19/07/05 09:25:39.05 u1d6xkZL.net
R_0 := φ
R_{n+1} := P(R_n)
で R_n を定義する。ただし、P(A) は集合 A のすべての部分集合の集合を表す。
R_ω := ∪_{n ∈ N} R_n
とする。
R_ω は帰納的であることを示せ。
この問題の標準的な解答はどんな感じでしょうか？
解答：
(1)
φ ∈ {φ} = R_1 ⊂ R_ω
(2)
次に、数学的帰納法により、すべての自然数 n に対して、
R_n ⊂ R_{n+1}
が成り立つことを以下で示す：
R_0 = φ ⊂ R_1
R_k ⊂ R_{k+1} と仮定する。
x ∈ R_{k+1} とする。
x ⊂ R_k ⊂ R_{k+1}
∴ x ∈ R_{k+2}
よって、 R_{k+1} ⊂ R_{k+2} が成り立つ。
x ∈ R_ω とする。
x ∈ R_n となる 1 以上の自然数 n が存在する。
{x} ⊂ R_n である。
x ⊂ R_{n-1} ⊂ R_n である。
∴ x ∪ {x} ⊂ R_n
∴ x ∪ {x} ∈ R_{n+1} ⊂ R_ω
以上から、 R_ω は帰納的である。