19/08/02 07:33:11.56 iEpfJmnQ.net
再録
スレ73 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:943番)
(抜粋)
>867について
コンパクト ⇔ 完備 + 全有界 (⇔ 閉 + 有界)
コンパクト化？ 完備化？
0.33333… ->1/3 ∈ Q
(引用終り)
さて
１）リーマン球面の方へ目が行ったのかな？
２）そもそもは、哀れな素人さんの" 0.33333……≠1/3の証明"、>>803
”つまりどこまで割っても1/10^nの余りが出るのである。
そしてｎ→∞のとき、1/10^n→0だが、
これは1/10^nはかぎりなく0に近づくが0にはならない、
略
だから0.33333……はかぎりなく1/3に近づくが、1/3にはならない”
について、n∈N で考える限りは、それは一つの理屈で、私も>>821に書いた通りで
”利口過ぎる小学生や高校生は、哀れな素人さんのように考えるかも知れませんね”（>>867）ってこと
３）なので、1つの理解として、自然数全体N の一点コンパクト化で、N ∪ ω（>>867） と考えるのはどうかと言った
４）あと、”完備化？”としているけど、”稠密”（下記 コンパクト化 wikipediaより）じゃないの？
”定義
Xが位相空間 、K がコンパクトな位相空間、i:X → Kが中への同相写像であり、i(X) がK で稠密であるとき、K を 埋め込み写像 i による X のコンパクト化という。”
”例えばX を R ^n 上の縁を含まない単位円盤 {x∈ R ^n ｜ |x|<1}としたとき、縁を含んだ単位円盤は包含写像を埋め込み写像とするX のコンパクト化である。一方半径3の縁を含んだ円盤をK とすると、X はKの中で稠密ではないので、Kは包含写像に対するX のコンパクト化ではない。”
５）なお、下記完備性ご参照 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
”数学における完備性は、様々な場面においてそれぞれの対象に関して特定の意味を以って考えられ、またそれぞれの意味において完備でない対象に対する完備化 (completion) と呼ばれる操作を考えることができる。complete は「完全」と訳されることもある。
・実数の完備性: 実数の完備性は実数を公理的に定義する際に必要とされる性質の一つ。この場合の完備性は、実数全体の成す集合 R を距離空間と見た場合の完備性、あるいは R を半順序集合と見た場合の完備性の何れの意味とも取ることができる。”