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2017 年 9 月河野研集中セミナー 東京大学
(抜粋)
中村 伸一郎（古田研）
Shinichiro Nakamura
Title: Pochette に沿った 4 次元多様体の手術について (On a 4-dimensional surgery along a “Pochette”)
Abstract:
今回の研究テーマは 4 次元多様体の微分構造についてである． 1980 年代になって現れた Donaldson 理論，
1990 年代になって現れた Seiberg-Witten 理論により， 4 次元多様体に入る微分構造の濃度について飛躍的に理解が深まった．
例えば，楕円曲面 E(n) に可算無限個の異種微分構造が存在することが既に示されている． その他大体の 4 次元多様体に
無限個の異なった微分構造が構成されている一方で， 球面 S4 や複素射影空間 CP2 などの基本的な空間に異種微分構造が
存在するかどうかは現在も未解決である． このような微分構造に関する未解明な部分を解き明かしていくには，
異種微分構造の構成法を充実させることが必要である． そこで，今回の発表では 4 次元多様体の異種微分構造の候補を構成
する新たな手法 (Pochette surgery) を紹介したい． 発表内容の詳細は次の通りである． まず第一に，その手法を定義する
準備として， 任意の 3 次元有向閉多様体に対して定義される群 (modulo 2 framed knot homology group) を導入する．
次に，Pochette 手術を定義して実際にその微分同相類がその群によってパラメーター付けられることを証明する． さらに，
Pochette 手術による Kirby 図式の変化について記述を与える． 最後に，時間が許せば Pochette 手術による楕円曲面 E(n)
の異種微分構造の構成法について紹介したい．