19/08/18 22:46:47.75 yA0wfMSF.net
さあ、今日も１日がんばろう★☆
前スレ
分からない問題はここに書いてね454
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
(使用済です: 478)
2:１３２人目の素数さん
19/08/19 15:22:04.14 TWhq4S72.net
ここは分からない問題を書くスレです。
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。
3:１３２人目の素数さん
19/08/19 16:53:59.24 zeFV/Rbb.net
△ ￥ ▲
（ ㊤ 皿 ㊤） がしゃーん
（ ）
／│ 肉 │＼ がしゃーん
＜ ＼＿＿__／ ＞
┃ ┃
＝ ＝
3ゲットロボだよ
自動で3ゲットしてくれるすごいやつだよ
4:１３２人目の素数さん
19/08/20 02:29:31.38 tL4LcjDy.net
△ ￥ ▲
（ ㊤ 皿 ㊤） がしゃーん
（ ）
／│ 肉 │＼ がしゃーん
＜ ＼＿＿__／ ＞
┃ ┃
＝ ＝
4ゲットロボだよ
自動で4ゲットしてくれるすごいやつだよ
5:１３２人目の素数さん
19/08/20 19:33:23.83 xdd3PUoR.net
aを集合とするとき，
aの濃度(aと一対一に対応する順序数の中で最小のもの)を#aと書きます。
αが極限順序数であるとき
α=∪_{β∊α}#β
は成り立ちますか？
もしくは
#α=∪_{β∊α}#β
は成り立ちますか？
6:１３２人目の素数さん
19/08/21 11:09:09.37 2uEJxB3J.net
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
7:１３２人目の素数さん
19/08/21 11:36:43.15 keHdPite.net
>>5
どちらも成り立たない
1.
α=ω2(=ω+ω)の時
∪_{β∈α}#β=ω≠α=ω2
順序数αが極限基数でないならば成り立たない？
2.
α=ω_1(最小の非可算順序数)の時
任意のβ∈αに対して#β≦ωであり、
∪_{β∈α}#β=ω≠#α=ω_1
順序数αが極限基数でなく、かつ基数であるならば成り立たない？
8:１３２人目の素数さん
19/08/21 18:30:22.30 NAVHXRee.net
>>7
早い回答をありがとうございます！
わかりやすい例です。しかしネガティブな結果で残念です。
以下で一応>>5の背景を書いておきます。
お読みくだされば幸いですが、長いのでお読みにならなくても構いません。
私はいま竹内外史先生のZornの補題A(現代集合論入門 第3章 5節)の証明で悩んでいて、
そこにはON(順序数の全体)上の写像Fで
・任意の順序数αに対して F(α)⊊F(α+1)
・αが極限順序数ならば F(α)=∪_{β∊α} F(β)
を満たすものが与えられていて、
任意の順序数αに対して
#α≦#F(α)
が成り立つことが超限帰納法で示されると書いてあります。
∀β∊α[#β≦#F(β)] ⇒ #α≦#F(α)
が示せればよいのですが、αが極限順序数である場合、
・αは極限順序数なので α=∪_{β∊α} β
・∀β∊α[#β≦#F(β)]が成り立っている下では ∪_{β∊α} #β≦∪_{β∊α} #F(β)
・βがαの要素ならば F(β)⊂F(α) なので #F(β)≦#F(α)、すなわち ∪_{β∊α} #F(β)≦#F(α)
までは判明します。あとは
#α=∪_{β∊α} #β
が成り立って #α≦#F(α) がしたがうという寸法かなと思っていたのですが、違うのですね。
9:１３２人目の素数さん
19/08/21 20:38:09.20 wD8kfSxy.net
f(x) = x / (1 - x^2)
とする。
この関数は (-1, 1) で連続かつ狭義単調増加で、その値域は (-∞, +∞) であることを示せ。
解答：
f が (-1, 1) で連続かつ狭義単調増加であることは明らか。
lim_{x → 1-0} f(x) = +∞
lim_{x → -1+0} f(x) = -∞
であるから、中間値の定理から、値域が (-∞, +∞) であることも明らか。
10:１３２人目の素数さん
19/08/21 20:39:04.33 wD8kfSxy.net
>>9
この問題を a を任意の実数として、直接 f(x) = a を解くことで示すのは簡単でしょうか？
11:１３２人目の素数さん
19/08/21 22:58:21.50 a5HjfwZ7.net
で、どうなったんですか？
12:１３２人目の素数さん
19/08/21 23:44:16.21 QzxBucI6.net
平方数でない自然数全体からなる集合をSとする。
このとき、Sの任意の元aに対して以下が成り立つことを示せ。
ax^2+1を平方数とする自然数xが存在する。
13:１３２人目の素数さん
19/08/21 23:47:44.49 NAVHXRee.net
どうにもなってません
14:１３２人目の素数さん
19/08/22 00:19:44.75 M2m672lJ.net
>>8
F(α+1)＼F(α)≠φ
F(α)=∪_{β∈α}F(β)
から、α={β∈α}からF(α)への単射の存在を示せれば
|α|≦|F(α)|
を示せるんじゃないかな？
ここで選択公理を使うのかな
15:１３２人目の素数さん
19/08/22 00:21:31.43 A3j8jMu2.net
a,b,cは自然数とする。
数字1を左からa個並べ、その後に数字2をb個並べ、さらにその後に数字5をc個並べてできる(a+b+c)桁の整数N[a,b,c]を考える。
例えばa=2,b=5,c=4のとき、
N[a,b,c]=N[2,5,4]=11222225555
である。
問題:N[a,b,c]が平方数となる自然数の組(a,b,c)は無数に存在することを示せ。
16:１３２人目の素数さん
19/08/22 00:42:03.81 PKOnNIB4.net
>>14
ありがとうございます！
その通りですね。私の視野が狭かった。
17:１３２人目の素数さん
19/08/22 00:42:30.85 TmUlnHnQ.net
高3理系に解かせるとしたらこれはどれくらいの難易度でしょうか？
・関数 f(x)={x/(1-x)}exp((1-2x)/x) (0<x<1)
の最小値を求めよ
・t>0として次の定積分F(t)を考える
F(t)=∫[t, t+√(t²+1)] (x-t)/(x²+1) dx
(1)2次導関数 d²/dt² F(t) を求めよ
(2) t>0 で F(t) が単調減少であることを示せ
(3) F(t) の取りうる範囲を求めよ
18:１３２人目の素数さん
19/08/22 11:28:52.46 5qVSVnaY.net
(上) 0<x<1 より
log(f(x)) = log(x) - log(1-x) + 1/x -2,
f '(x)/f(x) = 1/x + 1/(1-x) - 1/xx = (2x-1)/{xx(1-x)} = 0,
∴ x=1/2, f(1/2) = 1,
(下)
(1)
∫(x-t)/(xx+1) dx = ∫x/(xx+1) dx - t∫1/(xx+1) dx
= (1/2)log(xx+1) - t･arctan(x),
F (t) = (1/2)log[(t+√(tt+1))^2 +1] -(1/2)log(tt+1) - t･arctan(t+√(tt+1)) + t･arctan(t),
F '(t) = 1/{2√(tt+1)} - arctan(t+√(tt+1)) + arctan(t),
F "(t) = 1/{(tt+1)[(t+√(tt+1))^2+1]} = 1/{2(tt+1)^(3/2) [t+√(tt+1)]},
(2)
F "(t) >0,
F '(t) → 0 (t→∞)
F '(t) < 0,
(3)
F(t) ≒ log(2)/2 + (1/2-π/4)t - tt/4 - t^3/12 + ････
→ log(2)/2 = 0.34657359 (t→0)
F(t) → log(2) - 1/2 = 0.19314718 (t→∞)
(上)は良問だが (下)は糞問だろうね
19:１３２人目の素数さん
19/08/22 11:31:10.68 nHezLoii.net
高専３年
微分方程式の問題です。
xy平面で曲線y=y(x)>=0上の点(0,y(0))から点P(x,y)までの弧長と点Pを通る縦線とx軸y軸で囲まれた部分の面積がつねにその弧長に比例しているときその曲線の方程式を求めよ。ただし比例定数をk>0としy(0)=kとする。
答えはカテナリーになると思います。解説お願いします。
20:１３２人目の素数さん
19/08/22 11:37:37.99 5qVSVnaY.net
>>10
逆関数
f^(-1)(a) = 2a/{1+√(1+4aa)},
が存在するから。
あるいは、連続函数 tan と arctan を使えば
f^(-1)(a) = tan{(1/2)arctan(a/2)},
21:１３２人目の素数さん
19/08/22 11:54:54.89 5qVSVnaY.net
>>19
題意より
∫[0,x] y(t)dt = k∫[0,x] √{1 + (y '(t))^2} dt,
xで微分して
y(x) = k √{1 + (y '(x))^2},
y(x)^2 = kk {1 + (y '(x))^2},
y(0) = k より y '(0) = 0,
y(x) = k･cosh(x/k),
たしかに カテナリー
22:１３２人目の素数さん
19/08/22 14:45:38.06 yOre8XKM.net
曲線って書いてあるから y(x)=k は無しでいいのかなｗ
23:１３２人目の素数さん
19/08/22 18:19:59.15 5qVSVnaY.net
>>15
N[a,a+1,1] = 100N[a,a,0] + 25 を使うと
N[a,a,0] = 1････12････2 = (10^a +2)(10^a -1)/9 = (A+1)A,
a個 a個
ここに、A = (10^a -1)/3 とおいた。
N[a,a+1,1] = 100N[a,a,0] + 25 = 100(A+1)A + 25 = 25(2A+1)^2,
24:１３２人目の素数さん
19/08/22 18:24:56.83 5qVSVnaY.net
>>23
N[a,b+1,1] = 100N[a,b,0] + 25 を使うべきか・・・・
25:１３２人目の素数さん
19/08/22 19:17:16.21 9hX3VBxb.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
上が問題で下が解答なのですが、4の(3)の解答で「3つの合同な図形に分けることができる」とアッサリ流されているのですが、何故3つの三角形が合同になるのでしょうか？
26:１３２人目の素数さん
19/08/22 19:50:04.80 EnKKzdMw.net
正方形の４頂点が (0,0),(6,0),(6,6),(0,6)、そして、(0,6)の頂点部分を折り曲げて、
内部の点(a,b)に移ると言うように、座標を設
27:定する。 P(4,0)、Q(0,2)、R(2,6)とすると、∠PQRが直角で有ることにさえ気づけば、 斜線部分が合同な図形三つに分解可能なことは難しくないはず。
28:１３２人目の素数さん
19/08/22 19:51:54.17 9hj7nc7J.net
>>25
左下の直角三角形と真ん中の直角三角形は、斜辺と1つの鋭角が等しい。
鋭角が等しい理由は
・左上の折り曲げる前の直角三角形で、小さい方の鋭角Aを○とおく
・左上の折り曲げた後の直角三角形でも、当然小さい方の鋭角Bは○
・斜線部の直角三角形（左下）について。これは先の折り曲げた直角三角形と相似。だから大きい方の鋭角Cは90°-○。
・斜線部の直角三角形（真ん中）の大きい方の鋭角Dを△とすると、A,B,C,Dは一点に集まっていて180°だから
○+○+(90°-○)+△=180°
計算して△=90°-○
つまり鋭角Dと鋭角Cは同じ角度
・だから、斜線部の直角三角形（左下）と（真ん中）は「斜辺の長さと一鋭角が等しい」ので合同
29:１３２人目の素数さん
19/08/22 19:57:29.67 9hj7nc7J.net
>>23
ありがとうございます。
漸化式を作るN(a,b,c)からb,cを消してしまえるんですね。シンプルにaだけにできてしまう発想に思い至りませんでした。
教えていただいた通りに解き直してみます。
30:１３２人目の素数さん
19/08/22 20:17:21.68 9hX3VBxb.net
>>26
>>27
わかりました、ありがとうございます。
31:イナ
19/08/22 21:15:48.76 SlPUVNEj.net
>>25合同という言葉は危険な匂いがする。使わないほうがいい。
折り返した谷折り線の長さはピタゴラスの定理より、
√(4^2+2^2)=2√5
折り返した直角三角形の直角を挟む2辺は、4㎝と2㎝。
4㎝の辺の中点と斜線部分の四角形の右下の頂点とを結び、四角形の左上の頂点と四角形の右下の頂点も結ぶ。
四角形内部の直角三角形の辺の比はいずれも2:4:2√5となり、斜辺の長さ2√5は、さっき求めた折り返した直角三角形の斜辺と一致するから、
五つの直角三角形の辺の比はいずれも2:4:2√5。
斜線部分の四角形の面積は、
{(4･2)/2}･3=12(c㎡)
32:イナ
19/08/22 23:03:42.93 SlPUVNEj.net
前>>30
>>25(4)
(1/3)π･6^2･12=π･4^2･h
h=36･12/48
=9(㎝)
33:イナ
19/08/22 23:17:26.09 SlPUVNEj.net
前>>31
>>25(1)
(πr^2/4)･3+(1/8)4πr^2=45π
3r^2+2r^2=180
r^2=36
r=6(㎝)
34:１３２人目の素数さん
19/08/22 23:20:19.23 pSCD12fP.net
まためちゃくちゃ言っとる
35:１３２人目の素数さん
19/08/22 23:22:57.37 GK7r1iDU.net
前スレでRからR^2への連続全単射は存在するか質問した者です
Rではなく閉区間を考えれば、コンパクトハウスドルフ空間の連続全単射は同相であることと1点除いて連結かをみることで連続全単射は存在しないことが分かるのですが、Rの場合はどのように示すことができるでしょうか？
36:１３２人目の素数さん
19/08/23 01:30:45.11 75WRKQde.net
>>24 の右辺が
100(A+1)A + 25 = 25(2A+1)^2
の形になる条件は、ある自然数Aについて
N[a,b,0] = (A+1)A
ってことです････
37:１３２人目の素数さん
19/08/23 02:07:36.17 75WRKQde.net
>>25
４ 次の問いに答えなさい。
(3) 右に図は、1辺6 cm の正方形の折り紙のひとすみを折り曲げたところを示したものである。
斜線部分の面積を求めよ。
(解 説)
(3) 右の図のように、3つの合同な三角形に分けることができるから、
求める面積は、
(1/2)×2×4×3 = 12 (cm^2)
38:１３２人目の素数さん
19/08/23 03:20:52.55 75WRKQde.net
△ABC と △A'B'C' があり
∠A = ∠A'
AB = A'B'
BC = B'C'
を満たすとする。(2辺1角相等)
正弦定理より
sin(C) = (AB/BC) sin(A),
C ⇔ 180ﾟ - C
としても成立。
ただし ∠A=90ﾟ の場合は
C < 90ﾟ
なので合同である。
39:１３２人目の素数さん
19/08/23 10:39:49.40 zpKZ1uRO.net
以下が成り立つのはなぜですか？
多項式 f(x) が (x-a)^k で割り切れるが、 (x-a)^(k+1) では割り切れない。
⇔
f(x) = (x-a)^k*g(x), g(a) ≠ 0 と表される。
40:１３２人目の素数さん
19/08/23 10:42:07.09 zpKZ1uRO.net
f(x) = (x-a)^k*g(x), g(a) ≠ 0 と表される。
⇒
多項式 f(x) が (x-a)^k で割り切れるが、 (x-a)^(k+1) では割り切れない。
が分かりません。
41:１３２人目の素数さん
19/08/23 10:43:22.41 zpKZ1uRO.net
多項式の素因数分解の一意性を使えばいいのは分かりますが、
>>39
が書かれている本には素因数分解の一意性についての記述はありません。
42:１３２人目の素数さん
19/08/23 10:45:14.11 TGcHN8fe.net
k+1回割れるならg(x)=(x-a)h(x)の形をしてるはずですね
43:１３２人目の素数さん
19/08/23 10:46:41.94 YvfmlHue.net
松阪くんって代数がものすごく苦手だよね
44:１３２人目の素数さん
19/08/23 10:50:22.66 zpKZ1uRO.net
>>41
それはなぜですか？
45:１３２人目の素数さん
19/08/23 10:53:13.98 TGcHN8fe.net
k+1回割り算できるんですよね
46:１３２人目の素数さん
19/08/23 10:53:26.89 zpKZ1uRO.net
>>41
素因数分解の一意性を使わずに説明してください。
47:１３２人目の素数さん
19/08/23 10:54:48.75 TGcHN8fe.net
逆にgに(x-a)入ってないならどこから(x-a)出てくるんですか？
48:１３２人目の素数さん
19/08/23 10:55:57.97 zpKZ1uRO.net
>>46
証明を書いてください。
49:１３２人目の素数さん
19/08/23 10:57:14.45 TGcHN8fe.net
明らかですよね
50:１３２人目の素数さん
19/08/23 11:47:10.71 BUvtsAR3.net
実際、一意分解環じゃなくても成り立つしな
51:１３２人目の素数さん
19/08/23 12:51:51.71 75WRKQde.net
>>43
(x-a)^k･g(x) = (x-a)^(k+1)･h(x)
ならば
g(x) = (x-a)h(x)
か？
a以外のすべてのxについて成り立つから、多項式として等しい。（恒等式）
52:１３２人目の素数さん
19/08/23 13:07:10.12 75WRKQde.net
>>15
c≧1 より N[a,b,c] の下1桁は5
平方根の下1桁も5
(10A+5)^2 = 100(A+1)A + 25 の下2桁は25
∴ c=1
>>24
53:１３２人目の素数さん
19/08/23 13:28:44.86 zpKZ1uRO.net
f(x) = (x - a)^k * g(x), g(a) ≠ 0 と表されると仮定する。
f(x) が (x - a)^(k + 1) で割り切れると仮定する。
f(x) = (x - a)^(k + 1) * h(x) と書ける。
∴ (x - a)^k * g(x) = (x - a)^(k + 1) * h(x)
(x - a)^k * (g(x) - (x - a) * h(x)) = 0
b ≠ a ならば、 (b - a)^k ≠ 0 だから、 g(b) - (b - a) * h(b) = 0
よって、多項式 g(x) - (x - a) * h(x) は無数の異なる零点をもつ。
よって、 g(x) - (x - a) * h(x) = 0 でなければならない。
∴ g(x) = (x - a) * h(x)
よって、 g(a) = 0 となるがこれは矛盾。
54:１３２人目の素数さん
19/08/23 13:29:05.83 zpKZ1uRO.net
>>50
ありがとうございました。
55:イナ
19/08/23 13:53:11.72 QCJYqgUy.net
前>>32めちゃくちゃでも答えがあえばええんでね。
気にせんと。
56:１３２人目の素数さん
19/08/23 15:05:21.92 zpKZ1uRO.net
>>52
以下でもOKですね。
f(x) = (x - a)^k * g(x), g(a) ≠ 0 と表されると仮定する。
f(x) が (x - a)^(k + 1) で割り切れると仮定する。
f(x) = (x - a)^(k + 1) * h(x) と書ける。
∴ (x - a)^k * g(x) = (x - a)^(k + 1) * h(x)
(x - a)^k * (g(x) - (x - a) * h(x)) = 0
(x - a)^k ≠ 0 だから、 g(x) - (x - a) * h(x) = 0 でなければならない。
∴ g(x) = (x - a) * h(x)
よって、 g(a) = 0 となるがこれは矛盾。
57:１３２人目の素数さん
19/08/23 15:38:02.47 3hZ/RMT3.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
すいません、これの(2)なんですが
0からnまでのシグマと積分記号の入れ替えってなにも条件なしで成立するんですか？
このルートで解くんだろうなとは解いてて思ったんですが
入れ替えてよい説明がうまく記述できず、解答見たら何も説明なかったんですが
①無条件で入れ替えられますか？
②なぜ入れ替えられるのですか？
可能であればなるべく高校数学まででお願いします
58:１３２人目の素数さん
19/08/23 15:38:38.33 3hZ/RMT3.net
２枚目の下から３行目、４行目の式です
59:１３２人目の素数さん
19/08/23 15:56:47.51 TGcHN8fe.net
有限ならいつでもできますよね
60:１３２人目の素数さん
19/08/23 16:58:37.16 m+h9Jwoh.net
二乗根は正でなければならないのに、三乗根は負でもいい理由を教えてください
例を挙げると
√4=2 で-2は不適とするのに
3√(-1)=-1としてもいい理由を教えてください
61:イナ
19/08/23 17:05:36.06 QCJYqgUy.net
前>>54
>>59マイナスとマイナスを掛けるとプラスになりますが、マイナスを3回掛けるとマイナスになります。
だからです。
それだけのことだと思います。
62:１３２人目の素数さん
19/08/23 17:19:55.96 DGGgm78l.net
f＋gの積分はfの積分＋gの積分ですね
f＋g＋hの積分はfの積分＋gの積分＋hの積分ですね
n個になっても同じです
63:１３２人目の素数さん
19/08/23 17:25:57.09 zpKZ1uRO.net
a > 0 とします。
x^(2*n) = a
は正と負の二つの実数解をもちます。
x^2 = 4 は +2, -2 の二つの実数解をもちます。
√4 はこのうち正の実数解のほうである +2 を表すと約束しただけです。
すると -2 = -√4 です。
単なる約束です。もし、 √4 は二つある実数解の -2 を表すと約束していたとしたら、
+2 = -√4 です。
a を任意の実数とします。
x^(2*n+1) = a
は1つの実数解をもちます。
x^3 = -1 は -1 のみを実数解としてもちます。
これを 3√(-1) と書くというのも約束です。
64:１３２人目の素数さん
19/08/23 17:28:39.40 DGGgm78l.net
二乗根はどうしてもプラスのものとマイナスのものと二つ出てきてしまって
関数として使いづらいので√はプラスの方とする、と決めているだけです
何かの角度を求めたときに、370度とは書かずに10度と書くのと同じ理由
とりあえず一つに決めておこうってだけ
3乗根の場合は、x3乗のグラフ書いてみればわかるけど
一つの数字の3乗根がプラスマイナス両方出てくることは無くて、絶対マイナスのものかプラスのもの一つだけなので特にプラスだけ、とかこだわる必要がないのです
65:１３２人目の素数さん
19/08/23 17:59:12.10 m+h9Jwoh.net
>>62
>>63
ありがとうございます、納得できました
66:１３２人目の素数さん
19/08/23 18:19:54.62 zpKZ1uRO.net
p(x) を多項式とする。
a ≠ b とする。
p(a) = 0, a の重複度を m とする。
p(b) = 0, b の重複度を n とする。
このとき、
p(x) = (x-a)^m * (x-b)^n * q(x)
q(a) ≠0
q(b) ≠0
と書けることを証明せよ。
67:１３２人目の素数さん
19/08/23 18:27:59.55 gxXogZx5.net
>>65
糖質ガイジ
68:１３２人目の素数さん
19/08/23 18:32:39.23 zpKZ1uRO.net
a < b とし、 n を任意の正の整数として、
f(x) = (d^n / dx^n ) (x - a)^n * (x - b)^n
とおく。方程式 f(x) = 0 は開区間 (a, b) に n 個の単解をもつことを証明せよ。
69:１３２人目の素数さん
19/08/23 18:39:35.28 m+h9Jwoh.net
うっわガイジにレスしちゃった
ガイジとは知らず触れてしまい申し訳ないです
70:１３２人目の素数さん
19/08/23 18:48:18.78 zpKZ1uRO.net
>>67
の松坂和夫さんの証明がすっきりとしません。
↓こんな証明です：
F(x) = (x - a)^n * (x - b)^n は 2*n 次の多項式だから、 f(x) は n 次の多項式。
F(x) は a, b をそれぞれ n 重解としてもつから、 F'(x) は a, b を (n - 1) 重解としてもつ。
さらに F(a) = F(b) = 0 であるから、ロルの定理によって F'(x) は区間 (a, b) に少なくとも1つの
解をもつ。次数を考えれば、その解 c_1 はただ1つで、 しかも F'(x) の単解である。
同様に考えると、 F''(x) は a, b をそれぞれ (n - 2) 重解としてもち、さらに区間 (a, c_1), (c_1, b) に
それぞれ1つずつ単解 c_2, c_2' をもつ。
以下同様に続けていけば、 f = F^(n) は区間 (a, b) に n 個の単解をもつことがわかる。
71:１３２人目の素数さん
19/08/23 18:58:48.11 zpKZ1uRO.net
F'(x) は a, b を (n - 1) 重解としてもつから、
F'(x) = (x - a)^(n - 1) * (x - b)^(n - 1) * (x - c)
と書ける。
F(a) = F(b) = 0 であるから、ロルの定理によって F'(x) は区間 (a, b) に少なくとも1つの
解をもつ。
この解は c と一致しなければならない。
F''(x) は a, b を (n - 2) 重解としてもつから、
F''(x) = (x - a)^(n - 2) * (x - b)^(n - 2) * (x^2 + d*x + e)
と書ける。
F'(a) = F'(c) = 0 であるから、ロルの定理によって F''(x) は区間 (a, c) に少なくとも1つの
解 f をもつ。
F'(c) = F'(b) = 0 であるから、ロルの定理によって F''(x) は区間 (c, b) に少なくとも1つの
解 g をもつ。
#{a, b, f, g} = 4 だから、
F''(x) = (x - a)^(n - 2) * (x - b)^(n - 2) * (x - f) * (x - g)
と書ける。
72:１３２人目の素数さん
19/08/23 19:03:54.10 zpKZ1uRO.net
F'''(x) は a, b を (n - 3) 重解としてもつから、
F'''(x) = (x - a)^(n - 3) * (x - b)^(n - 3) * (x^3 + h*x^2 + i*x + j)
と書ける。
F''(a) = F''(f) = 0 であるから、ロルの定理によって F'''(x) は区間 (a, f) に少なくとも1つの
解 k をもつ。
F''(f) = F''(g) = 0 であるから、ロルの定理によって F'''(x) は区間 (f, g) に少なくとも1つの
解 l をもつ。
F''(g) = F''(b) = 0 であるから、ロルの定理によって F'''(x) は区間 (g, b) に少なくとも1つの
解 m をもつ。
#{a, b, k, l, m} = 5 だから、
F'''(x) = (x - a)^(n - 2) * (x - b)^(n - 2) * (x - k) * (x - l) * (x - m)
と書ける。
…
73:１３２人目の素数さん
19/08/23 19:04:46.16 zpKZ1uRO.net
>>70
>>71
松坂和夫さんの証明は分かりやすく書き直したものです。
74:１３２人目の素数さん
19/08/23 19:05:08.84 zpKZ1uRO.net
訂正します：
>>70
>>71
は、松坂和夫さんの証明を分かりやすく書き直したものです
75:１３２人目の素数さん
19/08/23 19:16:26.05 zpKZ1uRO.net
面倒ですが、きちんと証明するには、帰納法で証明するしかないですかね。
76:イナ
19/08/23 19:30:41.78 QCJYqgUy.net
前>>60
ぁぃのことばぉろ～る～♪
77:１３２人目の素数さん
19/08/23 22:37:19.58 VtW5+8/A.net
>>59
3√(-1)=-1としちゃダメだよ…
78:１３２人目の素数さん
19/08/23 23:05:01.44 TGcHN8fe.net
良いですよね
79:１３２人目の素数さん
19/08/23 23:13:01.06 zpKZ1uRO.net
ところで、
√(-2) は √2 * i のことですよね。
c を 0 でない複素数とするとき、
x^2 = c は二つの異なる複素数解をもちます。
√c はそのどちらを表すのでしょうか？
何かスタンダードな約束はありますか？
80:１３２人目の素数さん
19/08/23 23:59:20.76 TGcHN8fe.net
主値を適当に決めればいいんでしょうけどその分枝の選び方にばらつきあるでしょうからないんじゃないですかね
81:１３２人目の素数さん
19/08/24 00:10:47.43 LrQkjVYt.net
先にあった記号に寄り掛かって数学があるわけじゃない。
合理的に記号を使い回そうという試みはあったにしてもね。
82:１３２人目の素数さん
19/08/24 02:36:08.50 FKL6BRE1.net
そもそも虚数単位i自体が一意じゃないし
83:１３２人目の素数さん
19/08/24 05:15:47.84 WqIOYY1l.net
一意ではないとはどういうことですか？
84:１３２人目の素数さん
19/08/24 06:09:38.72 tClIWhSz.net
>>67 >>69
つ[参考書]
高木貞治「解析概論」改訂第三版、岩波書店(1961) p.119～122
第３章、§36. Legendreの球函数
(5ﾟ) がスツルムの分離定理
85:１３２人目の素数さん
19/08/24 12:47:31.23 xgvkNGtv.net
>>83
ありがとうございます。
ちょっと見てみましたが、詳細を省略しまくりですね。
86:１３２人目の素数さん
19/08/24 13:19:32.34 4Lax+UnH.net
[チコノフの定理] " 位相空間: S_λ (λ∈Λ) はコンパクト " ⇔ "積位相空間: S= Π S_λ は コンパクト "
[? の定理] " 位相空間: S_λ (λ∈Λ) は連結 " ⇔ "積位相空間: S= Π S_λ は 連結 "
" 位相空間: S_λ (λ∈Λ) は P " ⇔ "積位相空間: S= Π S_λ は P "
このタイプで他に面白い定理ありませんか？ それと P=連結 の場合の定理に何か名前付いてたら教えてください。
87:１３２人目の素数さん
19/08/24 13:34:47.69 EiN6oFwI.net
>>84
そのひと高木ガイジだからスルーしといて
88:１３２人目の素数さん
19/08/24 14:01:03.62 QUdDoi98.net
>>82
i と -i を交換しても何の問題もないって事さ
89:１３２人目の素数さん
19/08/24 14:11:06.16 WqIOYY1l.net
交換するとはどういうことですか？
90:１３２人目の素数さん
19/08/24 14:14:06.25 xgvkNGtv.net
>>81
>>87
(0, 1) * (0, 1) = (-1, 0)
(0, -1) * (0, -1) = (-1, 0)
だから、
i := (0, 1) と定義しても
i := (0, -1) と定義しても
どちらでも良いということですか？
91:１３２人目の素数さん
19/08/24 14:21:00.13 xgvkNGtv.net
i := (0, 1) と定義した場合には、
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) * (0, 1) = a + b * i
i := (0, -1) と定義した場合には、
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (-b, 0) * (0, -1) = a - b * i
となりますね。
92:１３２人目の素数さん
19/08/24 14:39:49.20 8V8TQkmX.net
j=-i を i のかわりに虚数単位として複素数を構築しても
違いはでないってことでないの？
多項式の解の形は変わらないとか。
93:１３２人目の素数さん
19/08/24 15:03:25.88 dJWnkyKo.net
代数が大の苦手な松坂くんは、同型の概念を未修なようです
94:１３２人目の素数さん
19/08/24 16:41:43.01 WVipiqlY.net
j=-i、iは虚数単位とする。
このとき、以下の定積分の値を求めよ。
∫[j to i] xcos(x)/(1+x^2) dx
95:１３２人目の素数さん
19/08/24 16:57:25.90 q8/mLDAv.net
Z[x]/(x^2+1)において4+x+(x^2+1)で生成されるイデアルの計算の仕方を教えてください
96:１３２人目の素数さん
19/08/24 17:13:26.16 Sinjwerb.net
わざわざ括弧つきで書かれてるのに像がわからないとは言わせない
とりあえず剰余環の定義(どういう同値関係で割ってるのか)を確認してきて
97:１３２人目の素数さん
19/08/24 17:21:26.73 q8/mLDAv.net
すいません環論の話で剰余環です
Rを環 I⊂R をイデアルとしてa,b ⊂R -a+b⊂I←→ a～b
98:１３２人目の素数さん
19/08/24 17:35:53.23 51l7AZEf.net
これ凹凸の性質使えばあっさり示せるのは知ってるんですが
そういうのを用いずabを変数と見なした大小比較のみで示すことは可能ですか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
99:１３２人目の素数さん
19/08/24 17:47:12.63 q8/mLDAv.net
Z[√ー１]/(4+√-1) ～＝Z/17Z を示せ。という問題で
I=(x^2+1) J=(x^2+1, x+4) （イデアル）としたとき
Z[x]/I において４+x+I で生成されるイデアルはJ/Iとなると本に書いてあるのですが、
独学なので剰余環のなかのイデアルというのがイマイチ理解できません。
100:１３２人目の素数さん
19/08/24 17:57:53.75 51l7AZEf.net
解決しましたすいませんｎ
101:１３２人目の素数さん
19/08/24 23:46:52.17 zMad7TbZ.net
群Gの任意の部分群Hについて、包含写像f:H→Gは準同型である
これって何でですか？
102:１３２人目の素数さん
19/08/24 23:47:51.08 Ei5mQTjW.net
明らかですよね
103:１３２人目の素数さん
19/08/24 23:56:35.06 LrQkjVYt.net
>>100
Hが部分群なのでHの2元のHにおける演算結果はGにおける演算結果と同じでありしかもそれはHに属するから包含写像はそれを保存する。
104:１３２人目の素数さん
19/08/25 00:23:56.37 M46QSHdt.net
>>102
僕がアホでした
包含写像の定義忘れてた…
105:１３２人目の素数さん
19/08/25 00:24:17.68 M46QSHdt.net
ガチ初学者だから大目に見てください…
106:１３２人目の素数さん
19/08/25 08:47:33.12 FuOoK0KH.net
半径1の円K上を3点A,B,Cが動く。
△ABCの各辺の中点を通る円の面積をS(A,B,C)、△ABCの内接円の面積をT(A,B,C)とするとき、以下を求めよ。
（1）2点A,BをAB=d(0<d<2)となるよう固定する。このとき、点Cを点Aに限りなく近づけていくときの、T(A,B,C)/S(A,B,C)の極限
（2）3点A,B,Cがどの2点も一致しないように動くときの、T(A,B,C)/S(A,B,C)の取りうる値の範囲
107:イナ
19/08/25 16:39:45.90 eRmjabw8.net
前>>75
>>105どっちも勘で。
（1）
AC→0のとき、
S(A,B,C)→π(d/2)^2
=πd^2/4
T(A,B,C)→0
∴T(A,B,C)/S(A,B,C)→0
（2）
AB=BC=CA=dのとき、
S(A,B,C)=T(A,B,C)
=π(1/2)^2=π/4
∴T(A,B,C)/S(A,B,C)=1
このとき、d/2=√3/2
∴d=√3
0＜T(A,B,C)/S(A,B,C)≦1
108:１３２人目の素数さん
19/08/25 18:10:06.56 xqnqzCqL.net
一般に正則な上三角行列どうしの積は可換ですか？
109:１３２人目の素数さん
19/08/25 22:48:10.07 o6vREx4x.net
いいえ。
2x2 の場合
A(1,1) = α1, A(2,2) = α2, B(1,1) = β1, B(2,2) = β2,
とおく。
[AB-BA](1,2) = (α1-α2)B(1,2) - (β1-β2)A(1,2) ≠ 0,
AB-BA ≠ Ｏ
ただし α1=α2、β1=β2 の場合は可換。
3x3 の場合
A(i,i) = α、 B(j,j) = β とする。
さらに α = β = 1 とする。
[AB-BA](1,3) = A(1,2)B(2,3) - A(2,3)B(a,2) ≠ 0,
AB-BA ≠ Ｏ
110:１３２人目の素数さん
19/08/26 00:29:41.37 b4FBCTXg.net
可換 ⇔ 固有ベクトルが一致
A(i,i) = αi とおく。
それに対応する固有ベクトルは
α1
[ 1 ]
[ 0 ]
[ 0 ]
α2
[ A(1,2) ]
[ α2-α1 ]
[ 0 ]
α3
[ A(1,2)A(2,3) + (α3-α2)A(1,3) ]
[ (α3-α1)A(2,3) ]
[ (α3-α1)(α3-α2) ]
AとBが可換である条件は、（AとBで) これらが一致すること
111:１３２人目の素数さん
19/08/26 15:33:47.37 1YIDNDOP.net
平行六面体ABCD-EFGHの線分AG、BH、CE、DFの中点が一致する事を証明せよ
この問題を位置ベクトルを使って証明したいんですけど、まったく出来ません
ご教授お願いします
112:１３２人目の素数さん
19/08/26 16:41:40.35 B/gPW88W.net
>>110
A(0,0,0)とおき、平行六面体の底面である平行四辺形ABCDがxy平面上にあるとしても、一般性を失わない
例えばB(b1,b2,0),D(d1,d2,0),C(b1+d1, b2+d2, 0)とでもおく
次に各点A,B,C,Dを同じ(p,q,r)の方向に移動させ、その点をG,H,I,Jとすると、平行六面体ができる
この平行四辺形を平行移動するイメージができれば、あとは単純計算だけ
113:１３２人目の素数さん
19/08/26 17:05:46.59 1YIDNDOP.net
>>111
すいません。
その単純計算が何から手付けて良いのか分からないのです
114:１３２人目の素数さん
19/08/26 17:17:50.08 t0wRe9VP.net
わざわざ座標軸に貼り付けなくても最初の方針通りにベクトルでやったほうが早くない？
115:１３２人目の素数さん
19/08/26 17:18:52.54 1YIDNDOP.net
>>113
ご教授お願いします
116:１３２人目の素数さん
19/08/26 17:27:54.42 KKy6GCtG.net
>>113
おまえみたいなカスは書き込まなくていいよ
117:１３２人目の素数さん
19/08/26 17:33:23.29 1YIDNDOP.net
>>111
すいません。計算したら出来ました
ただこれってベクトル使っているのでしょうか？
単元内容は一応ベクトルなので、ベクトルで解きたいのですが……
118:１３２人目の素数さん
19/08/26 17:35:57.25 cr3z4T8B.net
各頂点はAを原点として、AB↑、AD↑、AE↑の3ベクトルで表せる
各頂点が表せればそれらの中点も同様で、一致を示せる
>>115
こういうカスはどうしようもないな
119:１３２人目の素数さん
19/08/26 17:50:02.22 1YIDNDOP.net
>>117
ちょっとやってみます
120:イナ
19/08/26 18:14:44.47 LB2Umi57.net
前>>106
>>110
題意のとおりAGの中点から手をつければいいじゃないか。
AGの中点は、(1/2)(→AG)
=(1/2)(→AB)+(1/2)(→AD)+(1/2)(→AE)
BHの中点は、(1/2)→BH
=(1/2)(→BA+→BC+→BF)
=-(1/2)(→AB)+(1/2)(→AD)+(1/2)(→AE)
Aを起点にすると、
→ABを足して、
→AB-(1/2)(→AB)+(1/2)(→AD)+(1/2)(→AE)
=(1/2)(→AB)+(1/2)(→AD)+(1/2)(→AE)
=(1/2)(→AG)
CEの中点は、(1/2)→CE
=(1/2)(→CB+→CD+→CG)
=-(1/2)(→AD)-(1/2)(→AB)+(1/2)(→AE)
=-(1/2)(→AB)-(1/2)(→AD)+(1/2)(→AE)
Aを起点にすると、
→AC=→AB+→ADを足して、
=→AB+→AD-(1/2)(→AB)-(1/2)(→AD)+(1/2)(→AE)
=(1/2)(→AB)+(1/2)(→AD)+(1/2)(→AE)
=(1/2)(→AG)
DFの中点は、(1/2)→DF
=(1/2)(→DA+→DC+→DH)
=-(1/2)(→AD)+(1/2)(→AB)+(1/2)(→AE)
=(1/2)(→AB)-(1/2)(→AD)+(1/2)(→AE)
Aを起点にすると、
→ADを足して、
→AD+(1/2)(→AB)-(1/2)(→AD)+(1/2)(→AE)
=(1/2)(→AB)+(1/2)(→AD)+(1/2)(→AE)
=(1/2)(→AG)
∴示された。
121:１３２人目の素数さん
19/08/26 18:37:22.34 t0wRe9VP.net
>>117
だからなんで原点に貼りつけなあかんのか
122:１３２人目の素数さん
19/08/26 18:50:55.71 1YIDNDOP.net
>>119
Aを起点にっていうのが少し分からなくて
Aを起点にするとなんで→AB足して良いのですか？
123:１３２人目の素数さん
19/08/26 18:51:17.79 EJYv8/b/.net
>>110
線分AGとBHの中点が一致する証明：
点A,B,G,H の位置ベクトルを各々 a,b,g,h とする（矢印は適宜補ってね）
ABCD-EFGHが平行六面体であるので、ベクトルAB(=b-a)とHG(=g-h)は等しい
線分AGの中点の位置ベクトルは(1/2)(a+g),(1/2)(b+h)
(1/2)(a+g)=(1/2)(a+g-h+h)=(1/2)(a+b-a+h)=(1/2)(b+h)
∴線分AGとBHの中点は一致する
以下同様
124:１３２人目の素数さん
19/08/26 18:52:51.33 EJYv8/b/.net
>>122 4行目訂正
線分AGおよび線分BHの中点の位置ベクトルは各々、(1/2)(a+g),(1/2)(b+h)
125:１３２人目の素数さん
19/08/26 19:28:03.20 S6dC73M3.net
(e^(cos(x)))/(e^(cos(x))+e^(-cos(x)))を0からπまで積分するとどうなりますか。計算過程も含めて教えてください。
126:１３２人目の素数さん
19/08/26 19:36:21.04 cr3z4T8B.net
>>120
原点に、と書きはしたけれど、この計算は原点に置くかどうかは関係ないだろう
127:１３２人目の素数さん
19/08/26 19:43:31.18 cr3z4T8B.net
>>121
Aを起点にすればBはAB↑で表せる
起点にしなければ、A+AB↑となるだけの話
C=A+AB↑+BC↑
128:イナ
19/08/26 20:07:09.14 LB2Umi57.net
前>>119
>>121
→AGはAを起点にしてます。
AGの中点は(1/2)(→AG)です。
→BFはBを起点にしてるんで、→AGとは端からベクトルが違います。
Aを起点にしたAからAGの中点までのベクトルと、
AからBを経由してBFの中点を終点とするベクトルとが一致するかどうかを調べ�
129:�ということ(が題意)だと思うんです。 起点が同じなら、AGの中点とBFの中点が、ベクトルの終点として一致することもありえると考えました。
130:１３２人目の素数さん
19/08/26 21:08:28.36 5f2+pEw6.net
>>124
I = ∫[0,π] (e^(cos(x)))/(e^(cos(x))+e^(-cos(x))) dx ----(1)
と置くと対称性から
I = ∫[0,π] (e^(-cos(x)))/(e^(-cos(x))+e^(cos(x))) dx ----(2)
が成り立ち、(1)+(2)を計算すると
2I = ∫[0,π] (e^(cos(x))+e^(-cos(x)))/(e^(cos(x))+e^(-cos(x))) dx
= ∫[0,π] dx
= π
ゆえに
I = π/2
131:１３２人目の素数さん
19/08/26 23:29:12.74 yQuNCijl.net
∫{(e^x）－１}／{(e^x)＋１}dx=－x＋２log{(e^x)＋１}＋c
(logの底は自然定数のe)
という計算になりました。
ところがよく考えてみると、上式の左辺の積分前の式にx=０を代入すると答は０です。
しかし右辺の式にx=０を代入すると、２log２＋cというおかしな値になります。
積分計算がおかしいのでしょうか？
それとも、この場合c=－２log２という値を入れて、整合性を取っても良いのでしょうか？
132:１３２人目の素数さん
19/08/26 23:46:32.75 yQuNCijl.net
>>129
補足
整合性を取るためにc=２log(１／２)という値もありました。
積分前の式にx=０を代入して０になるなら、積分後の数式にx=０を代入しても０になると思うのですが、私の考え方がおかしいのでしょうか？
133:１３２人目の素数さん
19/08/26 23:46:46.68 XYaJEzeZ.net
原始関数もしくは不定積分について復習することを勧める
134:１３２人目の素数さん
19/08/26 23:54:44.24 t0wRe9VP.net
>>129
積分定数は任意だからしたければそういう風にしても問題ないが、
x=0で導関数が0であるときに、その原始関数までがx=0で0でなければならないというその感覚には甚だ疑問あり
135:１３２人目の素数さん
19/08/26 23:55:51.42 x1XQtGM7.net
>>129
積分について全く理解できてないので、そんな難しめの式こねくり回してる場合じゃない。基礎に帰れ
∫ 2x+1 dx =x^2+x
2x+1にx=0代入したら1
x^2+xに代入すれば0
あー大変だ大変だ
136:１３２人目の素数さん
19/08/27 07:50:08.88 8xBTsLL0.net
なぜ関数とその導関数が恒等式になると思ったのか
137:１３２人目の素数さん
19/08/27 10:50:43.99 4NMwYTsg.net
すみません、後回しで結構です。
例題の回答例で
次の２つの放物線の共通接線を求めよ
f(x)=4x^2+8x-16, g(x)=x^2-4x+20
解)この２つの放物線の交点のx座標は
4x^2+8x-16=x^2-4x+20 より
x^2+4x-12=0 ← とあったのですが、ここの計算過程がわかりません。
微分の公式かなにかとおもうのですが、どなたか解説をお願いします。
138:１３２人目の素数さん
19/08/27 10:56:24.92 7h0weKy7.net
>>135
微分なんか関係ない
4x^2+8x-16=x^2-4x+20を整理したらx^2+4x-12=0になるというだけ
�
139:ﾚ行してまとめて3で割る
140:１３２人目の素数さん
19/08/27 10:58:09.72 4NMwYTsg.net
ありがとうございます。
141:イナ
19/08/27 13:33:59.39 vuwc1gzT.net
前>>127
f(x)=4x^2+8x-16
=4(x+1)^2-20
f(x)は(-1,20)を頂点とした下に凸の放物線。
g(x)=x^2-4x+20
=(x-2)^2+16
g(x)は(2,16)を頂点とした下に凸の放物線。
f(x)のほうがg(x)より凸が急峻で、f(x)上の(2,16)がちょうどg(x)の頂点を突っ切ってる。
つまりf(x)とg(x)の共通接線は、
第1象限と第4象限と第3象限を通る。
(0,-16)と(3,17)を結ぶ直線が怪しい。
∴y=11x-16
142:１３２人目の素数さん
19/08/27 14:03:18.50 7h0weKy7.net
めちゃくちゃにも程が有るな
143:１３２人目の素数さん
19/08/27 14:15:28.54 2n0cgf5I.net
我慢して読んでみたら、本当にめちゃくちゃだった
144:１３２人目の素数さん
19/08/27 14:18:36.99 gtJhjeqT.net
積分式の中のxと右辺のxは別の変数ですよ
145:１３２人目の素数さん
19/08/27 14:22:55.74 jEtFL3Dq.net
いつもよりも言葉が明確で論理の流れを把握しやすいな
ぶっつり途切れているという意味での論理の流れだが
146:１３２人目の素数さん
19/08/27 14:49:38.45 1OH4D81/.net
>>131
>>133
>>132
∫ 2x+1 dx =x^2+x
でxを０から１まで積分するとします。
この場合x軸とy軸とx=１とy=２x＋１の直線で囲まれた台形の面積になります。
つまり(１＋３)×１÷２=２
となります。
[（X^2）＋X]を０➡１まで積分すると、２で一致します。
私が言ってるのは、X=０の時の導関数の値が０なら、X=０での原始関数の値が０になるべきではないかと言うことです。
X=０での導関数の値が０以外でも、X=０での原始関数の値がゼロになる場合があることを言っているのではありません。
X=０での導関数の値が１でも、X=０での原始関数は、面積がゼロになるから
原始関数の値がゼロになるのです。
導関数をY'、原始関数をYとした時に、X=０の場合にY'=０だとします。
この場合に０➡ΔXまで積分してΔXが限りなく０に近付けばY=０に近付くはずです。
なぜならば、面積が限りなく０に近付くからです。
よく考えてみて下さい。
147:１３２人目の素数さん
19/08/27 15:14:08.25 c0QnIMLK.net
すいません、これ解けないのでお願いします
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
148:１３２人目の素数さん
19/08/27 15:14:11.44 7h0weKy7.net
>>143
そうすると∫ 2x+1 dx ではx=-1/2のとき2x+1は0になるから、x^2+xもx=-1/2のとき0にならないとおかしいと思うってこと？
149:イナ
19/08/27 15:16:44.79 vuwc1gzT.net
前>>138アンカー忘れてた。やっぱりグラフ書くとあってる。正確には微分かな。急いでたらグラフ描いて当てるしかない。
>>135
f(x)=4x^2+8x-16
=4(x+1)^2-20
f(x)は(-1,20)を頂点とした下に凸の放物線。
g(x)=x^2-4x+20
=(x-2)^2+16
g(x)は(2,16)を頂点とした下に凸の放物線。
f(x)のほうがg(x)より凸が急峻で、f(x)上の(2,16)がちょうどg(x)の頂点を突っ切ってる。
つまりf(x)とg(x)の共通接線は、
第1象限と第4象限と第3象限を通る。
(0,-16)と(3,17)を結ぶ直線が怪しい。
∴y=11x-16
違うの？ あってるかどうか気になる。2つの接点以外に放物線かすってるとこどっかある？
150:１３２人目の素数さん
19/08/27 15:17:06.04 abrLI7pT.net
>>143
あなたが言うことは「原始関数」の定義に合わない
Fがfの原始関数であるとは、Fを微分するとfになること
fの不定積分とは、微分するとfになる原始関数fを求める操作で、定積分や面積とは独立に定義される
当然、「F=∫fdx=∫_0^xfdxと、0を始点とする定積分と一致しなければならない」、なんていう条件はない
さらに言えば、f(0)=0となる場合を特別視する理由はなく、
f(0)=0の時はF(0)=0で、f(0)≠0のときも成り立つ操作を考えれば、それは0を始点とする定積分に他ならない
> 導関数をY'、原始関数をYとした時に、X=０の場合にY'=０だとします。
> この場合に０➡ΔXまで積分してΔXが限りなく０に近付けばY=０に近付くはずです。
> なぜならば、面積が限りなく０に近付くからです。
これは、
Y'、x軸、y軸、y=Δxで囲まれた面積
0を始点、Δxを終点とする定積分
の話で不定積分、原始関数とは関係ない
151:１３２人目の素数さん
19/08/27 15:21:06.07 7h0weKy7.net
>>143
> この場合に０→ΔXまで積分してΔXが限りなく０に近付けばY=０に近付くはずです。
> なぜならば、面積が限りなく０に近付くからです。
ここがおかしいんだろな
Δxが限り無く0に近づけばy=0に近づかなくても面積は当然0になる
y=0に近づく必要があると考えているのがおかしいんじゃないか？
152:１３２人目の素数さん
19/08/27 15:27:10.01 vLIHHTQQ.net
>>143
定義の理解がおかしい
あなたの言いたいことに関して、
不定積分・原始関数の定義から言えるのは、「原始関数Fを微分してゼロになる時、導関数fはゼロになる」ということだけ
だからfのある原始関数F1に好きな定数だけ加減したF2もまたfの原始関数になる
だからf=2xの原始関数Fはx^2+999999999でも良い
この場合もちろん「x=0でf=0ならF=0」なんて寝言は成立しない
0からΔxまでのfの定積分がΔx→0で0になるのは、
「aからbまでのfの定積分はF(b)-F(a)で与えられる」、この定義から
Δx→0の時のF(Δx)-F(0)を計算したらそれはゼロということを言ってるだけ
f=2x、F=x^2+99999としたら、0からΔxまでfを積分したら
Δx→0でF(Δx)-F(0)=Δx^2=0でそ
あのねえ、勉強もしないやつが「よく考えてみて下さい。」とか言うんじゃないよ。
世間の人はあんたより賢いよ。
153:１３２人目の素数さん
19/08/27 15:51:34.92 1OH4D81/.net
>>143
解答者さん達がよく分かってないみたいなので補足します。
Y=2X+1
とします。 >>142で台形の面積、つまりYをXでX=０からX=ΔXまで積分した時、
(１＋２ΔX＋１)÷２×ΔX=(１＋ΔX)ΔX
となりますが、ΔXが限りなく０に近付けば、値はゼロに近付きます。
つまり面積はゼロに近付くのです。
X=０での導関数が０でなくても、X=０での原始関数は面積がゼロなのでゼロになります。
Y={(e^x）－１}／{(e^x)＋１}という関数は、
X=－∞で、Yは限りなく－１に近付きます。
X=０でY=０になります。
X=＋∞で、限りなく１に近付きます。
Xが－∞から＋∞の間で、Yが－１から１まで、ゆっくりと上昇していくカーブを描くのです。
YをX=０からX=ΔXまで積分した時の面積をSすると、
S≒{(e^Δx）－１}／{(e^Δx)＋１}×ΔX÷２
となります。
これは近似的にほぼ三角形となるからです。
この場合ΔXが０に近付けば、三角形の面積は０に近付きます。
つまりX=０での原始関数も０にならなければ、おかしいのです。
私の積分が間違っているのしょうか？
私の言ってることが違うというなら回答をお願いします。
154:１３２人目の素数さん
19/08/27 15:56:55.55 gsKOoi8e.net
>>150
原始関数と面積とはイコールではないのよ
155:１３２人目の素数さん
19/08/27 16:03:40.80 FkgtM0Oc.net
>>150
あなたの主張がよく分からないので、
あなたが「面積」をどのように求めているのか、原始関数を使った式で丁寧に説明していただけますか？
156:１３２人目の素数さん
19/08/27 16:06:01.27 vLIHHTQQ.net
>>150
aからbまでのfの定積分S(面積とも解釈できる)は
原始関数をFとしてS=F(b)-F(a)で与えられる
原始関数F＝面積ではない
2つのxでの原始関数の差＝面積となる
マジでe^xとかlogとか言ってる場合じゃない
基礎練習だ
157:１３２人目の素数さん
19/08/27 16:06:33.35 1OH4D81/.net
>>145
全く違います。
その場合は三角形になります。面積はちゃんとあります。
１・（－１／２）÷２=－１／４
面積は＋の値ですが、－側に三角形があるので－の値としておきます。
[X^2＋X]で、Xが－１／２➡０なら－１／４で一致します。
あなたは本当に積分が分かってますか。回答者なのに全く分かってないと思います。
158:１３２人目の素数さん
19/08/27 16:09:31.96 XJPIzKeK.net
ｶﾞｰｲ
159:１３２人目の素数さん
19/08/27 16:10:05.73 gsKOoi8e.net
これはひどい
160:１３２人目の素数さん
19/08/27 16:18:51.32 vLIHHTQQ.net
なかなか気合入ったのが来たな
161:１３２人目の素数さん
19/08/27 16:22:48.19 vLIHHTQQ.net
ていうかさ解説したのに全然読んでないやん。
もっかいだけ書くけど
0からNまで関数fを積分したとして
原始関数F(N)≠面積よ
原始関数の差、F(N)-F(0)、これが面積
だからF(0)=0でなくても、0から0までのfの積分は必ずゼロになる。
162:１３２人目の素数さん
19/08/27 16:26:16.68 7h0weKy7.net
面積っておおざっぱに言えば縦×横だろ？
横が限りになく0に近づくなら、縦が1だろうと100だろうと面積は0になる
なんで縦も0になってなきゃおかしいと思うのか
163:１３２人目の素数さん
19/08/27 16:36:29.16 abrLI7pT.net
>>150
不定積分で求める原始関数は、定積分で表される面積とは違う
> Y=2X+1
> とします。 >>142で台形の面積、つまりYをXでX=０からX=ΔXまで積分した時、
> (１＋２ΔX＋１)÷２×ΔX=(１＋ΔX)ΔX
> となりますが、ΔXが限りなく０に近付けば、値はゼロに近付きます。
> つまり面積はゼロに近付くのです。
> X=０での導関数が０でなくても、X=０での原始関数は面積がゼロなのでゼロになります。
ここで0になったものは、0からΔx=0までの定積分で表される面積であって、原始関数ではない
(1+x)xは2x+1の不定積分の
164:1つだが、2x+1の不定積分は(1+x)x+cであり、(1+x)xだけではない > この場合ΔXが０に近付けば、三角形の面積は０に近付きます。 > つまりX=０での原始関数も０にならなければ、おかしいのです。 原始関数が0にならなくても、Δxが0に近づけば、F(Δx)-F(0)→0で面積は0に近づき何もおかしくない f(x)がxの多項式なら、定数項が0となる原始関数F(x)をとれば、F(0)は0になるが、 f(x)がxの多項式でないなら、ば定数項が0でない原始関数F(x)でF(0)が0にならないものなんていくらでもある > 私の積分が間違っているのしょうか？ 原始関数でないものを原始関数と思い込んでいるだけ
165:１３２人目の素数さん
19/08/27 16:40:58.41 7h0weKy7.net
>>154
積分を面積だと思っている君の方がわかっていないと思うんだがなあ
積分ってのは原始関数を求める計算のことであって、それ自体は面積を表すものではないよ
それを利用して面積を求めることが出来るというだけ
166:１３２人目の素数さん
19/08/27 16:50:01.42 abrLI7pT.net
>>154は
∫sin(x)dx=-cos(x)+c
も、sin(0)=0なのに-cos(x)≠0だからおかしいと言うのだろうか？
167:１３２人目の素数さん
19/08/27 17:03:34.32 1OH4D81/.net
アンカーが多すぎて書き込めないのでアンカーを省略します。皆さん、あしからず。
皆さんにワアワア言われて混乱しています。
沢山回答をいただいてありがとうございます。
私が書き込み中に回答をいただいたので、読んでないわけではありません。
つまり不定積分ではCはいくらの値でもいいから、面積はいくらになってもよいと言いたいわけですね。
では物理の問題です。
初速度０で加速度をaとした時に、速度はat＋cになりますか？
初速度０でない場合はat＋cで良いのです。
つまり初速度がある場合、ある時刻とある時刻の速度の差がatだと言いたいわけですね。
これなら分かります。
では
>>129の
∫{(e^x）－１}／{(e^x)＋１}dx=－x＋２log{(e^x)＋１}＋c
(logの底は自然定数のe)
の場合
F(x)= －x＋２log{(e^x)＋１}＋c として、
X=０の時にF(x)=０という条件がある場合
c=－２log２という値を入れてもいいのでしょうか？
辻褄合わせの為のなんかインチキ臭いやり方だと思ってしまいます。
これはインチキじゃないのですか？こんなインチキが通りますか？
168:１３２人目の素数さん
19/08/27 17:13:26.87 7h0weKy7.net
F(0)=0+Cとなることが多いためにF(a)をx軸、y軸、y=f(x)、x=aで囲まれる面積をF(a)だと思い込んじゃったんかな？
x軸、y軸、y=f(x)、x=aで囲まれる面積はF(a)-F(0)だよ
2次関数とかならF(0)=0+CだからF(a)-F(0)=F(a)になっちゃってるだけ
169:１３２人目の素数さん
19/08/27 17:16:24.98 7h0weKy7.net
>>163
> つまり不定積分ではCはいくらの値でもいいから、面積はいくらになってもよいと言いたいわけですね。
全然違うと思う
170:１３２人目の素数さん
19/08/27 17:19:45.64 7h0weKy7.net
>>163
> X=０の時にF(x)=０という条件がある場合
いったいどこからそんな条件が出てきたのか
f(0)=0ならF(0)も0である必要なんてないんだってば
171:１３２人目の素数さん
19/08/27 17:24:51.58 abrLI7pT.net
> では物理の問題です。
> 初速度０で加速度をaとした時に、速度はat＋cになりますか？
> 初速度０でない場合はat＋cで良いのです。
f(t)=aの原始関数はF(t)=at+c
> 初速度０
このF(0)=0という条件とF(t)=at+cを連立してc=0、F(t)=atになる
> X=０の時にF(x)=０という条件がある場合
という一文があれば、もはや不定積分を求める問題ではなく、0からxまでの定積分を求める問題になる
> ∫{(e^x）－１}／{(e^x)＋１}dx=－x＋２log{(e^x)＋１}＋c
> (logの底は自然定数のe)
> の場合
> F(x)= －x＋２log{(e^x)＋１}＋c として、
> X=０の時にF(x)=０という条件がある場合
> c=－２log２という値を入れてもいいのでしょうか？
不定積分を計算せよという問題だから
F(x) = -x+2log((e^x)+1)+c
は解になるが、別に
F(x) = -x+2log((e^x)+1)-2log2+c
を解としてもいい
少なくとも、不定積分を求めよという問題に対して、
F(x) = -x+2log((e^x)+1)や、F(x) = -x+2log((e^x)+1)-2log2など、積分定数がないものを答えにしたら間違い
172:１３２人目の素数さん
19/08/27 17:29:38.38 7h0weKy7.net
F(x)は、微分するとf(x)になる関数という意味であって、x軸、y軸、y=f(x)、x=aで囲まれる面積をF(a)と表せるような関数という意味ではないんだよ
もし後者の意味なら、積分定数はCという任意の定数ではなく、-F(0)という固有の定数としなければならない（たぶん、君はこれを主張しているんだろう）
実際には前者の意味なので積分定数はCという任意の定数で表されている
173:１３２人目の素数さん
19/08/27 17:49:35.25 m+2UiW8r.net
>>166
そういう条件があるのです。
そういう条件がある場合にC=－２log２という値を入れてもいいのかということですね。
174:１３２人目の素数さん
19/08/27 17:58:00.96 7h0weKy7.net
>>169
あったらそうするしかないが、それはもう不定積分とは別のものだよ
いったい何の話を始めたんだ？
175:１３２人目の素数さん
19/08/27 18:12:33.69 rx4f+cG5.net
>>169
そういう条件があれば、
F(x)-F(0)
を計算する
不定積分の積分定数Cは、異なるCに対応するだけの異なる原始関数があることを意味するものだから、不定積分の計算
176:時に値を入れれるものではないよ
177:１３２人目の素数さん
19/08/27 18:26:22.29 m+2UiW8r.net
>>129の者です。
皆さん、沢山回答をいただきましてありがとうございます。
皆さんのお陰で謎が解けました。
私の書き方が悪かったせいと、私の思い込みが強すぎて初歩を忘れていました。
皆さんのおっしゃる通りです。
私は物理を趣味でやってまして、物理量が様々な条件で変化する場合の
計算式を求めていたのですが、皆さんのお陰で何が間違っていたのかが分かりました。
物理板はアホウが一杯いますが、数学板の方々はよく勉強されてて皆さんレベルが高いですね。感心しました。
これからもお付き合いを宜しくお願いします。
178:１３２人目の素数さん
19/08/27 18:32:30.07 vLIHHTQQ.net
物理板異常者との夢のコンボやめろ
179:１３２人目の素数さん
19/08/27 18:44:23.27 c0QnIMLK.net
上げ直しで申し訳ないんですがこれはどう計算すれば求まるでしょうか
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
180:１３２人目の素数さん
19/08/27 18:55:47.54 m+2UiW8r.net
>>173
アホウの物理板と一緒にしたら失礼ですね。すみません。
皆さんのお陰です。ありがとうございました。
181:１３２人目の素数さん
19/08/27 19:20:59.28 oYggLRQ6.net
>>174
部分分数分解で無理関数の解析接続をした後、リーマンゼータ関数の逆フーリエ展開をします
182:１３２人目の素数さん
19/08/27 21:04:14.99 uqkFNv43.net
高専3年 微分方程式
x^4y''+2x^3y'+y=(1+x)/x の解き方が分からないです。
解説をお願い致します。
183:イナ
19/08/27 22:41:56.87 vuwc1gzT.net
前>>146
>>135
y=11x-16じゃないのか？
なんで黙ってんだ？
答えたのに。
違うのか？
184:イナ
19/08/27 22:52:15.15 vuwc1gzT.net
前>>178
わかった。
もう一個も当てろってか。
鬼六か。
185:イナ
19/08/27 23:08:52.74 vuwc1gzT.net
前>>179
>>139>>146訂正。
y=f(x)の頂点の座標は、
(-1,-20)←ｺｺ符号訂正。
y=g(x)の頂点の座標は、
(2,16)
共通接線の1つは、
y=11x-16として、
もう1つ、第2象限からマイナスの傾きで第3象限を経て第4象限に抜ける接線がありそう。
186:１３２人目の素数さん
19/08/27 23:20:52.67 FJrLZQCZ.net
>>178
どうしてそんな当てずっぽうのやり方で解けると思っているの?
正解かどうかより、そっちの方が不思議でしょうがない。
結果だけ言えば、y=11x-16は2本ある共通接線のどちらでもない。
共通接線を y=ax+b とおき
これが y=4x^2+8x-16 と接する条件として aとbの関係(1)を求め、、
同じく y=x^2-4x+20 と接する条件として、もう一つのaとbの関係(2)を求め
(1)と(2)をaとbの連立方程式として解いてaとbの値を求めれば、2本の共通接線が得られる。
187:１３２人目の素数さん
19/08/27 23:56:13.22 abrLI7pT.net
他の質問者の邪魔にならないならほっとけばいいのに
188:イナ
19/08/27 23:56:40.11 vuwc1gzT.net
前>>180
y=-16x-80じゃないか？
189:
19/08/28 00:45:44.23 P6YhiAXT.net
前>>183
もう1つは、
y=8x-16
190:イナ
19/08/28 01:27:19.79 P6YhiAXT.net
前>>184
>>183こっちをy=-ax-b
(a＞0,b＞0)と置いたんで、
y=11x-16で目測つけた接線のほうは、
y=cx-d
(c＞0,d＞0)と置きました。
放物線の膨らみがかする気がしてたんで、c=8なら納得ですがどうですか？
191:イナ
19/08/28 01:39:27.45 P6YhiAXT.net
前>>185
解き方は>>183>>184のいずれも接線と放物線からyを消去し、重解を持つ条件、
判別式D=0で、
解は2つ出ますが、a,bあるいはc,dがともに正となる組は1つです。
192:１３２人目の素数さん
19/08/28 02:08:12.12 9RuZKkJF.net
まぁ子供の頃から間違った方法で数学の問題解くクセが染み付いてしまってて、もう今更正しい方法を身につけるのは手遅れなんだろうな。
193:イナ
19/08/28 04:17:38.52 P6YhiAXT.net
前>>186
>>187せやな。
その人なりの、クセややり方、解き方、方法といったものを尊重してのばしていけたらよいと思うね。
194:１３２人目の素数さん
19/08/28 04:27:31.77 9RuZKkJF.net
>>168
アホか。間違ってるのを個性とか言ってるからダメなんだよ。答えの数値さえあってればそれでいいと思ってるだろ？
アホですか？
195:１３２人目の素数さん
19/08/28 06:44:23.23 641rcCLM.net
４５１-274
「エイトマンの歌」
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 01:09,
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 02:26,
作詞：前田武彦
作曲：荻原哲晶
歌 ：克美しげる
00:33～00:39 後ろの電車は新幹線ぢゃなくてWKY電鐵 KSK線です。
(タマが乗っている。)
196:１３２人目の素数さん
19/08/28 07:20:37.44 641rcCLM.net
>>177
t = 1/x とおけば簡単。
dy/dt = (dy/dx) / (dt/dx) = (-xx)(dy/dx),
ddy/(dt)^2 = (x^4)ddy/(dx)^2 + (2x^3)(dy/dx),
これを使うと与式は
ddy/(dt)^2 + y = t+1,
となるから
y = t+1 + Acos(t) + Bsin(t)
= (1+x)/x + Acos(1/x) + Bsin(1/x).
A, B は任意定数。
197:１３２人目の素数さん
19/08/28 11:39:26.08 jLqqMwqp.net
>>191
ありがとうございます。
ところでこのt=1/xと置くのはどのように導いたのでしょうか？
オイラーの微分方程式のように割と有名な解法なのでしょうか？
198:１３２人目の素数さん
19/08/28 12:15:16.80 IA7YqXqM.net
すいません、ある参考書なんですが(1)の解説がぜんぜん理解できません
錐の体積の公式？っぽいのを適用して引いてるのは何ですか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
199:１３２人目の素数さん
19/08/28 12:57:03.65 mV8JwkiT.net
>>193
求める体積は元の円錐の半分から求める体積じゃない方を引いた体積だから
元の円錐の体積の半分＝1/3*π*r^2*高さ*1/2=1/3*π*1^2*1*1/2←これを1^2*1を省略して1/3*π*1/2と書いているのだと思う
元の円錐の半分のうち求める体積じゃない方（※）の体積＝1/3*底面積*高さ＝1/3*2√2/3*1/√2
（※は1枚目の画像で求めているSを底面とし(0,0,1)を頂点とする錐なので底面積はS=2√2/3で高さは2枚目の画像で示されているとおり1/√2）
200:１３２人目の素数さん
19/08/28 13:33:49.86 IA7YqXqM.net
>>194
ありがとうございます！
な、なるほど………空間認識能力と読解力が低すぎました
201:１３２人目の素数さん
19/08/28 13:42:24.02 mV8JwkiT.net
>>194の※が錐になっているというのは別の問題ですでにやってるんじゃないのかな
参考書で解説なしに突然計算式だけ出すってしないと思うんだけど
202:１３２人目の素数さん
19/08/28 13:47:19.42 IA7YqXqM.net
>>196
これは変な参考書で、答案の解説が非常にゆるいというかはしょってるので、確実ではないですが、多分以前にはないと思います。
203:１３２人目の素数さん
19/08/28 19:36:05.86 +xBAF3Fh.net
f(x) = x(0≤x≤1), 2.1-x(1<x≤2)
に対して定積分∫[0→2] f(x) dxは定義できますか？
ルベーグ積分だとどうですか？
204:１３２人目の素数さん
19/08/28 19:44:14.51 x/F7+CcL.net
ルベーグ積分とか言ってる場合ではないと思いますよ
高校レベルです
205:１３２人目の素数さん
19/08/28 21:30:04.01 2j3gq3b5.net
えっ
お前らがここまで一生懸命書き込んで来たのに....
俺なんか
206:がこんなに簡単に２００getしていいの？😜
207:１３２人目の素数さん
19/08/29 00:29:00.21 Kyxuvci0.net
>>198
それ区分連続ですよね
リーマン積分可能ですよね
208:１３２人目の素数さん
19/08/29 06:56:54.42 V/0HLVAJ.net
>>192
左辺をまとめよう。
(xx) ' = 2x,
∴ (左辺) = xx(d/dx){xx(dy/dx)} + y = (DD+1)y,
ここに
D = -(xx)(d/dx) = d/d(1/x),
209:１３２人目の素数さん
19/08/29 10:27:23.00 BWw+cdQQ.net
>>202
なるほど!
わかりやすい解説ありがとうございました。
また機会がありましたらよろしくお願いします。
210:１３２人目の素数さん
19/08/29 13:32:09.58 V/0HLVAJ.net
>>198
∫[0→2] f(x) dx = ∫[0→1] x dx + ∫[1→2] (2.1-x) dx
= (0+1)/2 + (1.1+0.1)/2 ← 台形公式
= 5/10 + 6/10
= 11/10.
211:１３２人目の素数さん
19/08/29 16:30:25.44 V/0HLVAJ.net
>>144 >>174
θ(t) = arccos{t/√(3/4 -t)},
θ'(t) = - (3/2 -t)/{2(3/4 -t)√((3/2 +t)(1/2 -t))} < 0,
部分積分で
∫(3/4 -t)[π-θ(t)] dt = - (1/2)(3/4 -t)^2･[π-θ(t)] - (1/2)∫(3/4 -t)^2 θ'(t)dt
= - (1/2)(3/4 -t)^2 [π-θ(t)] + (3/4)arcsin(1/2 +t) + ((6-t)/8)√{(3/2 +t)(1/2 -t)},
t: -3/2→1/2 のとき θ(t): π→0 だから
∫[-3/2,1/2] (3/4 -t)[π-θ(t)]dt = (23/32)π,
(3/4 -t)cosθsinθ = t√{(3/2 +t)(1/2 -t)} ゆえ
∫(3/4 -t)cosθsinθ dt = ∫t√{(3/2 +t)(1/2 -t)}dt
= (1/3)(tt +t/4 -9/8)√{(3/2 +t)(1/2 -t)} - (1/4)[π- arccos(1/2 +t)],
∫[-3/2,1/2] (3/4 -t)cosθsinθ dt = - (1/4)π,
∴ S = (23/32)π - (1/4)π = (15/32)π.
212:１３２人目の素数さん
19/08/29 17:27:57.97 rscCQZUm.net
>>205
ありがとうございます！！
部分積分で…の次の行まではわかったのですが、
その次の行への変形は、なぜarcsinになるのでしょうか？
頭悪い＆字汚くてすみません…
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
213:１３２人目の素数さん
19/08/29 17:41:43.01 wO5vZ+4v.net
以下の条件を満たす f って存在しますか？
f は区間 [a, b] のある点 t で微分可能ではない。
f は区間 [a, b] で積分可能である。
f は区間 [a, b] で原始関数 F を持つ。
214:１３２人目の素数さん
19/08/29 17:47:48.84 wO5vZ+4v.net
訂正します：
以下の条件を満たす f って存在しますか？
f は区間 [a, b] のある点 t で連続ではない。
f は区間 [a, b] で積分可能である。
f は区間 [a, b] で原始関数 F を持つ。
215:１３２人目の素数さん
19/08/29 17:48:45.32 MyfOxkp1.net
微分って何？わかりやすく教えてくれ。
ｽﾚﾘﾝｸ(news板)
216:１３２人目の素数さん
19/08/29 17:52:40.17 wO5vZ+4v.net
>>208
の質問をなぜしたかというと、以下が成り立つからです。
f が区間 I で積分可能で、原始関数 F をもつとする。そのとき、任意の a, b ∈ I に対し
∫_{a}^{b} f = F(b) - F(a)
が成り立つ。
217:１３２人目の素数さん
19/08/29 17:52:51.79 M1O0U/d2.net
>>208
原始関数の定義はなんですか？
218:１３２人目の素数さん
19/08/29 18:22:06.21 1Z1dZz6Q.net
>>208
a=-1, b=1
f(x) = 1 (if x>0)
=-1 (if x<0)
= 0 (if x=0)
219:１３２人目の素数さん
19/08/29 18:26:08.61 M1O0U/d2.net
それ原始関数あるんですかね
220:１３２人目の素数さん
19/08/29 18:26:39.00 1Z1dZz6Q.net
F(x)=|x|
221:１３２人目の素数さん
19/08/29 18:33:21.68 M1O0U/d2.net
微分できないですけど
222:１３２人目の素数さん
19/08/29 18:34:01.65 wO5vZ+4v.net
>>211
区間 I で F'(x) = f(x) が成り立つような関数 F のことです。
223:１３２人目の素数さん
19/08/29 19:01:19.05 1Z1dZz6Q.net
>>216
それを原始関数の定義にするなら>>212の例はダメだがそれは高校数学までの定義。
高校数学なら微積分関数は連続限定。
224:１３２人目の素数さん
19/08/29 19:02:36.43 M1O0U/d2.net
原始関数は大学の意味でも>>216の意味ですけど
225:１３２人目の素数さん
19/08/29 19:08:22.46 1Z1dZz6Q.net
>>216
そんな定義をしたかったらしてもいいが、だとすると原始関数を持つ関数がめちゃくちゃ減ってしまう。
不自由でしょうがない。
数学の定義に絶対にコレなんてものはない。
その
226:定義を採用したいならすればいい。 好きなの選べ。
227:１３２人目の素数さん
19/08/29 19:09:24.82 M1O0U/d2.net
原始関数といったら>>216の意味しかありません
原始関数と不定積分を混同するのは高校までですよ
228:１３２人目の素数さん
19/08/29 19:14:26.21 1Z1dZz6Q.net
c1じゃない関数の導関数なら>>216の定義でもいける希ガス
229:１３２人目の素数さん
19/08/29 19:25:36.48 wO5vZ+4v.net
積分定数について質問です。
∫ f(x) dx = F(x) + C
の C のことです。
d/dx F(x) = f(x) とするとき、
d/dx G(x) = f(x) ⇒ G(x) = F(x) + C
と書けるということから、
∫ f(x) dx = F(x) + C
のように書くのだと思います。
230:１３２人目の素数さん
19/08/29 19:37:09.48 wO5vZ+4v.net
∫ 1 / x dx = log |x| + C
と書くのは間違いだとある本に書いてあります。
その本では、原始関数のことを不定積分ともいうと定義しています。
原始関数の定義は、以下です：
f を区間 I で定義された関数とする。もし、 F が同じ区間 I で微分可能な関数で、
F' = f
が成り立つならば、 F を f の原始関数という。
というものです。
231:１３２人目の素数さん
19/08/29 19:40:38.98 wO5vZ+4v.net
∫ 1 / x dx = log |x| + C
と書くのは間違いである理由は以下です：
なぜなら、関数 1/x の定義域は (-∞, 0), (0, +∞) の2つの区間に分かれており、
区間 (0, +∞) においては
∫ 1 / x dx = log x + C1,
区間 (-∞, 0) においては
∫ 1 / x dx = log (-x) + C2
であるが、ここで C1 と C2 が等しい定数である必要はないからである。
232:１３２人目の素数さん
19/08/29 19:45:34.85 9IKdhMX3.net
松坂くんのデビュー作だっけ
233:１３２人目の素数さん
19/08/29 19:46:17.69 wO5vZ+4v.net
>>224
のようなことを書いているということは、
∫ 1 / x dx が (-∞, 0) ∪ (0, +∞) で定義された関数であると考えているということですよね？
でも、そもそも、不定積分 = 原始関数はある一つの区間 I で定義されるものでした。
ですから、
∫ 1 / x dx は I ⊂ (0, +∞) か I ⊂ (-∞, 0) で定義された関数を表しているわけです。
I ⊂ (0, +∞) である場合には、
∫ 1 / x dx = log x + C
であり、
I ⊂ (-∞, 0) である場合には、
∫ 1 / x dx = log (-x) + C
と書くまでのことではないでしょうか？
234:１３２人目の素数さん
19/08/29 19:48:01.61 wO5vZ+4v.net
∫ 1 / x dx が一つの区間ではなく、 (-∞, 0) ∪ (0, +∞) で定義された関数であると考えている
時点で誤りなわけです。
235:１３２人目の素数さん
19/08/29 19:58:31.31 wO5vZ+4v.net
言いたいことは分かります。
f(x) を区間の和集合 D で定義された関数とする。
d/dx F(x) = f(x) for all x ∈ D とするとき、
d/dx G(x) = f(x) for all x ∈ D ⇒ G(x) = F(x) + C for all x ∈ D
は一般に正しくないということが言いたいのだと思います。
236:１３２人目の素数さん
19/08/29 20:01:42.40 wO5vZ+4v.net
>>224
のようなことを書くのは読者を混乱させるだけではないでしょうか？
不定積分 = 原始関数は一つの区間で定義されるものであることを注意し、
例えば、 (-∞, 0) ∪ (0, +∞) のような集合で定義されるものではないことを
強調するというのが正しい書き方であると思います。
237:１３２人目の素数さん
19/08/29 20:08:06.30 0iUy73mD.net
とりあえずそんな偉そうな事書くのはせめて学部レベルの解析全部読み終わってからにしたら？
学部一回レベルない人間の書くような文章じゃないよ。
238:１３２人目の素数さん
19/08/29 20:51:38.09 3b9fuIff.net
11．次の不等式を証明せよ。また，等号が成り立つのはどのようなときか。
(3)a^2+b^2+c^2≧ab+bc+ca
(a+b+c)^2+ab+bc+ca≧0？
239:１３２人目の素数さん
19/08/29 20:59:48.39 Tqta+Op6.net
>>231
左－右＝(1/2)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)≧0
240:１３２人目の素数さん
19/08/29 21:08:04.09 wO5vZ+4v.net
a^2 + b^2 + c^2 ≧ a*b + b*c + c*a
2 * (a^2 + b^2 + c^2) = (a^2 + b^2) + (b^2 + c^2) + (c^2 + a^2)
であることに気づきます。
(a^2 + b^2 - 2*a*b) + (b^2 + c^2 - 2*b*c) + (c^2 + a^2 - 2*c*a) = (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2
であることに気づきます。
ですので、
2 * (a^2 + b^2 + c^2) - 2 * (a*b + b*c + c*a) = (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 ≧ 0
です。
2 で割ると、
a^2 + b^2 + c^2 - a*b + b*c + c*a ≧ 0
すなわち、
a^2 + b^2 + c^2 ≧ a*b + b*c + c*a
です。
途中の式から、等号が成り立つのは、 a = b = c のとき、かつそのときに限ります。
241:１３２人目の素数さん
19/08/29 21:42:30.49 wO5vZ+4v.net
関数 f が区間 (a, b) で連続で a も b も特異点であるとき、
∫_{a}^{b} f := lim_{ε → 0+, ε' → 0+} ∫_{a + ε}^{b + ε'} f
と定義する。
ただし、上式の
242:極限は、 ε, ε' がそれぞれ独立に 0 に近づくときに存在するものとする。 この極限について質問です。 lim_{ε → 0+, ε' → 0+} ∫_{a + ε}^{b + ε'} f = A の厳密な定義を教えてください。
243:１３２人目の素数さん
19/08/29 21:43:06.72 wO5vZ+4v.net
関数 f が区間 (a, b) で連続で a も b も特異点であるとき、
∫_{a}^{b} f := lim_{ε → 0+, ε' → 0+} ∫_{a + ε}^{b - ε'} f
と定義する。
ただし、上式の極限は、 ε, ε' がそれぞれ独立に 0 に近づくときに存在するものとする。
この極限について質問です。
lim_{ε → 0+, ε' → 0+} ∫_{a + ε}^{b + ε'} f = A
の厳密な定義を教えてください。
244:１３２人目の素数さん
19/08/29 21:43:45.88 wO5vZ+4v.net
>>234
>>235
訂正します：
関数 f が区間 (a, b) で連続で a も b も特異点であるとき、
∫_{a}^{b} f := lim_{ε → 0+, ε' → 0+} ∫_{a + ε}^{b - ε'} f
と定義する。
ただし、上式の極限は、 ε, ε' がそれぞれ独立に 0 に近づくときに存在するものとする。
この極限について質問です。
lim_{ε → 0+, ε' → 0+} ∫_{a + ε}^{b - ε'} f = A
の厳密な定義を教えてください。
245:１３２人目の素数さん
19/08/29 21:46:55.72 wO5vZ+4v.net
そういえば、いまふと思ったのですが、
lim f(x) = A というのは定義しますが、
lim f(x) 単独では、何を意味するのかの定義はないと思います。
もちろん、 lim f(x) = A であるときに、 A のことを lim f(x) と書くのだとは思いますが。
そういうことも書いておくべきですよね。
246:１３２人目の素数さん
19/08/29 21:59:06.53 wO5vZ+4v.net
たとえば、
e := lim (1 + 1/n)^n
と定義するなどと書いてある本がありますよね。
lim (1 + 1/n)^n 単独での定義が必要ですよね。
247:１３２人目の素数さん
19/08/29 22:07:49.12 /BSWT0CL.net
ｆ（ｘ）になんらかの意味で極限値があるときそれを limf(x) と書く、というだけのことなんじゃないの。
248:１３２人目の素数さん
19/08/29 22:09:27.62 wO5vZ+4v.net
>>239
でも、 lim f(x) = A の定義は書いてありますが、 lim f(x) 単独での意味が書いていない本が
ほとんどだと思います。
249:１３２人目の素数さん
19/08/29 22:15:20.38 wO5vZ+4v.net
>>236
「ただし、上式の極限は、 ε, ε' がそれぞれ独立に 0 に近づくときに存在するものとする。」
の「それぞれ独立に 0 に近づく」の意味は正確には何ですか？
250:１３２人目の素数さん
19/08/29 22:19:56.19 wO5vZ+4v.net
lim_{h → 0+, h' → 0+} ∫_{a + h}^{b - h'} f = A
の定義ですが、以下で合っていますか？
任意の正の実数 ε に対して、
0 < h < δ
0 < h' < δ'
ならば
|∫_{a + h}^{b - h'} f - A| < ε
となるような δ, δ' が存在すること。
251:１３２人目の素数さん
19/08/29 22:21:39.42 wO5vZ+4v.net
でもこの定義ですと、
lim_{h → 0+, h' → 0+} ∫_{a + h}^{b - h'} f = A
は
lim_{h → 0+} ∫_{a + h}^{b - h} f = A
と同じことになってしまいませんか？
「独立に近づく」ことにはならなくなってしまいますよね？
252:１３２人目の素数さん
19/08/29 22:25:31.50 wO5vZ+4v.net
あ、勘違いしていました。
>>242
の h と h' は別々の実数でもいいわけですね。
253:１３２人目の素数さん
19/08/29 22:26:47.00 Kyxuvci0.net
なんじゃそりゃ……
254:１３２人目の素数さん
19/08/29 22:27:24.62 wO5vZ+4v.net
lim_{h → 0+} ∫_{a + h}^{b - h} f = A
⇒
lim_{h → 0+, h' → 0+} ∫_{a + h}^{b - h'} f = A
は成り立ちますが、
逆は成り立ちませんか？
わざわざ「独立に近づくとき」と書いているので逆は成り立たないんだろうと思いますが。
255:１３２人目の素数さん
19/08/29 22:53:11.98 1Z1dZz6Q.net
なんでそんな中途半端な知識でデタラメな結論にとびつけるんだ？
定義がどうとかいう意味をホントにそこまで厳密に議論したいなら数学基礎論まで話伸ばさないといかんけど基礎論の教科書一冊でもかじった事あるん？
10年早いわ。
256:１３２人目の素数さん
19/08/29 23:50:31.33 /BSWT0CL.net
>>240
> >>239
>
> でも、 lim f(x) = A の定義は書いてありますが
その「定義」の部分を書き写してみて下さい。
257:１３２人目の素数さん
19/08/30 00:02:01.05 b0MGpC1r.net
>>232>>233
どちらもこのような解き方さすがに教えてもらわないと無理だろという感じでした。
(1)、(2)と比べ物にならない程の難しさでした。教科書で難関大学入試問題レベルが出るのだなと思いました。
手間をおかけして教えていただきありがとうございました。
258:１３２人目の素数さん
19/08/30 05:26:06.08 eh5P+SA2.net
確率の計算ですが
複数回のチャンスがある場合の計算ってどうやるんてしたっけ？
例えば3種類のくじを一回ずつ引けて
赤が11パーセントで当たり
青が16パーセントで当たり
黄色が14パーセントで当たりで
どれかの1か所で良いから当たりを引く確率
みたいなのなんですが
259:１３２人目の素数さん
19/08/30 06:31:57.79 3MesnOrF.net
>>224
∫ 1/x dx = log|x| + C3･sgn(x) + C4, (x≠0)
ただし C3 = (C1-C2)/2, C4 = (C1+C2)/2.
でいい？
260:１３２人目の素数さん
19/08/30 06:38:38.46 3MesnOrF.net
>>206
結果を微分した方が早いかも。
半径１の円 (x+1/2)^2 + yy = 1 を直線 x=t で切ったときの交点Pは
P (t, √{(3/2+t)(1/2-t)} )
原点Oから見れば
∠POX =θ, OP = √(3/4 -t)
この OP^2 と 中心角 2(π-θ) の弓形(?)の面積
π-θ + cosθsinθ
を掛ける意味が？？
261:１３２人目の素数さん
19/08/30 07:33:20.52 mxkphO9o.net
>>250
全部外れる確率を1から引く
262:１３２人目の素数さん
19/08/30 11:22:04.52 eh5P+SA2.net
>>253
それは計算方法じゃないよ
263:１３２人目の素数さん
19/08/30 11:33:04.18 BkEym2vj.net
>>252
z=3/4-x^2をz軸中心に回転させた曲面Kと、原点を通り回転軸と45°で交わる平面H、で囲まれた立体Aの体積V、を求めるのに、
z=tできるとAの一部の体積としてこれが出てきたって感じです
計算ミスしてなければですが……
z=tで立式して諦めたあと回答見たらHに平行な平面できっていました。
264:１３２人目の素数さん
19/08/30 12:06:36.57 mvA3r67M.net
lim_{h → 0+, h' → 0+} ∫_{a + h}^{b - h'} f = A for some real number A.
⇔
lim_{h → 0+} ∫_{a + h}^{c} f = B for some real number B.
lim_{h → 0+} ∫_{c}^{b - h} f = C for some real number C.
が成り立ち、このとき、 B + C = A であることを証明せよ。
a < c < b とする。
265:１３２人目の素数さん
19/08/30 12:38:51.12 aT0jnhNu.net
>>254
全部外れる確率の計算方法がわからんってこと？
266:１３２人目の素数さん
19/08/30 13:38:04.15 bJDWb92t.net
「算数」と「数学」の境目はどこか？
ｽﾚﾘﾝｸ(news板)
267:１３２人目の素数さん
19/08/30 20:41:54.70 lUKEQsOt.net
1/4の1/4乗が1/√2になる意味が全くわからない…
268:１３２人目の素数さん
19/08/30 20:44:00.15 WwpSlW/w.net
工学部生ですが、線形代数を習うことの意味がよく分かりません。
先輩は、行列はベクトルを変数とする関数で、ベクトルで表されるn次元の量を扱いやすくする道具だと言っていました
対角化の意味くらいは分かりましたが、しかし連立方程式を解かされたり、あみだくじを解かされたりする講義の意味がよく分かりませんでした。
線形代数を学習するご利益を教えて下さい。
269:１３２人目の素数さん
19/08/30 20:52:03.30 WibKHpAC.net
>>260
工学では連立一次方程式を解かなきゃいけない場面がたくさん出てくるんやで
微分方程式を解くにしろ最適化問題を解くにしろ、気が付くと連立一次方程式の問題に帰着することがよくあるからな
270:１３２人目の素数さん
19/08/30 20:59:04.59 mvA3r67M.net
>>261
連立一次方程式を解くだけなら、掃き出し法を1回の講義で習えば十分ではないでしょうか？
271:１３２人目の素数さん
19/08/30 21:00:17.94 mvA3r67M.net
>>261
線形代数の抽象的な面のご利益は何でしょうか？
272:１３２人目の素数さん
19/08/30 21:06:42.25 WibKHpAC.net
>>262
計算量の関係で掃き出し法だけでは実質的に解けない問題が出てくることもあるから、
そういう時のためにLU分解とか色んな方法を知っておく必要はある
あと、そもそもその連立一次方程式が解けるのかどうかどうかを知るためにrankとかそういうのを学んでおく必要もある
273:１３２人目の素数さん
19/08/30 21:09:16.96 mvA3r67M.net
>>264
rank などという用語を知らなくても、掃き出し法を実行すれば、解けるか解けないかはっきりしますよね。
それにrankの計算自体も掃き出し法で計算しますよね？