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Serre スペクトル系列
(抜粋)
最 初 に 代 数 的 トポロジ ー で 実 用 化 された スペクトル 系 列 が Serre (Leray-Serre) スペ クトル 系 列 である 。 そのためか , かつては 代 数 的 トポロジ ー の 修 行 の 第 二 段 階 としてよ く Serre スペクトル 系 列 が 題 材 に 取 り 上 げられた 。
しかしながら , Serre スペクトル 系 列 の 構 成 は 結 構 複 雑 である 。 他 の スペクトル 系 列 と 比 べて , ホモロジ ー 代 数 の 知 識 をあまり 要 求 されないという 意 味 では 初 等 的 であ るが 。
Serre スペクトル 系 列 の 構 成 法 は 何 種 類 かある 。
・Leray による 被覆 空 間 に 対 する 構 成
・Serre ?bration に 対 し , その 全 空 間 の cubical chain complex に ?ltration を 入 れることによる 構 成
・底 空 間 が CW 複 体 のとき , その skeletal ?ltration により 全 空 間 に 誘 導 され る ?ltration による スペクトル 系 列 としての 構 成
・Brown [ Bro59 ] による , twisted tensor product を 用 いた 構 成
・Segal [ Seg68 ] による simplicial space の ホモロジ ー ・ スペクトル 系 列 として の 構 成
・May [ May75 ] による two-side bar construction を 用 いた 構 成
どの 構 成 もそれなりに 面 倒 であるが , 個 人 的 には Segal と May の 構 成 が 好 きである 。 胞 体 分 割 という functorial でない デ ー タ を 用 いなければならないので CW 複 体 は 好 きで はないし , 一 般 ( コ ) ホモロジ ー にも 適 用 できる 方法 でないと 嫌 なので , chain complex による 構 成 も 嫌 いである 。
そこで Serre スペクトル 系 列 については , まず 存 在 を 仮 定 して 具 体 例 を 計