19/08/10 20:31:21.60 AHc3nl9z.net
>>415
つづき
定理 3 (Saharon Shelah, 1984） ZF + “ すべての実数の集合はルベーク可測” が
無矛盾なら，ZFC + “ 到達不可能基数が存在する” も無矛盾である．特に定理 2
で到達不可能基数を条件から落せない．
定理 3 K (Saharon Shelah, 1984） ZF + “ すべての実数の集合はベールの性質
を持つ” の無矛盾性は ZFC の無矛盾と同値である．
X ⊆ R がルベーク可測 ⇔ ある Borel 集合 B と零集合 N で X = B4N とできる
X ⊆ R がベールの性質を持つ ⇔ ある Borel 集合 B と第 1 種の集合 M で
X = B4M とできる
(A) 選択公理が悪い．選択公理がなければこんなことは起こらないのではない
か ？
定理 4 (Mycielski, Swierczkowski, Mazur, Banach, Davis, 1964) ZF + AD のも
とですべての実数の集合はルベーク可測になる．
系． 決定性公理 AD は選択公理と矛盾する．
(A) 選択公理が悪い．選択公理がなければこんなことは起こらないのではない
か ？
定理 5