は24となりますが なぜ１が3回もカウントされるのかわかりません よろしくお願いします
658:１３２人目の素数さん
19/10/11 12:17:53.52 N+O8/6h3.net
>>560
rは2以上の正整数としてよい。
(r-1)個の自然数 n-r+1、…、n-2、n-1 と1個の自然数nとからなる(n-r)個の自然数 n-r+1、…、n-2、n-1、n は
r個の自然数 1、…、r の直後に続く (r-1)+1＝r 個の自然数だから、n＝r+r＝2r。
よって、n(n-1)(n-2)…(n-r+1)＝2r(2r-1)(2r-2)…(r-1)。
故に、n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1) は r(r-1) で割り切れる。
そこで、任意の2以上の正整数rに対して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1) が (r-2)! で割り切れることを示せばよい。
r＝2 のときは、定義から、(r-2)!＝0!＝1 だから、条件を満たす。
2以上の正整数rに対して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1) が (r-2)! で割り切れるとする。
すると、或る正整数mが存在して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1)＝m・(r-2)!、よって、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1)r(r-1)＝m・r!。
n＝2r とすると、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1)r(r-1)＝n(n-1)(n-2)…(r-1) となって、n(n-1)(n-2)…(r-1)＝m・r!。
故に、確かに 2r(2r-1)(2r-2)…(r+1) は (r-2)! で割り切れる。
2以上の正整数rに関する帰納法により、任意の2以上の正整数rに対して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1) が (r-2)! で割り切れる。
659:１３２人目の素数さん
19/10/11 12:27:49.77 4AiXHldu.net
>>635
だからこそ>>556は疑問に思ったんだろが
それくらい分かれよカス
660:１３２人目の素数さん
19/10/11 12:29:10.12 YULRpgNc.net
r=10の時
(r+1)～2rの中に19とか入ってるけど
n-r+1～nの中に必ず19の倍数が入るなんて言えないのでは？
661:１３２人目の素数さん
19/10/11 12:30:09.98 v/nqb0Ot.net
>>636
どこで1が3回カウントされているのか教えてください
662:１３２人目の素数さん
19/10/11 12:32:25.50 N+O8/6h3.net
>>560
>>637は間違っているんで当てにしないでほしい。
663:１３２人目の素数さん
19/10/11 12:51:01.14 4AiXHldu.net
>>636
504=2^3×3^2×7^１
504の約数は
2^a×3^b×7^c
の形になる
ただしa,b,cは
0≦a≦3
0≦b≦2
0≦c≦1
を満たす整数
a,b,cの組み合わせを考えると
(3+1)(2+1)(1+1)=24通りある
664:１３２人目の素数さん
19/10/11 12:59:14.86 4AiXHldu.net
>>634
cを通るのが9通り
dを通るのが12通り
そのまま足すと21通りだか、これにはcとdを両方通る場合を2回数えてる
cとdを両方通るのは6通りあるから
21-6＝15となる
｢100以下の自然数で2の倍数または3の倍数はいくつあるか｣
みたいな問題を中学でやっただろ？それを思い出せよ
665:１３２人目の素数さん
19/10/11 13:21:33.81 nNe/Zu8i.net
誰か>>591は分かりませんか？
666:１３２人目の素数さん
19/10/11 13:28:37.33 j8WEDdru.net
自分の解答を書くのが先ではないでしょうか
667:１３２人目の素数さん
19/10/11 13:48:11.63 iZJWnoK0.net
>>636
1は（2^0）*（3^0）*（7^0）の1回しかカウントされてないよ
668:１３２人目の素数さん
19/10/11 13:52:17.27 N+O8/6h3.net
>>560
rは2以上の正整数としてよい。
(r-1)個の自然数 n-r+1、…、n-2、n-1 と1個の自然数nとからなる(n-r)個の自然数 n-r+1、…、n-2、n-1、n は
r個の自然数 1、…、r の直後に続く (r-1)+1＝r 個の自然数だから、n＝r+r＝2r。
よって、n(n-1)(n-2)…(n-r+1)＝2r(2r-1)(2r-2)…(r-1)。
故に、n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1) は r(r-1) で割り切れる。
そこで、任意の2以上の正整数rに対して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1) が (r-2)! で割り切れることを示せばよい。
1)：r＝2 のときは、定義から、(r-2)!＝0!＝1 だから、条件を満たす。
r＝3 のときも、定義から、(r-2)!＝1!＝1 だから、条件を満たす。
2)：r≧4 のとき。r＝4 のときは、定義から、(r-2)!＝2!＝2 だから、条件を満たす。
4以上の正整数rに対して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1) が (r-2)! で割り切れるとする。
すると、或る正整数mが存在して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1)＝m・(r-2)!、よって、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1)r(r-1)＝m・r!。
n＝2r とすると、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1)r(r-1)＝n(n-1)(n-2)…(r-1) となって、n(n-1)(n-2)…(r-1)＝m・r!。
故に、確かに 2(r+1)(2r+1)2r(2r-1)(2r-2)…(r-1) は (r-1)! で割り切れる。
よって、或る正整数kが存在して、2(r+1)(2r+1)2r(2r-1)(2r-2)…(r-1)＝k・(r-1)!。
r≧4 から 2r-2≧r+2 なることに注意して、両辺を r-1 で割ると、
左辺の積は部分積 2(r+1)(2r+1)2r(2r-1)(2r-2)…(r+2) の 2r-2 が r-1 で割り切れる。また、このとき、右辺も r-1 で割り切れる。
故に、或る正整数jが存在して、2(r+1)(2r+1)2r(2r-1)(2r-2)…(r+2)＝j・(r-1)! となる。
4以上の正整数rに関する帰納法により、任意の4以上の正整数rに対して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1) は (r-2)! で割り切れる。
1)、2)から、任意の2以上の正整数rに対して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1) は (r-2)! で割り切れる。
669:１３２人目の素数さん
19/10/11 13:56:42.63 OTxaz2m6.net
後藤さんっぽい様式美を備えた文字列
ニセモノだろうけど
670:１３２人目の素数さん
19/10/11 14:06:35.02 N+O8/6h3.net
>>560
>>647も間違っていた。
だけど、マジメに証明するまでもなく、これはパスカルの三角形で済む話だと思うんだけど。
671:１３２人目の素数さん
19/10/11 14:22:34.93 GTPYQkkl.net
>>645
自分の解答はかなり泥臭いものなので、他の人の解答と見比べたいのです
だから先に自分の解答を提示するのは意図的に避けています
672:１３２人目の素数さん
19/10/11 14:38:42.12 k22vy743.net
正直に、わからないので模範解答を書いてください、と言えば良いのに
673:１３２人目の素数さん
19/10/11 15:00:55.81 UeHPaXRl.net
嘘を言いたくはありません
674:１３２人目の素数さん
19/10/11 15:31:15.31 riYvBzKN.net
>>603
いやいや、だからその式が自然数になることの説明は？
675:１３２人目の素数さん
19/10/11 15:35:12.11 riYvBzKN.net
>>650
誰かが泥臭い解答で出してきたら二度手間なんだから、初めからこの解答は無しで、って言わないと失礼だろ
676:１３２人目の素数さん
19/10/11 15:38:44.05 VG89j/Ih.net
>>654
自分としては自由に解いてほしいんです
スマートじゃなくてもいいので
誰かが解答を上げてくれましたら自分の解答も上げます
677:１３２人目の素数さん
19/10/11 15:46:20.82 iZJWnoK0.net
ふざけてんの？
678:１３２人目の素数さん
19/10/11 15:47:16.96 riYvBzKN.net
>>655
失礼な奴だなあ
679:１３２人目の素数さん
19/10/11 15:49:35.83 xY2Nv4Cf.net
なぜそんなに自分の解答が見たいんですか…
680:イナ
19/10/11 15:55:28.11 AWks4Xyn.net
前>>403
>>591おもしろい。
(2)題意に添ってPを動かすと、P(0,1/2)のとき、Sは最大だと思う。APまたはBPはピタゴラスの定理より、
{(1/2)^2+1^2}=√5/2
S=△ABQ+△ABR-△ABP
√3-(1/2)(√5/2){(√5/2)(1/√3)}
=√3-5/8√3
=19√3/24
19号ですね。
681:１３２人目の素数さん
19/10/11 16:02:13.98 YULRpgNc.net
1～nを並べてな集合Xに最初のr個の並べ替えと最後のn-r個の並べ替えでS[r]×S[n-r]を作用させた時の軌道の数は
#X/#S[r]×S[n-r]=n!/(r!(n-r)!)。
682:１３２人目の素数さん
19/10/11 16:51:24.46 Q+QVtJOo.net
19号（ハギビス）情報
<11日15時>
大型、非常に強い
八丈島の南南西約550km にあって
北北西に進む 25km/h
中心気圧 925hPa
中心付近の最大風速 50m/s
最大瞬間風速 70m/s
683:１３２人目の素数さん
19/10/11 17:40:02.89 2sV8Wxw2.net
>>659
一致しません
P(0,1/2)で最大というのは勘ですか？
684:１３２人目の素数さん
19/10/11 19:03:32.46 Capl8jbt.net
不等式0 <= y <= -x^2 +7x -10の表す領域をDとする。正方形Zの４つの頂点P,Q,R,Sは
この順に反時計回りに並んでいて、Q,Rはともにy軸上にある。またZの対角線の交点Tは
D内にある。次の問に答えよ。
(1) Tの座標を(x ,y)とし、Zの右下の頂点Sの座標を(X, Y)とするとき、x, yをX,Yを用いて表せ。
(2) TがD内を動くとき、Sが動く範囲を図示せよ。
(3) TがD内を動くとき、Zの周が動く範囲を図示せよ。
猛者の解答を求む
685:１３２人目の素数さん
19/10/11 19:14:56.15 MvXp2U/u.net
>>591
書くのが大変なんですが、∠PAB=α、∠PBA=βにしてまずθ+α+β=π
五角形の面積を△RAB+△QAB-△PABで求める
という流れでいけば
2sinθ-cosθ/2sinθから2sinθ-(1+cosθ)/sinθまでの範囲ではないかと
686:１３２人目の素数さん
19/10/11 19:15:28.94 D3BhNefa.net
>>653
場合の数と順列の数だからだよ
定義なんですがｗ
687:１３２人目の素数さん
19/10/11 20:16:54.55 dIWjlWmf.net
>>664
書くのが大変かどうかは私と関係ありません。
方針だけ書いてマウント取るのはやめてください
688:１３２人目の素数さん
19/10/11 20:19:38.98 x3Pm3RJL.net
>>666
これは自分ではありませんのでご注意を
689:１３２人目の素数さん
19/10/11 20:21:31.45 x3Pm3RJL.net
>>664
自分はそうなりませんでした…
できれば細かに書いて頂けると助かります
690:１３２人目の素数さん
19/10/11 20:46:09.79 TGC/qhJf.net
一人称「自分」は例外なくバカ、もしくはキチガイ
691:１３２人目の素数さん
19/10/11 21:35:22.24 D3BhNefa.net
>>669
自分が一番みたいやでｗ
692:イナ
19/10/11 21:52:12.32 AWks4Xyn.net
前>>659
>>663
(1)x=X/2
y=Y+x=X/2+Y
(2)作図した。
Dの境界である放物線、
y=-x^2+7x-10
=-(x-2)(x-5)の頂点(7/2,9/4)およびx軸上の点(2,0),(5,0)を右下45°の方向に移動させるには、
x方向に、X-x=X-X/2=X/2
y方向に、y-Y=X/2+Y-Y=X/2
だけ移動させたらよい。
同じX/2になったのであってる可能性が高い。
(3)作図した。(2)と同様にして放物線をあと3つ描いた。
693:１３２人目の素数さん
19/10/12 00:55:55.41 hFZo15fW.net
>>661
19号 (ハギビス) 情報
<12日00時>
大型、非常に強い
八丈島の南西約410 km にあって
北に進行中 20 km/h
中心気圧 935 hPa
中心付近の最大風速 45 m/s
最大瞬間風速 65 m/s
694:１３２人目の素数さん
19/10/12 03:34:14.05 1pQ9GS+/.net
>>622
こいつ頭悪すぎて草生える
695:
19/10/12 03:36:53 S+X7GMfk.net
>>673
こいつ話題に乗り遅れすぎて草生える
696:１３２人目の素数さん
19/10/12 03:39:18 hDzSssMZ.net
>>674
こんな流れの遅いスレで何いってんだこいつ
他板からのお客さんか？
半年ROMってろって文化が廃れたのは悲しいな
697:
19/10/12 03:41:13 S+X7GMfk.net
と顔真っ赤で必死に書き込むトーシローｗ
698:１３２人目の素数さん
19/10/12 03:48:36 nNIWyF9A.net
なんか顔真っ赤にしちゃってるな
699:１３２人目の素数さん
19/10/12 04:50:48.26 1zAx5Z+F.net
>>676
半年romってろ
700:１３２人目の素数さん
19/10/12 05:16:53.97 S+X7GMfk.net
>>678
一生romってろ
701:１３２人目の素数さん
19/10/12 09:41:51.92 5jar0q4E.net
>>591
△APR+△BPQ
=(AP^2+BP^2)sin(-2θ)/4
=(AB^2+2AP*BPcosθ)sin(-2θ)/4
=(1+△PAB/tan(θ))sin(-2θ)
=sin(-2θ)-(cos(2θ)+1)△PAB
S=-sin(2θ)-cos(2θ)△PAB
0<△PAB<=sin(θ)/(1-cos(θ))
-sin(2θ)<S<=(sin(θ)-sin(2θ))/(1-cos(θ))
sin(θ)=√(2√3)/2, cos(θ)=(1-√3)/2のとき右辺最大
0<S<=(3+√3)√(2√3)/2
702:１３２人目の素数さん
19/10/12 09:47:19.08 LBq3GV/u.net
>>647
>r個の自然数 1、…、r の直後に続く (r-1)+1＝r 個の自然数だから、n＝r+r＝2r。
？
703:１３２人目の素数さん
19/10/12 09:48:47.70 LBq3GV/u.net
>>647
>よって、n(n-1)(n-2)…(n-r+1)＝2r(2r-1)(2r-2)…(r-1)。
n-r+1=2r-r+1=r+1
704:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:09:40.93 WA+ShdaC.net
>>680
やり方まで完璧に一致しました！
ちょっと計算量多いですけど、これが一般的なやり方だったんですかね
705:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:10:00.01 WA+ShdaC.net
本当にありがとうございます
詳しく書いた自分の解答も載せます
706:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:10:36.74 WA+ShdaC.net
(1)
AP=a、BP=bとすると、
△ARP=(asinθ)(-acosθ)/2=(-sinθcosθ)a²︎/2
△BQP=(bsinθ)(-bcosθ)/2=(-sinθcosθ)b²︎/2
△APB=(1/2)absinθ
なので、
S=△ARP+△BQP+△APB=(sinθ/2)(ab-(a²︎+b²︎)cosθ)
ここで、余弦定理より a²︎+b²︎-2abcosθ=4…(＊)
よって、a²︎+b²︎=4+2abcosθなので、
S=(sinθ/2)(ab-4cosθ-2abcos²︎θ)
=(sinθ/2)(ab(1-2cos²︎θ)-4cosθ)
=(sinθ/2)(-abcos(2θ)-4cosθ)
=(-sinθcos(2θ)/2)ab-sin(2θ)…(%)
あとは、abの取りうる値の範囲を求めよう。
まず、円周角の定理からπ/2<θ<π…(#)である。
(＊)より、(a-bcosθ)²︎+b²︎sin²︎θ=4なので、
b=2sinφ/sinθ , a-bcosθ=2cosφ
とおける。(∵(#)よりsinθ≠0)a>0,b>0なので、
2sinφ/sinθ>0…① , 2cosφ+2sinφ/tanθ>0…②
①より、0<φ<πとしてよい。
このときsinφ>0であり、(#)よりtanθ<0なので
②からcosφ>0が必要。よって、0<φ<π/2としてよく、
②より-cosφ<sinφ/tanθ ∴
707:tan(π-θ)>tanφ したがって、①∧②⇔0<φ<π-θ…(☆)である。 よって、(#)と合わせて π/2<θ<2φ+θ<2π-θ<3π/2 であり、 ab=(2sinφ/sinθ)(2cosφ+2sinφ/tanθ) =4(sinφ/sin²︎θ)(sinθcosφ+cosθsinφ) =4sinφsin(θ+φ)/sin²︎θ =2(cosθ-cos(2φ+θ))/sin²︎θ であるから、0<ab≦2(cosθ+1)/sin²︎θ=2/(1-cosθ) したがって、(%)と合わせて [1]π/2<θ<3π/4のとき -sin(2θ)<S≦(-sinθcos(2θ)/(1-cosθ))-sin(2θ) すなわち -sin(2θ)<S≦(sinθ-sin(2θ))/(1-cosθ) [2]θ=3π/4のとき S=-sin(2θ) [3]3π/4<θ<πのとき -sin(2θ)>S≧(sinθ-sin(2θ))/(1-cosθ) (2) 左辺を微分すれば求まる。
708:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:14:02.24 WA+ShdaC.net
△PABでSを表していない所は異なるから完璧に一致とまでは言えないかもしれないですが
709:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:17:22.38 WA+ShdaC.net
いや、先方のやり方のほうがだいぶ計算量少ない…？
710:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:24:25.51 +0t3lN+M.net
この程度で計算量多いか？普通だろ
711:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:31:54.56 9aeHIF7K.net
>>688
この問題はB5サイズの解答用紙を想定してるので
自分の解答だと収まるか微妙ということで計算量は多いです
712:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:44:53.50 +0t3lN+M.net
全ての計算式を答案に書く必要はないでしょ
適当に間引けば良いじゃん
713:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:48:04.18 Ty9mG3gK.net
てか>>591は(1)が(2)の誘導のつもりなんだろうけど(2)だけなら(1)はかえって無駄に手間取るクソ問なんだよな。
714:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:51:52.47 dBNhjaL1.net
>>681-682
>>649に
＞>>647も間違っていた。
と書いてある。細かい揚げ足取りは不要。
nCr＝n!/(r!(n-r)!) は二項係数だから、パスカルの三角形の性質から、>>560は証明するまでもなく直観的に分かる話。
715:１３２人目の素数さん
19/10/12 11:39:11 +0t3lN+M.net
>>692
数学の証明で直観的に明らかって書くのか…
716:１３２人目の素数さん
19/10/12 11:50:03.66 mbp8aACd.net
そもそも、場合の数を表す式だから当然に自然数ということ以外の証明を求めている質問なんじゃないのか
717:１３２人目の素数さん
19/10/12 11:55:33.73 dBNhjaL1.net
>>693
漸化式を得てその漸化式を用いて、二項係数が自然数であることや
パスカルの三角形の存在性を示すことは出来るが、高校でそんなことしないだろ。
正の整数と正の整数の和は正の整数である。
高校ではパスカルの三角形やっているから、殆ど自明だよ。
もし、>>560が問題になるのであれば、漸化式を得ることから始まる。
718:１３２人目の素数さん
19/10/12 12:04:27.31 p5/2jBdr.net
>>674様がお前らに話題の流行について何か言いたそうにしている
719:１３２人目の素数さん
19/10/12 12:12:16.77 LBq3GV/u.net
>>692
>ID:dBNhjaL1
の書いた文字の数が自然数であることを証明せよ
720:１３２人目の素数さん
19/10/12 12:19:33.85 dBNhjaL1.net
>>697
問題文に「文字」の定義やレスの個数が不明なことなどといった曖昧な点もあり、証明する気もない。
721:１３２人目の素数さん
19/10/12 12:47:54.23 /8I65Fdj.net
出発点は >>556
722:１３２人目の素数さん
19/10/12 13:31:07.98 LBq3GV/u.net
>>698
頑張ったで賞
723:１３２人目の素数さん
19/10/12 16:57:34 7NaOG/ZF.net
正の数a,b,c,dは満たす次の条件を。
・ a+b+c+d=4a
・ ab+ac+ad+bc+bd+cd=6b^2
・ abc+abd+acd+bcd=4c^3
・ abcd=d^4
a=b=c=dのときなら明らか。これ以外の場合はありますか。
724:
19/10/12 16:59:24 Vy+smElV.net
ない
725:
19/10/12 18:09:08 hFZo15fW.net
a≧b≧c≧d
また
0 = 4a - (a+b+c+d) = (a-b) + (a-c) + (a-d) ≧0,
1 = abcd/(d^4) = (a/b)(b/d)(c/d) ≧ 1,
726:
19/10/12 18:09:51 hFZo15fW.net
>>672
19号 (ハギビス) 情報
<12日16時>
大型、非常に強い
下田市の南西約90 km にあって
北北東に進行中 35 km/h
中心気圧 945 hPa
中心付近の最大風速 45 m/s
最大瞬間風速 60 m/s
727:１３２人目の素数さん
19/10/12 18:17:01.53 quNqMqaH.net
a≧b≧c≧dってできるか？
728:１３２人目の素数さん
19/10/12 23:22:28.49 By254hnA.net
できない
729:１３２人目の素数さん
19/10/12 23:27:12.13 ooKAZ1y5.net
f(x)=(x^π)-(π^x)(0<x<π)
f(x)の最大値をMとおく。
(1)f(x)はただ一つの実数解を持つことを示せ
(2)(1)の実数解をαとしたときf(x)=Mとなるxはα<x<πをみたすことを示せ
(3)M>1/2を示せ
(1)は対数をとって、(2)は平均値の定理から解けたのですが(3)がどうしても解けません
解法分かる方教えて頂きたいです
730:１３２人目の素数さん
19/10/12 23:29:11.02 u27lHLBB.net
>>705
頑張ってみたけど、元の問題を解いた後の系になってしまうｗ
731:１３２人目の素数さん
19/10/13 01:51:52.40 yJs0KBvR.net
微分して増減取るのかねえ
732:１３２人目の素数さん
19/10/13 02:27:11.56 6F2PPbdU.net
>>705 >>708
頑張ってみた。
3(a+b+c+d)^2 - 8(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
= (a-b)^2 + (a-c)^2 + (a-d)^2 + (b-c)^2 + (b-d)^2 + (c-d)^2 ≧ 0,
∴ a ≧ b,
3(ab+ac+ad+bc+bd+cd)^2 - 9(a+b+c+d)(abc+abd+acd+bcd)
= (cc+cd+dd)(a-b)^2 + (bb+bd+dd)(a-c)^2 + (bb+bc+cc)(a-d)^2
+ (aa+ad+dd)(b-c)^2 + (aa+ac+cc)(b-d)^2 + (aa+ab+bb)(c-d)^2 ≧ 0,
∴ b^4 ≧ ac^3,
∴ b ≧ c,
AM-GMで
abc+abd+acd+bcd ≧ 4(abcd)^(3/4),
∴ c ≧ d,
733:１３２人目の素数さん
19/10/13 02:49:13.21 m8dyiQfg.net
実質後半は
a,b,c≧d と abc=d^3
だけでいけるからam≧gmだけでいけそうだけど
734:１３２人目の素数さん
19/10/13 08:31:18.58 KE/DQQhy.net
>>556
>組み合わせの記号nＣrの値は必ず自然数になりますよね
このことは認めた上で回答してよい訳ですか。文章を読むと、どうやらそのようですな。
[第１段]：nは2以上の正整数と仮定してよい。rは 2≦r≦n を満たす正整数と仮定してよい。
二項係数つまりは組合せの総数 nCr は正整数として考えてよい。
そこで、nを2以上の正整数、かつrを 2≦r≦n を満たす正整数と仮定する。
そのように仮定した上で、尚かつ二項係数つまりは組合せの総数 nCr を正整数と仮定して考える。
A＝{1,…,n} とする。
合計丁度1個の有限列 n、n-1、…、n-r+1 は整数の大小関係について大きい方から順に、
何れも相異なる合計丁度 1+(r-1)＝r 個の正整数 n、n-1、…、n-r+1 を重複を許さずに並べることで構成出来る。
また、正整数の全体からなる集合 N＼{0} は正整数の積の二項演算×について可換な半群をなすから、
任意の相異なる合計丁度r個の正整数の積は N＼{0} の点である。よって、n(n-1)(n-2)…(n-r+1)∈N＼{0}。
[第２段]：1)：r＜n のとき。階乗の定義から (n-r)! は相異なる合計丁度 n-r+1 個の自然数の積として表される正整数だから、
同様に (n-r)!∈N＼{0}。ここに、0は自然数として考えている。
2)：r＝n のときは、階乗の定義から、(n-r)!＝0!＝1 だから、(n-r)!∈N＼{0}。
1)、2)から、(n-r)!∈N＼{0}。
[第３段]：階乗の定義から n!＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1)×(n-r)! だから、可換半群 N＼{0} の性質から同様に n!∈N＼{0}。
同様に階乗の定義から n(n-1)(n-2)…(n-r+1)＝(n!)/((n-r)!) だから、同様に (n!)/((n-r)!)∈N＼{0}。
相異なる合計丁度n個の点からなる有限集合Aに属する点の中から、
合計丁度r個の点を任意に重複を許さずに選んで並べて出来る有限列の総数は nPr と表されるから、
相異なるn個の点からなる有限集合Aに属する点の中から合計丁度r個の点を任意に重複を許さずに選ぶ方法の総数は nPr である。
故に、nPr＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1) から nPr∈N＼{0}。
二項係数つまりは組合せの総数 nＣr の定義から、nCr＝(n!)/( (r!)((n-r)!) ) だから、r!×nCr＝(n!)/( ((n-r)!) )。
よって、r!×nCr＝nPr。ところで二項係数 nCr を正整数と仮定しているから、(nPr)/(r!)∈N＼{0}。故に、(r!)|(nPr)。
735:１３２人目の素数さん
19/10/13 08:36:51.27 leA/TMxk.net
違うと思うけどな
組み合わせの数と考えれば自然数になるのは当然だけどそれは使わずに数式から証明することは出来ないかっていう質問だと思う
736:１３２人目の素数さん
19/10/13 10:23:12.80 yJs0KBvR.net
>>712 一行目から違う
738:１３２人目の素数さん
19/10/13 10:30:37 z/eu28dU.net
>>712
すんげ～低能ｗｗｗ
739:
19/10/13 10:40:22 KE/DQQhy.net
>>714
問題文の解釈や質問者の意図をめぐる>>713の是非は別にして、>>556には
>つまりnＰr＝n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)がr!で割り切れるって意味ですよね？
と式が書いてある。そこの等式にはn、n-1 という異なる2個の正整数が表れていることが見て取れる。
正整数と見なさないと等式に表れている数 n-2 の意味がなくなる。
それ故、一般的には n≧2、2≦r≦n と仮定して話を進める。
740:１３２人目の素数さん
19/10/13 10:47:07.73 z/eu28dU.net
>>716
>>714は
>>二項係数つまりは組合せの総数 nCr は正整数として考えてよい。
が違うつってんだろクソアホが。
741:１３２人目の素数さん
19/10/13 10:52:42.91 KE/DQQhy.net
>>717
＞>>714は
＞>>二項係数つまりは組合せの総数 nCr は正整数として考えてよい。
＞が違うつってんだろクソアホが。
この主張を認めるには>>714の「一行目」は「二行目」と訂正することになり、互いの主張に食い違いが生じる。
742:１３２人目の素数さん
19/10/13 10:52:43.03 KE/DQQhy.net
>>717
＞>>714は
＞>>二項係数つまりは組合せの総数 nCr は正整数として考えてよい。
＞が違うつってんだろクソアホが。
この主張を認めるには>>714の「一行目」は「二行目」と訂正することになり、互いの主張に食い違いが生じる。
743:１３２人目の素数さん
19/10/13 12:14:59.23 yJs0KBvR.net
>>716
この一行目が違うと言っている
これを証明しろと言ってる
>>組み合わせの記号nＣrの値は必ず自然数になりますよね
744:１３２人目の素数さん
19/10/13 12:21:49.48 m8dyiQfg.net
もういいじゃん。
あらかた出揃ったでしょ？
745:１３２人目の素数さん
19/10/13 12:45:43.76 z/eu28dU.net
>>721
とっくに終わってる話なのに何一つ理解できてないクソアホが
間違いだらけの長文でドヤ顔してるから叩かれてんだろ
746:１３２人目の素数さん
19/10/13 12:50:47.68 Qs1E5XjQ.net
以上、場合の数が整数でないと思う異常者たちの遠吠えでした
747:１３２人目の素数さん
19/10/13 12:55:36.97 J+O0/r6Y.net
負数も困るがな
748:１３２人目の素数さん
19/10/13 13:03:18.57 KE/DQQhy.net
>>720
>組み合わせの記号nＣrの値は必ず自然数
これはマトモな組合せ論(但しグラフ理論ではない)の本に載っているから、それを読めば済む話。
それより、むしろ>>713がいうように
>(順列の)数式から(代数的)に)証明すること
の方に関心がある。
>>722
お前さんが理解出来ないだけだと思う。
749:１３２人目の素数さん
19/10/13 13:09:12.49 11hvg21o.net
>>725
証明しろと言ってる中で本を読めとか感覚的に明らかとかそういう言葉遊びはやめましょうね、と言ってるんじゃ無いのかな
750:１３２人目の素数さん
19/10/13 13:13:55.04 KE/DQQhy.net
>>726
>>720のいうことを実行したら、実質的には本を書き写すことと同じようなことになる。
751:１３２人目の素数さん
19/10/13 13:17:09.47 11hvg21o.net
>>727
？それでいんじゃ無いの？
少なくとも書いてる内容は求められてることでは無いし
752:１３２人目の素数さん
19/10/13 13:20:29.22 KE/DQQhy.net
>>729
講義をするようなことになると思うけど。
753:１３２人目の素数さん
19/10/13 13:22:08.82 KE/DQQhy.net
>>728
>>729は>>728へのレス。
754:１３２人目の素数さん
19/10/13 13:35:57.75 c3fh1rSu.net
御託はいいからさっさと書いたらどうですか？
755:１３２人目の素数さん
19/10/13 13:45:27.67 11hvg21o.net
>>729
それが求められてることなんだけど…
756:
19/10/13 13:45:49 BLOFwXP+.net
>>556
通りすがりだが、略解のみ。
n≧r>1として
X=r!=Π[k=1,r]k、Y=nPr=Π[k=n-r+1,n]k とおく。
r!の素因数はr以下の素数のみ。
以下、1からrまでの自然数の集合をA、n-r+1からnまでの自然数の集合をBとする。
まず
【補題１】aを自然数として、Aに含まれるaの倍数の個数≦Bに含まれるaの倍数の個数
を示す（証明略）
r以下の素数の個数をK、r以下の素数をpi（i=1～K）とする。
Xの素因数分解に含まれるpiの個数をxi，Yの素因数分解に含まれるpiの個数をyiとおくと
pi^(N+1)>nとなる適当なNをとって
xi=Σ[k=1,N]（Aに含まれるpi^kの倍数の個数）
yi=Σ[k=1,N]（Bに含まれるpi^kの倍数の個数）
であり、補題１よりxi≦yi
Xの任意の素因数について Xに含まれる個数≦Yに含まれる個数 なので、YはXの倍数。
757:１３２人目の素数さん
19/10/13 14:13:36.52 oQHi6q4j.net
>556
任意の自然数n,r(r≦n)に対して、C(n,r):= n(n-1)(n-2)…(n-r+1)/r! と定義すると
i)任意の自然数nに対してC(n,1)=n/1=n なので、C(n,1)は自然数となる。
ii)ある自然数rに対してC(n,r)が自然数であるとすれば、C(n,r+1)も自然数となることを以下に示す。
r+1の一つの素因数をpとするとr+1= kp^l (k,lは自然数）とおける。
1からr+1までの連続するkp^l個の自然数に現れるp,p^2,p^3…の回数を重複するものを避けて数え上
げて、(r+1)!=qp^mとなったとする（ただし、qはpとは素な自然数で、m≧l）。
(r+1)!/r!=r+1=kp^lなので、r!に含まれる素因数pの次数は(m-l)となる。
一方、n(n-1)…(n-r+1)(n-r)は連続するkp^l個の自然数なので、その中に現れるp,p^2,,,の回数
を重複するものを避けて数え上げれば少なくともpの次数はm以上となる。
ゆえに、C(n,r)(n-r)=n(n-1)…(n-r+1)(n-r)/r!はpのl乗の倍数でなければならない。
r+1の他の素因数に対しても同じことが言えるので、C(n,r)(n-r)は(r+1)の倍数となる。
よって、C(n,r+1)=C(n,r)(n-r)/(r+1)は自然数。
i),ii)より、数学的帰納法により証明できた。
こんなんでどう？
758:１３２人目の素数さん
19/10/13 14:16:46.13 NZ+QexBD.net
>>733
>Aに含まれるaの倍数の個数
たぶん
「それは整数ですか？証明してください！」
と言い出す奴がでる
に100万ガウス
759:１３２人目の素数さん
19/10/13 14:18:20.13 oQHi6q4j.net
よく確かめてないけど、もしかして、>>733に先を越されちゃってた？
だとしたら、悲しい… (T_T)
760:１３２人目の素数さん
19/10/13 14:22:21.41 oQHi6q4j.net
>>734
気を取り直して、ちと修正。
×p,p^2,p^3…の回数
↓
○p,p^2,p^3…の倍数の回数
もう一箇所も同様。
761:１３２人目の素数さん
19/10/13 14:23:47.76 NZ+QexBD.net
>>736
だとしたら
隣り合うr個の代わりに2ずつ離れたr個ならどうだかって風に拡張するのが数学だろ
762:１３２人目の素数さん
19/10/13 14:27:49.03 oQHi6q4j.net
ん？レス先間違い？ >>738
763:１３２人目の素数さん
19/10/13 14:29:55.68 oQHi6q4j.net
高校生的には>>734のほうがわかり易くないか？（自画自賛でスマン）
764:１３２人目の素数さん
19/10/13 14:36:27.61 9wflnQXn.net
>>567で片付いてる議論をいつまでやるの？
765:１３２人目の素数さん
19/10/13 14:44:30.51 KE/DQQhy.net
>>731-732
>>730を書いた直後にメシ食ったし、それじゃ今から準備する。
766:１３２人目の素数さん
19/10/13 14:46:28 lHGK/+40.net
>>674
そんな話してるとこのキチガイがまた怒り出すぞ
767:１３２人目の素数さん
19/10/13 14:47:29 NZ+QexBD.net
>>741
>>567は筋が悪いね
768:
19/10/13 14:53:22 6F2PPbdU.net
>>705 >>710
〔マクローリンの不等式〕
Ｐ_k = (n文字のk次の基本対称式) / nＣk,
とおくと
Ｐ_1 ≧ √(Ｐ_2) ≧ ････ ≧ (Ｐ_k)^(1/k) ≧ ････ ≧ (Ｐ_n)^(1/n),
数セミ増刊「数学の問題」第(1)集、日本評論社 (1977)
●21
E.F.Beckenbach & R.Bellmann: "Inequalities", Ergebnisse叢書, Springer-Verlag (1961)
p.11
769:１３２人目の素数さん
19/10/13 15:11:34.79 6F2PPbdU.net
>>711
a+b+c+d = 4a,
abcd = d^4,
から
(b+c)/2 ≧ a ≧ d ≧ √(bc),
になるけど････
770:１３２人目の素数さん
19/10/13 15:50:37.93 z/eu28dU.net
アホらしいから昼寝してたぜ。
終わったか低能ども。
771:１３２人目の素数さん
19/10/13 18:31:27.31 H8AX9dDl.net
>>671イナ ◆/7jUdUKiSM 2019/10/11(金) 21:52:12.32ID:AWks4Xyn
>全くの誤りだから、役立たず。もう一度やり直し
772:１３２人目の素数さん
19/10/13 19:01:39.86 m8dyiQfg.net
>>746
amgmだけで
a = (a+b+c+d)/4 ≧ (abcd)^(1/4) = d
b = ((ab + ac+ ad + bc + bd + cd)/6)^(1/2)
≧ ((abacadbcbdcd)^(1/6))^(1/2) = (abcd)^(1/4) = d
c = ((abc + abd+ acd + bcd)/4)^(1/3)
≧ ((abcabdacdbcd)^(1/4))^(1/3) = (abcd)^(1/4) = d
773:１３２人目の素数さん
19/10/13 19:04:58.06 tiEywG3W.net
>>643
わかりやすい解説ありがとうございました！
納得しました
774:１３２人目の素数さん
19/10/13 19:25:08.02 tiEywG3W.net
>>642
>>646
いまようやく解りました。
ありがとうございました。
とても助かりました。
このスレは親切な方が多くて良スレですね。
775:
19/10/13 19:53:30 6F2PPbdU.net
>556
通りすがりだが、略解のみ。
任意の自然数n と非負整数r (0≦r≦n) に対して、P(n,r):= n(n-1)(n-2)…(n-r+1)
任意の自然数n に対して、 P(n,0):= 1,
i) n=1 に対しては r=0,1 なので r!=1、P(1,r)=1 は r! で割り切れる。
また r=0 のときは定義から明らか。
ii) ある自然数nに対して P(n,r) が r!で割り切れるとすれば、P(n+1,r)も r! で割り切れることを以下に示す。
P(n+1,r) = (n+1)n(n-1)････(n-r+2)
= {(n-r+1) + r}n(n-1)････(n-r+2)
= n(n-1)････(n-r+1) + r*n(n-1)･･･(n-r+2)
= P(n,r) + r*P(n,r-1),
ここで P(n,r)はr!で割り切れ、P(n,r-1)は(r-1)!で割り切れる。
∴ P(n+1,r) も ｒ! で割り切れる。
i),ii)より、数学的帰納法により証明できた。
こんなんでどう？
776:
19/10/13 19:58:21 c3fh1rSu.net
nCrが組み合わせだという回答の次にスッキリしてて良い回答だと思います
P(n,n)がn!で割り切れるというのも必要な気がしますけど
777:１３２人目の素数さん
19/10/13 20:07:39.29 0Jzm3j2a.net
>>752
rの方を固定するの？nを固定したらダメなの？
nPrがr!で割り切れると仮定するとnPr+1が(r+1)!で割り切れる
としちゃダメなの？
778:１３２人目の素数さん
19/10/13 20:21:02.78 NZ+QexBD.net
>>754
なんでダメって思うのがダメ
779:１３２人目の素数さん
19/10/13 20:24:18.28 6F2PPbdU.net
>>753
r=n のときは P(n,n)=n! から明らか。
が抜けてますた。
>>754
nについての帰納法です。
r=0,1,･･･,n のn+1個を一まとめにして扱いました。
780:
19/10/13 20:34:08 6F2PPbdU.net
>>749
a, b, c ≧ (abcd)^(1/4),
ですね。
第4式から
(abcd)^(1/4) = d,
つまり
a･b･c = (abcd)^(3/4),
これらより
a = b = c = (abcd)^(1/4),
わかりやすい解説ありがとうございました！
納得しました。
いまようやく解りました。
ありがとうございました。
とても助かりました。
このスレは親切な方が多くて良スレですね。
781:１３２人目の素数さん
19/10/14 01:27:00 NS93ZhhO.net
>>756
それって、C(n+1,r)=C(n,r)+C(n,r-1)を使った>>567とまったく同じだろ？
(>>567は式をちょっと書き間違えてるけどねｗ）
ぱっと見、nについての帰納法だと、rが増やせない感じで気持ち悪いんだよね。
だから、そこんとをきちんと定式化して、
i)C(1,1)=1!/(1-1)!/1!=1, C(1,0)=1!/(1-0)!/0!=1
ii) ある自然数nに対して、0≦r≦nとなるすべての整数rについてC(n,r)が
自然数になると仮定すると、
1≦r≦nの場合、C(n+1,r)=C(n,r)+C(n,r-1)が自然数となることは自明。
また、C(n+1,0)=(n+1)!/(n+1-0)!0!=1、C(n+1,n+1)=(n+1)!/(n+1-n-1)!/(n+1)!=1
なので、やはり 0≦r≦n+1となるすべての整数rに対してC(n+1,r)は自然数になる。
i),ii)より数学的帰納法から、任意の自然数nに対して、0≦r≦nとなるどの整数r
についてもC(n,r)は自然数となる。
とすれば明快じゃないかな。
782:１３２人目の素数さん
19/10/14 01:35:20.86 NS93ZhhO.net
もちろん、C(n,1)=n!/(n-1)!/1!=n から出発して、C(n,r)が自然数なら、
C(n,r+1)も自然数としていく >>733や>>734の証明も別解としてありだと
思うが、C(n+1,r)=C(n,r)+C(n,r-1)を使うほうが簡単だな。
783:１３２人目の素数さん
19/10/14 01:36:56.45 NS93ZhhO.net
あ、すまん、>>733は帰納法じゃなかったね。
784:１３２人目の素数さん
19/10/14 01:40:46.
785:05 ID:ghs5S51C.net
786:１３２人目の素数さん
19/10/14 01:52:01 NS93ZhhO.net
>>761
どれを簡単と感じるかは人それぞれ。いろんな証明法があっていい。
というか、あったほうがいい。
787:１３２人目の素数さん
19/10/14 02:20:44.15 aopKGu2j.net
>>755
アホ丸出し
788:１３２人目の素数さん
19/10/14 02:25:40.04 ghs5S51C.net
>>762
なくていいですよね
こんなくだらない問題いつまで続けてるんですか
789:１３２人目の素数さん
19/10/14 02:37:09.82 aopKGu2j.net
>>764
解けないんですね
790:１３２人目の素数さん
19/10/14 03:22:53.60 IM6ubKlo.net
>>761
その場合は、自然数である組み合わせC(n,r)がn!/(r!*(n-r)!)で表せることの証明に置き換わるだけ
やることは何も変わらない
791:
19/10/14 05:16:37 cHIxRdsu.net
この計算で合っているでしょうか？
問１
カードAが7毎、カードBが8枚、計15枚のカードがある。
ここから5枚引たときカードBが3枚以上含まれる確率を求めよ。
(8C5 + 8C4*7C1 + 8C3*7C2 ) / 15C5
=(56+490+1176)/3003
=82/143
問２
カードBの8枚にはそれぞれB1、B1、B1、B2、B2、B2、B3、B3、と書かれている。
問１から、B1B1B1AA、及びB2B2B2AAの場合を除外したときの確率を求めよ
(8C5 + 8C4*7C1 + 8C3*7C2 -7C2*2) / 15C5
=(56+490+1176-21)/3003
=81/143
問３
問２で失敗した場合、もう一度15枚のカードから5枚引いてやり直してよい場合の確率を求めよ。
81/143 + (143-81)/143 * 81/143
=16605/20449
≒0.812
スマホゲーのfate/grand orderやっていて、
ふと高校数学が懐かしくなって確率を厳密に計算したくなったやつです。
ゲーム的にはB8枚構成でBチェインで1wave1T突破する確率なんだけど
もしゲーム知ってる人がいたら、問題立てそのものも検証してくれると嬉しいです。
792:１３２人目の素数さん
19/10/14 08:18:14.30 rlE8oMm3.net
「組合せだから自然数！」くんは質問の趣旨を全く理解できてないな
793:無碍
19/10/14 09:21:06.83 0oBLmHWw.net
こんにちは。
わからない問題があるので質問させていただきます。
-------以下問題-------
all x{p(x) ⇒ q(x)}
と
exist x{p(x) ⇒ q(x)}
の意味を日本語で記述せよ。
----------------------
です。解答お待ちしております。
794:１３２人目の素数さん
19/10/14 09:47:20.63 NS93ZhhO.net
>>768
それにつきるねｗ
795:１３２人目の素数さん
19/10/14 10:03:56 X5yx4l1O.net
>>758
>それって、C(n+1,r)=C(n,r)+C(n,r-1)を使った>>567とまったく同じだろ？
>>567はその式証明してないが>>758は証明になってるから
同じというのは語弊がある
>>567も>>758もrに付いての帰納法ではない
rを増やせなくても良いわけ
(n+1,r)についての言明を(n,r)と(n,r-1)から導くというだけ
796:１３２人目の素数さん
19/10/14 10:10:37 X5yx4l1O.net
>>770
忖度し過ぎだね
連続したr個の数の積がr!で割り切れることの最も簡単な証明が
nPr=nCr・r!
および
nPr=n!/(n-r)!
を示すというもの
後者を示している書き込みがないところから見て
こちらの証明はほぼ自明と認識されているのだろうね
それに比すれば前者もほぼ自明なので
他にもいろいろな証明があるにせよ
これが最も簡単だろうね
797:１３２人目の素数さん
19/10/14 10:12:17 NS93ZhhO.net
>>771
>その式証明してないが>>758は証明になってるから
まあ、証明もなにも、そもそも>>567は式を書き間違えてるからねｗ
とはいえ、内容的にはまったく同じこと。
C(n+1,r)=C(n,r)+C(n,r-1)はよく出てくる公式で、証明も簡単にできる
ので省略したんでしょうね。
>rを増やせなくても良いわけ
いや、rはnとともに増やせなきゃだめ
798:でしょ。つまり、nが決まれば r（の範囲）が決まり、その全てのrで成り立つことを明示的に示さな いと証明としては不十分。
799:１３２人目の素数さん
19/10/14 10:14:31 X5yx4l1O.net
>>773
それは間違い
かの証明は
nについての帰納法であって
rは任意（帰納法ではない）
800:１３２人目の素数さん
19/10/14 10:17:17.16 X5yx4l1O.net
rの範囲はnによりほぼ自動的に定まり
その中のどのrでもよいので
明示的に書く必要はないね
801:１３２人目の素数さん
19/10/14 10:18:34.85 X5yx4l1O.net
>>775
>rの範囲はnによりほぼ自動的に定まり
定める必要すらないか
rは0（1でもよい）以上の整数何でもよろしい
802:１３２人目の素数さん
19/10/14 10:23:53.46 X5yx4l1O.net
証明をきれいにするには
n,r≧0にして
0Pr=0 (r>0)
nP0=1
から始めるのかな
803:１３２人目の素数さん
19/10/14 10:28:39 NS93ZhhO.net
>>772
ん？
質問者(=>>556)はnCrが自然数になるということの証明を求めて、間接的に
nPrがn!で割り切れることの証明を求めてるんだってことを理解してるの？
それだとnCrが自然数だからnPrがr!で割り切れるって言ってるだけだから
まったくのナンセンス。
804:１３２人目の素数さん
19/10/14 10:32:09 NS93ZhhO.net
>>774
rは任意じゃないでしょ。1Cr=1!/(1-r)!r!
ってr>1でどうすんのよｗ
0≦r≦nって制限があるんだから、nが増えれば、rの上限も
増えるのでr=n+1とr=0の場合はn+1に対して明示的に証明し
ておかないとだめだよ。
805:１３２人目の素数さん
19/10/14 10:38:00 NS93ZhhO.net
一方、nCrが自然数からnCr+1が自然数を導出するほうは、
n≧1の任意の自然数に対してnC1=nが自然数となることから出発
できるのでそのまま素直に帰納法として理解できる。が、証明は面倒。
806:１３２人目の素数さん
19/10/14 10:40:00 NS93ZhhO.net
>>767
やり方は正しいと思う。数値まではチェックしてない。
807:１３２人目の素数さん
19/10/14 11:06:00.65 X5yx4l1O.net
>>779
ここではnからr個の積をnPrとするわけ
1Pr=0 (r>1)でr!で割り切れるのよ
rは何でも良い
それからnCrが自然数であることを示せではなく
n個の積がr!で割り切れることを示せですよ
808:１３２人目の素数さん
19/10/14 11:07:22.89 X5yx4l1O.net
まあいずれにせよID:NS93ZhhO は>>758の証明の構造を良く理解してね
nについては帰納法rについては何でもよろしい