現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む63

現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む63at MATH

現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む63 - 暇つぶし2ch700:\現の整数論」での講演「p-進表現論入門 I, II」の報告集である. 本稿では, 講演での解説に沿って, §2 で Fontaine による p-進周期環の定義と p-進表現の分類に関する基本事項, §3 で p-進エタールコホモロジーとドラームコホモロジー, クリスタリンコホモロジーとの比較同型, §4 で (p-進表現の族に対しての)Tate-Sen の理論について解説する. p を素数とし, K を p-進体, つまり Qp の有限次拡大体とする. 以下, K について混乱が生じない場合は単に p-進表現と呼ぶことにする. p-進表現は l-進表現 (l ≠ p) の場合と同様に K 上の代数多様体 XK のエタールコホモロジー (Hiet´(XK, Qp)) として, 数論幾何において自然に現れる対象である. l-進表現 (l ≠ p) の場合は, K 上の代数多様体 XK の特殊ファイバー Xk への還元の幾何的な性質が Hiet´(XK, Ql) の l-進表現としての性質に強く反映されていた. このためにまずは, l-進表現の場合の (不分岐表現やベキ単表現の) ように, p-進表現の中で幾何的な対象と結びつくよいクラス達を定義する必要がある. これは l(≠ p) 進表現の場合と比べて遥かに難しくなる. 一つの理由は, K の剰余標数と表現の係数の剰余標数が等しいために, p-進表現は l-進表現よりもはるかに複雑な構造を持ち, その分より豊富な情報を持つ対象になるからである (例えば, l ≠ p なら連続準同型のなす群 Hom(Zl,Zp) = 0 だが, Hom(Zp,Zp)～→ Zp となる). このような困難を打開したのがFontaineで, 彼は様々な付加構造を持つp-進周期環(Bcris, Bst, BdR など) を定義し, これらの環を用いて p-進表現のクラスを定義した. これらの p-進周期環と、これを用いて定義される様々な p-進表現のクラスについて解説するのが §2 の内容である. §3 では, このクラス分けに基づいて, XK の p-進エタールコホモロジーとドラームコホモロジー, および特殊ファイバー Xk の (ログ) クリスタリンコホモロジーとの比較同型について解説する. 最後の §4 は, §2, §3 とは比較的独立した内容であるのだが, ガロア変形において重要な Tate-Sen の理論を（p-進表現の族の場合に）解説する. 以上

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