19/03/24 15:55:01.73 rdeT7ON3.net
>>824
つづき
ステップ 7 距離空間から位相空間へ
連続性において開集合が主役であるので、ここで開集合の性質について考えてみよう。
これによって、我々の目標である位相空間上での連続写像を定義できる。それは実質的には定義 3'と全く同じである。
最後に
以上より、位相空間論の入門を終える。直観的な連続性の概念から位相空間による厳密な連続性へと自然と定義できた。位相空間は一見すると、あまりに抽象的に思われるかもしれない。
だが、その分汎用性がある。
というのも、距離空間ならば距離関数を定義しなければならないが、位相空間は集合とその集合族で定義されているからである。
集合論の公理より、任意の集合はその集合族を定義することができるからである。 集合とその集合族によって位相空間を定義できるため、それによって論理にも適用することができる。
その代わり、位相空間はあまりにも抽象的であるため、実際は、適当な制限を加えて議論されることが多い。応用面では距離空間であることが多い。特に関数空間を議論する解析ではそうである。
これまでは、位相空間と連続写像という最低限の議論をした。
位相空間は抽象的で難しいかもしれないが、わかれば楽しいものである。この記事が何か役に立つならば幸いである。
(引用終り)
以上