19/09/19 18:46:53.88 rfWHEtOy.net
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
なんかものすごくあっさりと正則関数がテイラー展開できることが証明できちゃうんですね。
952:１３２人目の素数さん
19/09/19 18:52:02.70 rfWHEtOy.net
>>915
コーシーの定理がそれだけ強力ということでしょうが、だからこそ、コーシーの定理の厳密な証明を
読みたいと思いますよね。
953:１３２人目の素数さん
19/09/19 19:00:48.56 rfWHEtOy.net
なぜか
複素関数入門 (現代数学への入門)
神保 道夫
断然、
川平友規著『入門複素関数』
のほうをおすすめします。
954:１３２人目の素数さん
19/09/19 19:01:17.58 rfWHEtOy.net
>>917
訂正します：
なぜか
複素関数入門 (現代数学への入門)
神保 道夫
の評価が高いですが、
断然、
川平友規著『入門複素関数』
のほうをおすすめします。
955:１３２人目の素数さん
19/09/19 19:09:09.24 m6LEswg6.net
代数幾何学や数論幾何学なんて独習じゃムリだよな？
956:１３２人目の素数さん
19/09/19 19:15:09.81 rfWHEtOy.net
代数幾何学や数論幾何学は何が凄いんですか？
それらを使うことによって分かる興味深く分かりやすい事実ってありますか？
957:１３２人目の素数さん
19/09/19 19:22:49.32 m6LEswg6.net
おまえはすっこんでろ！！
958:１３２人目の素数さん
19/09/19 19:27:03.45 aUQUl6hT.net
Griffiths Harrisの0章に相当する内容をもう少し詳しく扱ったような本がほしいです
959:１３２人目の素数さん
19/09/19 19:48:59.51 mMJnXAGh.net
>>919
どこまで理解したいかによる。目標とする理論とか定理とかあるの？
960:１３２人目の素数さん
19/09/19 19:52:12.34 m6LEswg6.net
ハーツホーンがダメダメなのは分かった
961:１３２人目の素数さん
19/09/19 20:04:56.84 /q1gUvYu.net
>>923
・局所および大域類体論
・Galois表現と保型形式
・DeligneによるWeil予想の証明
・FaltingsによるMordell予想の証明
この辺ですね
ロードマップ示してください
962:１３２人目の素数さん
19/09/19 21:01:38.91 rfWHEtOy.net
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
ローラン展開がテイラー展開の一般化であると書いてありますが間違いですよね。
963:１３２人目の素数さん
19/09/19 21:08:39.27 m6LEswg6.net
代数的トポロジーって、難しいの？
964:１３２人目の素数さん
19/09/19 22:32:54.85 ZFnmiWN5.net
ノイキルヒレベルで「学部三年くらいまでやってる人にとって難しくない」みたいに言われてて怖いんだが
数論幾何へのロードマップ
965:にはノイキルヒくらい簡単でないとダメなのか
966:１３２人目の素数さん
19/09/19 23:54:17.71 etOBnBv0.net
>>928
ノイキルヒのどの本かによる。
Algebraische Zahlentheorie
Klassenkoerpertheorie
Cohomology of Number Fields
タイトルも書かない馬鹿にはどのみち理解できないかもしれないが。
967:１３２人目の素数さん
19/09/20 00:19:56.83 3Pkb3weY.net
>>685 >>814 >>830
コーシーもガウスも、オイラーという先行者がいたから複素関数論を考えた。
では、なぜオイラーが複素関数論を考えたのか？
よく知られているようにオイラーがプロイセン国王フリードリヒ2世から宮廷の噴水を依頼されたことが複素関数論のきっかけ。
噴水を作るために流体力学の微分方程式を考えて、それが複素関数を考えると簡単に解けることに気がついた。
そのヒントを与えたのはダニエル・ベルヌーイ。ベルヌーイの定理で有名。
こうして２冊の数学書（『無限解析入門』『微分学教程』）が残された。
そこにオイラーの公式や、オイラーの微分方程式（これがナビエ-ストークス方程式に発展する）が出てくる。
こういう方向の教科書は
今井功「複素解析と流体力学」
竹内 淳「高校数学でわかる流体力学」 (ブルーバックス)
が有名。
968:１３２人目の素数さん
19/09/20 00:29:02.09 3Pkb3weY.net
現代数学の諸問題は多くのものがオイラーにさかのぼるの起源を持つようである。
ラプラスが学生たちに
"Liesez Euler, Liesez Euler, c'est notre maître à tous"
「オイラーを読め，オイラーを読め，彼こそ我らの師だ」
と語ったのも有名だ。なぜその問題を考えるのかという動機は、今でもオイラーから多くを学ぶことができる。
969:１３２人目の素数さん
19/09/20 01:30:47.34 L3Dy+X8P.net
黒川氏によれば、オイラーは絶対ゼータ関数論の創始者らしい
970:１３２人目の素数さん
19/09/20 07:20:18.32 eOib2T4W.net
>>929
googleの検索欄に入力したらサジェストの一番上に出てくる本だよ😅
971:１３２人目の素数さん
19/09/20 12:44:05.98 jVzGftM8.net
俺にとっては代数幾何学よりも微分幾何学のほうが宇宙語なんだけど
972:１３２人目の素数さん
19/09/20 12:58:11.81 MYsqjt0y.net
多様体が理解できない奴は、十中八九線形代数と微分積分の理解に問題がある
973:１３２人目の素数さん
19/09/20 13:17:40.27 KyAOfC1j.net
1745
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)
974:１３２人目の素数さん
19/09/20 13:57:39.44 lq2/XEro.net
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
ローラン展開の証明を読んでいて思いましたが、
コーシーの積分公式とは独立に、
(1/(2*π*i)) * ∫_{C} f(z) / (z - a) dz
という積分は重要なんですね。
975:１３２人目の素数さん
19/09/20 15:49:52.60 Mq7vPhKr.net
>>937
おまえの感想はいらない
し ね
976:１３２人目の素数さん
19/09/20 16:16:19.97 biLtwoKt.net
1年で線形代数と微分積分をしっかり（単位が取れる～レベルではダメ）やっておれば
後の学部の数学は楽になるがそんな学生は実際には少ない
977:１３２人目の素数さん
19/09/20 16:40:03.33 GdOnAaxH.net
Fumiharu Kato 加藤文元@FumiharuKato
書誌情報です：
・『数研講座シリーズ 大学教養 微分積分』
略称：大学微分積分 2,500円+税 A5変形-352頁 ISBN978-4-410-15229-0 C3041
・『チャート式シリーズ 大学教養 微分積分』
略称：チ大学微分積分 2,800円+税 A5変形-392頁 ISBN978-4-410-15230-6 C3041
＊いずれも本文2色刷
午後3:38 · 2019年9月20日
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)
978:１３２人目の素数さん
19/09/20 17:47:07.82 MYsqjt0y.net
ケーラー多様体とか、そういう学部の多様体論よりちょっと高度な幾何学でわけわかんなくなる奴ってのは100%、
たとえばHermite行列がユニタリ行列で対角化できて固有値はすべて実数、みたいな基本的な事実をよく理解していない
979:１３２人目の素数さん
19/09/20 18:17:00.57 RknCd/FB.net
カラビヤウ多様体って、割りと簡単だよな
980:１３２人目の素数さん
19/09/20 18:33:54.06 fb02kBYF.net
理解するとはどういうことなのか
981:１３２人目の素数さん
19/09/20 18:38:01.42 lq2/XEro.net
>>926
ローラン展開とテイラー展開とは厳密に言えば定理の仮定が異なるので、
ローラン展開がテイラー展開の一般化であるとは言えないですよね。
982:１３２人目の素数さん
19/09/20 20:06:49.12 lq2/XEro.net
↓この本ってどうですか？
「
Unlike other textbooks, it follows Weierstrass' approach, stressing the importance
of power series expansions instead of starting with the Cauchy integral formula, an approach
that illuminates many important concepts.
」
ワイエルシュトラスのアプローチというのが良さげに思ったんですが。
Complex Analysis (Cambridge Mathematical Textbooks) 1st Edition
by Donald E. Marshall (Author)
This user-friendly textbook introduces complex analysis at the beginning graduate or advanced
undergraduate level. Unlike other textbooks, it follows Weierstrass' approach, stressing the importance
of power series expansions instead of starting with the Cauchy integral formula, an approach
that illuminates many important concepts. This view allows readers to quickly obtain and understand
many fundamental results of complex analysis, such as the maximum principle, Liouville's theorem,
and Schwarz's lemma. The book covers all the essential material on complex analysis, and includes
several elegant proofs that were recently discovered. It includes the zipper algorithm for computing
conformal maps, as well as a constructive proof of the Riemann mapping theorem, and culminates
in a complete proof of the uniformization theorem. Aimed at students with some undergraduate
background in real analysis, though not Lebesgue integration, this classroom-tested textbook
will teach the skills and intuition necessary to understand this important area of mathematics.
983:１３２人目の素数さん
19/09/20 20:52:37.57 RknCd/FB.net
多様体なんて東大生でもかなり挫折すると聞くな
984:１３２人目の素数さん
19/09/20 21:46:01.95 lq2/XEro.net
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
留数定理ですが、第一印象としては、なんか大したことがない定理という印象です。
なんかいまままでの例題なんか見ると、コーシーの積分公式で十分なのではないか？と思っちゃいますよね。
いずれにしても、なんかコーシーの積分定理のみに頼り切って、同じようなことを延々と続けているという印象です。
985:１３２人目の素数さん
19/09/20 21:48:46.96 lq2/XEro.net
コーシーの積分定理の登場後、あまり進展がないという印象です。
986:１３２人目の素数さん
19/09/20 22:24:21.28 lq2/XEro.net
志賀浩二著『数学が育っていく物語 第2週 解析性』を読んでいます。
テイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを証明して、
exp(x), sin(x), cos(x) がテイラー展開可能であることを導いています。
次に、
log(1 + x) のテイラー展開ですが、これについては、
志賀浩二著『数学が育っていく物語 第1週 極限の深み』で、べき級数の理論を使って求めています。
log(1 + x) のテイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを直接証明することは難しい理由を以下のように
説明してます。
R_n = (-1)^(n+1) * x^n / (n * (1 + θ*x)^n)
の θ は x と n の関数で 0 < θ < 1 を満たします。
最悪の状況を想定すると、 n を大きくしていったとき θ がずっと 1 に近いままであるかもしれません。
もし、たとえば、 x = -2/3 のときに、そのような状況が起きるとすると、
|R_n| ≒ (1/n) * (2/3)^n / (1 - 2/3)^n = 2^n / n → ∞
となってしまいます。
R_n → 0 であることを証明するには、このような状況が起きないことを証明しなければならず、それは難しい。
987:１３２人目の素数さん
19/09/20 22:26:16.69 lq2/XEro.net
志賀浩二さんの本もたまには少し面白い話が書いてありますね。
log(1 + x) のテイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを直接証明することはできますか？
988:１３２人目の素数さん
19/09/20 22:50:53.20 lq2/XEro.net
志賀浩二著『数学が育っていく物語 第2週 解析性』を読んでいます。
ニュートンがどうやって exp(x), sin(x) のべき級数展開を発見したのかにも簡単に書いてありますね。
log(1 + x), sin^(-1)(x) のべき級数展開から、強引に、その逆関数のべき級数展開の係数をいくつか求めて、
正しい結果を得たんですね。
一瞬、なぜ逆関数のべき級数展開から出発したのかと不思議に思いました。
でも、
1 / (1 + x) は等比級数ですし、 (1 - x^2)^(-1/2) も二項定理を知っていればべき級数に展開できますね。
あとは、強引に項別積分すればいいだけですから、ニュートンの発見の流れは自然ですね。
989:１３２人目の素数さん
19/09/20 22:53:19.09 lq2/XEro.net
数学史の本ではなく、
>>951
のような話を集めた微分積分の歴史的な本ってありますか？
990:１３２人目の素数さん
19/09/21 00:00:27.58 RMUewE7F.net
数研出版から大学数学の本がでるのか
高校との接続と言うけど、何か特徴あるのか？
991:１３２人目の素数さん
19/09/21 00:42:35.96 7ke6MpaI.net
>>930 の流れで出てくるが、>>708 と >>952 は全く同じ話。
実際の観測値と数値計算の値がどのくらい異なるかをきちんと評価もせず、証明もせず済ませたままなら、それが正しい結果であるとか自然であるとか結論することなどとてもできるものではありませんよ。
992:１３２人目の素数さん
19/09/21 11:35:24.29 JkaOpOIH.net
↓はYouTubeの山本直樹さんの複素関数論の講義動画ですが、ひどすぎますね。
こんなのが大学の講義であるというのが信じられません。
予備校の講師のような人ですね。
URLﾘﾝｸ(youtu.be)
上野健爾さんは以下のように書いています：
「
実数論と、極限の概念を正確にとらえる ε - δ 論法は、かつては大学1年生の微積分の講義で最初に取り扱われる題材で、
分かりにくいと不評でした。最近では、誰も分からないからと、教えない方が主流になりつつあるようです。古代ギリシア
以来2000年以上かかってやっと到達した考え方ですので、やさしくはないかもしれませんが、少し時間をかけて考えてみると、
その本質は単純明快であることが分かります。長い間かかって築き上げた人類の知的財産をいとも簡単に投げ出していいものか、
教育において効率ばかりを追い求め、知的頽廃が広がっている現状に強い危機感を覚えます。
」
993:１３２人目の素数さん
19/09/21 11:37:12.02 JkaOpOIH.net
そして、世間では、こういう予備校の講師のような人の本のほうが、まともな本よりも評価が高いし、
売れているんですね。
994:１３２人目の素数さん
19/09/21 13:04:14.05 JkaOpOIH.net
>>955
大学もこんな
995:動画を公開するとイメージが悪くなりますよね。
996:１３２人目の素数さん
19/09/21 13:08:40.82 JkaOpOIH.net
現代数学の源流〈上〉複素関数論と複素整数論
佐武 一郎
↑これってどうですか？
997:１３２人目の素数さん
19/09/21 13:15:23.01 RMUewE7F.net
何がどうなん？
998:１３２人目の素数さん
19/09/21 13:42:28.16 JkaOpOIH.net
>>959
複素関数論の説明は分かりやすいですか？
999:１３２人目の素数さん
19/09/21 13:46:11.67 RMUewE7F.net
分かりやすさとは？
1000:１３２人目の素数さん
19/09/21 15:03:24.23 Gx5OzrvK.net
ブンゲン前から予告してた微積と線形代数の教科書はチャート式かｗ
ついにチャート式の大学数学シリーズかよ
数学科向けじゃなくていわゆる理工系向けだと思うがこれ売れると思うぞ
1001:１３２人目の素数さん
19/09/21 15:11:37.23 n7JCyLLC.net
チャートや数研ブランドにあやかったのか
そもそも初学者向けの本なら一応は高校からの接続ってことになってるとは思うが
高校生向け本が多い出版社が出してる大学数学の本だと実教出版の岡本和夫のがあったな
1002:１３２人目の素数さん
19/09/21 15:12:17.76 JkaOpOIH.net
>>962
マセマの馬場さんは焦っているのではないでしょうか？
1003:１３２人目の素数さん
19/09/21 15:14:40.61 JkaOpOIH.net
>>962
内容がまともであれば構わないのではないでしょうか？
白黒ではなく、カラフルな教科書になるでしょうから、そこに期待します。
白黒の教科書が絶滅するといいですね。
1004:１３２人目の素数さん
19/09/21 15:16:02.30 JkaOpOIH.net
>>962
そのチャート式シリーズが圧倒的な売り上げを達成すれば、数学書も変わっていくでしょうね。
1005:１３２人目の素数さん
19/09/21 15:18:44.11 n7JCyLLC.net
数学書として特別な内容なのか？
解説が細かいマセマ、内容を端折った数学おばさんに対して
1006:１３２人目の素数さん
19/09/21 15:23:18.81 JkaOpOIH.net
>>967
まずは、圧倒的なヴィジュアルを期待します。
1007:１３２人目の素数さん
19/09/21 15:28:03.15 a+HtSCXC.net
なにしろ高名な数学者が書くチャート式ですからどんなものか非常に興味あるところです
1008:１３２人目の素数さん
19/09/21 15:28:42.12 n7JCyLLC.net
昔のチャート式は数学者の名前で出してたろ
1009:１３２人目の素数さん
19/09/21 15:29:39.23 kvrmyDQ7.net
大学への数学が一番良いよな
学力コンテストあるし
1010:１３２人目の素数さん
19/09/21 15:30:25.95 JkaOpOIH.net
>>969
その人、高名な数学者なんですか？
1011:１３２人目の素数さん
19/09/21 15:33:20.76 JkaOpOIH.net
たとえば、
>>955
の山本さんのような人が、チャート式で出しても意味ないですよね。
フィールズ賞受賞者クラスの数学者が分かりやすく丁寧に、超綺麗なヴィジュアルの本を書くべきです。
1012:１３２人目の素数さん
19/09/21 15:41:22.85 JkaOpOIH.net
一度、圧倒的なヴィジュアルの数学書を読んでしまうともう後戻りはできませんよね？
いままでサボっていた出版社も同じようにしなければならなくなるような状況にしてほしいです。
1013:１３２人目の素数さん
19/09/21 15:41:54.37 gyTH08Mb.net
「数学のあらゆる分野に通じている」
この一文で某原子力に詳しい人を思い出した
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
1014:１３２人目の素数さん
19/09/21 15:42:20.62 cBwH1aXR.net
>>974
お前の学歴は？
1015:１３２人目の素数さん
19/09/21 15:44:04.61 s+bHRCsH.net
>>974
＞圧倒的なヴィジュアルの数学書
もしかして乃木ヲタ？
1016:１３２人目の素数さん
19/09/21 15:56:35.11 a+HtSCXC.net
>>972
IUT理論の解説本とかも出されているようなのでそう思いました
1017:１３２人目の素数さん
19/09/21 16:04:15.25 JkaOpOIH.net
>>978
IUT理論を作っている人は高名な数学者なのかもしれませんよね。
一般向けの解説書を出している人というと、竹内薫さん、吉永良正さんなどが思い浮かびます。
1018:１３２人目の素数さん
19/09/21 16:36:47.23 Gx5OzrvK.net
高校のチャート式も以前は一応高名な数学者（荒木不二洋とか砂田利一等）が著者になってるんだけどな
1019:１３２人目の素数さん
19/09/21 17:13:26.61 TmZ20VPz.net
数研の参考書は編集部が書いている
編集者は東大京大の数学科卒
営業でさえ旧帝卒
1020:１３２人目の素数さん
19/09/21 17:17:53.51 Skj/2nii.net
私大卒の編集者知ってるけどな
1021:１３２人目の素数さん
19/09/21 17:59:19.13 7ke6MpaI.net
>>691 のレスで想像できないなら >>958 に佐武一郎は早すぎる。
岩沢健吉「代数関数論」
も同様の理由で読むのは早すぎるだろう。最低でもリーマン面を理解していないと。
1022:１３２人目の素数さん
19/09/21 20:48:10.00 JkaOpOIH.net
>>983
ありがとうございます。
ぱっと見、佐武さんの本はやさしそうな感じに見えたのですが、違うんですか。
1023:１３２人目の素数さん
19/09/21 21:54:26.73 pTnR6ALj.net
やっぱ、数学セミナーいいよな
エレ解あるし
1024:１３２人目の素数さん
19/09/21 21:59:15.27 nqERHUq+.net
>>981
学部で落ちこぼれて文系就職してる受験理系が学閥マンセーしてる部門は基本的に腐敗してると見て差し支えない。
1025:１３２人目の素数さん
19/09/21 22:12:42.89 iqbtWbyq.net
チャート式…大海原で迷いそう…。
1026:１３２人目の素数さん
19/09/21 22:24:08.12 uEyVBPPj.net
>>986
レベルは確実に低いね。
1027:１３２人目の素数さん
19/09/22 09:41:24.01 4rse3B0/.net
>>918
なんで？
1028:１３２人目の素数さん
19/09/22 11:34:37.77 C+VHNZoH.net
おまいらも数学ばっかしやってないでいろんな分野に視野を広げたがいいぞ
1029:１３２人目の素数さん
19/09/22 13:22:38.88 2TbS0DPZ.net
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
以下の問題の川平さんの解答ですが、非常に長いものになっています。
関数 g(z), h(z) は点 α を含む領域上の正則関数とし、条件
g(α) ≠ 0
h(α) = 0
h'(α) ≠ 0
をみたすものとする。
このとき、点 α は関数 g(z) / h(z) の1位の極であることを示せ。
1030:１３２人目の素数さん
19/09/22 13:23:03.01 2TbS0DPZ.net
以下の簡単な解答でOKだと思いますがどうでしょうか？
解答：
関数 h(z) は点 α を含む領域上の正則関数であるから、 α の近くで、
h(z) = a_0 + a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …
とべき級数展開できる。
0 = h(α) = a_0
であり、
h'(z) = a_1 + 2 * a_2 * (z - α) + …
0 ≠ h'(α) = a_1
であるから、
α の近くで、
h(z) = a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …
a_1 ≠ 0
である。
h(z) = (z - α) * [a_1 + a_2 * (z - α) + …]
である。
f(z) := a_1 + a_2 * (z - α) + …
は
点 α を含む領域上の正則関数であり、 f(α) ≠ 0 であるから、
g(z) / f(z)
も点 α を含む領域上の正則関数である。よって、 α の近くで、
g(z) / f(z) = b_0 + b_1 * (z - α) + b_2 * (z - α)^2 + …
とべき級数展開できる。
1031:１３２人目の素数さん
19/09/22 13:23:18.79 2TbS0DPZ.net
g(z) / h(z)
=
(1 / (z - α)) * [b_0 + b_1 * (z - α) + b_2 * (z - α)^2 + …]
=
b_0 / (z - α) + b_1 + b_2 * (z - α) + …
は
g(z) / h(z)
のローラン展開であり、明らかに点 α は関数 g(z) / h(z) の1位の極である。
1032:１３２人目の素数さん
19/09/22 13:30:03.26 SugJtKp0.net
>>983
リーマン面の「三位一体」理論、
「閉リーマン面、1変数代数関数体、非特異射影代数曲線は、同値な概念である」
を深く理解するためには
1. 「ワイエルシュトラスの予備定理」
2. 「チャウ（Chow , 周）の定理」
3. 層やチェック・コホモロジーとスペクトル系列
4. 「ド・ラームの定理」「ドルボーの定理」
5. ブローアップ
このあたりの理解が前提になる。これはほぼ複素代数幾何だから、佐武の本がやさしそうなどという人は、如何に上滑りな読み方をしているかを自覚するべき。
つまり佐武や岩澤の本は複素代数幾何の視点で複素解析や関数論を俯瞰的に眺めるという趣旨なんです。
1033:１３２人目の素数さん
19/09/22 13:30:12.85 2TbS0DPZ.net
あ、よく考えたら、
川平さんの本では、べき級数の話は付録に登場するだけでした。
べき級数で表される関数が正則であることは証明されていませんね。
1034:１３２人目の素数さん
19/09/22 13:32:25.14 2TbS0DPZ.net
>>994
佐武さんの本はなんかぱっと見、お話だけの本だと思いましたが、違うんですね。
1035:１３２人目の素数さん
19/09/22 14:04:03.04 hUjADkIM.net
高校数学参考書で今でも高名数学者が著者になってるのって
藤田宏の文英堂の理解しやすいシリーズぐらいか
チャート式も数学以外は今でも高名な学者が著者になってるんだけどな
1036:１３２人目の素数さん
19/09/22 14:05:36.31 2TbS0DPZ.net
藤田宏さんは高名な数学者なのでしょうか？
1037:１３２人目の素数さん
19/09/22 14:05:56.90 2TbS0DPZ.net
生きていたら高齢数学者であることは間違いないかと思いますが。
1038:１３２人目の素数さん
19/09/22 14:07:12.87 BgWFDwMN.net
華麗に1000ゲット
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