19/03/21 08:00:55.44 wghsFRdq.net
>>611
最近、チョット疲れているようで寝る。
682:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 09:31:42.91 L2G86nzK.net
>>615
お大事に
683:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 09:35:21.35 L2G86nzK.net
>>583 補足
”The most well known one is:
Conjecture 1.0.1. Euler’s constant is irrational.”やで（＾＾
γ有理数予想は、検索しても無かったよ（＾＾；
γ有理数の証明、絶対間違っていると思うよ
（参考）
スレ58 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:730番)
730 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2019/01/24(木) 21:21:55.52 ID:HmyDNHis [12/17]
URLﾘﾝｸ(www.ams.org)
AMS
Euler's constant: Euler's work and modern developments
Author: Jeffrey C. Lagarias
Journal: Bull. Amer. Math. Soc. 50 (2013), 527-628
MSC (2010): Primary 11J02; Secondary 01A50, 11J72, 11J81, 11M06
URLﾘﾝｸ(www.ams.org)
(抜粋)
Abstract. This paper has two parts. The first part surveys Euler’s work
on the constant γ = 0.57721 ・ ・ ・ bearing his name, together with some of his
related work on the gamma function, values of the zeta function, and divergent
series. The second part describes various mathematical developments
involving Euler’s constant, as well as another constant, the Euler?Gompertz
constant. These developments include connections with arithmetic functions
and the Riemann hypothesis, and with sieve methods, random permutations,
and random matrix products. It also includes recent results on Diophantine
approximation and transcendence related to Euler’s constant.
There are many famous unsolved pro
684:blems about the nature of this constant. The most well known one is: Conjecture 1.0.1. Euler’s constant is irrational. This is a long-standing open problem. A recent and stronger version of it is the following. Conjecture 1.0.2. Euler’s constant is not a Kontsevich?Zagier period. つづく
685:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 09:36:22.29 L2G86nzK.net
>>617
つづき
In particular, Euler’s constant is transcendental.
A period is defined by Kontsevich and Zagier [186] to be a complex constant
whose real and imaginary parts separately are given as a finite sum of absolutely
convergent integrals of rational functions in any number of variables with rational
coefficients, integrated over a domain cut out by a finite set of polynomial equalities
and inequalities with rational coefficients; see Section 3.14.
(引用終り)
以上
686:１３２人目の素数さん
19/03/21 10:06:11.61 De2lsMi8.net
オイラーの定数
γ＝lim(n→∞)1+1/2+1/3+…+1/n-log(n+1)
上記の一般化を考えた
γ(x)=lim(n→∞)1/x+1/(x+1)+1/(x+2)+…+1/(x+n-1)-log((x+n)/x)
x=1のとき、γと一致する
問題
・γ(x)は解析関数か？
・γ(x)=1となるxは有理数か無理数か？
687:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 11:32:56.31 L2G86nzK.net
>>619
おつです
面白そうだね
一般化は、いろんな人が考えているみたいだね
なお
γ＝lim(n→∞)1+1/2+1/3+…+1/n-log(n+1)
↓
γ＝lim(n→∞)1+1/2+1/3+…+1/n-log(n)
かな
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
一般化されたオイラーの定数について 西沢清子 著 - ?2005
URLﾘﾝｸ(reference.wolfram.com)
Wolfram言語 ＆ システム ドキュメントセンター
特殊関数
(抜粋)
ガンマ関数の導関数が有理級数の和を求めるときによく使われる．ディガンマ関数PolyGamma[z]は で与えられ，ガンマ関数の対数微分である．引数が整数のとき，ディガンマ関数は関係式 を満たす．ここで， はオイラー定数（WolframシステムではEulerGamma）を示し， は調和数を示す．
スティルチェス(Stieltjes)の定数StieltjesGamma[n]は，オイラーの定数を一般化したもので， を極 の周りで級数展開したときの係数として現れる． の係数が で，オイラーの定数は である．
(引用終り)
文字化けは面倒なので修正しなかった。原文を見て下さい。
688:１３２人目の素数さん
19/03/21 11:41:25.92 De2lsMi8.net
>>620
>γ＝lim(n→∞)1+1/2+1/3+…+1/n-log(n+1)
> ↓
>γ＝lim(n→∞)1+1/2+1/3+…+1/n-log(n)
>かな
結果は同じですが
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
で図示されてる領域を単純に加算する場合は
γ＝lim(n→∞)1+1/2+1/3+…+1/n-log(n+1)
となります
689:１３２人目の素数さん
19/03/21 11:46:44.58 De2lsMi8.net
なお
-log(1)=0<γ<1=1-log(1)
1-log(2)<γ<1+1/2-log(2)
1+1/2-log(3)<γ<1+1/2+1/3-log(3)
690:１３２人目の素数さん
19/03/21 11:52:24.29 De2lsMi8.net
γ＝lim(n→∞)1+1/2+1/3+…+1/n-log(n)
とするなら、対応する一般化は以下の式
γ(x)=lim(n→∞)1/x+1/(x+1)+1/(x+2)+…+1/(x+n)-log((x+n)/x)
691:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 12:55:04.34 L2G86nzK.net
>>608 補足
前半に関連記述があった（＾＾
（文字化けがあるので、原文見て下さい）
URLﾘﾝｸ(blacaman.tripod.com)
An Introduction to Independence Proofs K KUNEN/キューネン First edition: 1980 Seventh impression: 1999 （藤田 博司 (翻訳)）
P16
§ 7. Ordinals
7.2. DEFINITION. x is an ordinal iff x is transitive and well-ordered by ∈.
More formally, the asserti
692:on that x is well-ordered by ∈ means that < x, ∈x) is a well-ordering, where ∈x = {< y, z) ∈ x Ｘ x: y ∈ z}. Examples of ordinals are 0, {O}, {a, {O}}, whereas {{ {O}}, {O}, O} is not an ordinal. If x = {x}, then x is not ordinal since we have defined orderings to be strict. We shall often drop explicit mention of ∈x in discussing an ordinal x. Thus, we write x =～ <A, R) for <x, ∈x) =～ <A, R) and, when y ∈ x, pred(x, y) for pred(x, y, ∈). 7.3. THEOREM. (1) If x is an ordinal and y ∈ x, then y is an ordinal and y = pred(x, y). (2) If x and y are ordinals and x =～ y, then x = y. (3) If x and y are ordinals, then exactly one of the following is true: x = y, x ∈ y, y∈x. (4) If x, y, and z are ordinals, x ∈ y, and y ∈ z, then x ∈ z. (5) If C is a non-empty set of ordinals, then ∃x ∈ C ∀y ∈ C (x ∈ Y ∨ X = y). PROOF. For (3), use (1), (2) and Theorem 6.3 to show that at least one of of the three conditions holds. That no more than one holds follows from the fact that no ordinal can be a member of itself, since x ∈ x would imply that <x, ∈x) is not a (strict) total ordering (since x ∈x x). For (5), note that the conclusion is, by (3), equivalent to ∃x ∈ C (x ∩ C = 0). Let x ∈ C be arbitrary. If x ∩ C ≠ 0, then, since x is well-ordered by ∈, there is an ∈-least element, x' of x ∩ C; then x' ∩ C = 0. つづく
693:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 12:56:08.35 L2G86nzK.net
>>624
つづき
P24
9.2. THEOREM. Transfinite Induction on ON. IfC ⊂ ON and C≠O then C
has a least element.
PROOF. Exactly like Theorem 7.3(5), which asserted the same thing when
C is a set. Fix α ∈ C. If α is not the least element of C, let β be the least
element of α ∩ C. Then β is the least element of C.
Mathematically, Theorems 7.3 (5) and 9.2 are very similar. But formally
there is a great difference. Theorem 7.3 (5) is an abbreviation for one sentence
which is provable, whereas 9.2 is a theorem schema, which represents
an infinite collection of theorems. To state Theorem 9.2 without classes,
we would have to say: for each formula C(x, z1,・・・, zn), the following is a
theorem:
(引用終り)
以上
694:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 13:14:45.71 L2G86nzK.net
>>621
どうも。スレ主です。
ありがとう
こんなのもあるね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Euler?Mascheroni constant
Series expansions
In general,
γ＝lim(n→∞)1+1/2+1/3+…+1/n-log(n+α)≡lim(n→∞)γn(α)
for any α > －n .
However, the rate of convergence of this expansion depends significantly on α .
In particular, γn(1/2) exhibits much more rapid convergence than the conventional expansion γn(0).[7][8]
This is because
1/{2(n+1)} < γn(0) - γ < 1/(2n)
while
1/{24(n+1)^2} < γn(1/2) < 1/{24(n)^2}
Even so, there exist other series expansions which converge more rapidly than this; some of these are discussed below.
695:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 14:17:51.56 L2G86nzK.net
>>626 補足
γ＝lim(n→∞)1+1/2+1/3+…+1/n-log(n+α)≡lim(n→∞)γn(α)
for any α > －n .
で
1 > αn > 0 として、log(n+α)が有理数となるαn(超越数)が、各ｎに対して取れる
そうすると
γ＝lim(n→∞)γn(αn)
で、γn(αn)は常に有理数にできるね
もっとも、我々がコンピュータで数値計算しているのも、
γn(αn)は常に有理数の
696:範囲での数値計算なので、大した意味は無いが 理論としては、面白いかも
697:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 14:27:14.42 L2G86nzK.net
>>419 関連
選択公理と群構造が関係しているのか？ （＾＾；
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Group structure and the axiom of choice
(抜粋)
In mathematics a group is a set together with a binary operation on the set called multiplication that obeys the group axioms. The axiom of choice is an axiom of ZFC set theory which in one form states that every set can be wellordered.
In ZF set theory, i.e. ZFC without the axiom of choice, the following statements are equivalent:
・For every nonempty set X there exists a binary operation ・ such that (X, ・) is a group.[1]
・The axiom of choice is true.
Contents
1 A group structure implies the axiom of choice
2 The axiom of choice implies a group structure
3 A ZF set with no group structure
698:１３２人目の素数さん
19/03/21 15:05:40.14 AYTzXPs7.net
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
これが分からないようじゃ数学は無理
699:１３２人目の素数さん
19/03/21 15:19:02.19 De2lsMi8.net
ところで、現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE さんは
どちらの大学のご出身ですか？もちろん国立ですよね？
700:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 15:31:36.36 L2G86nzK.net
>>628 関連
URLﾘﾝｸ(people.math.ethz.ch)
Lorenz J. Halbeisen
URLﾘﾝｸ(people.math.ethz.ch)
Some of my lectures
URLﾘﾝｸ(people.math.ethz.ch)
G ZARLINO 著
L.J. Halbeisen, Combinatorial Set Theory, Springer Monographs in Mathematics,
DOI 10.1007/978-1-4471-2173-2_5, c Springer-Verlag London Limited 2012
(抜粋)
P126
NOTES
The Axiom of Choice. Fraenkel writes in [26, p. 56 f.] that the Axiom of Choice is
probably the most interesting and, in spite of its late appearance, the most discussed
axiom of Mathematics, second only to Euclid’s axiom of parallels which was introduced
more than two thousand years ago. We would also like to mention a different
view to choice functions, namely the view of Peano. In 1890, Peano published a
proof in which he was constrained to choose a single element from each set in a certain
infinite sequence A1,A2, . . . of infinite subsets of R. In that proof, he remarked
carefully (cf. [73, p. 210]): But as one cannot apply infinitely many times an arbitrary
rule by which one assigns to a class A an individual of this class, a determinate
rule is stated here, by which, under suitable hypotheses, one assigns to each class
A an individual of this class. To obtain his rule, he employed least upper bounds.
According to Moore [66, p. 76], Peano was the first mathematician who?while
accepting infinite collections?categorically rejected the use of infinitely many arbitrary
choices.
つづく
701:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 15:32:31.88 L2G86nzK.net
>>631
つづき
The difficulty is well illustrated by a Russellian anecdote (cf. Sierpi´nski [82,
p. 125]): A millionaire possesses an infinite number of pairs of shoes, and an infinite
number of pairs of socks. One day, in a fit of e
702:ccentricity, he summons his valet and asks him to select one shoe from each pair. When the valet, accustomed to receiving precise instructions, asks for details as to how to perform the selection, the millionaire suggests that the left shoe be chosen from each pair. Next day the millionaire proposes to the valet that he select one sock from each pair. When asked as to how this operation is to be carried out, the millionaire is at a loss for a reply, since, unlike shoes, there is no intrinsic way of distinguishing one sock of a pair from the other. In other words, the selection of the socks cannot be carried out without the aid of some choice function. つづく
703:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 15:33:56.71 L2G86nzK.net
>>632
つづき
As long as the implicit and unconscious use of the Axiom of Choice by Cantor and others involved only generalised arithmetical concepts and properties wellknown
from finite numbers, nobody took offence. However, the situation changed drastically after Zermelo [107] published his first proof that every set can be wellordered?
which was one of the earliest assertions of Cantor. It is worth mentioning that, according to Zermelo [107, p. 514] & [108, footnote p. 118], it was in fact
the idea of Erhard Schmidt to use the Axiom of Choice in order to build the f -sets.
Zermelo considered the Axiom of Choice as a logical principle, that cannot be reduced to a still simpler one, but is used everywhere in mathematical deductions
without hesitation (see [107, p. 516]). Even though in Zermelo’s view the Axiom
of Choice was “self-evident”, which is not the same as “obvious” (see Shapiro [81,
§5] for a detailed discussion of the meaning of “self-evidence”), not all mathematicians
at that time shared Zermelo’s opinion. Moreover, after the first proof of the
Well-Ordering Principle was published in 1904, the mathematical journals (especially
volume 60 of Mathematische Annalen) were flooded with critical notes rejecting
the proof (see for example Moore [66, Chapter 2]), mostly arguing that the
Axiom of Choice was either illegitimate or meaningless (cf. Fraenkel, Bar-Hillel, and
Levy [26, p. 82]). The reason for this was not only due to the non-constructive character
of the Axiom of Choice, but also because it was not yet clear what a “set” should
be. So, Zermelo decided to publish a more detailed proof, and at the same time taking
the opportunity to reply to his critics. This resulted in [108], his second proof
of the Well-Ordering Principle which was published in 1908, the same year as he
presented his first axiomatisation of Set Theory in [108]. It seems that this was not a coincidence.
以上
704:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 15:35:13.30 L2G86nzK.net
>>630
”スレ主”と呼んで下さい
大学は、個人情報ですｗ（＾＾
705:１３２人目の素数さん
19/03/21 15:56:12.61 De2lsMi8.net
>>634
え？国立じゃないんですか？
絶対、国立、しかも旧帝レベルだとおもったんだけどな・・・
あ、でも私立でも早慶ですよね？
706:１３２人目の素数さん
19/03/21 17:34:17.42 taQlVya8.net
国立音大です
707:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 17:47:12.40 L2G86nzK.net
>>636
あ
それ面白いわ
ザブトン１枚！（＾＾
708:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 18:10:31.17 L2G86nzK.net
>>614
関連
URLﾘﾝｸ(m-hiyama.hatenablog.com)
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2017-08-24
述語論理とインデックス付き圏と限量随伴性
命題論理の圏論的対応物としてデカルト閉圏やその拡張があります。述語論理の圏論的対応物はトポスだと思っている方が多いでしょう。確かにトポスがあれば（高階の）述語論理の入念な議論ができますが、トポスは複雑で難しいです。もう少し簡単な圏論的構造で（一階の）述語論理を展開できないでしょうか -- ここでは、インデックス付き圏（indexed category）による述語論理の定式化を紹介します。
(抜粋)
内容：
1.命題論理
2.連言含意論理とデカルト閉圏
3.述語論理
4.インデックス付き圏としての述語モデル
5.シンタックスとセマンティクス
6.変数の型、inとonと変数注釈の使い方
7.全称限量子
8.直積の射影に沿った述語論理
9.随伴の単位と余単位
10.述語論理におけるニョロニョロ
11.おわりに
一階述語論理の概念／用語と圏論の概念／用語の対応は次のようになります。
一階述語論理 圏論
解釈領域X ベース圏Bの対象X（Xは集合）
X上の述語P デカルト閉圏Pred[X]の対象P
X上の述語のあいだの証明／導出 デカルト閉圏Pred[X]の射
解釈領域のあいだの写像f ベース圏Bの射f（fは写像）
写像fによる述語の引き戻し デカルト閉圏のあいだの閉関手f*
真偽値 デカルト閉圏Pred[1]の対象
連言 デカルト閉圏の直積
含意 デカルト閉圏の指数
論理定数の真 デカルト閉圏の単位対象（＝終対象）
演繹定理 カリー同型Λ
命題論理とは、特定の集合X上のデカルト閉圏Pred[X]だけを考えることです。
つづく
709:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 18:11:01.10 L2G86nzK.net
>>638
つづき
定数、関数、述語の意味：
?0? = (自然数の0) ?0?∈N
?1? = (自然数の1) ?1?∈N
?a? = (自然数の足し算 +N) ?a?∈Map(N×N, N)
?e? = (自然数の等号 =N) ?e?∈Rel(N, N)、Relは二項関係の集合
このような定義の後で、項'a(1,1)'とか論理式'e(a(0,1), a(1,0))'などの意味が計算できます。
?a(1,1)?
= ?a?(?1?,?1?)
= +N(1,1)
= 自然数としての 1 + 1
= 2
?e(a(0,1), a(1,0))?
= =N(+N(0,1), +N(1,0))
= =N(1, 1)
= 自然数に関する命題 “1 = 1”
= true
どうでしょうか？ しっちめんどくさいなー！ と思いませんか。面倒でもこういうキッチリした議論を一度くらいは体験する価値はあるかも知れません。けど、一度で十分。僕は毎度繰り返す気力はありません。したがって、このテの話は割愛します。
次のような方針にします。
おわりに
僕がこの記事を書いた動機は、ローヴェル流の限量随伴性（quantification adjunction）に付随するニョロニョロ関係式が、自然演繹風証明図の同値変形に対応することを紹介したかったからです。その割には、随伴などの圏論的概念と証明図との関係をあまり述べていません。この辺を述べると、現状の証明図の欠陥を指摘することになり、まーた自然演繹の悪口になります。
(引用終り)
以上
710:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 18:26:52.98 L2G86nzK.net
>>181 補足
URLﾘﾝｸ(staff.fnwi.uva.nl)
トポスと高階論理 UvA/FNWI staff Taichi Uemura 2018年12月9日
(抜粋)
6 おわりに
トポスの内部言語を導入し、トポスのいくつかの性質を内部言語を使って証明した。しかし、これはトポ
スと高階論理のほんの一側面でしかない。いくつか関連する項目を挙げるが、詳しいことは [MLM92, LS86,
Joh02b] あたりを読みましょう。まず、Kripke-Joyal semantics と呼ばれる、トポスの内部言語�
711:ﾌより詳細 な意味論があり、さらにその特別な場合として sheaf semantics がある。これらの意味論は直観主義論理の Kripke 意味論 [Kri65] の高階版とも言えるものである。また、Cohen の強制法 [Coh63, Coh64, Kun11] とも 著しい類似があり、実際に連続体仮説 (のトポス的な定式化) を満たさないトポスを構成できる。 トポス意味論は連続体仮説に限らず高階論理の命題の無矛盾性や独立性の証明に使われる。中でも realizability topos[vO08] を使うと構成的数学に関する興味深い命題の無矛盾性が示される。例えば Church’s Thesis は「すべての関数 N → N は計算可能である」という命題であるが、effective topos[Hyl82] はこれを 満たす。 内部言語はトポスから作られた高階理論であるが、逆に高階理論から syntactic category と呼ばれるトポ スを作ることができる。論理式が高階論理で証明可能なことと syntactic category によって満たされること が同値であることを示すことで、トポス意味論の完全性が示される。また、高階理論のトポスでのモデルと、 syntactic category からの構造を保つ関手が対応する。応用の一つとして、Freyd cover または gluing と呼ば れるトポスを構成することで高階の直観主義論理の disjunction property や existence property が示される。 これは自分の研究分野の紹 介ですが、cubical type theory のモデルを構成するのにトポスの内部言語としての依存型理論が効果的に使 われている [OP16]。 高階論理の意味論もトポスだけではなく、Grothendieck fibration を使った意味論もある [Jac99, Section 5]。Grothendieck fibration は高階論理に限らず広く述語論理や型理論の意味論に使われ、トポス意味論はそ の特別な場合ともいえる。 (引用終り)
712:１３２人目の素数さん
19/03/21 18:37:34.39 De2lsMi8.net
>>637
何がおかしいの？
人を馬鹿にして嘲笑するとか失礼で不愉快だな
国立どころか早慶でもないんだ（絶句）
713:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 20:02:22.31 L2G86nzK.net
>>641
下記でも読みたまえ
そして、ここがガロアスレだということを思い出しておくれ（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
エヴァリスト・ガロア（Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日）
1828年に理工科学校（Ecole Polytechnique）の試験に挑戦したが、失敗している。
1829年7月または1ヵ月後には、彼は再び理工科学校への受験に挑戦したが失敗した。
伝説によれば、この時の口述試験の担当者が対数に関する愚問をしつこく出し、ガロアの回答に満足しなかったために、頭に来たガロアがその試験官に向かって黒板消しを投げつけたという[6]。
理工科学校は最も高等な数学が教えられ、さらに自由主義的な雰囲気に満ちていたためにガロアは入学を切望していたが、その入学試験は2回までと制限されていたため、ガロアの望みは絶たれてしまった。
714:１３２人目の素数さん
19/03/21 20:07:25.16 AYTzXPs7.net
自分がガロアレベルだと思ってるの？
救い様の無いアホ
715:１３２人目の素数さん
19/03/21 20:22:06.60 FOspoRxd.net
>>604
>或る実数aが有理数でないとして矛盾を導き、
>aを無理数と結論付ける背理法
多分ケアレスミスだと思うけど、
ある数を「無理数である」と仮定して矛盾を導き、「有理数である」と結論づけたんだよね？
「無理数である」 ≡ 「有理数でない」という仮定は、
具体的にどう�
716:竄驍ﾌ？
717:１３２人目の素数さん
19/03/21 20:23:57.52 De2lsMi8.net
>>642
馬鹿が見栄張ってる基地外スレだったんですね・・・残念DEATH！
718:１３２人目の素数さん
19/03/21 20:28:00.54 De2lsMi8.net
ついでですがガロアが落ちたエコール・ポリテクニクも
ガロアが入ったエコール・ノルマル・シュペリウールも
フランスでは最難関校ですよ
719:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 20:50:47.61 L2G86nzK.net
テンプレ
(>>9)
前にも紹介したが、新入生もいるだろうから、下記再掲しておく。なお、信用できないに、私スレ主も含めること。定義から当然の帰結だが（＾＾；
URLﾘﾝｸ(note.chiebukuro.yahoo.co.jp)
Yahoo 知恵袋
数学の勉強法 学部～修士
ライター：amane_ruriさん 最終更新日時:2012/8/6
私は修士1年生ですので、正直に言いますとこの部分はあまり書いているのが正しいとは思えません。趣味で書いているものだと認識していただければ良いのではないかと思っております。
2. 2ｃｈ*)の内容は信用できるか？
基本的に信用できません。先生＞周りの人＞＞＞ 2ｃｈ*)や知恵袋の人です。何故かというといつも同じことしか言っていないから。多分きちんと検証していないで想像で議論しているだけではないのかと私は思っています。
（まあ、自分もあんまり信用できないけど）
数学をする場合は、問題が解けることも重要なのですが問題設定を作ることが大切です。そういう時に、どういう風に学んできたのかとか、正確な知識がどういう部分でどれだけ持っているのか、調和性や、生まれて来た環境っていうのが重要になってきます。
ただ、それがどうも2ｃｈ*)の人は見られない（し、そもそも偉そうなことを言っている人が本当にできるかどうか分からない。）。こういう類のものは勉強不足ですとか、分かっていませんでしたで済まされるものではないと個人的には思うのですが。
(引用終り) (注*)：2ｃｈは、現5ｃｈ)
（>>10）
スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本ですし
”証明”とかいうらしいですね、数学では
その”証明”がしばしば、間違っていることがあるとか、うんぬんとか
720:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 20:52:32.19 L2G86nzK.net
テンプレ
（>>8）
大学新入生もいると思うが、間違っても５ＣＨ（旧２ＣＨ）で数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、半分趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
もう半分は、ここはおれのメモ帳だ （ここには、自分が面白いと思った情報を集めてあるんだ。過去ログ見ると、いろいろ面白い情報（リンクやPDF があるよ（＾＾ ）
（ もしサイト移動などでリンク切れのときは、引用してある文章のキーワードによる検索をお願いします ）
721:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 21:00:27.77 L2G86nzK.net
>>647 関連
”ノーベル賞、本庶佑先生の名言「ネイチャー、サイエンスの9割は嘘」”
”教科書に書いてある事は嘘 ”もあったね
確かに、それは一面の真実ではあるよね
URLﾘﾝｸ(mato) mame.jp/user/h0jqhcbzp/fbf27da0f0b9b8401544?page=2
まとめまとめ
2018年10月02日
ノーベル賞、本庶佑先生の名言「ネイチャー、サイエンスの9割は嘘」
本庶佑先生の名言
秋月雅史
@Masashi
722:Akizuki 本庶先生、ノーベル賞おめでとうございます！特に印象に残った言葉はここ。 「僕はいつもネイチャー、サイエンスに出ているものの９割はうそで、10年たったら、残って１割だと思っています。まず、論文とか、書いてあることを信じない。自分の目で、確信ができるまでやる。」
723:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 21:02:44.82 L2G86nzK.net
>>645
ご苦労さん
テンプレ読んでねｗ（＾＾
724:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 21:06:08.89 L2G86nzK.net
>>644
聞くな聞くな
おっちゃんは、これから論文を発表するんだから
ネタばれしたら、まずいだろ？（＾＾
まあ、間違っているだろうしね（＾＾；
725:１３２人目の素数さん
19/03/21 21:07:08.26 De2lsMi8.net
>>650
見栄張って楽しいですか？
・・・キモチワルイ
726:１３２人目の素数さん
19/03/21 21:07:09.15 AYTzXPs7.net
バカの自覚が無い証拠
自覚があれば恥ずかしくてチラシの裏でやる
727:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 21:07:48.86 L2G86nzK.net
まあ、おっちゃんは、脳神経科どうように
ドクターに見て貰え！
論文を！！（＾＾
728:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 21:08:44.49 L2G86nzK.net
>>652
おれは、おまえが気持ち悪いよ（＾＾
（双対の定理！）
729:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 21:12:45.13 L2G86nzK.net
確率変数の定義も確認せず（というか読んでも分らなかったらしい）
確率変数の族が、確率過程論の用語とも知らず
よって、確率過程論の文書を一つも読んだことが無い人間が、時枝記事の確率を論じるだと？
おれから言わせれば、話しにならん（ナンセンスのきわみ）（＾＾；
730:１３２人目の素数さん
19/03/21 21:23:10.41 AYTzXPs7.net
>>656
時枝記事の確率
「さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ. 例えばkが選ばれたとせよ. s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない. 」
こんな初歩的な確率問題さえ理解できないバカが確率過程論を論じるだと？
おれから言わせれば、話しにならん（ナンセンスのきわみ）（＾＾；
731:１３２人目の素数さん
19/03/21 21:40:55.62 +EQIb4Zf.net
化け学の欲の皮で突っ張った肥大膨張した我に付き纏われる時枝さん悲惨。
732:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 22:19:25.01 L2G86nzK.net
>>658
確率過程論ド素人だね（おそらくは確率論も）
どうぞ、下記を実行願いたし
数学科大学教員に話しを聞けば
そこで時枝不成立が分る
テンプレ
(>>31)
１）全国の数学科生に告ぐ ＊＊）
どうぞ、大学の数学科教員に頼んで
”数学セミナー 2015年11月号 箱入り無数目 時枝 正の記事は正しい”ということ
及び、その理由を簡単に書いて（理由は、「正しいから正しい」でも可）
その方のサイトに、その方の実名で、アップしてもらえませんか？
（文案はどなたが書いても可です。その方が承認してアップするならね）
２）どうぞ、このスレ主に敗北宣言を出させて下さい
私は、大学の数学科プロ教員には、とても敵いませんので、すぐ敗北宣言を出します
赤っ恥で結構です。
私は、このスレを閉じますよ。
（まあ、彼らは、落ちこぼれのピエロとは実力が違いますからね。私の実力では抵抗は無駄でしょうね）
３）それが出るまでは、私の勝利＊です（ 注＊：これ定義です（＾＾； ）
注＊＊）：どうぞ、このスレを見たどなたでも、貴方が直接教員に頼んでも良いし、知り合いの学生を通じての依頼でも可です
上記１）について、よろしくお願いします。（＾＾；
（つまらん、低レベル（落ちこぼれレベル）の議論を、延々続けても仕方ないですからね）
それまでは、上記３）の定義の通り、私の勝ちです（＾＾
733:１３２人目の素数さん
19/03/21 22:35:02.12 AYTzXPs7.net
>>659
>数学科大学教員に話しを聞けば
>そこで時枝不成立が分る
時枝成立を名言した大学教員
スタンフォード大学教授 時枝正
Kusiel-Vorreuter大学教授 Sergiu Hart
時枝不成立を名言した大学教員
無し
734:１３２人目の素数さん
19/03/21 22:37:49.20 AYTzXPs7.net
「さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ. 例えばkが選ばれたとせよ. s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない. 」
を否定するには、決定番号が自然数でないことを示すしかない。決定番号が自然数であれば否応なく成立するからだ。
はい、がんばって示してね～
735:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 22:52:46.17 L2G86nzK.net
”Morita was largely self-taught. ”！（下記）
森田同値で有名な、森田 紀一先生は、大学は出ていないみたいだがね
博士の学位は、大阪大学だが
出身大学も大事だが、こだわるな（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
森田 紀一（もりた きいち、1915年2月11日 ? 1995年8月4日 ）は日本の数学者。専門は代数学、位相空間論。
1939年、東京文理科大学の助手に就任。1950年、大阪大学で学位を取得。
URLﾘﾝｸ(www.ams.org)
Arhangel ?skii, A. V.; Goodearl, K. R.; Huisgen-Zimmermann, B. (1997), “Kiiti Morita 1915?1995” (PDF), Notices of the AMS, MR 1452070, Zbl 0909.01010 2015年10月23日閲覧。 （肖像写真あり）
(抜粋)
Morita was largely self-taught.
In 1939 he was appointed assistant at the Tokyo University of
Science and Literature, and after an interlude as
lecturer/professor at Tokyo Higher Normal
School he was appointed professor at the former
university in 1951, where he taught for twentyseven years (a period during which the two institutions were combined and later relocated
from Tokyo to Tsukuba). Finally, as emeritus
from the University of Tsukuba, he continued his
activities at Sophia University.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
森田同値
代数学において、森田同値（もりたどうち、英: Morita equivalence）とは、環論的な多くの性質を保つ環の間の関係のことを言う。これはMorita (1958)において同値関係と双対性に関する記号を定義した森田紀一にちなんで名付けられた。
環が森田同値であるとはその環上の加群の成す圏が圏同値であることと定めた。
この表記方法は非可換環を扱っている場合にのみ興味の対象となる。
つづく
736:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 22:53:13.49 L2G86nzK.net
>>662
つづき
（ご参考）
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
「全国紙上数学談話会」
大阪大学数学教室により1934年6月～1949年9月まで刊行された、全国の研究者が数学を自由に発表した紙上の談話会です。
森田 紀一 (東京文理大、東京高師) HOME >> 筆者別目次 >> 森田 紀一 (東京文理大、東京高師)
年度 発行日 号数 番号 文献タイトル 筆者 リンク
昭和14年 1月20日 172号 761 Nesbitt ノ論文ニツイテ 森田 紀一 （東京文理大） PDFへのリンク
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
昭和15年 6月13日 198号 864 bicompact space ノ次元ニ就テ 森田 紀一 （東京文理大） PDFへのリンク
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
昭和23年 7月25日 2輯-10 105 次元論ニ就テ (Ⅰ) 森田 紀一 (東京高師) PDFへのリンク
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
昭和23年 1月15日 2輯-13 139 位相完備性に就て 森田 紀一 (東京高師) PDFへのリンク
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
昭和23年 7月20日 2輯-15 164 Wallman の compactification に就て 森田 紀一 (東京高師) PDFへのリンク
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
(引用終り)
以上
737:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 22:54:29.75 L2G86nzK.net
”ノーベル賞、本庶佑先生の名言「ネイチャー、サイエンスの9割は嘘」”
”教科書に書いてある事は嘘 ”もあったね
確かに、それは一面の真実ではあるよね
数学セミナーの時枝を盲信するバカ、あわれ（＾＾
738:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/21 23:09:11.42 L2G86nzK.net
>>662
グロタンディークは、”フランスでもレベルの低いとされるモンペリエ大学に入学した”という（下記）
こう書いたからといって、自分をグロタンディークと比較するなんて意図ではない（書く必要もないことだが、曲解するバカがいるから書いておく（＾＾ ）
まあ、出身大学に極端にこだわるなということだな
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アレクサンドル・グロタンディーク（Alexander Grothendieck, 1928年3月28日 - 2014年11月13日[1]）
終戦後にモンペリエ大学を卒業、ナンシー大学に移りデュドネのもとで研究を始めた。初期の業績に関数解析学に関する研究がある。
その後、セールらの影響から彼の関心は代数幾何学へ移り、1950年代後半からのスキーム論による代数幾何学の書き換え、ホモロジー代数、層論、圏論などへの貢献（特に1957年の論文 Tohoku paper（英語版）[3]）はそれぞれの分野だけでなく数学全体に決定的な影響を与えた。
URLﾘﾝｸ(commutative.world.coocan.jp)
グロタンディーク
グロタンディークは、フランスでもレベルの低いとされるモンペリエ大学に入学した。そこで数学を専攻するのだが、グロタンディークは、授業のレベルが低すぎて困ってしまう。
それでも異常な集中力で勉強し、大学を出ると、パリに行くための奨学生に応募した。その試験に優等で合格すると、パリのエコール・ノルマル・シュペリエールで、アンリ・カルタンの講義を聞くという幸運を得た。ここからグロタンディークは、一気に数学の実力をつけた。そして、ブルバキと呼ばれる数学者集団と出会う。
ブルバキのメンバーたちは、流石に、グロタンディークの傑出した数学の才能を見抜いた。
739:１３２人目の素数さん
19/03/22 00:05:28.05 uPwVe8WQ.net
やはり逃げたかｗ
まあ逃げるのは勝手だけど、あんな簡単な確率さえ分からないんじゃ数学は無理、ご苦労さん
740:１３２人目の素数さん
19/03/22 04:06:54.50 h6pRN5t+.net
おっちゃんです。
>>644
>「無理数である」 ≡ 「有理数でない」という仮定は、具体的にどうやるの？
実数直線Rを全体集合とする。有理直線Qと無理数全体 R＼Q との関係は
いうまでもなく、Q∩(R＼Q)＝Φ、Q∪(R＼Q)＝R である。
全体集合Rにおいて e＝Σ_{k=0,1,…,+∞}(1/k！) を有理数と仮定して矛盾を得て背理法により
eを有理数と結論付ける。この証明は小平解析入門のはじめのデテキント切断による実数論の
途中に書いてある。その背理法の適用とは逆に全体集合をRとして
γ＝lim_{n → +∞}( 1＋1/2＋…＋1/n－log|n| ) を無理数でないと仮定して
矛盾を得て背理法を適用することにより、γを有理数と結論付けることが出来る。
具体的な背理法の適用法は書いた。この背理法の適用法に問題はない筈だが。
741:１３２人目の素数さん
19/03/22 04:10:54.48 h6pRN5t+.net
>>644
>>667の下から3行目を一部訂正：
無理数でないと仮定して → 無理数で「ある」と仮定して
742:１３２人目の素数さん
19/03/22 04:37:03.58 h6pRN5t+.net
>>651
>おっちゃんは、これから論文を発表するんだから
>ネタばれしたら、まずいだろ？（＾＾
通院していることとその診療科(通院している病院に迷惑をかけないように、
マジメに正確に書いてはなく、微妙に違ったことを書いたところがある)を明かしてしまった。
だから、ネタバレしても、もし正しければ、私にしか発表出来ない。
むしろ、論文を書いたら他の人から熱心に教育や説教などを食らうような気がする。
現実に、以前そうなった可能性があると思われる某名誉教授が2人はいたという。
743:１３２人目の素数さん
19/03/22 04:57:54.24 h6pRN5t+.net
>>644
>>667の途中の訂正：
eを有理数と結論付ける → eを無理数と結論付ける
第1章(だった筈)の基本的なところにeの無理性の証明は書いてあった。
γ(記号は違う)も小平入門に出て来る。
744:１３２人目の素数さん
19/03/22 05:11:30.39 h6pRN5t+.net
>>670
小平「解析」入門ね。
745:１３２人目の素数さん
19/03/22 05:55:21.27 rDUwljdv.net
オッサンは低知能のままカンストしてしまったのか…
746:１３２人目の素数さん
19/03/22 06:17:09.51 h6pRN5t+.net
>>672
意味ないコメント、カウント1。
747:１３２人目の素数さん
19/03/22 06:31:20.12 uPwVe8WQ.net
おっちゃん自分のコメントに意味があるとか思ってる？
748:１３２人目の素数さん
19/03/22 06:46:24.83 h6pRN5t+.net
>>674
普段から訂正したレスが多い。
だが、γについての>>644へのレスは基本中の基本に
基づいた考え方をしているから、何も問題は生じていない。
もし、その考え方に問題が生じているなら、数学の基本的な土台が崩れることになる。
749:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/22 06:50:56.42 svnlwBS6.net
>>672
これか
URLﾘﾝｸ(meaning.jp)
意味解説ノート > ネット用語 > 「カンスト」とは？意味や使い方を解説！
SNSなどでよく見かける「カンスト」という言葉があります。昔からよく使われる言葉のため覚えておくと便利です。今回は「カンスト」について解説していきます。
2017年12月22日公開 2017年12月22日更新
(抜粋)
目次
カンスト
カンストとは
カンストの使い方・例文
「カンスト」とは、「数字のカウントが上限に達し、それ以上はカウントが上がらず、ストップする様子」という意味の言葉です。「カウンターストップ」という言葉が略され「カンスト」になりました。「カウンターストップ」と言い換えると言葉の意味を想像しやすくなりますよね。
カンストは主にゲームで使用される言葉です。
スコアを稼ぐゲームの場合、用意されていた桁を振り切りそれ以上の計測が不能な状態となることを指します。スコアの表示が「999点」などで固定される状態がカンストです。
750:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/22 07:01:11.76 svnlwBS6.net
>>663
参考
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%97%A7%E5%88%B6)
東京文理科大学 (旧制)
(抜粋)
旧制東京文理科大学（きゅうせいとうきょうぶんりかだいがく）は、1929年（昭和4年）4月、東京市小石川区（現在の東京都文京区）に設立された旧制の官立大学である。略称は「東京文理大」（とうきょうぶんりだい）。
修業年限3年の文理学部および附置機関たる東京高師が設置された。
戦後の学制改革により1949年5月、新制東京教育大学が発足すると、東京高師および旧制専門学校である旧制東京農業教育専門学校・旧制東京体育専門学校（同）とともに同大学に包括されてその文学部・理学部などの構成母体となり、1962年廃止（その後東教大は筑波大学に改組され現在に至っている）。同窓会「茗渓会」は東京高師などの旧制前身校、東教大・筑波大の共通の同窓会となっている。
751:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/22 07:21:25.71 svnlwBS6.net
>>667
おっちゃん、どうも、スレ主です。
あまりネタバレせずに、早く、ドクターに診て貰え！
ところで、√2が無理数であることの証明に背理法が使われるのは
１．無理数の定義が、「有理数でない」実数という形で、有理数の否定で書かれていることが一つ
２．背理法は、論理でA→B、 集合ではA⊂Bだが、A∩￢B＝Φ（空集合←矛盾）を導く論法と思えば分り易いだろう
３．背理法の大きな利点は、A→Bを導くのにくらべ、使える条件がA∩￢B→Φで増えていること
４．√2→無理数が、”√2＆有理数”→Φと、分かり易く書き直せていることの利点は大きい
５．で、γ→有理数を証明するのに、”γ＆無理数”→Φ（矛盾）と書き直す利点が見えてこない
（問題を難しくしていると思う）
６．というか、プロ数学者の予想は（>>617）”The most well known one is: Conjecture 1.0.1. Euler’s constant(γ) is irrational.”やで（＾＾
だから、背理法で解こうとするなら、”γ＆有理数”→Φ（矛盾）となるけど、γの場合は√2と違って、簡単じゃない！
あまりネタバレせずに、早く、（数学科）ドクターに診て貰え！（＾＾
752:１３２人目の素数さん
19/03/22 07:37:26.45 h6pRN5t+.net
>>679
今は形式主義の論理で研究が行われていて、
基本中の基本に従った考え方をしているから、見せる必要はない。
実数体Rでは、有理数「でない」ことは無理数「である」ことと同じ。
そのまま論文(か何か)にすれば済む。
753:１３２人目の素数さん
19/03/22 07:42:07.69 h6pRN5t+.net
>>678
>>679はスレ主へのレスだが、「形式主義」ではなく「公理主義」だった。
754:１３２人目の素数さん
19/03/22 08:40:43.68 J+9G2sY7.net
公理主義は日本独特の言葉だって聞いたことあるが
755:１３２人目の素数さん
19/03/22 09:00:59.41 h6pRN5t+.net
>>681
検索したらそのようだ。
だが、命題Pに対し「￢￢P ↔ P」という公理を認めない人はいない筈だが。
756:１３２人目の素数さん
19/03/22 09:16:47.76 jV8e4g2p.net
つまり直感主義論者なんて存在しなかったのだ
757:１３２人目の素数さん
19/03/22 09:23:53.91 h6pRN5t+.net
>>683
今更直観主義の論理を適用する人がいたとしたら、かなり少数になるだろう。
直観主義の論理を適用すると解析学が展開しにくくなる。
直観主義者は、数学全体においては、偏った見方をしていることになる。
758:１３２人目の素数さん
19/03/22 10:04:05.83 xjuKg43V.net
全面コピペで構成されたまとめブログで収益上げてそうだよなコイツ.。
759:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/22 11:09:23.27 WSdp8+VY.net
>>685
そう思うなら、おまえもやったらどうだ？ こんなことで金になると思っている時点で、底辺だろ？（＾＾
760:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/22 11:11:04.12 WSdp8+VY.net
>>679-684
おっちゃん、どうも、スレ主です。
R大 ”背理法被害者の会”の被害者かね？（＾＾
直観主義論理の抜粋は、下記だが
”背理法被害者の会”の主張は、直観主義論理の記述（下記）
「直観主義論理は実際的な有用性を持つ。何故ならばこの制限によって存在具体性を持つ証明が作られるからであり、これは直観主義論理が数学的構成主義のある形態として適当なものとする。非正式には、ある対象が存在することの構成的証明があれば、その構成的証明はそのような対象の例を生成するアルゴリズムとして使える、ということを意味する。」
と類似しているね
だけど、「背理法を使わない意味と直観主義論理との関係」がしっかり論じられていないみたいだから、
”背理法被害者の会”の被害者が量産されている印象がある。外しているかも知れないがね（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
直観主義論理
直観主義論理または直観論理（英: intuitionistic logic）、あるいは構成的論理（英: constructive logic）とは、ある種の論理体系であり、伝統的な真理値の概念が構成的証明の概念に置き換わっている点で古典論理とは異なる。
直観主義論理では確定的に論理式に真理値を割り当てるのではなく、それが真であるとは「直接的なエビデンス」つまり「証明」があることと見做す。
証明論的な視点から見ると、直観主義論理は古典論理の制限であって排中律や二重否定除去が公理として許容されないものである。排中律や二重否定除去はいくつかの論理式に対しては個別に証明できることがあるけれども、古典論理のように普遍的に成立することはない。
直観主義論理は実際的な有用性を持つ。何故ならばこの制限によって存在具体性を持つ証明が作られるからであり、これは直観主義論理が数学的構成主義のある形態として適当なものとする。非正式には、ある対象が存在することの構成的証明があれば、その構成的証明はそのような対象の例を生成するアルゴリズムとして使える、ということを意味する。
形式化された直観主義論理はアレン・ハイティングによってヤン・ブラウワーの直観主義プログラムの形式的な基礎として発展せられたものである。
つづき
761:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/22 11:11:55.25 WSdp8+VY.net
>>687
つづく
古典論理との関係
古典論理の体系は次のどれかを公理に追加することによって得られる：
・排中律
・二重否定除去
・パースの法則
別の関係性としてはゲーデル＝ゲンツェン変換によるものがある。これは古典一階述語論理が直観主義一階述語論理に埋め込めることを示す。すなわち一階述語論理式が古典論理で証明可能であることと、それをゲーデル・ゲンツェン変換したものが直観主義論理で証明可能であることとが同値となる。
またグリベンコの定理によれば、命題論理式が古典論理で証明可能であることと、それを二重否定したものが直観主義論理で証明可能であることとは同値である。したがって直観主義論理は古典論理を構成的意味論の観点から拡大したものと見做すことができる。
意味論
ハイティング代数意味論
他の論理との関係
直観主義論理は双対性によって矛盾許容論理の一種であり、ブラジリアン論理、反直観主義論理、双対直観主義論理などと呼ばれる論理と対応している。[3]
直観主義論理から爆発原理を取り除いたものは最小論理として知られる。
多値論理との関係
クルト・ゲーデルは1932年に直観主義論理が多値論理ではないことを証明した。（#ハイティング代数意味論は直観主義論理の"無限多値論理"としての解釈の一種と見られる。）
様相論理との関係
直観主義命題論理の論理式は次のように様相命題論理S4の論理式に翻訳できる：
ラムダ計算
カリー＝ハワード対応はIPCと直和と直積を持つ単純型付きラムダ計算との間に拡張できる。[5]
(引用終わり)
以上
762:１３２人目の素数さん
19/03/22 11:31:41.07 h6pRN5t+.net
>>685
直観主義で解析学を展開しようとすると、本来の公理の他に幾つかの公理が必要になるという。
763:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/22 11:49:30.14 WSdp8+VY.net
>>546 補足追加
オイラー定数γ(=lim[n→∞](1+1/2+...+1/n-ln(n)))
(引用終り)
下記ガウス記号にならって、
小数部分: 実数 x に対して，x?[x] を、 D[x] と書く（Decimal＝小数より）
1+1/2+...+1/nの少数部分D[1+1/2+...+1/n]で、これは有理数だが、既約p/qと考えた時、q→∞はすぐ分かる
（下記のオイラー積を思い出せば、良い）
つまり、lim[n→∞](1+1/2+...+1/n)で、オイラー積を持ち、qはすべての素数の積になる。
だから、小数部分 lim[n→∞]D[1+1/2+...+1/n]で、
これ自身は、ある一定値には収束しないと思うが（証明はないけど）
途中のｎが大きい数で、分母が”ｎより小の素数の積”になるだろう（これも証明はしないけど）
で、リンデマンから、対数関数 ln(n)は超越数だから、
lim[n→∞]D[ln(n)] 自身も収束しないと思うが（証明はないけど）
途中のｎが大きい数で、超越数（これは自明）
この初等的な考察から、オイラー定数γ(=lim[n→∞](1+1/2+...+1/n-ln(n)))
は、（収束して）”それはおそらく超越数”というのが、普通の数学の予想でしょ？（＾＾
で、背理法とかで、「オイラー定数γは有理数」とかしてみたい気がするけど
小数部分 lim[n→∞]D[1+1/2+...+1/n]で、分母”qはすべての素数の積”で頓挫する
のが、すぐ分かる
「オイラー定数γは有理数」がもし証明されたら、数学界では大ニュースだろうけど
そうは、ならんと思うよ（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.mathlion.jp)
思考力を鍛える数学
ガウス記号の基礎的なこと 2016/5/26
(抜粋)
・整数部分: 実数 x に対して，x を超えない最大の整数がただひとつ存在し，それを [x] と書き，x の整数部分と呼ぶ．
・小数部分: 実数 x に対して，x?[x] を x の小数部分と呼ぶ．
このときの記号 [ ] をガウス記号と呼びます．つまり，ガウス記号は実数の整数部分を表すための記号です．
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
オイラー積
オイラー積はディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積である。ディリクレ級数の一種のリーマンのゼータ関数についてこの無限積が成り立つことを証明したレオンハルト・オイラーの名前にちなむ。
764:１３２人目の素数さん
19/03/22 11:58:44.84 h6pRN5t+.net
>>687
>R大 ”背理法被害者の会”の被害者かね？（＾＾
>直観主義論理の抜粋は、下記だが
教育とかには余り関心がないのでよく分からんが、それを提唱していた教授のサイトを読むと、
何やら教育では排中律を適用した証明するより、排中律を用いない証明の方が短くなって、
生徒(や学生)が理解し易くなるという。だが、研究段階ではその教授も排中律も認めるようになるとのこと。
数学教育についてそのようなことを書いているような、数学教育に熱心な人だったようだ。
そのサイトによると、その教授は数理論理やシンプレクティック幾何が専門らしい。
隅々までサイトを調べていないだけかも知れない可能性はあるが、
不思議なことにサイトでは明確に業績の論文を挙げて明示してはいなかった。
まあ、幾何と数理論理を研究分野として兼任することは、余りよい選択肢とは思えんが。
幾何では未だに直観が欠かせない。それに対し、数理論理は証明自体などや数学の論理について研究する。
全く違う分野になる。まあ、”背理法被害者の会”の犠牲者は決して少なくはないだろうし、
私はその ”背理法被害者の会”の考え方は全く支持していない。
765:１３２人目の素数さん
19/03/22 12:05:44.22 h6pRN5t+.net
>>687
全く不可解なのが、話によると大学の数学科の講義でも排中律を用いなかったらしいということ。
この行為は全く不可解でならない。わざわざそのような形の講義をすることに何のメリットも見当たらない。
766:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/22 12:16:31.20 WSdp8+VY.net
>>579 追加
エクセルで簡単な、追加数値計算をやってみた（＾＾
オイラーγ計算で、ln(n)→ln(n+1)
およそγ＝～ 0.57721 ＝～Σ1/n- ln(n+1)
で、改善されているね
n Σ1/n ln(n+1) Σ1/n-ln(n) [Σ1/n] [ln(n+1)] [Σ1/n]-[ln(n+1)] [1-[Σ1/n]-[ln(n+1)]]
1 1 0.693147181 0.306852819 0 -0.306852819 0.306852819 0.306852819
2 1.5 1.098612289 0.401387711 0.5 0.098612289 0.401387711 0.401387711
3 1.833333333 1.386294361 0.447038972 0.833333333 0.386294361 0.447038972 0.447038972
4 2.083333333 1.609437912 0.473895421 0.083333333 0.609437912 -0.526104579 0.473895421
5 2.283333333 1.791759469 0.491573864 0.283333333 0.791759469 -0.508426136 0.491573864
7 2.592857143 2.079441542 0.513415601 0.592857143 0.079441542 0.513415601 0.513415601
8 2.717857143 2.197224577 0.520632566 0.717857143 0.197224577 0.520632566 0.520632566
9 2.828968254 2.302585093 0.526383161 0.828968254 0.302585093 0.526383161 0.526383161
10 2.928968254 2.397895273 0.531072981 0.928968254 0.397895273 0.531072981 0.531072981
11 3.019877345 2.48490665 0.534970695 0.019877345 0.48490665 -0.465029305 0.534970695
12 3.103210678 2.564949357 0.538261321 0.103210678 0.564949357 -0.461738679 0.538261321
13 3.180133755 2.63905733 0.541076426 0.180133755 0.63905733 -0.458923574 0.541076426
14 3.251562327 2.708050201 0.543512125 0.251562327 0.708050201 -0.456487875 0.543512125
15 3.318228993 2.772588722 0.545640271 0.318228993 0.772588722 -0.454359729 0.545640271
20 3.597739657 3.044522438 0.553217219 0.597739657 0.044522438 0.553217219 0.553217219
25 3.815958178 3.258096538 0.55786164 0.815958178 0.258096538 0.55786164 0.55786164
10000 9.787606036 9.210440367 0.577165669 0.787606036 0.210440367 0.577165669 0.577165669
767:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/22 12:28:03.88 WSdp8+VY.net
>>691-692
おっちゃん、どうも、スレ主です。
同意だね
URLﾘﾝｸ(www.ma.kagu.tus.ac.jp)
東京理科大学理学部第一部数学科 教授 安部直人
2012年11月16日 02時56分7
(抜粋)
「背理法では途中に正しくない主張や空論や矛盾が必ず現れる」
のに比して
「対偶法では途中に正しくない主張や空論や矛盾は現われない」
ので、対偶法では直接法と同じに証明は完全理解が可能です。
「背理法を用いて証明される命題は、背理法を用いず証明できる」
ことが分かります。
(数学基礎論入門、前原昭二著、朝倉書店、１９７７年)
背理法は、正しくない中間結果(他へ使えず、理解納得できない)も覚えることになり、丸暗記すると大変危険です。また、背理法に慣れてしまうと、中間結果の数学的意味を (考えても無駄と無意識に悟り)考えない習慣がついて、誤った数学的主張に対して鈍感になります。
(引用終わり)
これ、上記（>>687）直観主義論理で
（>>687）
「直観主義論理は実際的な有用性を持つ。何故ならばこの制限によって存在具体性を持つ証明が作られるからであり、これは直観主義論理が数学的構成主義のある形態として適当なものとする。非正式には、ある対象が存在することの構成的証明があれば、その構成的証明はそのような対象の例を生成するアルゴリズムとして使える、ということを意味する。」
(>>688)
「ゲーデル＝ゲンツェン変換によるものがある。これは古典一階述語論理が直観主義一階述語論理に埋め込めることを示す。すなわち一階述語論理式が古典論理で証明可能であることと、それをゲーデル・ゲンツェン変換したものが直観主義論理で証明可能であることとが同値となる。」
に対応するだろう
768:１３２人目の素数さん
19/03/22 12:41:02.38 h6pRN5t+.net
>>685
ブログが収益につながるかどうかは知らず、ブログはし�
769:ﾄいない。
770:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/22 14:20:17.81 WSdp8+VY.net
>>626
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Euler-Mascheroni constant
Series expansions
In general,
γ＝lim(n→∞)1+1/2+1/3+…+1/n-log(n+α)≡lim(n→∞)γn(α)
for any α > －n .
However, the rate of convergence of this expansion depends significantly on α .
In particular, γn(1/2) exhibits much more rapid convergence than the conventional expansion γn(0).[7][8]
This is because
1/{2(n+1)} < γn(0) - γ < 1/(2n)
while
1/{24(n+1)^2} < γn(1/2) < 1/{24(n)^2}
Even so, there exist other series expansions which converge more rapidly than this; some of these are discussed below.
(引用終わり)
γn(1/2)をやってみた（＾＾
オイラーγ およそ0.57721566490
n Σ1/n ln(n+1/2) Σ1/n-ln(n+1/2) [Σ1/n] [ln(n+1/2)] [Σ1/n]-[ln(n++1/2)] [1-[Σ1/n]-[ln(n++1/2)]]
1 1 0.405465108 0.594534892 0 -0.594534892 0.594534892 0.594534892
2 1.5 0.916290732 0.583709268 0.5 0.916290732 -0.416290732 0.583709268
3 1.833333333 1.252762968 0.580570365 0.833333333 0.252762968 0.580570365 0.580570365
10 2.928968254 2.351375257 0.577592997 0.928968254 0.351375257 0.577592997 0.577592997
20 3.597739657 3.020424886 0.577314771 0.597739657 0.020424886 0.577314771 0.577314771
25 3.815958178 3.238678452 0.577279726 0.815958178 0.238678452 0.577279726 0.577279726
1000 7.485470861 6.908255154 0.577215707 0.485470861 0.908255154 -0.422784293 0.577215707
5000 9.094508853 8.517293186 0.577215667 0.094508853 0.517293186 -0.422784333 0.577215667
8000 9.564474984 8.987259319 0.577215666 0.564474984 0.987259319 -0.422784334 0.577215666
9000 9.682251076 9.10503541 0.577215665 0.682251076 0.10503541 0.577215665 0.577215665
10000 9.787606036 9.210390371 0.577215665 0.787606036 0.210390371 0.577215665 0.577215665
771:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/22 15:02:21.28 WSdp8+VY.net
>>696 補足
γ＝lim(n→∞)1+1/2+1/3+…+1/n-log(n+α)≡lim(n→∞)γn(α)
In particular, γn(1/2) exhibits much more rapid convergence than the conventional expansion γn(0).
で、γn(1/2) つまりα＝1/2がベストかね？ はて？（＾＾
772:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/22 15:15:54.31 WSdp8+VY.net
>>696-697
γn(1/2) の収束が圧倒的に早いのは良く分かった
773:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/22 15:17:38.92 WSdp8+VY.net
>>690
＞オイラー定数γ(=lim[n→∞](1+1/2+...+1/n-ln(n)))
＞背理法とかで、「オイラー定数γは有理数」とかしてみたい気がするけど
＞小数部分 lim[n→∞]D[1+1/2+...+1/n]で、分母”qはすべての素数の積”で頓挫する
全く蛇足だが（＾＾
背理法仮定： γ ＝p'/q' とおける (p'、q'は互いに素な自然数)
としたいけど
lim[n→∞]D[1+1/2+...+1/n]で、オイラー積 Π(1/(1-1/p)) (pはすべての素数を渡る)
から、「γ ＝p'/q'」と「オイラー積 Π(1/(1-1/p)) (pはすべての素数を渡る)」とが、しっくりこない
というか、「γ ＝p'/q'とおける」を出発点にした瞬間に
「オイラー積 Π(1/(1-1/p)) (pはすべての素数を渡る)をどう考えているんだぁ～？」と突っ込まれるでしょ
で、「だから、γは無理数でないんじゃない？」と言った瞬間に
チコちゃんから「そんなんで証明になるなら、100年前に終わってるぞ～」と叱られるよね！（＾＾
774:１３２人目の素数さん
19/03/22 16:06:03.65 ShjsSF41.net
ID:h6pRN5t+ の言うこと。
当たり前のことを無意味に難しく語るばかりで全くマトモな内容が無い。
いつも何重にも否定を重ねた揚句、その真偽値の評価を間違えまくる。
池沼が自分を賢く見せようと背伸びしているとしか思えない。
775:１３２人目の素数さん
19/03/22 16:15:15.36 h6pRN5t+.net
多くの本には、オイラーの定数γは「超越数と予想されている」と書かれてはいない。
「γは有理数か無理数か分かっていない」という書き方をした本の方が多い。
リーマン予想では、リーマン予想が正しいと仮定して期待出来るような結論が得られている定理が数多い。
その反面、γでは、γを超越数であると仮定して期待出来るような何らかの結論が得られている定理が多いのかは分からない。
γが超越数と分かったところで何か期待出来る結論が得られるか否かについては余り聞いたことがない。
776:１３２人目の素数さん
19/03/22 16:19:38.42 h6pRN5t+.net
>>700
「賢い」が「どのように賢いのか」の定義から始めよう。
777:１３２人目の素数さん
19/03/22 16:34:37.26 h6pRN5t+.net
まあ、数値実験の結果から「γは超越数」と予想されているのかも知れないが。
もし「γが有理数」なら、γを具体的分数で表す証明をする方が難しくなる。
それじゃ、おっちゃんもう寝る。
778:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/22 17:36:26.60 WSdp8+VY.net
>>699 訂正
で、「だから、γは無理数でないんじゃない？」と言った瞬間に
↓
で、「だから、γは有理数でないんじゃない？」と言った瞬間に
逆書いていたよ～ぉｗ（＾＾；
ついでに
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E7%99%BA%E6%95%A3%E5%88%97)
調和数 (発散列)
(抜粋)
n-番目の調和数（ちょうわすう、英: harmonic number）は 1 から n までの自然数の逆数和
である。これはまた、1 から n までの自然数の調和平均の逆数の n-倍に等しい。
調和数は遥か昔から研究され、数論の各分野において重要である。調和数の極限は、調和級数と呼ばれ（しばしば調和数もひっくるめて一口に調和級数と呼ぶこともある）、リーマンゼータ函数と近しい関係にあり、また種々の特殊函数のさまざまな表示に現れる。
十分大きな数の標本について、その出現頻度がジップの法則に従って分布するとき、全体の中で n-番目の頻度で現れる標本の総頻度は n-番目の調和数である。このことは長い尻尾およびネットワーク値（英語版）の驚くべき帰結の一種を導く。
目次
1 調和数の計算法
2 分数パラメータに対する特殊値
3 調和数の母函数
4 応用
5 一般化
5.1 一般化調和数
5.2 複素平面への一般化
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Harmonic number
Contents
1 Identities involving harmonic numbers
1.1 Identities involving π
2 Calculation
3 Generating functions
4 Arithmetic properties
5 Applications
6 Generalizations
6.1 Generalized harmonic numbers
6.2 Multiplication formulas
6.3 Hyperharmonic numbers
7 Harmonic numbers for real and complex values
7.1 Alternative, asymptotic formulation
7.2 Special values for fractional arguments
7.3 Relation to the Riemann zeta function
779:１３２人目の素数さん
19/03/22 17:44:06.56 uPwVe8WQ.net
すごいなこのスレ
発言したくてしょうがないトンデモの巣窟だなｗ
780:１３２人目の素数さん
19/03/22 17:56:08.94 ZonjTtmU.net
池沼学の大家の観測拠点足り得る一等地
781:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/22 18:55:12.65 WSdp8+VY.net
わしがスレ主である（＾＾
782:１３２人目の素数さん
19/03/22 19:03:40.36 fbJ3xrOI.net
>>690 >>699
ヌスィは目についたところだけ考える愚を犯してるね
調和級数がオイラー積で表せたって意味ないよ
対数を引くこと忘れるのは馬鹿
ついでにいうと、γに収束する有理数列も考えられる
γn=1+…+1/(n-1)-1/n-…-1/(n^2-1)
lim(n→∞)γn=γ
783:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/22 20:59:08.87 svnlwBS6.net
>>708
どうも。スレ主です。
まあ、お説の通りだろうね
別に、ここで書いたことで、オイラーのγが解決するわけもないし
もちろん、思いつきを適当に書いただけのことだ
なお、「γn(αn)は常に有理数にできる」は、おれも>>627に書いたよ（＾＾；
いま、ここで書いていることは
厳密な議論よりも、”Conjecture”（予想）として
γが、無理数なのか、はたまた有理数なのか
そして、その裏付けとなる数学的考察がなにかだ
専門的には、>>617のURLﾘﾝｸ(www.ams.org)
Euler's constant: Euler's work and modern developments Author: Jeffrey C. Lagarias
嫁ってことだけど、おっちゃん読まんから、私が拙い考察を書いているだけなのだ（＾＾
784:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/22 21:16:17.14 svnlwBS6.net
>>709
>Author: Jeffrey C. Lagarias
うん？
この人か～ぁ！（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E7%99%BA%E6%95%A3%E5%88%97)
調和数 (発散列)
（Hnは調和数）
応用
2002年にジェフリー・ラガリアス（英語版）は、リーマン予想が「不等式
σ (n)<= Hn+ln(Hn)e^Hn
が任意の自然数 n に対して成立し、かつ n > 1 のときは真の（等号無しの）不等式として成立する」という主張に等価であることを示した。ここで σ(n) は n の約数和である。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Jeffrey Clark Lagarias (born November 16, 1949 in Pittsburgh, Pennsylvania, United States) is a mathematician and professor at the University of Michigan.
Lagarias discovered an elementary problem that is equivalent to the Riemann hypothesis, namely whether for all n > 0, we have
σ (n)<= Hn+e^Hn ln Hn
with equality only when n = 1. Here Hn is the nth harmonic number, the sum of the reciprocals of the first n} n positive integers, and σ(n) is the divisor function, the sum of the positive divisors of n.[3]
References
3^ arXiv:math/0008177 URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) Journal reference:"An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis". Amer. Math. Monthly. 109 (6): 534?543.
785:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/22 21:20:49.14 svnlwBS6.net
>>710 訂正
3^ arXiv:math/0008177 URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) Journal reference:"An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis". Amer. Math. Monthly. 109 (6): 534?543.
↓
3^ arXiv:math/0008177 URLﾘﾝｸ(arxiv.org) Journal reference:"An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis". Amer. Math. Monthly. 109 (6): 534?543.
URLの修正（＾＾；
786:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/22 21:25:45.38 svnlwBS6.net
>>710 補足
調和数 (発散列)Hnが、リーマン予想と関連しているとなると
オイラーγ ＝lim(n→∞)（Hn-log(n)） も、
ひょっとすると、リーマン予想なみの大難問かもしれないね
787:
19/03/22 21:49:06.42 E8ecWIn2.net
>>693
なんか、収束が悪すぎませんか？
788:１３２人目の素数さん
19/03/22 22:53:19.73 ISamjVak.net
ゼータ函数のオイラー積表示が成立するのはRe(s)>1のときであって
s=1のときは発散するから、無頓着にオイラーの定数の計算に
持ち込むことはできないということも理解していないスレ主には
大学の数学は無理だろう
789:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/22 23:09:10.44 svnlwBS6.net
>>697
とりあえず貼る（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.jstor.org)
The American Mathematical Monthly
Vol. 100, No. 5, May, 1993
"A Quicker Convergence to Euler's Constant".
Duane W. DeTemple
URLﾘﾝｸ(pdfs.semanticscholar.org)
CARPATHIAN J. MATH.
26 (2010), No. 1, 86 - 91
A quicker convergence toward the γ constant with the logarithm term involving the constant e
CRISTINEL MORTICI
790:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/22 23:23:28.71 svnlwBS6.net
>>713
C++さん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
ほんとだね（＾＾
>>693は、改良でなく改悪で、収束が悪くなっているね（＾＾；
オリジナル
γ＝～ 0.57721 ＝～Σ1/n- ln(n)
>>579
10000 9.787606036 9.210340372 0.577265664 0.787606036 0.210340372 0.577265664 0.577265664
(0.5772 小数４位まで一致)
改
γ＝～ 0.57721 ＝～Σ1/n- ln(n+1)
>>693
10000 9.787606036 9.210440367 0.577165669 0.787606036 0.210440367 0.577165669 0.577165669
(0.577 小数３位まで一致)
ベスト
γn(1/2)をやってみた（＾＾
オイラーγ およそ0.57721566490
>>696
10000 9.787606036 9.210390371 0.577215665 0.787606036 0.210390371 0.577215665 0.577215665
(0.577215665 小数９位まで一致)
791:１３２人目の素数さん
19/03/23 00:03:51.36 Q7devR++.net
バカ丸出し
792:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/23 00:07:30.31 ZJxlATSv.net
>>714
>>714
>s=1のときは発散するから、無頓着にオイラーの定数の計算に
>持ち込むことはできないということも理解していないスレ主には
>大学の数学は無理だろう
甘いな
オイラー積の計算を知らないんだ？（＾＾
（下記ご参照）
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
高校数学の美しい物語り
素数が無限にあることの美しい証明 最終更新:2016/10/05
(抜粋)
2：オイラーによる証明
※ はオイラー積表示と呼ばれる，非常に美しい等式です。「全ての素数の組み合わせの積」と「全ての自然数」が一対一対応していることを表しています。オイラー積表示の左辺を具体的に書き下してみるとイメージが分かりやすいでしょう。
URLﾘﾝｸ(www.mathsoc.jp)
素数からゼータの未来へ
日本数学会・市民講演会
２００８年９月２３日
黒川信重 （東京工業大学）
(抜粋)
ゼータの研究は，オイラーの１７３７年の大発見「素数の逆数全体の和は無限大」から本格的に始まった．
ギリシャ時代に素数が無限個あることが知られて以来二千年以上の歳月を経てはじめての進歩がオイラーによって得られたのであった．
オイラーは
1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+...
が無限大になることを，ゼータに対する素数全体にわたる無限積（オイラー積）
表示から見抜いた．
その結果，基本的には
素数の逆数和 = log(自然数の逆数和)
という漸近等式（log は自然対数）により素数の逆数和が無限大であることを明
らかにしたのである．
つづく
793:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/23 00:08:12.51 ZJxlATSv.net
>>718
つづき
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
Ikuro's Home Page
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
２００６年のコラム（閑話休題）
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
１００．奇数ゼータと杉岡の公式（その１８） (06/11/13)
(抜粋)
ゼータ関数は，オイラーの積表示
ζ（ｓ）＝Π（１－ｐ^(-s)）^(-1)
を通して素数分布＝＃｛ｎ｜素数ｐ≦ｘ｝の問題に関係してきます．オイラーはオイラー積表示の関係式を用いて，素数が無限個あること，しかも自然数の中で相当な割合で現れるという事実を証明をしたのですが，これはギリシャ数学の単なる別証ではなく，その後の数学の発展に繋がるものだったのです．
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
１８．ゼータ関数と解析接続 (06/03/10)
(抜粋)
【１】オイラーの計算
１７４９年にオイラーは発散級数を大胆に計算することによりこれらの結果をみいだしましたが，これらの式は現代数論では当然のことのように使われていて，リーマン・ゼータ関数の解析接続後にそれぞれ－１，－２，－３，－４での値として正当化されます．
(引用終り)
794:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/23 00:11:53.46 ZJxlATSv.net
>>718
>>s=1のときは発散するから、無頓着にオイラーの定数の計算に
>>持ち込むことはできないということも理解していないスレ主には
>素数が無限にあることの美しい証明 最終更新:2016/10/05
> 2：オイラーによる証明
>※ はオイラー積表示と呼ばれる，非常に美しい等式です。「全ての素数の組み合わせの積」と「全ての自然数」が一対一対応していることを表しています。オイラー積表示の左辺を具体的に書き下してみるとイメージが分かりやすいでしょう。
素数が無限にあることのオイラー積を用いた証明については、
黒川信重先生も言及しているだろ？
「s=1のときは発散する」から、素数が無限にあることの証明になるんだよ！（＾＾
795:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/23 00:14:32.49 ZJxlATSv.net
>>717
＞バカ丸出し
うーむ、その指摘は正しい！（＾＾
796:１３２人目の素数さん
19/03/23 00:22:01.37 SXscNuDb.net
>>720
>「s=1のときは発散する」から、素数が無限にあることの証明になる
そんなことは百も承知しておりますが。
あなたのγについてのおかしな"推論"を正当化することにはつながりません。
797:１３２人目の素数さん
19/03/23 00:25:19.97 SXscNuDb.net
工学バカスレ主に大学の数学は無理でしょう。
蘊蓄は大学レベルだが、実際使いこなせるのは高校数学程度ですから。
798:１３２人目の素数さん
19/03/23 04:32:28.38 Q7devR++.net
無限大に近い大きな数とか言っちゃうバカに数学は無理です
799:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/23 07:24:07.65 ZJxlATSv.net
テンプレ
（>>13）
渕野先生は、”厳密性を数学と取りちがえるという勘違い”を書いているぞ(下記)（＾＾
「イメージ」がお気に召さなければ、「ビジョン」といっても良い
ニュートン、ライプニッツ、オイラー、ガウス、コーシー、アーベル、ガロア、リーマン、デデキント・・・
みんな各人、数学に対する明確なビジョンがあって、彼らの数学的業績がある
（しばしば、厳密性な証明は後から与えられることも多くあった）
(引用開始)
スレ24 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:654番) より
（抜粋編集）
あなたのまったく逆を、渕野先生が書いている
”厳密性を数学と取りちがえるという勘違い”
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
数とは何かそして何であるべきか デデキント 訳解説 渕野昌 筑摩書房2013
「数学的直観と数学の基礎付け 訳者による解説とあとがき」
P314
(抜粋)
数学の基礎付けの研究は，数学が厳密でありさえすればよい， という価値観を確立しようとしているものではない.
これは自明のことのようにも思えるが，厳密性を数学と取りちがえるという勘違いは，
たとえば数学教育などで蔓延している可能性もあるので，
ここに明言しておく必要があるように思える
多くの数学の研究者にとっては，数学は，記号列として記述された「死んだ」数学ではなく，
思考のプロセスとしての脳髄の生理現象そのものであろう
したがって，数学はその意味での実存として数学者の生の隣り合わせにあるもの，と意識されることになるだろう
そのような「生きた」「実存としての」(existentialな)数学で問題になるのは，
アイデアの飛翔をうながす(可能性を持つ)数学的直観」とよばれるもので，
これは， ときには，意識的に厳密には間違っている議論すら含んでいたり，
寓話的であったりすることですらあるような，
かなり得体の知れないものである
(引用終り)
800:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/23 08:01:55.02 ZJxlATSv.net
>>718
追加しておく
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
高校数学の美しい物語り
素数が無限にあることの美しい証明 最終更新:2016/10/05
(抜粋)
3：サイダックによる証明
次々と新しい素因数を作り出していく操作が無限回繰り返せることを示します。 [Math Processing Error] と [Math Processing Error] は互いに素という重要な性質を用います。
[Math Processing Error] と [Math Processing Error] が互いに素な自然数のとき [Math Processing Error] ([Math Processing Error] は自然数)の形で表せる素数は無限に存在する。
証明
[Math Processing Error] を2以上の整数とする。 [Math Processing Error] と [Math Processing Error] は互いに素なので [Math Processing Error] は異なる素因数を2個以上持つ。
更に，同様な理由から [Math Processing Error] は異なる素因数を3個以上持つ。これを繰り返すといくらでも多くの異なる素因数を持つ数が生成できるので素数は無限に存在する。
ユークリッドの証明方法に勝るとも劣らない簡潔な証明です。この方法が21世紀になってから発見されたというのも驚きです。
余談1：フェルマー数を用いた証明もなかなかエレガントです。→フェルマー数とその性質
余談2：「素数が無限に存在する」よりも強い主張である「ディリクレの算術級数定理」というものがあります：
ディリクレの算術級数定理の証明はかなり難しいようです
Tag: 無限和，無限積の美しい公式まとめ
Tag: 素数にまつわる覚えておくべき性質まとめ
801:１３２人目の素数さん
19/03/23 09:24:13.56 VZ0geX5W.net
おっちゃんです。
>>709
オイラーの定数γが超越数と予想されていることの>>617の資料にザっと目を通した。
それによると、γは周期環Pに属さない実数と予想されているのこと。
Pにγが属さないならγは超越数になるが、γ∈P だからといって直ちに γ∈Q とはならない。
γのディオファンタス近似についての結果も得られているとのこと。
周期とディオファンタス近似に関わる結果も得られている。
代数的証明になる云々とは多分周期や周期環の議論からいわれているのだろうが、
スレ主に周期の本を薦めたことはあるが、私はその本は手元になくて読んでなく、詳細には周期や周期環について知らない。
目次や前書きを読むと、周期の理論を展開するには計算理論や再帰理論が必要になるとのことで、
或る程度数理論理の知識が必要らしい。数理論理の公理には命題Aについて ￢￢A↔A があるから、
周期の理論を認めるなら、やはり私の証明に間違いはないことになる。
802:１３２人目の素数さん
19/03/23 09:29:38.52 VZ0geX5W.net
周期の概念が作られた背景は、代数的数と超越数の判断の1つの懸け橋にするためだったと思うが。
803:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/23 09:36:14.06 ZJxlATSv.net
>>727
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>オイラーの定数γが超越数と予想されていることの>>617の資料にザっと目を通した。
それは良いことだ
「オイラーの定数γが超越数と予想されている」ってところ、プロ数学者はそうだろう
>周期の理論を認めるなら、やはり私の証明に間違いはないことになる。
ぜんぜん理屈になってないだろ
まあ、早くドクター（数学科）に診断してもらえ
普通、みんなやっていることだよ
投稿前に診断を受けるよ
804:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/23 09:44:34.38 ZJxlATSv.net
>>728
γ などは周期でない数の尤もらしい候補
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
805:F_(%E6%95%B0%E4%BD%93%E7%B3%BB) 周期 (数体系) 数学の特に解析数論周辺分野における周期（しゅうき、英: period）は、ある種の代数的な領域上でとった代数函数の積分として表される複素数を言う。周期全体の成す集合は、和と積に関して閉じており、環を成す。 Maxim Kontsevich and Don Zagier (2001) は周期の概念を導入し、周期に関するいくつかの予想について述べた論説である。 目次 1 定義 2 例 3 分類の目的 定義 与えられた実数が周期であるとは、それが有理数係数多項式不等式として与えられたユークリッド空間内の領域の体積の差として与えられるときに言う。より一般に、与えられた複素数が周期であるとは、その実部および虚部がともに周期となるときに言う。 代数的数係数の有理函数に対して、代数的数係数の多項式不等式で与えられる ?n 内の領域上でとった、絶対収束積分値もまた周期となる（これは、そのような積分や代数的無理数が適当な領域上の面積として表せることによる）。 例 代数的数以外では、以下の数が周期の例となることが知られている: ・任意の代数的数の自然対数 ・円周率 π ・有理数を引数とする楕円積分 ・任意のゼータ定数（英語版）（整数引数に対するリーマンゼータ函数の特殊値）および任意の多重ゼータ値（英語版） ・代数的数における超幾何函数の特殊値 ・自然数 p, q に対するガンマ函数の値 Γ(p/q)q 周期でない実数の例は、チャイティンの定数 Ω によって与えられる。計算可能数（英語版）であって周期となるあるいはならない自然な例というのは今のところ知られていないが、人工的な例はカントールの対角線論法を用いて容易に作れる。 ネイピア数 e, 1/π, オイラー?マスケローニ定数 γ などは周期でない数の尤もらしい候補と考えられる。 分類の目的 周期は、代数的数と超越数の間を埋める橋渡しとなるものである。代数的数のクラスは多くのよく知られた数学定数を含めるためには狭すぎ、また超越数の全体は可算でなくその元は一般には計算可能でない。これに対し周期全体の成す集合は可算であり、任意の周期は計算可能[1]で、特に決定可能（英語版）である。
806:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/23 09:46:47.43 ZJxlATSv.net
無限ね（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
公理的集合論
(抜粋)
ZF 公理系
・無限公理 空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃ A(Φ ∈ A←→ ∀ x∈ A(x ∪ {x}∈ A)) 。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
無限公理
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃ A(Φ ∈ A←→ ∀ x∈ A(x ∪ {x}∈ A))
解釈と帰結
上記定義では「無限」という言葉は用いられていないが、この公理によって（少なくとも1つの）無限集合の存在が保証されることになる。
各手続きで得られた集合を要素とする集合を B:={Φ ,{Φ },{Φ ,{Φ }},・・・ }とおくと、 B は A の部分集合である。
この手続きは何回でも繰り返すことができるが、もし有限回で終えた場合、 B は有限集合であり、 A ≠ Bである。
なぜならば定義により B ∪ {B}∈ A であるが、 B ∪ {B} not∈ B となるからである。
一方 A が有限集合であれば、この手続きを繰り返すことで B が A よりも多くの要素をもつことができてしまう。
従って A は有限集合ではない（すなわち無限集合である）ため、無限公理を採用すれば直ちに無限集合の存在を認めることになる。
上記の手続きはペアノの公理における自然数の構成方法と同様である。ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。（可算集合）
独立性
無限公理はZF公理系において独立した公理である。すなわちZF公理系の他の公理たちから導くことも反証することもできない。
つづく
807:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/23 09:47:16.21 ZJxlATSv.net
>>731
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
デデキント無限
(抜粋)
数学において、集合A がデデキント無限（Dedekind-infinite）である、またはデデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。つまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。集合 A がデデキント無限でないとき、デデキント有限であるいう。
デデキント無限は、自然数を用いないような最初の無限の定義である。選択公理を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系は、任意のデデキント有限集合は有限個の元を持つという意味での有限である、ということを証明するだけの強さを持たない[1]。デデキント無限以外にも、選択公理を用いない有限集合や無限集合の定義が存在する。
目次
1 通常の無限集合の定義との比較
2 ZFにおけるデデキント無限
3 歴史
4 選択公理との関係
5 可算選択公理を仮定した無限との同値性の証明
6 一般化
通常の無限集合の定義との比較
デデキントの意味での“無限集合”は、普通の意味での無限集合と比較されるべきであろう:
集合A が無限であるとは、どのような自然数 n に対しても、{0,1,2,..., n -1}（有限順序数）と A との間に全単射が存在しないことである。
無限とは、全単射が存在しないという意味で文字通り有限でないという集合である。
19世紀後半、多くの数学者はデデキント無限であることと通常の意味の無限は同値であると単純に考えていた。しかし実際は、選択公理（“AC”）を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系（通常、“ZF”と表記される）からは、その同値性は証明されえない。弱いACを使うことで証明でき、フルの強さは要求されない。その同値性は、可算選択公理（“CC”）より真に弱い形で証明できる。
つづく
808:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/23 09:47:43.02 ZJxlATSv.net
>>732
つづき
ZFにおけるデデキント無限
次の4条件は、ZF上同値である。特に、これらの同値性はACを用いないで証明できることに注意せよ。
・A はデデキント無限である。
・全射ではないが単射であるようなA からA への関数が存在する。
・自然数の集合N からA への単射が存在する。
・A は可算無限な部分集合を持つ。
どのようなデデキント無限集合A も以下の条件を満たす。
単射ではないが全射の、A からA への関数が存在する。
このことを、“A は双対デデキント無限である”という。A が双対デデキント無限であるならばA がデデキント無限であるということは（ACを除いたZF上で）証明可能でない。
どのような双対デデキント無限集合も次の（同値な）条件を満たす、ということがZF上で証明できる。
A から可算無限集合への全射が存在する。
A の冪集合がデデキント無限である。
（この条件を満たすことを、弱デデキント無限(weakly Dedekind infinite)であるということがある。）
弱デデキント無限であるならば無限であることはZFにおいて証明されている。
また、整列無限集合はデデキント無限であることもZFにおいて示されている。
歴史
デデキント無限という語は、この定義を初めて明確に示したドイツ人のリヒャルト・デデキントにちなんでつけられた。自然数の定義に依存しない最初の“無限”の定義であったことは明記すべきであろう。
選択公理との関係
整列可能な任意の無限集合はデデキント無限である。ACは任意の集合が整列可能であることを述べた整列可能定理と同値であるから、ACから無限集合はデデキント無限集合であるということが簡単に導かれる。しかしながら、無限とデデキント無限の同値性はACよりもっと弱いものである。すなわちこの同値性を仮定してもACは導かれない。
(引用終り)
以上