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>>329 補足
>＞選択公理を仮定しなければ、非可測集合は存在しないことを示した
>スレ主は全然分かってませんね
>（ルベーグ）可測集合だけの集合論が成立することを示したのであって
>そのような集合論では、必然的に選択公理は成立しません
補足
（なお、下記渕野昌先生のこのPDFは、過去複数回取り上げている。文字化けは原文ご参照）
URLﾘﾝｸ(fuchino.ddo.jp)
集合論から見た非可測集合
渕野 昌（中部大学，fuchino@isc.chubu.ac.jp）
2006 年 11 月 13 日
東北大学大学院理学研究科 数学専攻 談話会での講演
(抜粋)
(A) 選択公理が悪い．選択公理がなければこんなことは起こらないのではない
か ？
定理 2 (Robert Solovay, 1970）
ZFC + “ 到達不可能基数が存在する” が無矛盾なら，ZF + DC + “ すべての実数
の集合はルベーク可測” も無矛盾である．
ZFC : Zermelo-Frenkel axiom system of set theory with Axiom of Choice
選択公理を含む集合論の公理系
ZF : 集合論の公理系から選択公理を除いたもの
DC : Depenent Choice （従属選択公理）“maximal な有限枝を持たない木は無限
の枝を持つ” を主張する選択公理の弱いヴァージョン
到達不可能基数 : 極限基数で正則なもの．到達不可能基数の存在を仮定すると
“ZFC は 無 矛 盾 で あ る” が 証 明 で き る ．し た がって 不 完 全 性 定 理 に よ り，
ZFC に到達不可能基数を加えた体系は ZFC より真に強い体系である．
(A) 選択公理が悪い．選択公理がなければこんなことは起こらないのではない
か ？
定理 2 (Robert Solovay, 1970）
ZFC + “ 到達不可能基数が存在する” が無矛盾なら，ZF + DC + “ すべての実数
の集合はルベーク可測” も無矛盾である．
つづく