19/07/10 06:11:01.57 Hz2YQI91.net
>>392
実数rが無理数ならば | r－q/p |＜1/p^2 (p,q)＝1 p≧2 を満たす既約有理数 q/p は可算無限個存在する。
[ 証明 ]：任意の正整数rに対して、無理数rを連分数展開したときの第n次の近似分数を p_n/q_n (p_n,q_n)＝1 q_n≧1 とする。
2以上の整数nを任意に取る。無理数rを連分数展開したときの整数部分を m_0 とする。ここに、m_0＜r＜m_0＋1 とする。
無理数rと整数 m_0 に対して、或る正の無理数 r_1 が存在して、r＝m_0＋1/r_1。
r＜0 のときは、整数 m_0 は m_0≦-1 を満たし r_1 について r_1＞1。また、0＜r＜1 のときは、r_1 について r_1＞1。
よって、正の無理数 r_1 に対して、或る m_1＜r_1＜m_1＋1 なる正整数 m_1 が存在する。
このとき、m_1 に対して、或る m_1＜r_2＜m_1＋1 なる正の無理数 r_2 が存在して、r_1＝m_1＋1/r_2。
k＝2,…,n なる整数kを任意に取る。正の無理数 r_{k-1} と正整数 m_{k-1} に対して、或る正の無理数 r_k が存在して、r_{k-1}＝m_{k-1}＋1/r_k。
同様に考えると、正の無理数 r_{k-1} に対して、或る m_{k-1}＜r_{k-1}＜m_{k-1}＋1 なる正整数 m_{k-1} が存在する。
このとき、m_{k-1} に対して、或る m_{k-1}＜r_k＜m_{n-1}＋1 なる正の無理数 r_k が存在して、r_{k-1}＝m_{n-1}＋1/r_k。
k＝2,…,n なる整数kは任意であるから、k を 2≦k≦n の範囲で走らせると、
無理数rは r＝[m_0,m_1,m_2,…,m_n]＋1/r_n と有限連分数と無理数との和で表される。