19/06/26 17:35:16.96 uIPzuKm+.net
ガロアが第一論文で書いている表を群の置換表現として説明してみますね。
現代的にはまず抽象群Gを考える。Gには積が定義されており、閉じている。
Gが順序対(a,b,...,c)に置換群として作用しているとする。
σ∈G を作用させたものを(a^σ,b^σ,...,c^σ)とあらわす。
これは(a,b,...,c)をσの作用によって並べ替えたものになっている。
HがGの指数2（簡単のため）の部分群のとき、Hに含まれないσをもって、G=H∪σH と分解する。
これは左剰余類分解と呼ばれる。右剰余類分解は、G=H∪Hσ.
σH は当然群ではない。しかし、ガロアは
(a,b,...,c)にσHを作用させた表も「群」と呼んでいる。なぜか？
σh,(h∈H)を作用させたものは
a^σh=(a^σ)^h なので、(a^σ,b^σ,...,c^σ)を基準にするとhを作用させたことと同じになる。
ガロアの表では左剰余類分解したとき(a^σ,b^σ,...,c^σ)を上に持ってくるので
結局それにHを作用させた表と同じになるのだ。（多分）
右剰余類分解ではどうか？
a^hσ=(a^σ)^σ^{-1}hσ なので、これは(a^σ,b^σ,...,c^σ)
を基準にするとσ^{-1}hσを作用させたものとなって、hの作用とは非可換性の分だけ異なる。
しかしHが正規部分群であれば、全体としてはHの作用による置換群と一致する。
第一論文に正規部分群のことがちゃんと書いてあったか？
確かガロアの遺言には書いてあったと思う。
316:１３２人目の素数さん
19/06/26 17:36:39.76 uIPzuKm+.net
>>313
正規部分群の概念がなぜ必要かというと
剰余群G/Hを考える必要があるからですよ。
Hが正規部分群でなければ、G/Hをうまく定義できません。
体で言うと、中間体が基礎体のガロア拡大にはならないということです。
ガロア理論の解説を書くのに正規部分群の概念がないと
おそらく致命的に誤った結論に導かれると思います。
317:１３２人目の素数さん
19/06/26 17:42:50.57 uIPzuKm+.net
まず、「ガロア群」の定義はデデキント流（ガロア拡大体K/kのk自己同型群と定義）の方が合理的だろう。
するとガロアが書いているものは、その「置換表現」だということになる。
「素数次の既約方程式において、根の任意の２つが分かれば、他はそれから有理的に導かれる」
というガロアの掲げた条件は、>>275で分かったが、ガロア群が次数pのフロベニウス群であるという条件そのものである。（フロベニウス群の定義より）
するとスレ主が挙げた
>>225のLEMMA (1.1.1)にあるように、これが可解群であることは完全に群論の世界で証明できる。
>>225の論文は、そのようなガロア群を持つQ上の素数次数方程式を外から見える条件で特徴付ける（或いは具体的に構成する）ものであり、直接ガロア第一論文の延長線上にあるものなのだろう。
318:哀れな素人
19/06/26 17:44:30.09 FYwW6/uc.net
>>314
いや、お前は二つの間違いを犯している(笑
交代群ＡもＢも正規部分群のはずである(笑
それから、
ａｃｅｂｄ ａｄｂｅｃ
ｃｅｂｄａ ｄｂｅｃａ
ｅｂｄａｃ ｂｅｃａｄ
ｂｄａｃｅ ｅｃａｄｂ
ｄａｃｅｂ ｃａｄｂｅ
左の群を正規部分群と見なせば
右の群は剰余類だ、という議論をしているのであって、
左の群の置換がどうなっているか、
という議論をしているのではない(笑
319:１３２人目の素数さん
19/06/26 17:45:17.32 uIPzuKm+.net
現代的に見れば、方程式がべき根で解けるかどうかなど、どうでもいい話だと思わなくもない。
群として「可解群」というのは逆に面白くなく、面白い非可換単純群をガロア群として持つ方程式を調べたいという問題意識もありうる。
ガロアも可解かどうかがそんなに重要と思っていたかどうか？
彼としては、自分の新しい方法を使って、こんな問題も扱えるということを示したかったのだろうと個人的には思う。
320:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/06/26 17:48:05.63 XqfquCJJ.net
>>312-313
＞正規部分群とは何か理解していなくても
＞ガロア第一論文の解説書は書ける(笑
正規部分群は、なにを元の群（親みたいなものです）に取るかで、考え方が変わってきます
”部分群”ですからね。部分 vs 全体で、何を全体と見るかです
５次方程式なら、まずはS５（5次対称群）であり、A5（５次交代群）です
ですが、S５の部分郡で位数20の部分郡を全体と考えると、位数5の巡回群や、位数10の半メタ巡回群は、位数20の群に対して、正規部分郡となります
なお、現代では、ガロアの最大の功績は、
１）「正規部分群」という重要な概念の発見と、
２）それによる「ガロア対応」：体の拡大と、その自己同型群（正規部分郡の列を成す）との対応 の発見
だと言われています
第8節は、その一つの系の扱いです
いまは、有限群論の大理論に吸収されてしまった
ですが、「正規部分群」と「ガロア対応」は、現代数学の根幹を成す
のみならず、現代数学の抽象化の原点が、ガロア論文だと
（つまり、代数学の抽象化がここから始まり、現代数学全体に及んだという位置づけです）
321:哀れな素人
19/06/26 17:48:50.15 FYwW6/uc.net
>>316
正規部分群の概念など理解していなくても
ガロア第一論文の解説書は書ける(笑
322:哀れな素人
19/06/26 17:51:40.53 FYwW6/uc.net
今夕の投稿はここで終わるが、
たぶん僕の書いていることは正しいはずである(笑
323:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/06/26 17:58:13.02 XqfquCJJ.net
>>315-317
ID:uIPzuKm+さん
どうもスレ主です。
あなたの書いていることも
全く正しい
左剰余類分解と右剰余類分解の一致は
第一論文の中ではなく
確か、シュバリエへの最後の手紙中で触れらていましたね（下記）
（参考）
URLﾘﾝｸ(plaza.rakuten.co.jp)
2010.01.13
オーギュスト・シュバリエへの手紙(ガロアによる） | キャットデイズ
(抜粋)
Ｇの夢より
Ａ「２００年前の手紙にも、説明が書いてある。こんな風に。
群Ｇが群Ｈを含むとき、群Ｇは
Ｇ = H + HS + HS' + ･･･
と、Ｈの順列に同じ置換を掛けて作られる組へと分解されるし、また
Ｇ = H + TH + T'H + ･･･
と、同じ置換にＨの順列を掛けて作られる組へとも分解される。
この２通りの分解は、通常は、一致しない。一致するときが、固有分解と呼ばれるものだ。
(引用終わり)
324:１３２人目の素数さん
19/06/26 20:25:23.66 tawEvTi6.net
>>298
では確率過程論の理論を用いて時枝不成立を証明して下さい。
できなければ嘘吐きサイコパスと認定させて頂きます（＾＾
お前の言う確率過程論とは箱の中身を確率変数とする戦略＝勝てない戦略と同義。
勝てない戦略についていくら論じた所で、勝てる戦略＝時枝戦略を否定することはできません。（＾＾；
相も変わらずバカ丸出しですな（＾＾
ハーディーはクリティカルライン上に無限個のゼータゼロ点が存在することを証明しました。
しかしそのことをもってクリティカルライン外にゼロ点が存在しないとは言えません。
よってリーマン予想の証明にはまったくなってませんでした。（＾＾
325:１３２人目の素数さん
19/06/26 20:29:13.84 tawEvTi6.net
>>310
>現代数学の”正規部分群”の定義は、
>そこは、ちょっと違うみたいですが
>その話は、きっとだれかがしてくれるでしょう（＾＾
そりゃ正規部分群を分かってないお前がする訳にいかんもんな（＾＾
326:１３２人目の素数さん
19/06/26 20:38:23.97 tawEvTi6.net
アホ主は詐欺師ってことでいい？
確率過程論を学べば分かると繰り返し言ってるが、一度たりとも確率過程論
を使って時枝不成立を証明したことないじゃん
これってやるやる詐欺と同じだよね
ま、確率過程論を持ち出したところで、勝てない戦略を論じることはできても
勝てる戦略＝時枝解法にはまったくナンセンスなんだけどね っぷ
そんなことも分からないバカ っぷ
327:１３２人目の素数さん
19/06/26 20:41:00.76 tawEvTi6.net
こら詐欺師
調子こいてんじゃねーぞ
さっさと削除依頼だしてこい この詐欺師が
328:１３２人目の素数さん
19/06/26 20:45:17.02 tawEvTi6.net
60年間人を騙し続けてきた人生
このアホスレみてればよくわかる
このアホ、人を騙くらかすことしかしないからね（＾＾
死ねよ 詐欺師（＾＾
329:１３２人目の素数さん
19/06/26 20:48:20.63 tawEvTi6.net
人を騙すことで生き長らえてきた60年間の人生
しかし人は騙せても数学は騙せないのであった（＾＾
詐欺師が数学とか笑わせるよな（＾＾；
330:１３２人目の素数さん
19/06/26 20:48:42.81 tawEvTi6.net
死ねよ 詐欺師
331:１３２人目の素数さん
19/06/26 21:07:08.47 tawEvTi6.net
アホ主＝詐欺師は死ね
332:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/06/26 22:02:24.83 gzRimqjp.net
メモ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
クンマー理論
(抜粋)
クンマー理論は、例えば、類体論や一般のアーベル拡大を理解する上で、基本的である。クンマー理論は、充分に多くの1の根が存在するときは、円分拡大から根を引き抜くことと理解される。クンマー理論の類体論での主要な位置付けは、1の余剰な根を分け与えることで（より小さな体に分けること）、非常に重要となることがある。
クンマー拡大
クンマー拡大(Kummer extension)とは、ある与えられた整数 n に対し次の条件を満たすような体の拡大 L/K のことを言う。
・K は、n 個の異なる1のn乗根（つまり、Xn?1 の根）を含む。
・L/K はexponent n の可換ガロア群を持つ。
n = 3 とすると、3つの 1 の立方根に対して複素数が必要となるので、有理数体 Q の次数 3のクンマー拡大は存在しない。
a を有理数の立方数でないとし、L を Q 上の X3 ? a の分解体とすると、L は 1 の 3つの立方根をもつ部分体 K を含んでいる。
α と β がその 3次多項式の根であれば、(α/β)^3 =1 であり 3次方程式は分離多項式である。
従って、L/K はクンマー拡大である。
より一般的に、K が n 個の異なる 単元の n 乗根を含む（このことは K の標数が n を割らないことを意味する）とき、K と結合すると、K の任意の元 a の n 乗根は（n を割るようなある m が存在し、次数 m の）クンマー拡大を生成する。
多項式 Xn ? a の分解体として、クンマー拡大は必然的にガロア拡大となり、ガロア群は位数 m の巡回的となる。
a^(1/n) を通してガロア作用を追いかけることは容易である。
333:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/06/26 23:05:23.30 gzRimqjp.net
メモ追加（＾＾
URLﾘﾝｸ(www2.meijo-u.ac.jp)
代数学５及び６ 大西 良博 2018 (2019 年 1 月 15 日 版)
はじめに
「代数学 5」と「代数学 6」では Galois 理論を学ぶ.
16 Galois の基本定理 p32
19 Kummer 拡大 p40
21 代数的に解ける方程式 p42
23. 3 次の一般方程式の解法
もちろん f(t1) = t1^3 + at1^2 + bt1 + c =0 であるから,
[L : K(?)] = 3 であり,
L は K(?) 上の vector 空間としての基底 {1, t1, t1^2} を持つ.
ここで, ω not∈ L =Q(t1, t2, t3) であることに注意されたい.
つまり L は K 上の羃根による拡大に含まれるのであるが,
L 自身は羃根による拡大にはならない.
（ここに、分かりやすい図解があるね（＾＾ ）
URLﾘﾝｸ(www2.meijo-u.ac.jp)
大西 良博 名城大学
2018 年度 後期
・代数学 5 ..... 数学科 3 年 (月曜 1 時限).
・講義 note (配布済み教科書) (PDF).
・講義 note (最新版) (PDF).
・中間試験問題 (PDF).
・期末試験問題 (PDF).
・代数学 6 ..... 数学科 3 年 (火曜 4 時限).
・講義 note (配布済み教科書) (PDF).
・講義 note (最新版) (PDF).
・Galois の基本定理 1 の例 (教科書の例 4.8 と関連する問題の解説) (PDF).
・中間試験問題 (PDF).
・期末試験問題 (PDF).
334:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/06/27 00:31:30.76 9NGKywCa.net
メモ
URLﾘﾝｸ(websites.math.leidenuniv.nl)
Kummer Theory and Reciprocity Laws
Peter Stevenhagen 2002
(抜粋)
2. Kummer Theory
If L/K is a cyclic extension of degree n but ζn not∈ K, it can be very hard to describe.
However, when one adjoins ζn to K, by Kummer theory,
the extension L(ζn) is now Kummer over K(ζn), so L = K(ζn,a^(1/n)) for some a ∈ K(ζn).
Note that this extension is not abelian, but it is abelian in two steps, which is usually good enough.
(付録)
URLﾘﾝｸ(websites.math.leidenuniv.nl)
Galois theory for schemes
H. W. Lenstra
Mathematisch Instituut
Universiteit Leiden
Electronic third edition: 2008
(抜粋)
Introduction 1?5
Coverings of topological spaces. The fundamental group. Finite ´etale coverings of a scheme.
An example. Contents of the sections. Prerequisites and conventions.
(上記PDFの親サイト)
URLﾘﾝｸ(websites.math.leidenuniv.nl)
Algebra course notes
335:１３２人目の素数さん
19/06/27 01:06:23.11 6PYxnWRW.net
教えられて理解するバカは救い様がある
スレ主は救い様が無い（＾＾