19/08/14 10:08:15.09 Qpe2jc/f.net
つづき
U を OpenX の対象とし，(Ui ?→ U)i∈I を OpenX における射の族
（つまり Ui はU に含まれる開集合）で (Ui)i∈I が U の開被覆になっているものとする．
このとき，
この開被覆に関する層の条件は次の完全系列で表すことができる：
0 ?→ F(U) ?→ ?i∈IF(Ui)(?)??→ ?i,j∈IF(Ui ∩ Uj )．
ここで (?) は (xi)i∈I 7?→ (xi|Ui∩Uj ? xj |Ui∩Uj)i,j∈I で与えられる準同型である．
Ui ∩ Uj は圏 OpenX 内でのファイバー積 Ui ×U Uj と解釈できることに注意する
と，「(Ui)i∈I が U の被覆になっている」という一点を除けば，層の条件は純粋に圏
論的な言葉で書くことができることが分かる．したがって，圏 OpenX 以外にも，
「射の族 (Ui ?→ U)i∈I が被覆である」という条件が与えられているような圏に対し
てはその上の層という概念が定義できることになる．
例えば，次のような圏 LIsomX を考えよう．
定義 1.6
連続写像 f : Y ?→ X が局所同相であるとは，任意の y ∈ Y に対し y の開近傍
V , f(y) ∈ X の開近傍 U が存在して，f が V から U への同相写像を誘導すること
をいう．
圏 LIsomX を次のように定める：
・ 対象は局所同相な連続写像 f : Y ?→ X（誤解のないときには単に Y とも表す）．
・ f : Y ?→ X から f′: Y′ ?→ X への射は，連続写像 g : Y ?→ Y′ で f′?g = f