19/09/05 01:14:15.49 oqAF7AYy.net
＞ε-δ論法は、一定の値になることを証明していません。
実数列 {a_n}_n が実数 α に収束するとは、
∀ε＞0, ∃n∈N, ∀m＞n s.t. |a_m－α|＜ε
が成り立つときを言い、αのことを {a_n}_n の極限値と呼ぶ。
この定義のままでは、α以外の別のβに対しても
∀ε＞0, ∃n∈N, ∀m＞n s.t. |a_m－β|＜ε
が成り立つ可能性があるように見えるが、実際には、
「∀ε＞0, ∃n∈N, ∀m＞n s.t. |a_m－β|＜ε」
を満たす実数βはβ＝αに限られることが簡単に証明できる
(ε-δ論法を使った簡単な演習問題で、学生は必ず解かされる必修の問題)。
つまり、{a_n}_n の極限値は、もし存在するなら一定の値しかない。