19/03/12 12:24:01.86 L9877gai.net
>>189
つづき
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空集合
(抜粋)
性質
・全ての集合は空集合を部分集合として含む：任意の集合 A に対し、Φ ⊆ A である。
何故なら、任意の集合 A に対し、命題「 ∀ x: x ∈ Φ → x ∈ A は常に真だからである（en:Vacuous truth 参照）。
特に A=Φ とすれば、 Φ ⊆ Φ が成り立つことも分かる。
・どんなものであれ、空集合に元として含まれることはない。
∀ x,x not∈ Φ .
・空集合の部分集合は空集合自身のみである。
({∀A)[A⊆ Φ → A=Φ ].
・空集合の元の数は0である。
|Φ| = 0.
・どんな集合 A についても、A と空集合 Φ の和集合は A に等しく、A と Φ の共通部分や直積は Φ に等しい：
A ∪ Φ = A, A ∩ Φ = Φ, A × Φ = Φ = Φ × A.
・空集合を定義域とする写像は、終域を定めるごとに唯1つ定まり、且つ単射である。
特に、終域も空集合である場合は全単射となる（空写像の項を参照）。
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ペアノの公理
以上