19/09/06 20:36:24.27 jf+jbpn1.net
高木氏の用いている記号は不自然で扱いにくいので、適宜に変更して高木氏の「証明」について考察します。
最新の論文 >> 474 についてです。
まず記号の定義をします。自然数y(≠1)の約数の総和をσ(y)で表します。つぎに自然数yに対してR(y)=σ(y)/(2y)とおきます。
この時「yが完全数である。」⇔「R(y)=1」が成り立ちます。
次に証明全体を簡単に要約します。
高木氏は、相異なる自然数 y,z(>1)に対して
「R(y)=1かつyは奇数、R(z)=1かつzは奇数」ならば「R(y)≠R(z)」…①
が成り立つことをまず「証明」しています。これは「奇数の完全数は2個以上存在しない。」事を意味しています。 次に
「y=1は不適な解であるから」…②
とし、①と合わせて奇数の完全数は存在しないと結論しています。
実際には証明の順序が前後しているところもありますし、①も論理的には同等ですが表現が異なっています。
しかし全体像としてはこれで良いと思います。
「高木氏の論文では‘ y=1は不適な解 ’ではなく‘ (a, b, p, n) = (1,1,1,1)は不適な解 ’としてします。
R(1)の値をどうするかで問題が出ますが基本的にどちらでも同じ事です。」
さて、高木氏は論文p8で‘ y=1は不適な解 ’と説明もせずに突然述べていますがこれは何なのか？
常識的に考えると
「R(1)=1と定義すると、 y=1はR(y)=1の“完全数ではない解”であり①はy=1でも成り立つ。」…③
と言う事になるでしょう。