54:１３２人目の素数さん
19/03/07 23:17:59.51 8UJbn5Oi.net
スレ主だいぶ荒れてるなｗ
55:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/07 23:49:12.16 c0bwFOdp.net
これ、ちょっと面白いよ
URLﾘﾝｸ(www.slideshare.net)
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実数の集合はどこまで可測になれるか？
石井大海 20150727
Lebesgue可測性と到達不能基数に関する中間発表の資料＋αです。
56:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/07 23:50:19.81 c0bwFOdp.net
>>46
どうも。スレ主です。
ありがとう
新スレ立てて、テンプレ貼るのも疲れるんだ（＾＾
57:１３２人目の素数さん
19/03/08 06:22:43.73 ULwq4qbD.net
>>46
自分の馬鹿を棚に上げて逆ギレされてもいい迷惑 ＞●違いスレ主
58:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/08 07:30:02.70 lnTMRuDp.net
>>45
正則性公理（基礎の公理）は、下記のようにあとから追加された命題なので、オリジナルのＺＦでは、必ずしも必要とされていなかったようだね（＾＾
しかし、正則性公理があると、帰納法の議論が、簡単になるのも事実だなｗ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ZF 公理系
(抜粋)
・正則性公理（基礎の公理） 空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ：
∀ A(A ≠ Φ → ∃ x ∈ A ∀ t ∈ A(t not∈ x)) 。
正則性公理はジョン・フォン・ノイマンによって導入された（1925年）。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正則性公理
(抜粋)
正則性の公理は必ずしもZF公理系を拡張するために必要なものではないが、ZF公理系と他のいくつかの命題が独立であることを証明する際にその効果を発揮する。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
整礎関係
(抜粋)
定義
ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである。
帰納法と再帰
整礎関係が興味深い重要な理由は、それによって超限帰納法の一種が考えられることにある。すなわち (X, R) が整礎関係で P(x) が X の元に関する何らかの性質であるときに、 P(x) が X の「すべての」元に対して満たされることを示すには、以下を示せば十分である。
例
・集合を要素とする任意のクラスの集合要素関係 ∈ 。これは正則性公理そのものである。
59:１３２人目の素数さん
19/03/08 07:52:32.58 ULwq4qbD.net
>>50
＞正則性公理があると、帰納法の議論が、簡単になる
一般の集合についての話ならともかく
自然数とか順序数とかなら
その構成の仕方から整礎であることは明白
わからん奴は即刻数学止めたほうがいい 意味ないから
スレ主は考えるための脳ミソないのか？
60:１３２人目の素数さん
19/03/08 08:17:04.32 Z10DG0gd.net
＞テンプレ貼るのも疲れるんだ（＾＾
自己擁護のために1,2�
61:條ﾔで50レスも消費すんなバカ
62:１３２人目の素数さん
19/03/08 08:24:32.11 wiE/rvIh.net
スレ主は時枝記事が分かってないことを誤魔化そうと集合論へ向かった。
が、集合論も全然わかってなかったｗ
ここまで何一つ分かってないって逆に凄いなｗ
63:１３２人目の素数さん
19/03/08 08:28:05.38 Z10DG0gd.net
明らかに、5chに人間を呼び寄せる客寄せパンダ
バイトだろ？
64:１３２人目の素数さん
19/03/08 10:12:17.75 HVq5OYm0.net
>>50
>正則性公理があると、帰納法の議論が、簡単になるのも事実だなｗ
正則性公理：Given the other axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction.
つまりは、ZF上で、正則性公理と帰納法公理は、同値だと
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Axiom of regularity
(抜粋)
In mathematics, the axiom of regularity (also known as the axiom of foundation) is an axiom of Zermelo?Fraenkel set theory that states that every non-empty set A contains an element that is disjoint from A.
The axiom of regularity was introduced by von Neumann (1925); it was adopted in a formulation closer to the one found in contemporary textbooks by Zermelo (1930). Virtually all results in the branches of mathematics based on set theory hold even in the absence of regularity; see chapter 3 of Kunen (1980).
However, regularity makes some properties of ordinals easier to prove; and it not only allows induction to be done on well-ordered sets but also on proper classes that are well-founded relational structures such as the lexicographical ordering on {(n,α ) ｜ n ∈ ω ∧ α is an ordinal }.
Given the other axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction.
The axiom of induction tends to be used in place of the axiom of regularity in intuitionistic theories (ones that do not accept the law of the excluded middle), where the two axioms are not equivalent.
In addition to omitting the axiom of regularity, non-standard set theories have indeed postulated the existence of sets that are elements of themselves.
つづく
65:１３２人目の素数さん
19/03/08 10:16:27.24 HVq5OYm0.net
>>55
つづき
"This principle, sometimes called the axiom of induction (in set theory), is equivalent to the axiom of regularity given the other ZF axioms. "だと（＾＾
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Epsilon-induction
(抜粋)
In mathematics, ∈-induction (epsilon-induction) is a variant of transfinite induction that can be used in set theory to prove that all sets satisfy a given property P[x].
If the truth of the property for x follows from its truth for all elements of x, for every set x, then the property is true of all sets. In symbols:
∀ x (∀ y(y∈ x→ P[y])→ P[x] )}→ ∀ x P[x]
This principle, sometimes called the axiom of induction (in set theory), is equivalent to the axiom of regularity given the other ZF axioms.
∈-induction is a special case of well-founded induction.
The Axiom of Foundation (regularity) implies epsilon-induction.
The name is most often pronounced "epsilon-induction", because the set membership symbol ∈ historically developed from the Greek letter ε .
66:以上
67:１３２人目の素数さん
19/03/08 10:31:14.56 HVq5OYm0.net
>>55 補足
えーと、こうだったね、前スレより下記
”フォン・ノイマンの正則性公理と数学的帰納法および超限帰納法との関係 またなんかおかしなことをいいだした”
これ関係あったよねｗ（＾＾
”式を読まないから何も学べない”？
「正則性公理：Given the other axioms of Zermelo-Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction.
つまりは、ZF上で、正則性公理と帰納法公理は、同値だと」分からなかったみたいだね
ピエロちゃんはｗ（＾＾
結局、式を読んでもバカはバカか
(引用開始)
スレ61 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:914番)
(抜粋)
914 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/03/06(水) 06:24:34.36 ID:pk0FhySK [1/2]
>>899
>フォン・ノイマンの正則性公理と数学的帰納法および超限帰納法との関係
またなんかおかしなことをいいだしたね
文章が読めない文盲は困ったものだね
(引用終わり)
スレ61 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:919番)
919 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/03/06(水) 20:52:44.45 ID:pk0FhySK [2/2]
スレ主は話だけで肝心の選択公理の式を読まないから何も学べない
正則性公理についても同様 同じ間違いを二度繰り替えすとか貴様は白痴か？
(引用終わり)
68:１３２人目の素数さん
19/03/08 11:11:23.96 HVq5OYm0.net
>>55 補足
>Virtually all results in the branches of mathematics based on set theory hold even in the absence of regularity; see chapter 3 of Kunen (1980).
>However, regularity makes some properties of ordinals easier to prove; and it not only allows induction to be done on well-ordered sets
>Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, Elsevier, ISBN 978-0-444-86839-8
検索すると、海賊版かもしらんが、下記PDFヒット
これ、しばしばお世話になっている藤田 博司先生の和訳があるかな？
URLﾘﾝｸ(blacaman.tripod.com)
An Introduction to Independence Proofs K KUNEN 著 First edition: 1980 Seventh impression: 1999
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
集合論―独立性証明への案内 単行本 ? 2008/1/1
(抜粋)
ケネス キューネン (著), Kenneth Kunen (原著), 藤田 博司 (翻訳)
ナラバ博士
5つ星のうち5.0
第２章の章末問題はとくに面白い
2009年4月5日
形式: 単行本
集合論のうち，とくに２０世紀第３四半期における強制法（フォーシング）の研究に焦点をあてた入門書である。
数学科（数理科学コース）の１・２年向けの集合論の授業では，数学全分野のための予備知識として１９世紀後半の集合論を扱うのがふつうであろう。
本書が扱うのはより高度な話題である。原書は研究分野としての集合論への入門書として評価が高い。
評者は大学院修士課程１年生のときに原書を通読した。
強制法への伏線として第２章でマーティンの公理を扱っており，この章の章末問題には面白いものが多いと感じた。
時間をかけて翻訳した本書の訳は大変読みやすく，ところどころに親切な訳注が添えられている。
69:１３２人目の素数さん
19/03/08 11:29:25.48 HVq5OYm0.net
>>57 追加
(引用開始)
スレ61 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:920番)
(抜粋)
920 返信：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2019/03/06(水) 21:00:28.46 ID:NUjaXEYj [2/5]
>>914
別に難しいことは言っていない
話しは単純で
ペアノの公理で、自然数の集合で
（>>866より）
自然数が整列集合＝数学的帰納法成立 （公理として同値）
とすれば、
ＺＦから、”自然数が、整列集合 or 数学的帰納法成立”が導けなければいけない
ＺＦだけでね
普通の高校や大学の集合論では、「数学的帰納法は、�
70:桝Rです」と、まあ公理にするか、触れずにすますか（触れても触れなくても似たようなものでしょうが） それはともかくとして、触れてもせいぜいペアノ公理くらいでお茶濁す で、ＺＦで、「自然数が整列集合＝数学的帰納法」 （公理として同値なので、どちらを導いても良いが） に直結するＺＦ中の公理が、フォン・ノイマンの正則性公理だよというだけのことです (引用終わり) で、「正則性公理：Given the other axioms of Zermelo-Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction. つまりは、ZF上で、正則性公理と帰納法公理は、同値」だから、間違っていないし 但し、>>58 Virtually all results in the branches of mathematics based on set theory hold even in the absence of regularity; see chapter 3 of Kunen (1980). だから、正則性公理なしでも、自然数が整列集合 or 数学的帰納法成立 （公理として同値） が導けるだろうね ピエロちゃん、やれよ、その証明を、具体的にさ ｗ（＾＾ 前スレで豪語したでしょ？ ホレホレ そのために、Kunen (1980).のPDF見つけてやったよ（>>58） ホレホレ まあ、読めないだろうね、あんたのレベルじゃねｗ（＾＾
71:１３２人目の素数さん
19/03/08 12:01:44.48 ULwq4qbD.net
>>55-56
スレ主は日本語が読めないくらいだから、英語は全然読めないんだな
>the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction.
the axiom of induction「帰納法の公理」とあるじゃん
これを帰納法全部と考えるのは英語が読めない白痴ｗ
>In mathematics, ∈-induction (epsilon-induction) is a variant of transfinite induction that can be used in set theory to prove that all sets satisfy a given property P[x].
ε帰納法は、a variant of transfinite induction「超限帰納法の一種」とあるよな
ε帰納法は全ての集合が特性P[x]を満たすことを証明するのに用いるもの
正則性公理が成立しなければ、ε帰納法も成立しない
しかし、数学的帰納法や一般の超限帰納法が
その道連れになるわけではない
こんな簡単な英語も読めないくせに大卒とかウソつくなよ サイコパス
72:１３２人目の素数さん
19/03/08 12:06:44.08 HVq5OYm0.net
>>51
>＞正則性公理があると、帰納法の議論が、簡単になる
>一般の集合についての話ならともかく
>自然数とか順序数とかなら
>その構成の仕方から整礎であることは明白
>わからん奴は即刻数学止めたほうがいい 意味ないから
はいは、証明よろしくね
”その構成の仕方から整礎であることは明白”だろうけど
数学では、証明を求められるよねｗ（＾＾
なお、ZFのどの公理を使ったかを明示してくださいね～（＾＾
Kenneth Kunen 1980 のPDF（>>58）見て良いからね～ｗ（＾＾
73:１３２人目の素数さん
19/03/08 12:07:53.68 HVq5OYm0.net
>>60
言い訳はいいから、>>59>>61な
証明やってくれｗ（＾＾
74:１３２人目の素数さん
19/03/08 12:22:29.61 HVq5OYm0.net
>>53
>スレ主は時枝記事が分かってないことを誤魔化そうと集合論へ向かった。
>が、集合論も全然わかってなかったｗ
いやいや、サイコパスピエロとはいい勝負だし
”いじる”ネタになるし
基礎論結構好きなんだ（もちろん、専門に研究している人ほどレベルは高くないけどね（＾＾ ）
75:１３２人目の素数さん
19/03/08 12:42:07.19 ULwq4qbD.net
>>55 >>57
>regularity makes some properties of ordinals easier to prove;
>and it not only allows induction to be done on well-ordered sets
>but also on proper classes that are well-founded relational structures
>such as the lexicographical ordering on {(n,α ) ｜ n ∈ ω ∧ α is an ordinal }.
スレ主はマジで英語が読めない白痴
上記の文章では、逆にregularity「正則性」とあって、
Axiom of regularity「正則性の公理」となってないじゃん
集合Sが正則性を持てば、その正則性から導かれる帰納法を使える
しかし、正則性公理がないからといって、
いかなる集合にたいしても帰納法が導けない
ということにはならない
なぜなら、正則性公理の否定は
「全ての集合は正則性を持たない」ではなう
「正則性を有しない集合が存在する」だから
スレ主は述語論理の∀（すべて）と∃（ある）の区別もできないテイタラク
>>63の「基礎論結構好きなんだ」が聞いてあきれる
述語論理も分からない馬鹿に基礎論が理解できるわけないだろｗ
76:１３２人目の素数さん
19/03/08 12:48:55.82 ULwq4qbD.net
正則性の公理はε帰納法のような集合全体に適用される
”特殊な”帰納法と同値なのであって
数学的帰納法や一般の超限帰納法を導くものではない
数学的帰納法はNが正則であればよく
一般の超限帰納法は対応する順序数が正則であればいい
決して全ての集合が正則である必要はない
こんな根本的なことも理解できずに
「基礎論結構好きなんだ」とほざく
スレ主のなんと馬鹿なことか
（チコちゃんに叱られるの森田アナかｗ）
キョエちゃん「スレ主のバカー」
77:１３２人目の素数さん
19/03/08 12:56:00.88 ULwq4qbD.net
（蛇足）
＞数学では、証明を求められるよね
簡単だから（Nが正則であることの証明問題は）スレ主にやるよｗ
基礎論好きなんだろ？
このくらいできないと基礎論なんてわからないぞｗｗｗｗｗｗｗ
78:１３２人目の素数さん
19/03/08 13:57:53.65 HVq5OYm0.net
(>>59より）
正則性公理なしでも、自然数が整列集合 or 数学的帰納法成立 （公理として同値） が導けるだろうね
ピエロちゃん、やれよ、その証明を、具体的にさ ｗ（＾＾
ところでさ、下記にご注目ｗ（＾＾
”Axiom of infinity
that these members are all different, because if two elements are the same, the sequence will loop around in a finite cycle of sets. The axiom of regularity prevents this from happening.”
とあるので、
The axiom of regularityがないと、
できた無限集合が、どんな集合かわけわからんみたい
それで、自然数が出来たということを確認するのが、大変になりそうだよｗ（＾＾
（The minimal set X の確認）
おれ？ おれは、そんな面倒なことはしないよ～（＾＾
正則性公理採用派だからね
早く、正則性公理無しのZFから、自然数Ｎを構築してさ、整列集合 or 数学的帰納法成立 （公理として同値） の証明頼むよ～ｗ
みんな、やれるかどうか、あんたの能力を見極めようと、期待して待っているよ～ｗ（＾＾
どうせ、できないから、ぐだぐだ言い訳しているんだろうがね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Zermelo?Fraenkel set theory
(抜粋)
7. Axiom of infinity
Let S(w) abbreviate w∪{w}, where w is some set.
(We can see that {w}is a valid set by applying the Axiom of Pairing with x=y=w so that the set z is {w}.
Then there exists a set X such that the empty set Φ is a member of X and, whenever a set y is a member of X, then S(y) is also a member of X.
∃ X [Φ ∈ X Λ ∀ y(y∈ X → S(y)∈ X)].
More colloquially, there exists a set X having infinitely many members.
(It must be established, however, that these members are all different, because if two elements are the same, the sequence will loop around in a finite cycle of sets.
The axiom of regularity prevents this from happening.)
The minimal set X satisfying the axiom of infinity is the von Neumann ordinal ω, which can also be thought of as the set of natural numbers Ｎ .
(引用終わり)
79:１３２人目の素数さん
19/03/08 14:42:06.81 HVq5OYm0.net
>>67 補足
(引用開始)
スレ61 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:870番)
(抜粋)
870 自分返信：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2019/03/05(火) 11:51:49.63 ID:xYDWPnCx [6/15]
（参考）
URLﾘﾝｸ(togetter.com)
数学と公理的集合論ZFC togettet 2016年3月13日
「ZFCの中で普通の数学をどのように表現するか」
「数学は形式化されなければならないのか」
という感じの話です。
(抜粋)
発端
立命館大学大学院理工学研究科基礎理工学専攻数理科学コース新M2マン @Rits_math_M2
新歓でちょっとした数学の記事を書くんだけど、「数学がZFCから作られていることを実感してもらうためにZFからペアノの公理のモデルでも構成するか」とか思ってたの、難しすぎ感あるな。
2016-03-12 23:00:39
(引用終わり)
これ多分、立命の研究室に４年が来ての、新歓だと思うが
”ZFからペアノの公理のモデルでも構成するか”で
二つのコースがあって
１）一つは、前スレ61で下記に示すように、ZF中で正則性公理を使うコース
スレ61 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:901番)-902
スレ61 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:936番)
２）も一つは、ピエロちゃんの、ZF中で正則性公理を使わないコース
”両方できるぜ～！”と、新歓で紹介すれば、恰好いいよね（＾＾
ピエロちゃん、”正則性公理を使わないコース”の証明がんばれぇ～！（＾＾
80:１３２人目の素数さん
19/03/08 15:24:29.11 ULwq4qbD.net
>>67-68
なにこのバカ粋がってんだ
数学が分からないサルは書き込むな
死ね ゴキブリ
81:１３２人目の素数さん
19/03/08 15:24:48.22 wiE/rvIh.net
>>68
＞二つのコースがあって
つまり正則性公理は必要無いってことじゃんｗ
＞ピエロちゃん、”正則性公理を使わないコース”の証明がんばれぇ～！（＾＾
だから言ってるだろ、そんなもんそこら中に転がってると
スレ主が証明を理解できてるかは怪しいがなｗ
82:１３２人目の素数さん
19/03/08 15:27:00.58 wiE/rvIh.net
スレ主はwikipediaとかの解説文ばっかり読んでるんじゃないか？
証明そのものを読めよｗ
お前の学力で理解できれば、だけどなｗ
83:１３２人目の素数さん
19/03/08 15:32:22.12 wiE/rvIh.net
おそらく学力不足で証明そのものは
84:読めないんだろう。 それで解説文ばっかり読んでいる。 しかし解説文は解説文、いくら読んでも証明が理解できる訳ではない。 だからいつも間違ってばかりいる。 ま、こんなとこだろうｗ
85:１３２人目の素数さん
19/03/08 15:32:40.86 HVq5OYm0.net
>>70
>＞二つのコースがあって
>つまり正則性公理は必要無いってことじゃんｗ
正則性公理は、公理だから、
ZFCを前提として、それで証明が簡単にできるなら、知っておく方がいいだろう？（＾＾
というか、
一つは、正則性公理を前提としない複雑で長い証明と、
一つは、正則性公理を前提した簡明で短い証明が可能だと、
二つあるなら、両方知っておくべきだろうよ
特に、自然数の性質の基本に関する部分ならね
>スレ主が証明を理解できてるかは怪しいがなｗ
おれは、理解できないかもしれない
でも、それでいいじゃん
このスレを見ている人は、おれだけじゃないからね
86:１３２人目の素数さん
19/03/08 15:34:27.33 HVq5OYm0.net
これ、ちょっと面白かったから貼る
URLﾘﾝｸ(www.nikkei.com)
東洋一の大望遠鏡、京大が挑んだ「純国産」
科学記者の目 編集委員 小玉祥司
2019/3/8 6:30日本経済新聞 電子版
(抜粋)
京都大学などが建設を進めていた東アジア最大の光学望遠鏡「せいめい」が完成、2月20日に記念式典が開かれた。口径3.8メートルという大きさだけでなく、分割した鏡を組み合わせたり、鏡を支える骨組みを大幅に軽量化したりと、最新技術を自力で開発したのも特徴だ。「純国産」望遠鏡に取り組んだ研究者たちのチャレンジ精神や、挑戦を支えた民間のOBからの寄付が建設を実現した。
「最初は本当にできるのかな、と思った」。完成記念祝賀会であいさつした柴田一成・京大大学院理学研究科付属天文台長と観山正見・元国立天文台長は、期せずして同じ趣旨の感想を口にした。
せいめいの口径3.8メートルはすばるに比べると小さいが、主鏡を含めて望遠鏡全体を国内で製作したいわば「純国産」の大型望遠鏡だ。すばるの主鏡は米メーカーが製作し、ハワイに運ばれた。
また、すばるの主鏡は1枚の大きな鏡でできているが、せいめいの主鏡は18枚の鏡を組み合わせてできている。すばる以上の大型望遠鏡を建設するには1枚の鏡では難しく、今後はいくつもの鏡を組み合わせて大きな主鏡を作る望遠鏡が主流になる。そこに欠かせない技術を日本国内で確立する狙いがあった。
従来の同規模の望遠鏡に比べて4分の1の約20トンと大幅な軽量化も特徴だ。これには短時間に狙った天体に望遠鏡を向け、すぐに観測する狙いがある。最近の天体観測の重要なテーマの一つが超新星爆発やガンマ線バーストと呼ばれる現象だが、これらは突然発生して短時間にどんどん様子が変化する。一刻も早く望遠鏡を向けて観測を始めることが、大きな研究成果につながるのだ。
せいめい望遠鏡は軽量の架台と最新の鏡の制御技術をいかし、動かし始めてから1分以内に観測できるようになるという。観測する天体に向けたあと焦点を合わせるだけなら0.2～0.3秒という速さだ。分割鏡を使った米国のケック望遠鏡は数秒から10秒近くかかる。
つづく
87:１３２人目の素数さん
19/03/08 15:35:11.50 HVq5OYm0.net
>>74
つづき
技術面だけでなく、資金面でも当初は苦労した。1999年に京大内にワーキンググループが発足したものの、すばるのように国立天文台が中心となって進めるプロジェクトではなく、京大の付属天文台という位置づけから予算確保が難しかった。プロジェクトが動き出せたのは、京大理学部で宇宙物理学を学んだOBでブロードバンドタワー会長兼社長の藤原洋氏の寄付があったからだ。
柴田台長が大学時代の同期生だった藤原氏を訪ねて相談したのが2005年1月。藤原氏は「日本や世界にない新技術を開発するのがおもしろい。成功したらその技術を基にして稼げる」と寄付を快諾する。寄付の総額は約6億円にもなった。
藤原氏の寄付を得て、主鏡を精密に削り出す装置の開発から始めた。鏡の研削に必要な精度は1メートルあたりわずか1マイクロ（マイクロは100万分の1）。既存の機械では10マイクロメートル程度の精度しかなく、工作機械メーカーのナガセインテグレックス（岐阜県関市）と協力して高精度の機械を開発した。研削するときに薄い鏡を支える支持台や、研削後に精密に鏡面を磨けているか確認する計測装置も作った。
こうした技術開発では名古屋大学の貢献も大きい。装置開発の中心となった長田哲也京大教授や栗田光樹夫同准教授は、名古屋大が南アフリカ天文台サザーランド観測所に建設したIRSF1.4メートル望遠鏡開発のメンバーだった。
この望遠鏡が00年に稼働した後の04年に長田教授が名古屋大から京大に着任。栗田准教授らも名古屋大時代からせいめいの開発に加わった。鏡面の制御システムを手掛ける木野勝助教も名古屋大出身だ。当時、名古屋大の赤外線天文学の研究室を主宰していた佐藤修二名誉教授以外の主要メンバーを総動員した格好だった。
鏡の研削装置から始まり、主鏡や架台、制御システムまでほとんどの部分は大学の研究者たちが開発。総事業費も通常の望遠鏡に比べて大幅に抑えられた。
京大や名古屋大を中心に研究者たちが新技術に挑戦し、技術開発を民間の寄付が支えたことで、東アジア最大のせいめい望遠鏡は完成した。超新星爆発やガンマ線バーストの観測だけでなく、太陽系外惑星の直接撮影などにも挑戦する。先端技術に挑んだ研究者や後援者の意気込みが、日本の科学界にあらたな可能性を切り開いたといえそうだ。
(引用終わり)
88:１３２人目の素数さん
19/03/08 15:37:06.94 ULwq4qbD.net
>>70-72
スレ主は
∃xP(x)「Pを満たすｘが存在する」 を導くのに
∀xP(x)「全てのｘはPを満たす」 を前提することしか
思いつかない正真正銘の馬鹿らしい
死んだほうがいいな こんな白痴
89:１３２人目の素数さん
19/03/08 15:37:20.46 HVq5OYm0.net
どうせ、証明できないから
ぐだぐだ書いているんだろうなｗ（＾＾
90:１３２人目の素数さん
19/03/08 15:39:37.93 ULwq4qbD.net
>>73
>おれは、理解できないかもしれない
>でも、それでいいじゃん
理解できない馬鹿の貴様が
数学板に書き込むんじゃねえ
この蛆虫が
91:１３２人目の素数さん
19/03/08 15:41:04.80 ULwq4qbD.net
>>77
｛｝は正則
Xが正則ならX∪｛X}も正則
たったこれだけのことが分からん
スレ主は白痴か？
92:１３２人目の素数さん
19/03/08 15:41:40.53 HVq5OYm0.net
サイコパスは言い訳がうまいらしい（＾＾
URLﾘﾝｸ(news.livedoor.com)
言い訳が上手い人には要注意？普段の言動で分かるサイコパスな人 Livedoor News 2018年7月4日 11時53分
(抜粋)
「実は～だったの」と、言い訳が上手く後から条件を加えてくる
自分の行動に責任をとらず、ときには相手を加害者に仕立て上げる
(引用終わり)
93:１３２人目の素数さん
19/03/08 15:42:27.12 HVq5OYm0.net
でたでた
出ました
サイコパスの本性が～（＾＾；
94:１３２人目の素数さん
19/03/08 15:43:50.87 ULwq4qbD.net
>>80-81
サイコパスは論理も分からん白痴のくせに
「基礎論大好き」と大嘘つく貴様
95:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/08 15:44:30.09 HVq5OYm0.net
うん？
新スレで、専ブラのコテハンとトリップ抜けたか（＾＾；
96:１３２人目の素数さん
19/03/08 15:44:47.35 ULwq4qbD.net
｛｝は正則
Xが正則ならX∪｛X}も正則
したがって、全ての自然数は正則
たったこれだけのことが分からん
スレ主は白痴か？
97:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/08 15:45:26.94 HVq5OYm0.net
証明のできない数学の落ちこぼれ
哀れだね（＾＾
98:１３２人目の素数さん
19/03/08 15:46:32.93 ULwq4qbD.net
>>85
簡単な証明も思いつけず理解もできない白痴スレ主
生きる資格ないから首掻き切って死ねよ ゴキブリ
99:１３２人目の素数さん
19/03/08 15:47:06.75 ULwq4qbD.net
｛｝は正則
Xが正則ならX∪｛X}も正則
したがって、全ての自然数は正則
たったこれだけのことが分からん
スレ主は白痴か？
ギャハハハハハハ！！！！！！！
100:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/08 15:51:28.27 HVq5OYm0.net
ZF公理系からペアノ公理を導けという試験問題があったとして
その解答案で
ZF公理系のどの命題と、どの命題を使って、
どういう定理なり補題を証明して
そして、最後に「ペアノ公理を導いた QED」と
それで、正則性公理を使っていませんということが明確になる
”ZF公理系のどの命題と、どの命題を使って”のところが記されていないと
題意はずしのあさって答案で
０点！（＾＾；
101:１３２人目の素数さん
19/03/08 15:54:17.62 ULwq4qbD.net
>｛｝は正則
｛｝は如何なる要素も持たない ｛｝∈｛｝にはなりようがないｗｗｗｗｗｗｗ
>Xが正則ならX∪｛X}も正則
Y＝X∪｛X}として、Y∈Yとする
もしY＝Xなら、X∈XだからXが正則だという仮定に反する
YがXと異なる要素だとしても、その場合Xの要素の一つであるから
Xが正則であるという仮定に反する
いずれにしてもXが正則ならX∪｛X}も正則にならざるを得ない
R.I.P 安らかに眠れ クソスレ主ｗ
102:１３２人目の素数さん
19/03/08 15:57:15.29 ULwq4qbD.net
>>88
>”ZF公理系のどの命題と、どの命題を使って”
なに甘ったれてんだこのバカ
おまえ
空集合の公理知らんのか？
和集合の公理知らんのか？
そんな基本的なことも知らんアホウが
「基礎論大好き」とかほざくんじゃねえｗ
百万年早ぇわ！ｗｗｗｗｗｗｗ
103:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/08 18:08:19.94 HVq5OYm0.net
”ZF公理系のどの命題と、どの命題を使って”のところが記されていないと
題意はずしのあさって答案で
０点！（＾＾；
落ちこぼれ、あわれｗ（＾＾
104:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/08 18:18:47.51 HVq5OYm0.net
サイコを”いじる”と面白いわ
すぐ反応するからな～（＾＾；
105:１３２人目の素数さん
19/03/08 19:18:37.02 wiE/rvIh.net
スレ主は日本語読めんの？
そんな証明はそこらに転がってると言ってるだろ。
よって出題自体が無意味。
問題はそこじゃない。スレ主がその証明を読めるかどうかだ。
バカのくせにマウント欲だけは人一倍強いだよなあ、やれやれ。
106:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/08 19:58:10.17 lnTMRuDp.net
複数ＩＤ使い分け、ご苦労さん
サイコパス必死だな（＾＾；
107:１３２人目の素数さん
19/03/08 20:00:04.35 wiE/rvIh.net
だからお前じゃないってｗ
お前自分が自演してるの白状してるのと同じことだぞそれｗ
108:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/08 22:06:50.10 lnTMRuDp.net
「壊れたレコードのように…」という言葉があったんだが（下記）
同じＩＤで、似たような言葉を繰返す二つのＩＤ
カンニングで、答案二つで、間違えているところが同じだと、疑われるよね
それに似ている。二つのＩＤで、似たような間違いを繰返す ｗ（＾＾
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
ID非公開さん2018/4/2020:17:08
(抜粋)
「壊れたレコードのように…」という意味がわかりません。どう言うことの比喩ですか？
ベストアンサーに選ばれた回答
ble********さん 2018/4/2100:46:43
レコードって、髪の毛みたいな細い溝が刻まれてて、その溝を細い針が進んで音を再生するのです。
で、細い溝と細い針だから、ちょっとした傷で同じところを何度も再生してしまうことがあるのです。
この状態に見立てて、何度も同じことを言う人を例えて「壊れたレコードみたい」と言うのです。
例文
娘
「お父さん、酔っ払うと、昔の話を何度も繰り返して」
母親
「壊れたレコードみたいね」
父
「俺はまだ酔ってましぇん！」
みたいな、ね。
(引用終り)
109:１３２人目の素数さん
19/03/08 22:09:30.84 wiE/rvIh.net
いや、間違えてんのお前だしｗ
110:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 00:22:53.50 9Sqq12HI.net
証明はそこらに転がってると言いながら
何も出てこない！
これ、真っ赤なサイコのウソだよね
こんなやつら、相手にしても仕方ないよね（＾＾
URLﾘﾝｸ(news.livedoor.com)
意外とアナタの身近にも…!? 「サイコパス」にありがちな特徴 Peachy 2016年12月21日
(抜粋)
■社会のルールに順応できない
■平気で悪質な嘘をつく
サイコパスは傍からみると、よくもそんな嘘をつけるなと感じるようなことを、平気で言ってしまいます。後先を考えずに目先の利益にとらわれてしまう。また、相手を操りたいという考えから、そのようなひどい嘘をつくのです。他愛心がなく利己的だからこその発言といえます。
■無責任で衝動的に行動を起こす
(引用終り)
111:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 00:27:42.89 9Sqq12HI.net
>>98
サイコパスのウソ
何も出ないのは分ったよ
仕方ないから
下記、これ出すよｗ（＾＾；
スレ61 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:987番)
987 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/03/08(金) 14:34:23.63 ID:nHTjj5G+
Nのモデルを
…∈ 10 ∈9 ∈8 ∈7 ∈6 ∈5 ∈4 ∈3 ∈2 ∈1 ∈0
となるように作ろう！
(引用終り)
そう、だれか書いてくれたが、これだね
渕野昌先生が、同じことを書いている
順序の定義：順序数α,βに対し， α∈βをα＜βと表わし, "α∈βまたはα＝β”をα≦βと表わすことにする．
順序も定義せずに、”正則”と叫ぶバカがいる
公理系の議論をしているときに、定義もなしに議論するバカ
”∈”を使って、順序”＜”を定義する
これ
フォン・ノイマンが案出した巧妙なトリックなのだ（＾＾
（下記二つのPDFご参照。まあ、凡人には無理かも）
URLﾘﾝｸ(fuchino.ddo.jp)
渕野 昌，連続体仮説とゲーデルの集合論的宇宙（ユニヴァース）， 現代思想，2007年2月臨時増刊号 (2007), 94-116
(抜粋)
Ｐ13
フォン・ノイマンがここで案出したもう一つの巧妙なトリックは、
このように帰納的に定義することと結果として同じになるような順序数の内的な定義を与えることであった。
具体的には、「要素が集合の帰属関係∈ で 整列されるような集合を順序数とする」
として順序数を定義する。
また２つの順序数α、β
に対し、順序関係α < β を、
α ∈ β となることで定義するのである。
この順序数の定義により、各々の順序数は、それより小さい順序数の全体となり、
それらは各順序型に関して一意に決まり、その大小関係にそって、
数学的帰納法の議論のできるようなものとなるのである。
(引用終り)
つづく
112:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 00:28:54.67 9Sqq12HI.net
>>99
つづき
類似だが、追加しておく（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
特別企画 ???これから学ぶ人のために??? 公理的集合論 渕 野 昌 - J-Stage 渕野昌 著 数学 ?2013
(抜粋)
Ｐ412
(2.5） αはEに関して推移的である．つまり，任意のβ,γに対し， γ∈αかつβ∈γなら， β∈αが常�
113:ﾉ成り立つ； (2.6) ∈はα上の整列順序になっている． 上のような性質を持つαを順序数とよぶ．すべての順序数αは定義から∈に関して整列される． このことを強調するために， 順序数α,βに対し， α∈βをα＜βと表わし, "α∈βまたはα＝β”をα≦βと表わす ことにする． 自然数のときと同じように， 順序数αがこの順序に関してαより真に小さな順序数を集めたものになっていることも容易に示せる． すべての自然数は順序数で, (∈に関して)すべての自然数より大きな最小の順序数(最小の無限順序数)がNになる． ただし,Nを順序数と見るときには， これをωと表わすことが多い． 順序数には， 自然数がそうであるように， α＋1=α∪{α}という形をしていて, (∈による順序に関して）その直前の順序数（ここでのα）を持つ ものがある (引用終り) 以上
114:１３２人目の素数さん
19/03/09 06:48:28.69 0l/16VXN.net
>>99
>Nのモデルを
>…∈ 10 ∈9 ∈8 ∈7 ∈6 ∈5 ∈4 ∈3 ∈2 ∈1 ∈0
>となるように作ろう！
具体的にやってみせてくれｗ
ついでにいうと
>渕野昌先生が、同じことを書いている
はまったくの誤り 方向が逆だから
>順序数α,βに対し， α∈βをα＜βと表わし,
とあるから、スレ主とは全く逆になる
0∈1∈2∈3∈4∈5∈6∈7∈8∈9∈10･･･
この場合、自然数はみな正則
上記を満たす集合の例
0={}
1={0}={{}}
2={0,1}={{},{{}}}
3={0,1,2}={{},{{}},{{},{{}}}}
･･･
上記を構成するのにｓ「正則性公理」は必要ない
正則な集合をつくるのに正則性公理が必要とほざく
スレ主は正真正銘の白痴である！
115:１３２人目の素数さん
19/03/09 07:56:24.49 MQtT0Y1H.net
ツイッターで#テクノロジー犯罪と検索して、まじでやばいことを四代目澄田会の幹部がやってる
被害者に対して暴力団以外にタゲそらしをしてるがやってるのは暴力団で普段外に出ることが少ないため遊びで公共の電波と同じような電波を使って殺人をしてる
統失はほとんどが作られた病気で実際は電波によって音声送信や思考盗聴ができることが最近明らかになりつつある
警察や病院では病気としてマニュアル化されてしまっているのが現状で被害者は泣き寝入りしてる
被害者がリアルタイムで多い現状を知って、被害者間でしか本当の事だと認知できていない
実際にできると思われていない事だから、ただの幻聴ではない実際に頭の中で会話ができる
できないことだと思われているからこそ真面目に被害を訴えてる
海外でも周知されつつあることを知ってほしい。
このままだとどんどん被害が広がる一方
#テクノロジー犯罪
#四代目澄田会
116:１３２人目の素数さん
19/03/09 08:40:50.29 RtAkoZaQ.net
>>98
＞証明はそこらに転がってると言いながら
＞何も出てこない！
転がってるから出さないんだよｗ 自分で探せｗ そこまで面倒見切れんｗ
117:１３２人目の素数さん
19/03/09 08:50:19.22 RtAkoZaQ.net
>>99
＞順序も定義せずに、”正則”と叫ぶバカがいる
お前真性のバカだろ
>正則性公理（基礎の公理） 空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ：
>∀A(A≠{}→∃x∈A∀t∈A(t∈/x))
どこに順序の定義が要るの？
118:１３２人目の素数さん
19/03/09 08:59:51.60 RtAkoZaQ.net
>>99
>Nのモデルを
>…∈ 10 ∈9 ∈8 ∈7 ∈6 ∈5 ∈4 ∈3 ∈2 ∈1 ∈0
>となるように作ろう！
スレ主は∈も分かってなかったのかｗ
こいつ絶対中学出てねーだろｗ
119:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:25:47.62 9Sqq12HI.net
>>104
(引用開始)
＞順序も定義せずに、”正則”と叫ぶバカがいる
お前真性のバカだろ
>正則性公理（基礎の公理） 空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ：
>∀A(A≠{}→∃x∈A∀t∈A(t∈/x))
どこに順序の定義が要るの？
(引用終り)
ほんとサイコパスだね～（＾＾
おまえ、「正則性公理使わない」（不要）とか叫んでいたろ？
（例えば>>101 から「上記を構成するのにｓ「正則性公理」は必要ない」とかさｗ（＾＾； ）
しらーと、誤魔化すんだねｗ
120:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:26:52.19 9Sqq12HI.net
>>99 補足
>”∈”を使って、順序”＜”を定義する
>これ
>フォン・ノイマンが案出した巧妙なトリックなのだ（＾＾
この引用の前の記述が下記
URLﾘﾝｸ(fuchino.ddo.jp)
渕野 昌，連続体仮説とゲーデルの集合論的宇宙（ユニヴァース）， 現代思想，2007年2月臨時増刊号 (2007), 94-116
(抜粋)
Ｐ13
数の列の順序にそって帰納法の議論
が可能でなくてはならない。
121:集合論の言葉で、帰納法の議論の可能性をどう表現できるかを考てみると、 「0, 1, 2, 3,. . . , ω, ω + 1, ω + 2,. . . のどの部分列も最小の要素を持つ」、 という性質としてあらわすのが、自然であることがわかる。 そこで、順序数を、「その数より小さい数の全体が、どの部分集合も最小の要素を持つようなもの」、 と規定することが考えられる。 ところが、こう言っただけでは、ひとつひとつの順序数は、対象としては一意に決まってくれない。 これに対するエレガントな解決法は、カントルの時代よりずいぶん後になってから、 フォン・ノイマン(John von Neumann, 1903{1957) によって発明されている。 それは、各々の順序数を、それより小さい順序数の全体と定義する、というものであった。 これにより、有限の順序数、つまり自然数が集合として確定する: 0はそれより小さい順序数を一つも持たないから、φとなり、 1は0のみをそれより小さい順序数として持つから、{φ} となり、・・・ 等々。 また、ω = {0, 1, 2, , , ,}, ω + 1 = f0, 1, 2, , , , , ω} 等々。 ところが、このように続けたときの一般論を展開するには、 数学的帰納法による議論が必要になってくるが、 まさにそのような無限版の数学的帰納法を乗せる媒体として 順序数をここで定義しようとしているのであるから、これでは循環論法に陥ってしまう。 フォン・ノイマンがここで案出したもう一つの巧妙なトリックは、 このように帰納的に定義することと結果として同じになるような順序数の内的な定義を与えることであった。 具体的には、「要素が集合の帰属関係∈ で整列されるような集合を順序数とする」 として順序数を定義する。 (引用終り)
122:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:29:21.80 9Sqq12HI.net
>>101
>>…∈ 10 ∈9 ∈8 ∈7 ∈6 ∈5 ∈4 ∈3 ∈2 ∈1 ∈0
>0∈1∈2∈3∈4∈5∈6∈7∈8∈9∈10･･･
ご指摘の通りで
タイポがあるね。まあ、そのまま引用しただけだがね（＾＾
ピエロの書いた程度なら
下記「かがみのホームページ」にあるよ
かなり少ししっかり書いてあるぜ
膨大な記述でね。関係しそうなところを抜粋する。
なお、リンク先を直接読む方が良いだろう（但し、この引用コピペは、主にここでの検索の便宜のため）
さらに、文字化けと一部画像の部分があり、欠落部分あり。欠落部分などに、（略）と入れたが見落としている部分があればご容赦
繰返すが、リンク先を直接読む方が良いだろう
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
かがみのホームページ プロフィール 学生時代の専攻は数学。今の趣味も数学。
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
集合論雑記
[目次]
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
2004年1月3日 自然数の構成と ω
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
2004年1月22日 無限公理と自然数
つづく
123:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:30:35.04 9Sqq12HI.net
>>108
つづき
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
2004年2月1日 自然数と数学的帰納法
(抜粋)
前回 自然数全体の集合 N を定義しましたが、非常に天下り的な定義であり、 我々の直感の「自然数」の集合論的な表現としてふさわしいかを検証する必要 があります。
もちろん「数学的」には定義した対象が直感に合っても合わなく ても、論理的な矛盾がなければ問題がないとも考えられますし、実際若いころ はそのように考えていたのですが、最近は数学的対象に関する洞察を深めるた めには、形式的な体系が直感的な裏付けをもつ、ということは非常に大切なこ とであると考えが変化したのであります(＊)。
今までの議論から N は直感的に「自然数全体」を含んでいるこ とは納得できますが、問題は「余計なもの」を含んでいないかということです。 そのためには(現在は非公式な)次の事実が証明できれば十分だと思われますが、 順序の概念がないと不便で仕方がないので、次回は順序の定義と N 上 の順序について論じたいと思います。
n と n+1 の「間」の自然数は存在しない
n∈N で n≠0 のとき n=m+1 なる m∈N が存在する
(＊) 若いころは論理だけで�
124:ｷべてを理解できたという事情もあるのですが、 今考えると数学の論理的面を重視しすぎ、直感的な思考をおろそかにしたのが まずかった。 つづく
125:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:32:00.82 9Sqq12HI.net
>>109
つづき
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
2004年2月7日 順序
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
2004年3月20日 順序数の定義
(抜粋)
前回 まで自然数と自然数全体からなる集合を定義しました。ここで自然数に順序と 演算を定義して、それらの「常識的な」性質を証明する必要があるのですが、 あんまり面白くないのにあたりまえの結果しか出ないので、細かいことは省略 して順序の定義のみを行います。
a,b∈N に対して関係 a∈b は順序関係となる。 通常この関係を a<b と記述する。
もちろん a∈b が順序の公理を満たすことを証明する必要があるのですが、 ここでは省略です。また特に重要な点として、
N 上の順序関係 ∈ は整列順序である。
が成立します。これも証明が必要な事実ですがここでは省略します。さていよ いよ順序数の定義ですが、これは次のように行われます。
集合 X が順序数とは次の二つの性質を満たすこと。
(1) X は ∈ に関して整列順序集合
(2) a∈b∈X のとき a∈X(この性質をもつ X を推移的という)
(2) の条件は b∈X のとき b⊆X ということです。
つづく
126:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:32:49.08 9Sqq12HI.net
>>110
つづき
[定理]
任意の n∈N は順序数である
N(即ち ω) は順序数である
証明は略しますが N 上で関係 ∈ が通常の自然数の順序を表現し ていることを考えれば直感的には明白な事実です。実際には今まで省略した証 明にはすべて数学的帰納法が使用されます。ここで一つも証明がないのもなん なので、ω+1(即ち ω∪{ω}) が順序数になることを証明 します。
まず ∈ に関する整列性ですが ω が整列集合で、ω は ω+1 の最大元なので成立するのは明らかです。推移性に関しても a∈b∈(ω+1)と仮定し b が自然数の場合は ω の推移性 から a∈ω が成立し、b=ω の場合 a∈ω は ω の定義によりこちらも明らかです。
[定義]
自然数 n に対して ω + n を次のように帰納的に定義する
ω + 0 = ω
ω + (n + 1) = (ω + n) + 1
最後の式の左辺の +1 は自然数の加算で、右辺の +1 は(ω + n)∪{ω + n} のことです。そうすると数学的帰納法により ω + n は順序数になることが容易に証明することが可能です。さて、ここまでで 次の順序数が構成されたわけです。
自然数
ω
ω + (n + 1) (n は自然数)
直感的に記述すると自然数 n は {0,1,2,...,n-1} のことであり、ω は {0,1,2,3,...}、 ω+(n+1) は {0,1,2,3,...,ω,ω+1,...,ω+n} という感じです。
最後の n の ω までの「極限」をとり ω+ω={0,1,2,3,...,ω,ω+1,...,ω+n,...} と拡 張したいのはもちろんで、そのようにどんどん大きな順序数を構成することが 集合論の基本理念なのですが、実を言いますと今までの公理では ω+ω でさえ構成することが出来ず、次回以降に導入する「置換公 理」なるものが必要となるのです。
次回は順序数を理解するとともに、集合論における最も重要な概念である「整 列順序」に関する基本的な性質を証明し、次次回以降にこの性質を利用して順 序数の基本性質を導きたいと考えております。
つづく
127:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:33:37.28 9Sqq12HI.net
>>111
つづき
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
2004年3月22日(月) 整列順序
集合 X に順序関係 < が定義されていて、X の任意の部分集合が導入され た順序に関して最小元を持つとき X を整列順序集合と呼ぶのでありました。 次の条件を満たす 整列集合 X の真部分集合 Y を「始片(initial segment)」 と呼びます。
任意の a∈Y に対し x<a なる x∈X は Y に属する
始片は次の条件で特徴付けられます。
整列集合 X に対し Y⊂X が始片である必要十分条件は a∈X が存在し て Y={x∈X|x<a}
最初の条件から二番目の条件が成立するのは明らかです。また Y が最初の条 件を満たすとき X-Y の最小元を a とすると、二番目の条件を満たすことが容 易に証明出来ます。そこで次の記号を導入します。
整列集合 X の要素 a∈X に対し {x∈X|x<a} を X[a] と記述し、
128: X の a による始片と呼ぶ X の要素と X の始片に一対一の対応があることは明白です。始片の概念を使 用すると、整列集合間の整列的な性質を記述することが可能です。 [補題] f: X → X を整列順序集合 X から X への増加写像とするとき、任意の x∈X に対し x f(x) x0 を f(x)<x を成立させる X の最小元とすると f の増加性 によりf(f(x0)) < f(x0) < x0 が成 立し矛盾。 つづく
129:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:34:18.41 9Sqq12HI.net
>>112
つづき
[定理]
f: X → X を整列順序集合 X 上の順序同型写像とするとき、f は恒等写像
f の逆写像を f-1 とすると f-1 も順序同型。x を f(x)≠x を成立させる x∈X と仮定すると、前補題により x < f(x) が成立し、f-1 の増加性により f-1(x) < x とな り矛盾。
[定理]
X を整列順序集合とするとき X と X[a] は順序同型にならない
f: X → X[a] が順序同型と仮定すると、f(a)∈X[a] なので f(a) < a となり補題に矛盾する。
[定理]
X,Y を二つの整列集合とするとき、次のいずれかの条件が成立する。またどの 二つの条件も両立しない。さらに各々の写像はただ一つ定まる。
(1) X から Y の上への増加写像(順序同型写像)が存在する
(2) Y から X の始片の上への増加写像(順序同型写像)が存在する
(3) X から Y の始片の上への増加写像(順序同型写像)が存在する
X×Y の部分集合 F を F={(x,y)|X[x] から Y[y] への順序同型写像が存 在する} と定義しすると F は関数関係となります。この関数関係を写像と考 えたものを f: dom(F) → ran(F) とすると f は増加写像でさらに dom(f),ran(f) それぞれ X,Y の始片となり f は dom(f) から ran(f) への順 序同型であることは容易に分かります。
ここで dom(f)≠X かつ ran(f)≠Y を仮定すると dom(f)=X[a],ran(f)=Y[b] なる a∈X,b∈Y が存在しますが、f の定義から (a,b)∈F となり a∈dom(f) となり矛盾。一意性に関しては f,g が (1)(2)(3) 何れか一つ の条件を満たす写像とするとき g-1・f が恒等写像になることに 注意すれば証明完了。
というわけで次回は上記で証明した整列集合の性質を順序数に応用し、順序数 の基本性質を導きます。
つづく
130:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:35:09.88 9Sqq12HI.net
つづき
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2004年3月27日(土) 順序数間の順序
(抜粋)
順序数はその「内部」で ∈ に関する整列順序構造を持つわけですが、もっ とも著しい性質としては、その「外部」でも同様な整列順序構造を保つことで あり、これにより「順序数全体」という壮大なる階層構造(集合にはなりませんが)を構築することができるのです。
具体的に言うと α,β を順 序数とするとき α∈β という関係がやはり順序の公理と同等 な性質を満たすことが証明出来るのです。これを証明するためにまずいくつか の基本性質を証明します。
つづく
131:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:36:05.77 9Sqq12HI.net
>>114
つづき
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2004年3月28日(日) 超限帰納法・置換公理
[定理]
P(x) を論理式とします。 任意の順序数 α,β に対して α<β のとき P(α) が成立するとき P(β) が成立すると仮定します。このとき任 意の順序数 α に対して P(α)
言い換えると次の二つの命題は同値。
(1) (∀β)([(∀α)(α<β → P(α))] → P(β))
(2) (∀α)[P(α)]
ここで全称記号は順序数全体を動くとします。
証明自体は簡単で (1) をが成立して (2) が成立しないと仮定し NOT[P(α)] が成立する順序数 α を考えます。α は整列集 合なので γ∈α を P(γ) を成立させない最小元とする と γ の最小性により δ<γ に対して P(δ) が成 立し (1) の仮定により P(γ) が成立して矛盾。
実際には超限帰納法は次の定式化が多用されます。
(i) P(0) が成立
(ii) P(α) が成立するとき P(α+1) も成立する
(iii) α が 0 でない極限数で β<α に対して P(β) が成立するとき P(α) が成立する
このときすべての α に対して P(α) が成立する
残念ながらこの定理も今の段階では余り役に立ちません。つまり ここで述べたように 現在手持ちの順序数が非常に「少ない」からです。例えば ω + ω さえもまだ定義することができません。膨大な順序数を「構成」するには次に 述べる置換公理が必要なのです。
つづく
132:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:36:37.48 9Sqq12HI.net
>>115
つづき
[公理 8. 置換公理]
P(x,y) を二項論理式とし�
133:ﾄ関数的な性質をもつとします。即ち、 P(x,y),P(x,y') が成立するとき常に y=y' が成立する。 この場合任意の集合 X に対して ある x∈X が存在して P(x,y) が成立する y 全体を含む集合が存在する 言い換えると「関数的な論理式」の集合による「像(range)」全体を含 む集合が存在するという公理であり、この集合を Y とするとき f:X → Y は写像となります。ここで f は P(x,y) を X x Y の部分集合に外延化した写 像です。 ここで非公式ですが、例えば P(x,y) を x∈ω のとき y は ω+x x がその他の場合 φ と定義し、置換公理により ω に対して存在が許される集合を Y とする と f:ω → Y は f(n)=ω+n なる写像となり ran(f) = f[ω] = {ω+n| n∈ω} も集合となることが分かります。 従って ω∪ran(f) = ω + ω を構成することが可能とな るのです。 次回以降は超限帰納法と置換公理を利用して「整列集合の順序数による表現」 「超限帰納法による関数関係の定義」「順序数の演算の定義」を行う予定です。 つづく
134:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:37:24.31 9Sqq12HI.net
>>116
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2004年4月16日(金) 順序数の基本演算
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2004年5月8日(土) 選択公理と整列可能定理
(抜粋)
選択公理により例 えば次の数学の定理が証明出来ます。
任意の線型空間は基底を持つ
任意の可換環は極大イデアルを持つ
任意のフィルターに対してそれを含む超フィルターが存在する
コンパクト空間の直積はコンパクト
選択公理は具体的に対象を指定せずに存在を主張する公理であり、初期にはそ の妥当性に関して色々な議論があったのですが、数学における超越的な「存在 証明」に対する有効性により、現代数学のかなりの部分がこの公理に依存して います。
さらにゲーデルにより証明された選択公理の他の公理からの無矛盾性 により、少なくとも「矛盾」という観点からのこの公理に対する疑いは無くなっ たのです。選択公理により「任意の集合は整列可能」であることが証明出来ま す。
[定理]
任意の集合は整列可能である
X をが空の場合は自明なので、空でないと仮定し f を P(X) - {φ} の選択関数とします。NOT(a∈X) なる a を固定し、
g(x) = f(X - ran(x)) x が関数で X-ran(x) が空でない場合
g(x) = a その他の場合
と定義して g に対して「超限帰納法による関数の定義」を適用すると、
u(α) = g(u|α)
なるものが存在し、置換公理により g(θ)=a なる最小の順序数 θ をとると u|θ は θ から X への一対一上への関数とります。こ の結果により任意の集合はある Kα と基数が等し くなり、ここで正式に X の基数が外延として定義可能となります。
つづく
135:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:38:04.74 9Sqq12HI.net
>>117
つづき
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2004年10月10日(日) 正則の公理
(抜粋)
重様な概念である「整順(well founded)な関係」を定義します。
[整順な関係の定義]
集合 上の二項関係 R(x,y)が整順(well founded)であるとは次の条件を満たすことである。
（略）
言い替えるとXの空でない部分集合に対して R(x,y)のYに「極小元」が存在するという感じでして、
実際定義で現れる（略） に対するの極小元と呼ぶのです。
さてここで「正則の公理」を導入して、すべての集合がＶの要素であることを証明する準備が出来ました。
[正則の公理(axiom of regualarity)]
（略）
[定理]
（略）
言い替えると
（略）
もっとはっきりと言い替えると
クラスＶは集合全体のユニヴァースである！！
正則の公理を「基礎の公理(axiom of foundation)」と呼ぶこともあります。
正則の公理の導入により、集合全体がこのように「空集合から巾集合を順序数 にそって積み上げ、それを合併の公理により張り合わせる」という集合を拡張 する三つの大きな操作、
即ち「巾集合の公理」「合併の公理」「置換公理」に より美しい形で表現可能であることは驚きであるとともに、
現代の集合論の公 理の整合性を強く示唆するものであると思うのであります。
さて証明ですが、まず次の事実に注意します。
正則の公理→任意の集合上で∈は整順な関係。
この事実は「正則の公理」が「任意の集合は∈に関する極小元を持つ」という事実を表現していることに注意すれば明らかです。
さらに次の事実に注意します。
xを推移的な集合とするとき x∈Ｖ
これを証明するためには x⊂Ｖであることを示せば十分です（x の各要素のrankを考える)。
実際そうでないとすると、（略）となるので（略）に関する極小元を（略）とすします。
するとzの極小性により（略） の推移性により （略） の定義に矛盾します。最後に次の事実
x∈Ｖ ←→ tc(x)∈Ｖ
を示せば定理の証明は完了ですが、これは推移的閉包の定義によりほとんど明 らかです。
つづく
136:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:40:03.27 9Sqq12HI.net
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集合論雑記
[目次]
2004年1月2日 集合論シリーズ・順序数開始予定
2004年1月3日 自然数の構成と ω
2004年1月3日 集合雑記準備
2004年1月3日 空集合
2004年1月3日 内包と外延
2004年1月6日 対の公理・合併の公理
2004年1月12日 巾集合の公理
2004年1月17日 二項関係
2004年1月17日 関数関係と写像
2004年1月22日 無限公理と自然数
2004年2月1日 自然数と数学的帰納法
2004年2月7日 順序
2004年2月14日 帰納法による関数の定義
2004年3月20日 順序数の定義
2004年3月21日 整列順序
2004年3月27日 順序数間の順序
2004年3月28日 超限帰納法・置換公理
2004年4月11日 整列順序と順序数・超限帰納法による関数の定義
2004年4月16日 順序数の基本演算
2004年4月19日 基数の定義
2004年5月2日 ?(アレフ)の定義
2004年5月8日 選択公理と整列可能定理
2004年5月16日 ?α の基本演算
2004年5月29日 共終数(cofinal)と正則基数
2004年6月8日 簡単な基数計算
2004年7月3日 一階述語論理を含む言語
2004年7月4日 一階述語論理を含む言語?続き
2004年7月9日 構造とモデル?7月11日内容追加
2004年7月18日 半順序とフィルター
2004年7月19日 超フィルターと κ-完備フィルター
2004年7月24日 一休み・ブルバキの集合論
2004年7月29日 閉非有界集合(closed unbounded set)
2004年8月1日 定常集合(stationary set)
2004年8月4日 デルタレンマ
2004年8月12日 定常集合の分割
2004年8月19日 木(tree)に関する諸定義(8月31日若干内容追加)
2004年8月31日 Suslin 直線(Suslin line)
2004年9月1日 Martin の公理
2004年9月2日 Martin の公理の帰結(その１)
2004年9月11日 Martin の公理の帰結(その２)
2004年10月7日 クラスと V
2004年10月10日 正則の公理
2005年1月9日 測度と可測基数
つづく
137:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:40:22.86 9Sqq12HI.net
つづき
2005年1月10日 番外編・Riemann Zeta 関数の謎
2005年1月23日 最小の可測基数
2005年2月20日 可測基数が到達不可能であること
2005年3月20日 Ulam の定理
2005年4月24日 Ulam の定理(続き)
2005年5月20日 番外編・連休中に勉強したこと---forcing
2005年6月1日 番外編・やっぱforcingではまる(2005年6月6日修正)
2005年6月12日 forcing について・Genericと名称(1回目)
2005年6月25日 forcing について・Genericと名称(2回目)
2005年6月26日 forcing について・Genericと名称(3回目) (2006年4月15日誤りを修正)
2005年7月3日 forcing について・Genericと名称(4回目) (2006年4月15日誤りを修正)
2005年7月16日 forcing における等号の基本性質
2005年8月5日 強制法(forcing)とZFC・一回目
2005年8月6日 強制法(forcing)とZFC・二回目(2006年4月15日一部改善)
2005年8月7日 強制法(forcing)とZFC・三回目
2005年8月13日 強制法(forcing)のご利益
2005年8月20日 Generic 拡大(Generic extension)・一回目
2005年8月21日 Generic 拡大(Generic extension)・二回目
2005年8月25日 連続体仮説の ZFC からの独立性・一回目
2005年8月26日 連続体仮説の ZFC からの独立性・二回目
2005年8月28日 ひとやすみ・これからの集合論雑記
2005年9月15日 もうひとやすみ・可算濃度の不思議
2006年4月1日 連続体の濃度・ゲーデル
つづく
138:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:41:07.24 9Sqq12HI.net
>>120
つづき
2006年4月1日 続・集合論勉強再開
2006年5月3日 強制法入門PDFファイル
2006年5月14日 L と Diamond
2006年6月8日 強制法入門再アップ
2006年6月15日 LとGCHに関するひとりごと
2006年6月19日 「強制法入門」修正
2006年6月24日 推移的崩壊とAFA
2006年7月1日 超巾と正則性
2006年7月8日 Scottの定理・可測基数とL(2006年7月24日追記)
2006年7月9日 弱コンパクト基数がいっぱい
2006年7月19日 さらなる無限降下列(このねたはだめ)
2006年8月5日 今だ弱コンパクト基数おこもり中
2006年8月13日 分割の性質に関するメモ
2006年8月24日 可測基数と弱コンパクト基数(再挑戦)
2006年9月10日 超積、超べきとLo?の定理
2006年10月2日 弱コンパクト基数の基本性質(一回目)
2006年10月2日 ゲーデルの完全性定理
2006年10月14日 弱コンパクト基数(二回目)無限論理との関連
2006年10月27日 ゲーデルの完全性定理(続き)
2006年11月12日 正規フィルターとフォドァの補題
2006年11月14日 正規超フィルターと超べき
2006年11月17日 記述不可能性(一回目)
2006年11月18日 記述不可能性(二回目)
2006年11月22日 記述不可能性(三回目)
つづく
139:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:42:05.38 9Sqq12HI.net
>>121
つづき
2006年12月11日 強制法入門ちょっと変更
2006年12月12日 コーヘンオリジナル強制法(一回目)
2006年12月13日 コーヘンオリジナル強制法(二回目)
2006年12月15日 Lとダイアモンド
2006年12月22日 Lαの絶対性
2007年1月20日 ダイアモンドを作る
2007年1月22日 強制でSuslin木を削除
2007年2月17日 充足可能性について考えたこと (間違い)
2007年4月14日 ゲーデルの L (一回目)
2007年5月3日 整列不可能な実数列
2007年5月3日 結局コーエン実数
2007年9月3日 0# (zero-sharp) 一回目
2007年9月17日 0# (zero-sharp) 二回目
2007年9月19日 0# (zero-sharp) 三回目
2007年9月23日 0# (zero-sharp) 四回目
2007年9月24日 0# (zero-sharp) 五回目
2007年10月8日 0# (zero-sharp) 六回目 Kunenの定理 (準備編)
2007年10月9日 0# (zero-sharp) 七回目 Kunenの定理 (証明編)
2008年4月13日 基数計算 (1回目 基本の基本の準備 (1))
2008年4月29日 基数計算 (2回目 基本の基本の準備 (2))
2008年5月18日 基数計算 (3回目) 特異基数仮説のお話
2008年8月11日 Δシステムレンマ自己流証明 (暫定版)
2008年12月14日 可測石 (番外編)
2008年12月31日 玄妙基数 (ineffable cardinal)
2009年3月15日 フォドアの補題の初等的部分構造を使った証明
2010年10月11日 エルデシュ=ラドーの定理
つづく
140:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:42:47.42 9Sqq12HI.net
>>122
つづき
[公理目次]
[公理 1. 空集合の存在公理]
[公理 2. 外延性の公理]
[公理 3. 内包の公理]
[公理 4. 対の公理]
[公理 5. 合併の公理]
[公理 6. 巾集合の公理]
[公理 7. 無限公理]
[公理 8. 置換公理]
[公理 9. 選択公理]
[公理 10. 正則の公理]
[参考文献]
Thomas J. Jech,Karel Hrbacek著 Introduction to Set Theory
Kenneth Kunen 著 Set Theory
Thomas J. Jech 著 Set Theory
前原昭二 著 数学基礎論入門
A.カナモリ著 渕野昌訳 巨大基数の集合論
(引用終り)
141:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:43:42.09 9Sqq12HI.net
えんえん、コピペしたが
あとは、基本的にサイコパスは無視な
こいつの頭はカラッポだということが分ったから
142:１３２人目の素数さん
19/03/09 10:56:40.26 0l/16VXN.net
>>108
>ご指摘の通りで タイポがあるね。
>まあ、そのまま引用しただけだがね（＾＾
ギャハハハハハハ！！！
スレ主 毎度恒例の
「中身を全く読みもせずコピペ」
貴様、言葉を理解できない白痴かよ
ギャハハハハハハ！！！
143:１３２人目の素数さん
19/03/09 11:09:11.44 0l/16VXN.net
>>109-116
おまえ、コピペした文章、一度でも読んでみた？
自然数の定義でも、順序数の定義でも、
正則性の公理なんて一度も使ってないだろ？
その証拠に正則性の公理が出てくるのは>>118じゃん
ようするにかがみんは貴様の主張が間違ってることを
露骨に示してるじゃんwｗｗｗｗｗｗ
自然数や順序数が整列順序を持つ、と主張するのに
正則性の公理なんか使う必要ないんだよ
おまえさ、自分で自分の主張の誤りを示す
絶好のテクスト貼って、
144:壮大な自爆劇演じたいの？ 白痴？なぁ、おまえ、白痴？
145:１３２人目の素数さん
19/03/09 11:12:23.02 0l/16VXN.net
>>118
>正則の公理→任意の集合上で∈は整順な関係。
帰納法を導くのに「任意の集合上で」∈は整順な関係である必要はない
あくまで自然数や順序数（これ全部、集合）で∈が整順な関係であればいい
そんなことも分からんのか？白痴
146:１３２人目の素数さん
19/03/09 11:15:55.52 0l/16VXN.net
結論：スレ主は中身を読まずにコピペするサル
荒らしは失せろ！
147:１３２人目の素数さん
19/03/09 11:20:26.57 RtAkoZaQ.net
>>106
>ほんとサイコパスだね～（＾＾
サイコパスはお前ｗ
>おまえ、「正則性公理使わない」（不要）とか叫んでいたろ？
人違いだろｗ
>（例えば>>101 から「上記を構成するのにｓ「正則性公理」は必要ない」とかさｗ（＾＾； ）
>しらーと、誤魔化すんだねｗ
誤魔化してるのはお前ｗ
下記のどこに順序の定義が要るのか誤魔化さずに答えなさいｗ
>正則性公理（基礎の公理） 空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ：
>∀A(A≠{}→∃x∈A∀t∈A(t∈/x))
148:１３２人目の素数さん
19/03/09 11:23:53.81 RtAkoZaQ.net
正則性公理のどこに順序の定義が要るのかスレ主は誤魔化さずに答えなさい
答えないなら数学板から出て行きなさい
149:１３２人目の素数さん
19/03/09 12:08:20.87 0l/16VXN.net
>>130
スレ主はホント、ろくに考えもせずに
口から出任せをポンポンいうからね
考えなしの白痴の証拠
150:１３２人目の素数さん
19/03/09 15:54:30.85 AxFa9pQJ.net
超限帰納法よりZornが好まれる現実
151:１３２人目の素数さん
19/03/09 16:26:30.39 0l/16VXN.net
スレ主は聞き齧った言葉をわけもわからずつぶやくだけの白痴
バカは数学板に来るな
152:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 22:06:22.85 9Sqq12HI.net
>>118
渕野昌先生（＾＾
「基礎の公理を放棄することは， 超限帰納法を駆使する集合論的数学の大きな部分について， そのような数学での結果を，ユニヴァースの well-founded part に制限したときに成り立つ結果と読みかえる，ということを余儀無くされることを意味します．
私には，基礎の公理を放棄することで， この「超限帰納法を駆使する集合論的数学の大きな部分を放棄する」という 大きな犠牲の代償となるような数学的な何かが得られるようには思えないのです．」
URLﾘﾝｸ(fuchino.ddo.jp)
基礎の公理の成り立たない集合論 (non well-founded set theory) について
渕野 昌(Sakae Fuchino) Last modified: Sat Aug 13 14
（この文章はまだ書きかけです）
(抜粋)
基礎の公理 (Axiom of Foundation) は，
(1)
すべての集合 x に対し，x の要素で， ∈ （の transitive closure として得られる（前）順序）に関して極小なものが存在する
ことを主張するものです．この公理により，∈-列のループ（特に長さが 1 のループ x ∈ x）や， ∈ に関する無限下降列 x1 ∋ x2 ∋ x3 ∋ ・・・ が存在しないことなどが帰結されます．
基礎の公理は， 他の集合論の公理よりも遅れてスタンダードな公理系に組みいれられるようになったものです． そのせいか，数理論理学を専門としない人で，この公理には何か問題がある， と思っている方も少なくないようです．
他の集合論の公理が， 様々な集合の存在や， すでに存在している集合から新しい集合を構成するときの個々の構成原理の成立を主張しているのに対し， 基礎の公理は， 集合論の対象である一つ一つの集合に対し，(1) の性質を持たなければいけない， という制限を果している，と解釈することのできる公理になっています．
普通には基礎の公理を仮定した集合論が数学のベース理論として採用されているのは， 『数学を展開するための基礎としての集合論』， という立場からは， 基礎の公理を満たすような集合の全体の領域を出る必要がないことが， 判っている，と断言できるからです．
たとえば，自然数の全体 N や実数の全体 R, 実数から実数への関数の全体 …，などはすべて， このような基礎の公理を満たす領域の中で自然に構成できます (註 1)．
つづく
153:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 22:07:21.12 9Sqq12HI.net
>>134
つづき
基礎の公理を放棄することは， 超限帰納法を駆使する集合論的数学の大きな部分について， そのような数学での結果を，ユニヴァースの well-founded part に制限したときに成り立つ結果と読みかえる，ということを余儀無くされることを意味します．
私には，基礎の公理を放棄することで， この「超限帰納法を駆使する集合論的数学の大きな部分を放棄する」という 大きな犠牲の代償となるような数学的な何かが得られるようには思えないのです．
参考文献
[1]J. Barwise and L. Moss, Vicious Circles. CSLI Lecture Notes 60, CSLI Publications, Stanford (1996).
[2]渕野 昌，構成的集合と公理的集合論入門，in: 田中一之（編） "ゲーデルと20世紀の論理学（ロジック） 第4巻，集合論とプラトニズム"，東京大学出版会 (2007).
[3]渕野 昌，連続体仮説とゲーデルの集合論的宇宙（ユニヴァース）， 現代思想，2007年2月臨時増刊号 (2007), 94-116. この記事に多少手を入れたものは ここ からダウンロードできます．
[4]M. Rathjen, Fragments of Kripke-Platek set theory with infinity, in: Proof Theory (Leeds, 1990), Cambr
154:idge Univ. Press, (1992), 251-273. [5]S. Shelah, on the Arrow property, Advances in Applied Math 34 (2005), 217--251. 少し専門的になりますが， 基礎の公理は選択公理の不在のもとでは，ある種の弱い選択公理の substitute として使えるので，これも仮定しないときに何が言えるのかを調べることは， 基礎の公理が集合論でになっている役割を明らかにする， という観点からも興味のある問題となります． たとえば，選択公理と Axiom of Multiple Choice は基礎の公理を仮定したときには同値になることが知られていますが (この証明に関しては Andres Caicedo の書いたよくまとまった学生向けのテキストがネットからダウンロードできます)， 基礎の公理を落とすと同値でないことが consistent になることが， Fraenkel-Mostowski のモデルを用いて証明できます． これを示すモデルが atoms を導入せずに作れるのか，というのは多分未解決の問題ではないかと思います． 以上
155:１３２人目の素数さん
19/03/09 22:54:31.04 RtAkoZaQ.net
数学的帰納法の原理は正則性公理無しに証明可能
を
ZF公理系に正則性公理は不要
と曲解するバカがいるようですなｗ
156:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 23:07:38.96 9Sqq12HI.net
>>134 補足
「数理論理学II 坪井明人 University of Tsukuba」
補題 23 証明 「基礎の公理を用いると，
Aの中で ∈ に関して極小な元が存在する（x の元なのでそれは順序数）」
”この形で表現した補題 23 を超限帰納法とよぶ．
”
ここで、「 ∈ に関して極小な元が存在する」にご注目（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
坪井明人ロジックの部屋 University of Tsukuba
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
学部（数学類）関連
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
数理論理学II 坪井明人 University of Tsukuba
(抜粋)
Ｐ13
1.3 順序数
順序数を表すために，α, β, . . . を用意する．この記法のもとに，例えば
∃αφ(α) は，論理式 ∃x(Ord(x) ∧ φ(x)) の省略形と考える．
補題 23. ∃αφ(α) → ∃β(φ(β) ∧ ∀y ∈ β￢φ(y))
が成立する．
証明. φ(α) を仮定する．集合 A = {x ∈ α : φ(x)} に基礎の公理を用いると，
Aの中で ∈ に関して極小な元が存在する（x の元なのでそれは順序数）．
β ∈ αをそのような極小元とする．
β が求める元であることを示す．極小性から任意
の y ∈ β は A に属さない．
y ∈ α は推移性から成立しているので，このことは
￢φ(y) を意味する．
上の補題は，与えられた（妥当な）条件に対して，それを満たす極小の順序
数が存在することを意味している．φ(α) は α 以外の自由変数を持っていてもよい．
注意 24. 補題 23 の対偶を考えると，（ψ = ￢φ として）次の論理式が成り立つ
のが分かる：
∀β(∀y ∈ βψ(y) → ψ(β))→ ∀αψ(α).
この形で表現した補題 23 を超限帰納法とよぶ．
(引用終り)
157:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 23:25:42.65 9Sqq12HI.net
>>137
この説明分り易いね（＾＾
URLﾘﾝｸ(tech-blog.rei-frontier.jp)
Rei Frontier Tech Blog レイ・フロンティア株式会社のデータアナリストの齋藤です。
ZFC公理系について：その3 2017-11-16
(抜粋)
正則性公理
αを任意の順序数とするとき、
α∈α+∈(α+)+∈・・・
となり、このような列はいくらでも延ばすことができます。
しかし、αから"左へ"いくらでも列を延ばすことはできません。
たとえば α=2 とすれば 2∋1∋0 でスト
158:ップです。 一般に、αを任意の順序数とするとき、 αに含まれる元βで γ∈β→γ not∈a が成り立つものが存在します （β=0とすればよい）。 このことがより一般的に成り立つことを主張するのが、つぎの公理です： (Set9) 正則性公理 ∀a[a≠Φ→∃b(b∈a∧a∩b=Φ)] 普通の言葉でいうと、 「空でない集合aに対して、その元bで、bのいかなる元もaには含まれないものが存在する」 ということになります。 たとえば、xを任意の集合とし、 a={x} とおけば、 aの元は xのみなので、正則性公理から {x}∪x=Φ となり、したがって x not∈x が成り立ちます。 すなわち、正則性公理を仮定すれば、集合がそれ自身を元として含むという状況は起こらなくなります。 (引用終り) 注：おそらく {x}∪x=Φ→{x}∩x=Φ （下から3行目）で、タイポでしょう（＾＾
159:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 07:44:43.52 rk/29Zdt.net
>>138
＜超限帰納法＞
ブリタニカ：αで番号づけるために，選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならないが，超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い。
世界大百科事典：これでよい理由は，Pλが正しくないようなλがあったとして，そのようなλ全体の集合をMとすれば，Λが整列集合という仮定により，Mに最小元αがある。するとμ＜αならばPμが正しいのだから，Pαも正しいはずで，α∈Mに反する。
＜数学的帰納法＞
ブリタニカ：自然数全体の集合を定義したペアノの公理系の第5公理を基礎に導かれる論法である。そこでペアノの第5公理を数学的帰納法の公理と呼ぶ。
URLﾘﾝｸ(kotobank.jp)
コトバンク
(抜粋)
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説
超限帰納法
transfinite induction
順序数αで番号づけられた命題 P(α)について，ξ＜αについて P (ξ) が成立すれば，P (ξ) を証明することによって P (α) を証明する方法。
自然数についての数学的帰納法を一般化したものである。
αで番号づけるために，選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならないが，超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い。
世界大百科事典 第２版の解説
【超限帰納法 transfinite induction】
一般化された数学的帰納法の一種で，次のような証明法である。
”整列集合Λの各元λに命題Pλが対応しているとき，次のことが証明できれば，すべてのPλは正しい。
〈各λ∈Λに対して，μ＜λならばPμが正しいという仮定のもとで，Pλは正しい〉。”
これでよい理由は，Pλが正しくないようなλがあったとして，そのようなλ全体の集合をMとすれば，Λが整列集合という仮定により，Mに最小元αがある。
するとμ＜αならばPμが正しいのだから，Pαも正しいはずで，α∈Mに反する。
つづく
160:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 07:45:16.39 rk/29Zdt.net
>>139
つづき
URLﾘﾝｸ(kotobank.jp)
コトバンク
(抜粋)
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説
数学的帰納法
mathematical induction
自然数 n についてのある命題 A(n) において，A(1) は真である，ある任意の自然数 s について A(s) が真であると仮定すれば A(s＋1) もまた真である，という2つのことが証明されれば，A(n) はすべての自然数 n について真であるという推論が成り立つ。
この推論を数学的帰納法あるいは完全帰納法といい，自然数全体の集合を定義したペアノの公理系の第5公理を基礎に導かれる論法である。
そこでペアノの第5公理を数学的帰納法の公理と呼ぶ。
デジタル大辞泉の解説
【数学的帰納法】
数学で、自然数nの命題が、n＝1のときに成り立ち、次にn＝kのときに成り立つと仮定して、n＝k＋1のときにも成り立つことを証明すれば、この命題は任意の自然数nについて成り立つという証明法。完全帰納法。
(引用終り)
以上
161:１３２人目の素数さん
19/03/10 07:50:59.56 GIdC0pS8.net
>>135
>基礎の公理を放棄することは，
>超限帰納法を駆使する集合論的数学の大きな部分について，
>そのような数学での結果を，ユニヴァースの well-founded part に
>制限したときに成り立つ結果と読みかえる，
>ということを余儀無くされることを意味します
ほら、フチノも書いてるじゃん
ユニヴァースの well-founded part については超限帰納法�
162:ｪ成立するって 基礎の公理がないからっていって、 ユニヴァースの well-founded part が全然無くなる わけじゃないんだよ スレ主はそんなことも分からん白痴
163:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 09:33:09.42 rk/29Zdt.net
>>139-140 補足
下記「超限帰納法」の証明、しっかり書いてあるのだが、長いので部分のみコピー
リンク先を見て下さい
URLﾘﾝｸ(cai3.cs.shinshu-u.ac.jp)
集合の基礎的性質その３ 師玉康成 信州大
URLﾘﾝｸ(cai3.cs.shinshu-u.ac.jp)
この文書について...
集合の基礎的性質その３
この文書はLaTeX2HTML 翻訳プログラム Version 2002-2-1 (1.70)
Copyright c 1993, 1994, 1995, 1996, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds,
Copyright c 1997, 1998, 1999, Ross Moore, Mathematics Department, Macquarie University, Sydney.
を日本語化したもの( 2002-2-1 (1.70) JA patch-2.0 版)
Copyright c 1998, 1999, Kenshi Muto, Debian Project.
Copyright c 2001, 2002, Shige TAKENO, Niigata Inst.Tech.
を用いて生成されました。
翻訳は Katsumi WASAKI によって 平成17年10月12日 に実行されました。
Yasunari SHIDAMA
URLﾘﾝｸ(cai3.cs.shinshu-u.ac.jp)
超限帰納法
(抜粋)
Xが整列集合とし,P(x)は関係式とします。
が成立ちます。これを自然数での数学的帰納法になぞらえて超限帰納法と呼びます。
[証明] 前半の関係式
が空集合でないことになります。 するとXは整列集合でしたから Ｙ=⊂ Xには最小元 x∈Yが存在します。
が整列順序集合であることも明らか。（Xを最大元としてS(X)に加える。）
(引用終り)
164:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 09:38:38.31 rk/29Zdt.net
>>139 補足
>ブリタニカ：αで番号づけるために，選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならないが，超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い。
このブリタニカ説明が、ちょっと意味不明
選択公理を前提にしていると、いろんな推論で、心配がないことは言えると思うが、
「選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならない」とか
「超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い」とか
これだけだと、意味わからん（＾＾
URLﾘﾝｸ(cai3.cs.shinshu-u.ac.jp)
整列可能定理
(抜粋)
以下の定理が知られています。
[ツェルメロの整列可能性定理] 任意の集合E上に整列順序が存在する。
以下に証明を述べますが,
Xが有限集合か,自然数の集合Nとの間に双射が存在するなら整列順序を入れることは 難しくありません。
Nとの間に双射が存在しなくても,順序を定義する方法の,アイデアの一つは,次のようなものです。
まず,x ∈ Eを一つ取り出し,これを定義したい順序で,最初の要素とします。 次に E ＼{x}から要素y ∈ Xを取り出し,これをXの次の要素とします。さらに E ＼ {x,y}から要素z ∈ Xを取り出し,これをyの次の要素とします。無論はEは無限集合で,しかも,Nとの間に双射が定義されず,１番目,２番目,…,と要素の選択を「数学的帰納法」で定義できないかもしれません。
そこで,任意のE部分集合Y ⊆ Xに対して,
τ(Y) ∈ E ＼ Y
となるような写像τを作ります。このような写像は,Eのべき集合
B(E)={Y｜ Y ⊆ E}
を使って造られる集合の族,
この集合が空集合でないことは,
ですので選択公理によって保証されます。
τ(Y), Y ⊆ E, Y ≠ E
の直感的な意味は,Yの全ての要素により(順序Rについて)真に大きい要素で,しかもそのような要素の中では,一番小さい要素です。
です。 [ツェルメロの定理の証明終]
[補題]
[補題の証明]
に矛盾する。 [補題の証明終]
165:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 09:50:1
166:8.99 ID:rk/29Zdt.net
167:１３２人目の素数さん
19/03/10 10:06:10.70 GIdC0pS8.net
>143
>>基礎の公理がないからっていって、
>>ユニヴァースの well-founded part が全然無くなる
>>わけじゃないんだよ
>そうだね
では、数学的帰納法や超限帰納法の全てに「基礎の公理」が不可欠
という貴様の発言は全くの誤りだな
>しかし、
言い訳は無意味 舌噛み切って死ね
P.S.
>基礎の公理を仮定したら集合論が、すっきりするよと
貴様、最後に「と」をつける馬鹿な癖が最後まで抜けなかったな
日本人じゃないだろ ん？貴様、北朝鮮人か？
168:１３２人目の素数さん
19/03/10 10:06:46.64 GIdC0pS8.net
>>143
>>基礎の公理がないからっていって、
>>ユニヴァースの well-founded part が全然無くなる
>>わけじゃないんだよ
>そうだね
では、数学的帰納法や超限帰納法の全てに「基礎の公理」が不可欠
という貴様の発言は全くの誤りだな
>しかし、
言い訳は無意味 舌噛み切って死ね
P.S.
>基礎の公理を仮定したら集合論が、すっきりするよと
貴様、最後に「と」をつける馬鹿な癖が最後まで抜けなかったな
日本人じゃないだろ ん？貴様、北朝鮮人か？
169:１３２人目の素数さん
19/03/10 10:39:02.35 P9iEWxsH.net
大事なことなので二度と…w
170:１３２人目の素数さん
19/03/10 10:40:08.38 P9iEWxsH.net
わっ、本当に最後に「と」が入ってもうたわwwwwww
171:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 11:06:23.72 rk/29Zdt.net
>>143
＜Well-founded relation（後述引用ご参照）＞
１）
”on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S. In other words, a relation is well founded if
(∀ S ⊆ X)[S ≠ Φ → (∃ m ∈ S)(∀ s ∈ S) ￢ (sRm)].”
（>>138）「(Set9) 正則性公理 ∀a[a≠Φ→∃b(b∈a∧a∩b=Φ)]」などと対比するのが、分り易いかも
つまり、正則性公理は、set theoryだが、on a class Xとして、”Well-founded relation”を一度理解して、
それとの比較で、正則性公理を考える（∈を使った順序の中の話しとして、考えるべしと）
２）
”In set theory, a set x is called a well-founded set if the set membership relation is well-founded on the transitive closure of x.
The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, asserts that all sets are well-founded.”
正則性公理の説明
３）
”When the well-founded relation is set membership on the universal class, the technique is known as ∈-induction.”
”∈-induction”というのは、集合論で最初に使う”∈を使った順序”での、induction（帰納法）だよと
つづく
172:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 11:08:35.27 rk/29Zdt.net
>>149
つづき
４）
”As an example, consider the well-founded relation (N, S), where N is the set of all natural numbers, and S is the graph of the successor function x → x + 1.
Then induction on S is the usual mathematical induction, and recursion on S gives primitive recursion.
If we consider the order relation (N, <), we obtain complete induction, and course-of-values recursion.
The statement that (N, <) is well-founded is also known as the well-ordering principle
173:.” これ、普通の自然数に対する数学的帰納法な ５） ”The Mostowski collapse lemma implies that set membership is a universal among the extensional well-founded relations: for any set-like well-founded relation R on a class X which is extensional, there exists a class C such that (X,R) is isomorphic to (C,∈).” 和訳 「モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma) によれば、集合要素関係 (set membership) は普遍的な整礎関係である。 つまり、クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる。」 とある。なので、(X, R) → (C, ∈) なので、”∈を使った順序”というのは、結構普遍的（universal） ６） Reflexivity "For example, in the natural numbers with their usual order >=, we have 1 >= 1 >= 1 >= ・・・. " ここで、「>=, we have 1 >= 1 >= 1 >= ・・・」の例を挙げているけど、”∈を使った順序”で、∋は >=では無く、>だよと定義するのが、正則性公理の意味の別の側面だろう つづく
174:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 11:09:21.34 rk/29Zdt.net
or any s ∈ S. In other words, a relation is well founded if
(∀ S ⊆ X)[S ≠ Φ → (∃ m ∈ S)(∀ s ∈ S) ￢ (sRm)].
Some authors include an extra condition that R is set-like, i.e., that the elements less than any given element form a set.
Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.[1][2]
In order theory, a partial order is called well-founded if the corresponding strict order is a well-founded relation. If the order is a total order then it is called a well-order.
In set theory, a set x is called a well-founded set if the set membership relation is well-founded on the transitive closure of x.
The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, asserts that all sets are well-founded.
A relation R is converse well-founded, upwards well-founded or Noetherian on X, if
つづく
175:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 11:10:57.56 rk/29Zdt.net
>>151 これ失敗でボツな（＾＾；
貼り直し
>>150
つづき
（参考引用）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
(抜粋)
Well-founded relation
"Noetherian induction" redirects here. For the use in topology, see Noetherian topological space.
In mathematics, a binary relation, R, is called well-founded (or wellfounded) on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S. In other words, a relation is well founded if
(∀ S ⊆ X)[S ≠ Φ → (∃ m ∈ S)(∀ s ∈ S) ￢ (sRm)].
Some authors include an extra condition that R is set-like, i.e., that the elements less than any given element form a set.
Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.[1][2]
In order theory, a partial order is called well-founded if the corresponding strict order is a well-founded relation. If the order is a total order then it is called a well-order.
In set theory, a set x is called a well-founded set if the set membership relation is well-founded on the transitive closure of x.
The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, asserts that all sets are well-founded.
A relation R is converse well-founded, upwards well-founded or Noetherian on X, if
つづく
176:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 11:12:05.10 rk/29Zdt.net
>>152
つづき
Contents
1 Induction and recursion
2 Examples
3 Other properties
4 Reflexivity
Induction and recursion
On par with induction, well-founded relations also support construction of objects by transfinite recursion. Let (X, R) be a set-like well-founded relation and F a function that assigns an object F(x, g) to each pair of an element x ∈ X and a function g on the initial segment {y: y R x} of X. Then there is a unique function G such that for every x ∈ X,
As an example, consider the well-founded relation (N, S), where N is the set of all natural numbers, and S is the graph of the successor function x → x + 1. Then induction on S is the usual mathematical induction, and recursion on S gives primitive recursion.
If we consider the order relation (N, <), we obtain complete induction, and course-of-values recursion. The statement that (N, <) is well-founded is also known as the well-ordering principle.
There are other interesting special cases of well-founded induction. When the well-founded relation is the usual ordering on the class of all ordinal numbers, the technique is called transfinite induction. When the well-founded set is a set of recursively-defined data structures, the technique is called structural induction.
When the well-founded relation is set membership on the universal class, the technique is known as ∈-induction. See those articles for more details.
つづく