19/03/09 23:25:42.65 9Sqq12HI.net
>>137
この説明分り易いね（＾＾
URLﾘﾝｸ(tech-blog.rei-frontier.jp)
Rei Frontier Tech Blog レイ・フロンティア株式会社のデータアナリストの齋藤です。
ZFC公理系について：その3 2017-11-16
(抜粋)
正則性公理
αを任意の順序数とするとき、
α∈α+∈(α+)+∈・・・
となり、このような列はいくらでも延ばすことができます。
しかし、αから"左へ"いくらでも列を延ばすことはできません。
たとえば α=2 とすれば 2∋1∋0 でスト
158:ップです。 一般に、αを任意の順序数とするとき、 αに含まれる元βで γ∈β→γ not∈a が成り立つものが存在します （β=0とすればよい）。 このことがより一般的に成り立つことを主張するのが、つぎの公理です： (Set9) 正則性公理 ∀a[a≠Φ→∃b(b∈a∧a∩b=Φ)] 普通の言葉でいうと、 「空でない集合aに対して、その元bで、bのいかなる元もaには含まれないものが存在する」 ということになります。 たとえば、xを任意の集合とし、 a={x} とおけば、 aの元は xのみなので、正則性公理から {x}∪x=Φ となり、したがって x not∈x が成り立ちます。 すなわち、正則性公理を仮定すれば、集合がそれ自身を元として含むという状況は起こらなくなります。 (引用終り) 注：おそらく {x}∪x=Φ→{x}∩x=Φ （下から3行目）で、タイポでしょう（＾＾
159:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 07:44:43.52 rk/29Zdt.net
>>138
＜超限帰納法＞
ブリタニカ：αで番号づけるために，選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならないが，超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い。
世界大百科事典：これでよい理由は，Pλが正しくないようなλがあったとして，そのようなλ全体の集合をMとすれば，Λが整列集合という仮定により，Mに最小元αがある。するとμ＜αならばPμが正しいのだから，Pαも正しいはずで，α∈Mに反する。
＜数学的帰納法＞
ブリタニカ：自然数全体の集合を定義したペアノの公理系の第5公理を基礎に導かれる論法である。そこでペアノの第5公理を数学的帰納法の公理と呼ぶ。
URLﾘﾝｸ(kotobank.jp)
コトバンク
(抜粋)
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説
超限帰納法
transfinite induction
順序数αで番号づけられた命題 P(α)について，ξ＜αについて P (ξ) が成立すれば，P (ξ) を証明することによって P (α) を証明する方法。
自然数についての数学的帰納法を一般化したものである。
αで番号づけるために，選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならないが，超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い。
世界大百科事典 第２版の解説
【超限帰納法 transfinite induction】
一般化された数学的帰納法の一種で，次のような証明法である。
”整列集合Λの各元λに命題Pλが対応しているとき，次のことが証明できれば，すべてのPλは正しい。
〈各λ∈Λに対して，μ＜λならばPμが正しいという仮定のもとで，Pλは正しい〉。”
これでよい理由は，Pλが正しくないようなλがあったとして，そのようなλ全体の集合をMとすれば，Λが整列集合という仮定により，Mに最小元αがある。
するとμ＜αならばPμが正しいのだから，Pαも正しいはずで，α∈Mに反する。
つづく
160:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 07:45:16.39 rk/29Zdt.net
>>139
つづき
URLﾘﾝｸ(kotobank.jp)
コトバンク
(抜粋)
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説
数学的帰納法
mathematical induction
自然数 n についてのある命題 A(n) において，A(1) は真である，ある任意の自然数 s について A(s) が真であると仮定すれば A(s＋1) もまた真である，という2つのことが証明されれば，A(n) はすべての自然数 n について真であるという推論が成り立つ。
この推論を数学的帰納法あるいは完全帰納法といい，自然数全体の集合を定義したペアノの公理系の第5公理を基礎に導かれる論法である。
そこでペアノの第5公理を数学的帰納法の公理と呼ぶ。
デジタル大辞泉の解説
【数学的帰納法】
数学で、自然数nの命題が、n＝1のときに成り立ち、次にn＝kのときに成り立つと仮定して、n＝k＋1のときにも成り立つことを証明すれば、この命題は任意の自然数nについて成り立つという証明法。完全帰納法。
(引用終り)
以上
161:１３２人目の素数さん
19/03/10 07:50:59.56 GIdC0pS8.net
>>135
>基礎の公理を放棄することは，
>超限帰納法を駆使する集合論的数学の大きな部分について，
>そのような数学での結果を，ユニヴァースの well-founded part に
>制限したときに成り立つ結果と読みかえる，
>ということを余儀無くされることを意味します
ほら、フチノも書いてるじゃん
ユニヴァースの well-founded part については超限帰納法�
162:ｪ成立するって 基礎の公理がないからっていって、 ユニヴァースの well-founded part が全然無くなる わけじゃないんだよ スレ主はそんなことも分からん白痴
163:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 09:33:09.42 rk/29Zdt.net
>>139-140 補足
下記「超限帰納法」の証明、しっかり書いてあるのだが、長いので部分のみコピー
リンク先を見て下さい
URLﾘﾝｸ(cai3.cs.shinshu-u.ac.jp)
集合の基礎的性質その３ 師玉康成 信州大
URLﾘﾝｸ(cai3.cs.shinshu-u.ac.jp)
この文書について...
集合の基礎的性質その３
この文書はLaTeX2HTML 翻訳プログラム Version 2002-2-1 (1.70)
Copyright c 1993, 1994, 1995, 1996, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds,
Copyright c 1997, 1998, 1999, Ross Moore, Mathematics Department, Macquarie University, Sydney.
を日本語化したもの( 2002-2-1 (1.70) JA patch-2.0 版)
Copyright c 1998, 1999, Kenshi Muto, Debian Project.
Copyright c 2001, 2002, Shige TAKENO, Niigata Inst.Tech.
を用いて生成されました。
翻訳は Katsumi WASAKI によって 平成17年10月12日 に実行されました。
Yasunari SHIDAMA
URLﾘﾝｸ(cai3.cs.shinshu-u.ac.jp)
超限帰納法
(抜粋)
Xが整列集合とし,P(x)は関係式とします。
が成立ちます。これを自然数での数学的帰納法になぞらえて超限帰納法と呼びます。
[証明] 前半の関係式
が空集合でないことになります。 するとXは整列集合でしたから Ｙ=⊂ Xには最小元 x∈Yが存在します。
が整列順序集合であることも明らか。（Xを最大元としてS(X)に加える。）
(引用終り)
164:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 09:38:38.31 rk/29Zdt.net
>>139 補足
>ブリタニカ：αで番号づけるために，選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならないが，超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い。
このブリタニカ説明が、ちょっと意味不明
選択公理を前提にしていると、いろんな推論で、心配がないことは言えると思うが、
「選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならない」とか
「超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い」とか
これだけだと、意味わからん（＾＾
URLﾘﾝｸ(cai3.cs.shinshu-u.ac.jp)
整列可能定理
(抜粋)
以下の定理が知られています。
[ツェルメロの整列可能性定理] 任意の集合E上に整列順序が存在する。
以下に証明を述べますが,
Xが有限集合か,自然数の集合Nとの間に双射が存在するなら整列順序を入れることは 難しくありません。
Nとの間に双射が存在しなくても,順序を定義する方法の,アイデアの一つは,次のようなものです。
まず,x ∈ Eを一つ取り出し,これを定義したい順序で,最初の要素とします。 次に E ＼{x}から要素y ∈ Xを取り出し,これをXの次の要素とします。さらに E ＼ {x,y}から要素z ∈ Xを取り出し,これをyの次の要素とします。無論はEは無限集合で,しかも,Nとの間に双射が定義されず,１番目,２番目,…,と要素の選択を「数学的帰納法」で定義できないかもしれません。
そこで,任意のE部分集合Y ⊆ Xに対して,
τ(Y) ∈ E ＼ Y
となるような写像τを作ります。このような写像は,Eのべき集合
B(E)={Y｜ Y ⊆ E}
を使って造られる集合の族,
この集合が空集合でないことは,
ですので選択公理によって保証されます。
τ(Y), Y ⊆ E, Y ≠ E
の直感的な意味は,Yの全ての要素により(順序Rについて)真に大きい要素で,しかもそのような要素の中では,一番小さい要素です。
です。 [ツェルメロの定理の証明終]
[補題]
[補題の証明]
に矛盾する。 [補題の証明終]
165:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 09:50:1
166:8.99 ID:rk/29Zdt.net
167:１３２人目の素数さん
19/03/10 10:06:10.70 GIdC0pS8.net
>143
>>基礎の公理がないからっていって、
>>ユニヴァースの well-founded part が全然無くなる
>>わけじゃないんだよ
>そうだね
では、数学的帰納法や超限帰納法の全てに「基礎の公理」が不可欠
という貴様の発言は全くの誤りだな
>しかし、
言い訳は無意味 舌噛み切って死ね
P.S.
>基礎の公理を仮定したら集合論が、すっきりするよと
貴様、最後に「と」をつける馬鹿な癖が最後まで抜けなかったな
日本人じゃないだろ ん？貴様、北朝鮮人か？
168:１３２人目の素数さん
19/03/10 10:06:46.64 GIdC0pS8.net
>>143
>>基礎の公理がないからっていって、
>>ユニヴァースの well-founded part が全然無くなる
>>わけじゃないんだよ
>そうだね
では、数学的帰納法や超限帰納法の全てに「基礎の公理」が不可欠
という貴様の発言は全くの誤りだな
>しかし、
言い訳は無意味 舌噛み切って死ね
P.S.
>基礎の公理を仮定したら集合論が、すっきりするよと
貴様、最後に「と」をつける馬鹿な癖が最後まで抜けなかったな
日本人じゃないだろ ん？貴様、北朝鮮人か？
169:１３２人目の素数さん
19/03/10 10:39:02.35 P9iEWxsH.net
大事なことなので二度と…w
170:１３２人目の素数さん
19/03/10 10:40:08.38 P9iEWxsH.net
わっ、本当に最後に「と」が入ってもうたわwwwwww
171:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 11:06:23.72 rk/29Zdt.net
>>143
＜Well-founded relation（後述引用ご参照）＞
１）
”on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S. In other words, a relation is well founded if
(∀ S ⊆ X)[S ≠ Φ → (∃ m ∈ S)(∀ s ∈ S) ￢ (sRm)].”
（>>138）「(Set9) 正則性公理 ∀a[a≠Φ→∃b(b∈a∧a∩b=Φ)]」などと対比するのが、分り易いかも
つまり、正則性公理は、set theoryだが、on a class Xとして、”Well-founded relation”を一度理解して、
それとの比較で、正則性公理を考える（∈を使った順序の中の話しとして、考えるべしと）
２）
”In set theory, a set x is called a well-founded set if the set membership relation is well-founded on the transitive closure of x.
The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, asserts that all sets are well-founded.”
正則性公理の説明
３）
”When the well-founded relation is set membership on the universal class, the technique is known as ∈-induction.”
”∈-induction”というのは、集合論で最初に使う”∈を使った順序”での、induction（帰納法）だよと
つづく
172:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 11:08:35.27 rk/29Zdt.net
>>149
つづき
４）
”As an example, consider the well-founded relation (N, S), where N is the set of all natural numbers, and S is the graph of the successor function x → x + 1.
Then induction on S is the usual mathematical induction, and recursion on S gives primitive recursion.
If we consider the order relation (N, <), we obtain complete induction, and course-of-values recursion.
The statement that (N, <) is well-founded is also known as the well-ordering principle
173:.” これ、普通の自然数に対する数学的帰納法な ５） ”The Mostowski collapse lemma implies that set membership is a universal among the extensional well-founded relations: for any set-like well-founded relation R on a class X which is extensional, there exists a class C such that (X,R) is isomorphic to (C,∈).” 和訳 「モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma) によれば、集合要素関係 (set membership) は普遍的な整礎関係である。 つまり、クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる。」 とある。なので、(X, R) → (C, ∈) なので、”∈を使った順序”というのは、結構普遍的（universal） ６） Reflexivity "For example, in the natural numbers with their usual order >=, we have 1 >= 1 >= 1 >= ・・・. " ここで、「>=, we have 1 >= 1 >= 1 >= ・・・」の例を挙げているけど、”∈を使った順序”で、∋は >=では無く、>だよと定義するのが、正則性公理の意味の別の側面だろう つづく
174:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 11:09:21.34 rk/29Zdt.net
or any s ∈ S. In other words, a relation is well founded if
(∀ S ⊆ X)[S ≠ Φ → (∃ m ∈ S)(∀ s ∈ S) ￢ (sRm)].
Some authors include an extra condition that R is set-like, i.e., that the elements less than any given element form a set.
Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.[1][2]
In order theory, a partial order is called well-founded if the corresponding strict order is a well-founded relation. If the order is a total order then it is called a well-order.
In set theory, a set x is called a well-founded set if the set membership relation is well-founded on the transitive closure of x.
The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, asserts that all sets are well-founded.
A relation R is converse well-founded, upwards well-founded or Noetherian on X, if
つづく
175:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 11:10:57.56 rk/29Zdt.net
>>151 これ失敗でボツな（＾＾；
貼り直し
>>150
つづき
（参考引用）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
(抜粋)
Well-founded relation
"Noetherian induction" redirects here. For the use in topology, see Noetherian topological space.
In mathematics, a binary relation, R, is called well-founded (or wellfounded) on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S. In other words, a relation is well founded if
(∀ S ⊆ X)[S ≠ Φ → (∃ m ∈ S)(∀ s ∈ S) ￢ (sRm)].
Some authors include an extra condition that R is set-like, i.e., that the elements less than any given element form a set.
Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.[1][2]
In order theory, a partial order is called well-founded if the corresponding strict order is a well-founded relation. If the order is a total order then it is called a well-order.
In set theory, a set x is called a well-founded set if the set membership relation is well-founded on the transitive closure of x.
The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, asserts that all sets are well-founded.
A relation R is converse well-founded, upwards well-founded or Noetherian on X, if
つづく
176:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 11:12:05.10 rk/29Zdt.net
>>152
つづき
Contents
1 Induction and recursion
2 Examples
3 Other properties
4 Reflexivity
Induction and recursion
On par with induction, well-founded relations also support construction of objects by transfinite recursion. Let (X, R) be a set-like well-founded relation and F a function that assigns an object F(x, g) to each pair of an element x ∈ X and a function g on the initial segment {y: y R x} of X. Then there is a unique function G such that for every x ∈ X,
As an example, consider the well-founded relation (N, S), where N is the set of all natural numbers, and S is the graph of the successor function x → x + 1. Then induction on S is the usual mathematical induction, and recursion on S gives primitive recursion.
If we consider the order relation (N, <), we obtain complete induction, and course-of-values recursion. The statement that (N, <) is well-founded is also known as the well-ordering principle.
There are other interesting special cases of well-founded induction. When the well-founded relation is the usual ordering on the class of all ordinal numbers, the technique is called transfinite induction. When the well-founded set is a set of recursively-defined data structures, the technique is called structural induction.
When the well-founded relation is set membership on the universal class, the technique is known as ∈-induction. See those articles for more details.
つづく
177:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 11:13:00.87 rk/29Zdt.net
>>153
つづき
Other properties
If (X, <) is a well-founded relation and x is an element of X, then the descending chains starting at x are all finite, but this does not mean that their lengths are necessarily bounded. Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer.
Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite)
178: length; the chain ω, n ? 1, n ? 2, ..., 2, 1 has length n for any n. The Mostowski collapse lemma implies that set membership is a universal among the extensional well-founded relations: for any set-like well-founded relation R on a class X which is extensional, there exists a class C such that (X,R) is isomorphic to (C,∈). Reflexivity A relation R is said to be reflexive if a R a holds for every a in the domain of the relation. Every reflexive relation on a nonempty domain has infinite descending chains, because any constant sequence is a descending chain. For example, in the natural numbers with their usual order >=, we have 1 >= 1 >= 1 >= ・・・. To avoid these trivial descending sequences, when working with a reflexive relation R it is common to use (perhaps implicitly) the alternate relation R′ defined such that a R′ b if and only if a R b and a ≠ b. In the context of the natural numbers, this means that the relation <, which is well-founded, is used instead of the relation =<, which is not. In some texts, the definition of a well-founded relation is changed from the definition above to include this convention. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82 整礎関係 （多分、上記の和訳（多分ちょっと古い版）） (引用終り) 以上
179:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 11:20:32.16 rk/29Zdt.net
>>143
>「選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならない」とか
（>>152より）
Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.[1][2]
(引用終り)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Axiom of dependent choice
(抜粋)
In mathematics, the axiom of dependent choice, denoted by DC, is a weak form of the axiom of choice (AC) that is still sufficient to develop most of real analysis.
It was introduced by Paul Bernays in a 1942 article that explores which set-theoretic axioms are needed to develop analysis.[a]
(引用終り)
という記述があるので、選択公理と全く無関係でもないみたいだね
180:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 11:23:18.10 rk/29Zdt.net
>>147-148
どうも。スレ主です。
それ、おもしろいわ（＾＾
181:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 12:29:09.79 rk/29Zdt.net
>>149 補足
> ２）
>”When the well-founded relation is set membership on the universal class, the technique is known as ∈-induction.”
>”∈-induction”というのは、集合論で最初に使う”∈を使った順序”での、induction（帰納法）だよと
ちょっと繰り返しになるが、>>55-56にも引用したけど
”∈-induction”というのは、集合論で最初に使う”∈を使った順序”での、induction（帰納法）と見ることもできて
”equivalent to the axiom of regularity given the other ZF axioms”だと
まあ、”∈”を等号抜きの”⊂”と思えば、包含関係の順序になるし
だから、”∈-induction”は結構普遍
それを、きちんと言ったのが、（>>150）モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma) （下記）
なので、”∈を使った順序”の視点で、
”Given the other axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction.”
は、全く正しい
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
モストフスキ崩壊補題
(抜粋)
一般化
全ての整礎的かつ集合状な関係は整礎的かつ集合状かつ外延的な関係に埋め込める。これはモストフスキ崩壊補題の変形を導く：整礎的かつ集合状な関係は、あるクラス上の∈-関係と同型である。(このクラスは一意的でないし、推移的である必要もない)
応用
ZFの集合モデルは集合状かつ外延的である。 モデルが整礎的なら本補題により、ZFの推移的モデルと一意的に同型である。
ZFのあるモデルの∈-関係が整礎的であるというのは、そのモデル内で正則性公理が成立するという主張よりも強いことに注意。
ZFは無矛盾であるとの仮定の下で、ZFのモデルMで、 その論議領域にR-極小要素をもたない部分集合AをもつがAはそのモデル内で集合でないというものがある。(Aの要素が全て議論領域内にあってもAはモデルの議論領域内に無い)
もっと正確には、そうでない集合AにはMの要素xでA = R?1[x]となるものが存在する。だからMは正則性公理を満たす(内部的には整礎的である)が、Rは整礎的関係でなく、この崩壊補題も適用できない
(引用終り)
つづく
182:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 12:33:46.63 rk/29Zdt.net
>>157
つづき
（>>55-56より再録）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Epsilon-induction
(抜粋)
In mathematics, ∈ -induction is a variant of transfinite induction that can be used in set theory to prove that all sets satisfy a given property P[x].
If the truth of the property for x follows from its truth for all elements of x, for every set x, then the property is true of all sets.
This principle, sometimes called the axiom of induction (in set theory), is equivalent to the axiom of regularity given the other ZF axioms. ∈ -induction is a special case of well-founded induction.
The Axiom of Foundation (regularity) implies epsilon-induction.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Axiom of regularity
(抜粋)
However, regularity makes some properties of ordinals easier to prove; and it not only allows induction to be done on well-ordered sets but also on proper classes that are well-founded relational structures such as the lexicographical ordering on {(n,α)｜ n∈ ω ∧ α is an ordinal }.
Given the other axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction.
The axiom of induction tends to be used in place of the axiom of regularity in intuitionistic theories (ones that do not accept the law of the excluded middle), where the two axioms are not equivalent.
In addition to omitting the axiom of regularity, non-standard set theories have indeed postulated the existence of sets that are elements of themselves.
Contents
1.1 No set is an element of itself
1.2 No infinite descending sequence of sets exists
1.3 Simpler set-theoretic definition of the ordered pair
2 The axiom of dependent choice and no infinite descending sequence of sets implies regularity
3 Regularity and the rest of ZF(C) axioms
4 Regularity and Russell's paradox
(引用終り)
以上
183:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 12:51:17.94 rk/29Zdt.net
>>139
>＜数学的帰納法＞
>ブリタニカ：自然数全体の集合を定義したペアノの公理系の第5公理を基礎に導かれる論法である。そこでペアノの第5公理を数学的帰納法の公理と呼ぶ。
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ペアノの公理
(抜粋)
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理） 二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[1]。
ラムダ計算はペアノの公理を満たす自然数の、異なる構成法を与える。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
算術の超準モデル (英: non-standard model of arithmetic) とは、（一階）ペアノ算術のモデルのうち、通常の自然数ではない要素（超準数）を含むようなモデルのことである。
それに対し、通常の自然数 N は算術の標準モデルと呼ばれる。ペアノ算術の任意のモデルは線形順序で並んでおり、 N と同型な切片を持つ。超準モデルは、その切片の外に元を持つようなモデルであると言える。
可算超準モデルの構造
超積モデルは非可算となることが知られている。このことを見る一つの仕方は N の無限直積から超積モデルへの単射を構成すればよい。
他方でレーヴェンハイム-スコーレムの定理により、可算な算術の超準モデルが存在しなければならない。
構成法の一つとしてヘンキン構成を用いた方法がある。
URLﾘﾝｸ(www2.kobe-u.ac.jp)
^ 坪井明人 数学基礎論サマースクール モデル理論入門
(引用終り)
つづく
184:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 12:52:44.84 rk/29Zdt.net
>>159
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
レーヴェンハイム?スコーレムの定理（英: Lowenheim?Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
例と帰結
自然数を N、実数を R とする。この定理によれば、(N, +, ×, 0, 1) の理論（真の一階算術の理論）には非可算なモデルがあり、(R, +, ×, 0, 1) の理論（実閉体の理論）には可算なモデルがある。もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。
レーヴェンハイム?スコーレムの定理は、それらの公理化が一階ではあり得ないことを示している。例えば、線型順序の完備性は実数が完備な順序体であることを特徴付けるのに使われるが、その線型順序の完備性は一階の性質ではない。
理論が範疇的 categorical であるとは、同型の違いを除いて唯一のモデルを持つことを意味する。この用語は1904年、オズワルド・ヴェブレンが考案したもの[1]で、その後しばらくの間、数学者らは集合論を範疇的な一階の理論で記述することで、数学の堅固な基盤を築けると考えていた。レーヴェンハイム-スコーレムの定理はこの希望への最初の打撃となった。
なぜなら、その定理によれば無限のモデルを持つ一階の理論は範疇的にはなり得ないからである。さらに1931年、ゲーデルの不完全性定理によって希望は完全に打ち砕かれた。
つづく
185:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 12:57:30.92 rk/29Zdt.net
>>160
つづき
レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた
例えば、真の算術には非可算なモデルがあり、それらは一階のペアノ算術を満足するが、同時に帰納的でない部分集合を持つ
さらに、集合論の可算なモデルの存在である。集合論は実数が非可算であるという文を満たさなければならない。この直観に反するような状況はスコーレムのパラドックスと呼ばれ、可算性 は絶対的ではないことを示している
歴史
以下の記述は主に Dawson (1993) に基づいている。モデル理論の初期の歴史を理解するには、統語論的整合性（一階論理の推論規則を使って導かれるものには矛盾がないこと）と充足可能性（モデルがあること）を区別しなければならない
いくぶんか驚くべきことに、ゲーデルの完全性定理がこの区別を不要とする以前でさえも、整合性 (consistency) という用語は場合によって違う意味で使われていた
後にモデル理論となる重要な成果は、レオポルト・レーヴェンハイム が "Uber Moglichkeiten im Relativkalkul"（1915年）で発表した下記の「レーヴェンハイムの定理」であった
スコーレムの名が下方の定理（下降定理）だけでなく上方の定理（上昇定理）にも付与されているのは、ある意味で皮肉である
「私は、系 6.1.4 を慣例に従って上方レーヴェンハイム-スコーレムの定理と呼ぶ。しかし、実のところスコーレムは非可算集合の存在を信じておらず、したがってこの定理の意味するところを信じてすらいなかった」 - Hodges (1993)
「スコーレムは … その結論を意味がないとして拒絶した。タルスキは … スコーレムの形式主義的観点に立つなら、上方の定理を無意味だとするなら下方レーヴェンハイム-スコーレム定理も無意味とすべきではないか、と非常に適切に応えた」 - Hodges (1993)
「トアルフ・スコーレムは亡くなる直前まで、この定理に彼の名が冠せられていることに憤慨していたという。彼は非可算集合の存在そのものが不合理であるとし、実在しないと考えていた」 - Poizat (2000)
参考文献
レーヴェンハイム-スコーレムの定理は、モデル理論や数理論理学の教科書には必ずといってよいほど登場する。
(引用終り)
以上
186:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 13:07:29.46 rk/29Zdt.net
>>159
>^ 坪井明人 数学基礎論サマースクール モデル理論入門
パワーポイントなので、ちょっと読みにくいが、貼る（＾＾
URLﾘﾝｸ(www2.kobe-u.ac.jp)
数学基礎論サマースクール ２０１１
URLﾘﾝｸ(www2.kobe-u.ac.jp)
チュートリアル2 モデル理論入門1 坪井明人（筑波大）
URLﾘﾝｸ(www2.kobe-u.ac.jp)
チュートリアル2 モデル理論入門1 坪井明人（筑波大）
(抜粋)
自然数の超準モデル
自然数の真の拡大 N* ＞ N の存在は示した．
実数の真の拡大も同様に存在する�
187:D (引用終り)
188:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 13:28:04.41 rk/29Zdt.net
>>160 追加参考＜対訳＞
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Lowenheim-Skolem theorem
(抜粋)
Examples and consequences
Many consequences of the Lowenheim?Skolem theorem seemed counterintuitive to logicians in the early 20th century, as the distinction between first-order and non-first-order properties was not yet understood.
One such consequence is the existence of uncountable models of true arithmetic, which satisfy every first-order induction axiom but have non-inductive subsets.
Another consequence that was considered particularly troubling is the existence of a countable model of set theory, which nevertheless must satisfy the sentence saying the real numbers are uncountable.
This counterintuitive situation came to be known as Skolem's paradox; it shows that the notion of countability is not absolute.
＜対訳＞
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
レーヴェンハイム?スコーレムの定理
(抜粋)
例と帰結
レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。
例えば、真の算術 (true arithmetic) には非可算なモデルがあり、それらは一階のペアノ算術を満足するが、同時に帰納的でない部分集合を持つ。さらに悩ましかったのは、集合論の可算なモデルの存在である。
それにもかかわらず、集合論は実数が非可算であるという文を満たさなければならない。
この直観に反するような状況はスコーレムのパラドックスと呼ばれ、可算性 (countability) は絶対的 (absolute) ではないことを示している。
189:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 13:40:49.47 rk/29Zdt.net
>>162
まだ、下記の嘉田 勝先生の「超冪による自然数論の超準モデルの構成」の方が読める・・（＾＾；
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
嘉田勝
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
資料公開
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
超冪による自然数論の超準モデルの構成
嘉田 勝
2013 年 1 月 16 日 / 2014 年 6 月 11 日改訂
(抜粋)
4. N の超冪は自然数論の超準モデルである
ストラクチャー N には，0N < x, 1N < x, . . . をすべて同時にみたす要素 x は存在しない．
したがって，ストラクチャー M はストラクチャー N と同型ではない．
なぜこのようなことが起こるのか？ それは，「x は無限大の自然数である」という性質が言語 L
の論理式で記述できないからである．
1 階述語論理の論理式構成規則では，L の個々の定数記号 0, 1, . . . について 0 < x, 1 < x, . . . と
いう論理式は作れるが，「それらすべての AND」を意味する論理式は構成できない．
つまり，1 階述語論理では「無限大の自然数」というコンセプトを表現できないために，
ストラクチャーに「無限大の自然数」が存在したとしても，1 階述語論理の記述能力の範囲ではその存在を認識できない
（あるかないかを論理式の真偽で判定できない）のである．*4
*4 「x は無限大の自然数である」は論理式で ∀n ∈ N (n < x) と書けばよい，と思うかもしれない．
しかし，それは早計である．
1 階述語論理の論理式では “∈ N” の部分を記述する方法がないからである．
∀n (n < x) だと，（もし「無限大の自然数」が存在すれば）n の変域が「無限大の自然数」にも及ぶので，意図通りの主張の表現にはならない．
190:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 13:53:46.67 rk/29Zdt.net
>>164 追加
ああ、これわりと良いわ（＾＾
PDF版の方がお薦め。絶対見やすい
URLﾘﾝｸ(konn-san.com)
数学関係をまとめておくばしょ konn-san.com
URLﾘﾝｸ(konn-san.com)
超積によるコンパクト性定理の証明と超準モデル ─君の知らない自然数─ konn-san.com
posted on 2013/03/09 00:00:00 JST
(抜粋)
PDF版 URLﾘﾝｸ(konn-san.com)
5．自然数の超準モデル
ここでは，超冪を用いて自然数の超準モデルを構成する．超準モデル（non-standard model）というのは，通常期待されるような物と
191:異なるモデルでありながら，一階述語論理の範囲内では全く同じ性質を持つようなモデルのことである． 元の狭義減少列 α_0 > α_1 > ・・・ > α_n > ・・・ が得られる． これらはいずれも 0 より大きい．よって自然数の狭義減少列が得られたことになる． しかし，自然数の整列性から狭義減少列は存在しない筈だ．どういうことか？ 今我々が考えているのは，「一階述語論理」で書ける範囲の理論であった． つまり，「狭義減少列が存在しない」とか「自然数は整列する」といった概念は，一階述語論理では書けないと云うことが，この事実の伝える事なのである． 自然数の整列性は，「任意の自然数からなる部分集合に最小値が存在する」という形で述べられるが，この「部分集合」に対する量化が一階述語論理では行えないのである*3． このことは，「自然数の部分集合」全体は非可算無限個存在するが，自然数の理論自体は可算言語で記述されるため，高々可算個の部分集合しか扱えない，ということを考えるとちょっと分かり易いのではないだろうか． *3.そうはいっても，「集合と位相」などの講義でそういったことを証明したぞ，と思われるかもしれない． あれが上手くいくのは，集合論の中で自然数や数列といった対象を扱っているからである
192:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 14:04:52.60 rk/29Zdt.net
>>162
関連
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
坪井明人（筑波大）
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
数理論理学Ｉ 坪井明人（筑波大）
Mathematical Logic I
09 年 講義ノート
3 ウルトラプロダクトとコンパクト性 11
3.1 ウルトラフィルター . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 ウルトラプロダクト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 コンパクト性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 L¨owenheim-Skolem の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 超準解析の基礎 28
5.1 R の拡大 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2 連続関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3 コンパクト集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.4 微分可能性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.5 積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.6 重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
P17
例47 （自然数の超準モデルの存在）
193:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 14:14:45.71 rk/29Zdt.net
>>166 追加
これは数学ではないが、ご参考まで
URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
大きな数としての超準数
―超準数と厳格有限主義―
矢田部 俊介 科学哲学科学史研究 (2012), 6: 1-15 2012-02-28 京大紅リポジトリ
(抜粋)
1 はじめに
形式的な自然数論において，個体記号 0 と後者関数 S を使い構成される項を数値
と呼ぶ．例えば SS0 は 2 を表現する数値である．（原理的に）数値として表現できる
自然数のことを標準的自然数（標準数）と呼び，数値では表現できない自然数を超準
的自然数（超準数）と呼ぶ．多くの場合，自然数概念について論じる哲学者は，古典
論理上のペアノ算術（PA）の標準モデルを特権的なものであると考え，超準数の存
在を真剣に考慮することを拒否する傾向があるように見受けられる．例えば，構造主
義者にとって，算術とはたった一つの構造， PA の標準モデルについてのものである
（Halbach and Horsten 2005）．もちろん，PA およびその帰納的な拡大では不完全性定
理によって超準モデルの存在が排除できない．従って，標準モデルを指定するために
は ω-規則や二階古典論理の採用など，算術を越えた手法が必要となる．
ここではネルソン（Nelson 1977）を参照し，厳格有限主義 (SF) の立場は，
ダメットの批判（Dummett 1975）にもかかわらず，少な
くとも整合的であり，数学者の自然数の捉え方を解釈する上で参考�
194:ﾆなることを示す． 4 結論 小論では，人間の自然数の捉え方について PA の標準モデルに固執する立場を攻撃 し，非古典的な多くの体系も算術とみなす数理論理学者の自然数の捉え方は SF によっ て解釈できることを論じた． (引用終り)
195:１３２人目の素数さん
19/03/10 14:37:16.78 GIdC0pS8.net
スレ主発狂
自分の些細な誤りも認められない
チキンの哀れな末路
196:１３２人目の素数さん
19/03/10 15:38:11.77 JpEw/Vqj.net
時枝でフルボッコされたスレ主は逃亡先の集合論でもやはりフルボッコされましたとさ
197:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 19:35:21.42 rk/29Zdt.net
>>68
>新歓でちょっとした数学の記事を書くんだけど、「数学がZFCから作られていることを実感してもらうためにZFからペアノの公理のモデルでも構成するか」とか思ってたの、難しすぎ感あるな。
二つのコースがあって
１）一つは、前スレ61で下記に示すように、ZF中で正則性公理を使うコース
２）も一つは、ピエロちゃんの、ZF中で正則性公理を使わないコース
(引用終り)
ここ、いままでを纏めると、下記
１．フォン・ノイマンがここで案出した「要素が集合の帰属関係∈ で 整列されるような集合を順序数とする」構成を使って、
自然数を構成する。（後述 渕野昌PDF２つと、ペアノの公理 wikipedia ご参照）
２．自然数のペアノの第5公理＝数学的帰納法の公理だけれども（>>140）、
これは、自然数が整列集合であることと公理として同値だ（>>59）
３．正則性公理を使えば、これは（ZF公理系下で）帰納法の公理と同値(>>157)なので、自然数が整列集合であることは、即言える
あとは、”一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理） 二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[1]。”（>>159）をいう
４．しかし、正則性公理を使わないで、ペアノの第5公理＝数学的帰納法の公理を導くのは、”かがみのホームページ”のやり方だな
かがみさんがきちんと出来ているかどうかは、検証していないが、結構しっかり書いていたと思う
（余談だが、普通の教科書では、ここまで書けない（スペースの問題もあり）し、講義でも時間の関係で詳しくやれないと思う）
５．あと、モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma)（>>157）などに触れて
”∈を使った順序”とか、”∈-induction”は、結構普遍で、ZFCの中での位置付けを語れば、完璧かもね（＾＾
つづく
198:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 19:37:27.48 rk/29Zdt.net
>>170
つづき
６．さらに、正則性公理の意味の補足
「>=, we have 1 >= 1 >= 1 >= ・・・」の例類似で、”∈を使った順序”で、∋は >=では無く、>（等号=含まず）(>>150と>>152)」だとか、
正則性公理の意味の別の側面で、それは極小元の存在保証（無限降下列禁止）の意味があるとか、そういう蘊蓄を、付け加えておけば、新歓としては良いだろうね（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(fuchino.ddo.jp)
渕野 昌，連続体仮説とゲーデルの集合論的宇宙（ユニヴァース）， 現代思想，2007年2月臨時増刊号 (2007), 94-116
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
特別企画 これから学ぶ人のために 公理的集合論 渕 野 昌 - J-Stage 渕野昌 著 数学 ?2013
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ペアノの公理 （ここにフォン・ノイマンの構成法がある）
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
かがみのホームページ プロフィール 学生時代の専攻は数学。今の趣味も数学。
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
199:2004年1月3日 自然数の構成と ω http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200402.html#20040201-2 2004年2月1日 自然数と数学的帰納法 http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200402.html#20040207-2 2004年2月7日 順序 http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200403.html#20040320-1 2004年3月20日 順序数の定義 http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200403.html#20040322-1 2004年3月22日(月) 整列順序 http://fuchino.ddo.jp/foundation.html 基礎の公理の成り立たない集合論 (non well-founded set theory) について 渕野 昌(Sakae Fuchino) Last modified: Sat Aug 13 14 以上
200:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 22:54:23.80 rk/29Zdt.net
>>170
（追加参考）
URLﾘﾝｸ(repository.lib.tottori-u.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(repository.lib.tottori-u.ac.jp)
第二階論理によるペアノ算術 田畑 博敏 鳥取大学教育地域科学部 2002
(抜粋)
はじめに
よく知られているように，ペアノは自然数に関する公理系を作ることにより，その公理から算術の真理を定理として導こうとした。
その公理の中に数学的帰納法の原理が含まれている。
第一階の論理によるこの原理の定式化は，いわゆる公理図式によるもので，具体的な一階の(自由変項を含む)論理式を代入することにより無数の公理が得られる。
それゆえ数学的帰納法の公理は無数の論理式に対応する無数の公理を含むことになる。
しかし，論理式はせいぜい可算個しかないゆえに，論理式が表す自然数の性質もせいぜい可算無限価しかない。
他方，第二階論理によって定式化される数学的帰納法の公理は単一の公理であり，それは，「すべての自然数の性質(集合)」 に言及していると解釈され，非可算個の性質(集合)を量化の範囲に含んでいる。
さらに，第一階の論理によるペアノの公理系はコンパクト性定理により標準モデルとは同型でない非標準モデルが存在するのに対して，第二階のペアノの公理系はカテゴリカルである(すなわち，すべてのモデルが同型的である)。
このような相違は，なによりも定式化の基礎にある論理の相違に由来している。
そこで，本論文の梗概はつぎのようになる。
まず第l節では第二階ペアノ算術の公理系を提示して，そのモデルのいくつかを考え，非標準的モデルにも触れる。
第2節では，第二階論理によるペアノの公理系がカテゴリカルであることを示す。
それを受けて，第3節では，公理系の意図されたモデルを，互いに同型なペアノ・モデルの代表としてとり，ここで原始回帰(primitiv erecursion)という定義図式によって定義される自然数上の演算(加法・乗法・巾法)の存在を示す。
第4節では，数学的帰納法のモデルではあるが，他のペアノの公理のモデルとはかぎらないモデルと， (意図された)自然数のモデル上の合同関係との，つながりを論じる。
つづく
201:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 22:54:50.53 rk/29Zdt.net
>>172
つづき
第一階論理を基礎にした第一階ペアノ算術には，自然数の構造に代表される，意図されたモデルとは同型でないモデル，非標準モデルが存在するO このことは，第一階論理において成り立つコンパクト性定理からの帰結である。
他方以下の補題(補題1. 2. 1)に見るように，第一階ペアノ算術のモデルである構造免が標準的数しか持たないことと，標準的数の集合がAにおいて第一階の式によって定義可能であることとは，必要十分の関係にある。
よって，第一階ペアノ算術が非標準モデルを持つということは意図された数(標準的数)が第一階の論理式では定義できない，ということを意味する。
「算術を適確に表現する」という観点からも，第一階論理の表現力の弱さが，ここで浮彫りになる。
さて，第一階ペアノ算術の非標準モデル，すなわち，意図された標準モデルと同型でないモデルの存在は，第一階論理のコンパクト性定理から(大まかには)以下のように導かれる。
2. 第二階ペアノ公理系のカテゴリー性
この節では，第二階ペアノ公理系がカテゴリカル(categorical)であること，すなわち任意のペアノ・モデルが同型である(isomorphic) であることを示す。
(引用終り)
以上
202:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/11 07:49:41.19 NUGiaq8/.net
>>171
> 「>=, we have 1 >= 1 >= 1 >= ・・・」の例類似で、”∈を使った順序”で、∋は >=では無く、>（等号=含まず）(>>150と>>152)」だと
下記 「例えばx={x}のような集合やx∈yかつy∈xなる集合は正則性の公理の下では集合にはなり得ない」という記述が、上記の「∋は >=では無く、>（等号=含まず）
203:」に該当するね https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86 正則性公理 (抜粋) V=WF ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。 ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。 したがって、例えばx={x}のような集合やx∈yかつy∈xなる集合は正則性の公理の下では集合にはなり得ない。 (引用終り)
204:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/11 07:59:04.77 NUGiaq8/.net
>>172
（参考追加）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Peano axioms
(抜粋)
4 Models
4.1 Set-theoretic models
4.2 Interpretation in category theory
5 Nonstandard models
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Non-standard model of arithmetic
(抜粋)
In mathematical logic, a non-standard model of arithmetic is a model of (first-order) Peano arithmetic that contains non-standard numbers.
The term standard model of arithmetic refers to the standard natural numbers 0, 1, 2, ….
The elements of any model of Peano arithmetic are linearly ordered and possess an initial segment isomorphic to the standard natural numbers.
A non-standard model is one that has additional elements outside this initial segment. The construction of such models is due to Thoralf Skolem (1934).
つづく
205:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/11 07:59:44.48 NUGiaq8/.net
>>175
つづき
Contents
1 Existence
1.1 From the compactness theorem
1.2 From the incompleteness theorems
1.2.1 Arithmetic unsoundness for models with ~G true
1.3 From an ultraproduct
2 Structure of countable non-standard models
References
・Boolos, G., and Jeffrey, R. 1974. Computability and Logic, Cambridge University Press. ISBN 0-521-38923-2
・Thoralf Skolem (1934). "Uber die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzahlbar unendlich vieler Aussagen mit ausschlieslich Zahlenvariablen" (PDF). Fundamenta Mathematicae (in German). 23 (1): 150?161.
URLﾘﾝｸ(matwbn.icm.edu.pl)
Citations
1 Andrey Bovykin and Richard Kaye Order-types of models of Peano arithmetic: a short survey June 14, 2001
URLﾘﾝｸ(web.mat.bham.ac.uk)
2 Andrey Bovykin On order-types of models of arithmetic thesis submitted to the University of Birmingham for the degree of Ph.D. in the Faculty of Science 13 April 2000
URLﾘﾝｸ(logic.pdmi.ras.ru)
3 Fred Landman LINEAR ORDERS, DISCRETE, DENSE, AND CONTINUOUS ? includes proof that Q is the only countable dense linear order.
URLﾘﾝｸ(www.tau.ac.il)
(引用終り)
以上
206:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/11 09:01:00.23 NUGiaq8/.net
>>172 補足追加
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
二階述語論理
(抜粋)
一階述語論理と同様に議論領域（ドメイン）の考え方を使う。
ドメインとは、量化可能な個々の元の集合である。一階述語論理では、そのドメインの個々の元が変項の値となり、量化される。
例えば、一階の論理式 ∀x (x ≠ x + 1) では、変項 x は任意の個体を表す。二階述語論理は個体の集合を変項の値とし、量化することができる。
例えば、二階の論理式 ∀S
207: ∀x (x ∈ S ∨ x ? S) は、個体の全ての集合 S と全ての個体 x について、x が S に属するか、あるいは属さないかのどちらかであるということを主張している。 目次 1 二階論理の表現能力 2 文法 3 意味論 6 歴史と論争 二階論理の表現能力 二階述語論理は一階述語論理よりも表現能力が高い。例えば、ドメインが全ての実数の集合としたとき、一階述語論理を使ってそれぞれの実数には加法の逆元が存在するということを ∀x ∃y (x + y = 0) と表せる。 しかし、空でなく上に有界な実数の集合があるとき常にその集合には上限が存在するという命題を表すには、二階述語論理が必要となる。ドメインが全ての実数の集合としたとき、次の二階の論理式がこの命題を表している。 二階述語論理では、「ドメインは有限である」とか「ドメインは可算無限集合の濃度である」といった文も形式的に表現可能である。 ドメインが有限であるというには、そのドメインから同じドメインへの全ての単射関数が全射であることを論理式で表せばよい。 ドメインが可算無限集合の濃度であることをいうには、そのドメインの任意のふたつの無限部分集合間に全単射があることを論理式で表せばよい。 一階述語論理ではこれら（「有限集合であること」や、「可算集合であること」）を表現できないことが、レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる。 文法 意味論 二階述語論理の意味論は、個々の文の意味を確立するものである。 一階述語論理では単一の標準の意味論しかなかったが、二階述語論理では2種類の意味論 standard semantics と Henkin semantics がある。 (引用終り)
208:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/11 20:48:18.37 NUGiaq8/.net
>>177 追加の追加
「ゲーデルやスコーレムが一階述語論理に固執したこともあって、二階や高階の述語論理はほとんど省みられなかった」
「近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある」
か、なるほどねー（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
二階述語論理
(抜粋)
推論体系
二階述語論理には、いくつかの推論体系があるが、standard semantics に対して完全と言えるものは存在しない。どの体系も健全であり、証明に使える全ての文は適当な意味論において論理的に妥当である。
Shapiro (1991) と ヘンキン(1950) が検討した推論体系は、内包公理と選択公理を追加したものである。これら公理は二階述語論理の standard semantics に対して健全である。
二階論理とメタ論理学の成果
ゲーデルの不完全性定理の系の1つとして、以下の3つの属性を同時に満足するような二階述語論理の推論体系は存在しないとされた[4]。
・（健全性）証明可能な二階述語論理の文は常に真である。すなわち standard semantics に従ったあらゆるドメインで真である。
・（完全性）standard semantics において常に妥当な二階述語論理の論理式は、全て証明可能である。
・（実効性）与えられた論理式の並びが妥当な証明かどうかを正しく決定できる証明検証アルゴリズムが存在する。
この系を言い換えると、二階述語論理は完全な証明理論に従わない、とも言える。この観点で、standard semantics を伴った二階述語論理は一階述語論理とは異なり、そのせいもあって論理学者は長年、二階述語論理に関わることを避けてきた。
上述のように Henkin は Henkin semantics を使えば二階述語論理に一階述語論理の標準的な健全で完全で実効的な推論体系を適用できることを証明した。
歴史と論争
一階述語論理を使うと、集合論を公理的体系として形式化できることがわかり（完全性の問題はあるが、ラッセルのパラドックスほど悪いことではない）、公理的集合論が生まれ、集合は数学の基盤となった。
算術、メレオロジー、その他の様々な論理的理論が一階述語論理の範囲内で公理的に定式化でき、ゲーデルやスコーレムが一階述語論理に固執したこともあって、二階や高階の述語論理はほとんど省みられなかった。
つづく
209:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/11 20:49:02.33 NUGiaq8/.net
>>178
つづき
近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある。この傾向をもたらしたのは George Boolos による二階の量化の解釈であり、彼は一階の量化と同じドメインでの複数形の量化として二階の量化を解釈した。
Boolos はさらに一階述語論理では記述できない文を例に挙げ、完全な二階述語論理の量化でのみそれらを表現可能であるとした。
計算複雑性理論への応用
有限な構造についての二階述語論理の各種形式の表現能力は、計算複雑性理論と密接に関係している。
二階述語論理を前提として次のような複雑性クラスを説明できる。
・NP は、存在量化二階述語論理で表現できる言語の集合である（F
210:agin の定理、1974年）。 (引用終り)
211:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/11 23:04:52.70 NUGiaq8/.net
>>179 追加
>近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある。この傾向をもたらしたのは George Boolos による二階の量化の解釈であり
これ、下記のゲーデルの補足と、圏論との関連をご参照
圏論と高階論理は、結構関連があり、その影響もあっての”回復の途上”だろう
>計算複雑性理論への応用
ここは、C++さんがご専門だろう（＾＾
アロンゾ・チャーチ、ラムダ計算の創案者との関係もある
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
二階述語論理
(抜粋)
ゲーデルの不完全性定理の系の1つとして、以下の3つの属性を同時に満足するような二階述語論理の推論体系は存在しないとされた[4]。
脚注
4 ^ その系の証明とは、健全で完全で実効的な standard semantics の推論体系があったとしたとき、ペアノ算術の帰納的可算な完全な系が存在することになり、それはゲーデルの定理によって存在できないことが明らかとなっていることを示すものである。
(引用終り)
つづく
212:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/11 23:08:55.07 NUGiaq8/.net
>>180
つづき
（圏論（トポス）と高階論理）
URLﾘﾝｸ(staff.fnwi.uva.nl)
PhD candidate at Institute for Logic, Language and Computation, University of Amsterdam.
トポスと高階論理 Taichi Uemura 2018年12月9日
この文書は Category Theory Advent Calendar 2018 (URLﾘﾝｸ(adventar.org) *) の 9 日目の記事です。
*) Category Theory Advent Calendar 2018 作成者：piano2683
(抜粋)
0 はじめに
トポスとは、有限極限と部分対象分類子と羃対象を持つ圏である。
1 章では高階論理を導入する。
2 章でトポスを定義する。この段階ではトポスの圏論的性質には一切立ち入らない。
3 章で高階論理のトポスでの解釈を与える。
4 章でトポスの内部言語 (internal language) を高階理論として定義し、内部言語で導出できることとトポスの性質との関係をいくつか見る。
5 章でトポスの性質を内部言語を使っていくつか証明する。
基本的な圏論の知識 (極限、部分対象、随伴、デカルト閉圏など) は仮定するが、トポスについては前提知識は仮定しない。
トポスの知識がある人は圏論的な証明と高階論理を使った証明を比べてみると面白いと思います。
(引用終り)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
高階述語論理
(抜粋)
高階述語論理は表現能力が高いが、その特性、特にモデル理論に関わる部分では、多くの応用について性格が良いとは言えない。クルト・ゲーデルの業績により、古典的高階述語論理は（帰納的に公理化された）健全で完全な証明計算が認められないとされた。しかし、Henkin model によれば、健全で完全な証明計算は存在する。
高階述語論理の例として、アロンゾ・チャーチの Simple Theory of Types や Calculus of Constructions (CoC) がある。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アロンゾ・チャーチ（Alonzo Church, 1903年6月14日 - 1995年8月11日）はアメリカの論理学者、数学者。ラムダ計算の創案者、「チャーチ＝チューリングのテーゼ」の提唱者として知られる。
(引用終り)
以上
213:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/11 23:15:40.94 NUGiaq8/.net
>>181 追加
>（圏論（トポス）と高階論理）
こんなのもヒットしたね（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
圏論による論理学―高階論理とトポス 単行本 ? 2007/12/1 清水 義夫
出版社: 東京大学出版会
20世紀後半、数学、計算機科学、論理学などの分野で採用されてきている圏論。関数概念を基本として現象をとらえようというこの方法を、関数型高階論理とトポスを題材にして丁寧に解説する。論理学の観点を中心に、圏論の考え方を紹介するテキスト。
著者略歴 (「BOOK著者紹介情報」より)
清水/義夫
1939年東京に生まれる。1963年東京大学文学部哲学科卒業。1967年東京大学大学院人文科学研究科博士課程退学。現在、千葉工
214:業大学情報科学部教授(本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです) レビュー sw 5つ星のうち4.0 目的次第で、よい本です 2010年5月17日 形式: 単行本Amazonで購入 わかりやすく書かれていて読みやすいのですが、著者の目的や興味は、圏論では無く論理学にあることを念頭に読むべき本です。 高階論理と圏、高階論理とトポス・・・などのように、毎回論理学との対応が記述されており、高階論理を学びたい人にはよい一冊である一方、純粋に圏論を学びたい、あるいは別の目的で学びたい人には、もっとよい本があるかもしれません。 星の空 5つ星のうち5.0圏論およびトポスの良い入門書 2009年3月14日 形式: 単行本 圏論を独学で勉強して苦労している人は多いと思います。 マックレーンの「圏論の基礎」は良い本だと思いますが、 議論の半分くらいをはしょっているので、 正直これだけで圏論を理解するのは難しいと思います。 そんなときは本書を読むと良いと思います。 この本は、哲学科の学生に圏論を使った記号述語論理の 講義をすることを前提に書かれており、そのためか、 圏論の話をはしょることなく実に分かり易く解説しています。 使われている図も細部まで良く描かれています。 米田の補題こそ出てきませんが、圏、関手、極限、トポス、 などが実に丁寧に書かれています。 本書を読んでから「圏論の基礎」を読めば、より一層 理解が進むことでしょう。
215:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/11 23:36:52.07 NUGiaq8/.net
>>174
正則性公理に、「もやもや感」がある人のご参考（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.cs-study.com)
集合論：正則性 (Regularity) 24th Jan. 2018 (Updated) Akihiko Koga
(抜粋)
Axiom of Regularity
∀ A (A ≠ Φ => ∃ X ∈ A (X ∩ A = Φ))
(空でない集合は自分自身とまじわりの無い要素を１つは持つ)
URLﾘﾝｸ(www.cs-study.com)
本当は，
１．A ∈ A となるような集合 A (つまり，A = { ..., A, ...} ) は存在しない とか
２．A ∋ A1 ∋ A2 ∋ A3 ... という無限列は存在しない
などと言いたいのに，上のように持って回った言い方をする．
正則性公理についてはなんとなく 「もやもや感」が付きまとって嫌な気分になるので，ここでは，正則性公理と上で書いたような性質との間の含意関係などを図をつかって証明して，少しでも「もやもや感」 をなくすことにしたい．
URLﾘﾝｸ(www.cs-study.com)
[もやもや感」の解消
(このページの内容は 英語版の Wikipedia の Axiom of Regularity の項目 を参考にした．と言うか殆ど絵を入れただけのような気もする)
１．正則性 => A ∋ A1 ∋ A2 ∋ A3 ... という無限列は存在しない
URLﾘﾝｸ(www.cs-study.com)
２．正則性 => A ∈ A となるような集合 A (つまり，A = { ..., A, ...})は存在しない
A を A ∈ A となる集合とする． 次の図（と言って良いかどうか）のように B := {A} とおけば，この B が正則性に反する．
URLﾘﾝｸ(www.cs-study.com)
３．A1 ∋ A2 ∋ A3 ... という無限列は存在しない & 選択公理 => 正則性
対偶をとり，選択公理が成り立つとの仮定の下に，正則性を満たさない集合があったとき，正則性を満たさない集合があったとき，A1 ∋ A2 ∋ A3 ...という無限列が作れることを示します．
ここで無限回の要素の選択が必要ですから，選択公理を使う必要性があることに注意してください．
URLﾘﾝｸ(www.cs-study.com)
(引用終り)
以上
216:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/11 23:40:57.07 NUGiaq8/.net
>>183 補足
>A を A ∈ A となる集合とする． 次の図（と言って良いかどうか）のように B := {A} とおけば，この B が正則性に反する．
> URLﾘﾝｸ(www.cs-study.com)
個人的には、この図が結構納得感があるよ（＾＾
217:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/11 23:55:19.80 NUGiaq8/.net
>>182
そういえば、竹内外史先生の「層圏トボス」という
218:本があったね（＾＾ 下記PDF、これに関連していて、図が多くて、面白いかも。竹内先生の本で見たような図もあるかな スティーブ・アウディ先生は、圏論の訳本があったね 1 階様相論理だが、ヒットしたので貼る https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/56973/1/awodey_kishida.pdf 位相と様相 ―1 階様相論理への拡張― 科学哲学科学史研究 (2006), 1: 91-108 スティーブ・アウディ* 岸田功平** * カーネギーメロン大学哲学科 awodey@cmu.edu ** ピッツバーグ大学哲学科博士課程 kok6@pitt.edu; kkishida@andrew.cmu.edu フルブライト奨学金大学院留学 プログラムの支援による． (抜粋) ブール代数のストーン表現定理を拡張することによって位相空間が命題様相論理に意味論を与 えることはタルスキの仕事以来知られている．具体的には，体系 S4 の規則に従う必然性様相を 位相空間での開核演算によって解釈することができる．ただしこの結果は命題様相論理に限った ものであって，この解釈（位相空間の開核による）がそのまま 1 階様相論理にまで拡張されるこ とはこれまでなかった．この拡張がいかに可能かを示すことが本稿の目的である． (引用終り)
219:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/12 00:08:48.07 uuICzLx2.net
あまり、いまの流れと関係ないけど、ヒットしたのでメモを貼る（＾＾；
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
丸山善宏
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
タイトル 複数の理論をいかに比較するか
カテゴリ 研究論文
概要 京都大学での卒業論文。
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
複数の理論をいかに比較するか 丸山 善宏 平成 21 年 5 月 27 日
(抜粋)
1 導入
「ブラウワーの直観主義数学は古典的な数学と矛盾する」、「古典命題論理は含
意と否定でもシェーファーの棒記号のみでも記述できる」などといった言明は論
理学や哲学の文献でしばしば用いられる表現であるが、前者は理論間の矛盾とい
う概念を前提し、後者は理論間の同一性という概念を前提するように思われる1。
そして、我々が普段直観的に漠然と把握している、理論間の矛盾や同一性といっ
た概念に対し、論理学の知見を武器にしてより緻密な分析を加えることが本稿の
主題である。その過程において、例えば種々の構成的数学における実数や関数な
どの、基礎的な重要性を持つ概念の分析を試みる。また、そういった例の考察を
包括的に利用することにより、クワインによる理論の決定不全性と翻訳の不確定
性のテーゼを立証する具体例を構成する。
(引用終り)
220:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/12 00:19:32.72 uuICzLx2.net
これも、ヒットしたのでメモを貼る（＾＾；
慶應 SFCの講義資料だとか
URLﾘﾝｸ(web.sfc.keio.ac.jp)
慶應義塾大学 2018年度 春学期 論理学 Fundermentals of Logic カテゴリ: (学部)基盤科目?共通 開講場所：SFC 担当: 萩野 達也
授業予定と資料
第1回 (4/10) 論理学とは 講義資料 (PDF)
第2回 (4/17) 命題と真理値 講義資料 (PDF) 演習
第3回 (4/24) 標準形 講義資料 (PDF) 演習
第4回 (5/8) 証明 講義資料 (PDF) 演習 命題論理LK推論規則 (PDF)
第5回 (5/15) 証明(演習) 講義資料 (PDF) 演習
第6回 (5/22) 健全性と完全性 講義資料 (PDF) 演習
第7回 (5/29) 他の論理体系 講義資料 (PDF) 演習
第8回 (6/5) 述語論理 講義資料 (PDF)
第9回 (6/12) 述語論理の意味 講義資料 (PDF)
第10回 (6/19) 述語論理の証明 講義資料 (PDF)
第11回 (6/26) エルブラン定理 講義資料 (PDF)
第12回 (7/3) 導出原理 講義資料 (PDF) 演習
第13回 (7/10) 不完全性定理 講義資料 (PDF)
第14回 (7/17) いろいろな論理体系 講義資料 (PDF)
URLﾘﾝｸ(web.sfc.keio.ac.jp)
論理学 第14回「いろいろな論理体系」萩野 達也
P19
その他の論理の話題
? 二階述語論理および高階述語論理
? 一階述語論理では量化記号は対象領域を動く変数に対してのみ用いることができる．
? 二階述語論理では量化記号を述語（対象領域の部分集合）の変数にも用いることができる．
? 三階述語論理では対象領域の部分集合全体の集合の部分集合を動く変数に対して量化記号を用いることができる．
? 一般にn階述語論理を定義することができ，すべての総称が高階述語論理．
221:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/12 07:52:00.13 uuICzLx2.net
>>184
>A を A ∈ A となる集合とする． 次の図（と言って良いかどうか）のように B := {A} とおけば，この B が正則性に反する．
> URLﾘﾝｸ(www.cs-study.com)
図を、文に書き起こすと
(引用開始)
A∋Aとする
B：＝{A}を考えるとBは正則性に反する
証明
・B={A}∋A かつA∋A
↓
・B∩A∋A
となる
BにはA以外に要素はないので、BはBと交わりが空集合である要素を持たないことになる
これは、正則性公理に反する QED
つまり
正則性公理
↓
A ∈ A となるような集合 A (つまり，A = {A})は存在しない
くどいが、A = {A}は出来ませんよと
（再掲）
正則性 (Regularity)公理
Axiom of Regularity
∀ A
A ≠ Φ
↓
∃ X ∈ A (X ∩ A = Φ)
(空でない集合は自分自身とまじわりの無い要素を１つは持つ)
(引用終り)
やっぱりもやっとしているけどなー（＾＾
A ∈ A つまり ”「A = {A}」禁止”と書かない流儀が、公理命題として優れているってことなのでしょうね
余談だけど、上記の図の証明は、
「＝」を証明するのに、１）「>=」と２）「=<」と、二つの場合に分けて、両方成立するから、「＝」成立
しかし、A = {A}で”「＝」成立”は、”∈を定めた正則性公理違反”に類似かね（＾＾；
∈が、⊆みたいに「＝」を含むとまずい。「＝」は含めない
ノイマン先生が、∈を使った順序を考えたときに、そう思ったんだろうね
”∃ X ∈ A (X ∩ A = Φ)”ねー、やっぱりもやっとしているけどな
222:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/12 12:22:08.53 L9877gai.net
>>188 追加
>B：＝{A}
>・B∩A∋A
>となる
>BにはA以外に要素はないので、BはBと交わりが空集合である要素を持たないことになる
まだ、すっきりしないね
こう考えた方が良いかも
天下りに、集合の引き算を使う（面倒なので細部の説明省略）
下記引用のvon Neumannで、0=Φ, 1=0∪{0}={Φ}, 2=1∪{1}={{Φ},Φ}・・・
例えば、2－1={{Φ},Φ}－{Φ}＝{Φ}＝1
で、Φ(={})は空集合で、{Φ}は空集合を要素とする集合だと
ここで、要素が一つの集合 B：＝{A}では、B-A={}=Φとなる。ここまでは普通
空集合の性質（後述）：”任意の集合 A に対し Φ ⊆ A”より、Φ∈B
なので、正則性公理”∃ X ∈ A (X ∩ A = Φ)”には反しない！
∵ ∃ X=Φとすれば良い
ところが、A∋A つまり A = {A}とすると
B：＝{A}で、B-A＝{A}-{A}＝全くの空（{}(=Φ)さえ残らない）
よって、正則性公理”∃ X ∈ A (X ∩ A = Φ)”に、反すると
まあ、くどいが平たく言えば、{}（＝集合の枠）も引き算されて残らないから、{}(=Φ)さえ残らないとなる
個人的には、こんな説明がすっきりした気になるね（＾＾
von Neumannは、おそらく、下記の 0=Φ, 1=0∪{0}={Φ}, 2=1∪{1}={{Φ},Φ}・・・
で、0=Φ(={})は、存在（∃）していて、”全くの空”とは違うよ！と
それを、正則性公理の導入で言いたかったのかもね（＾＾
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Empty set
(抜粋)
"{}", "Φ".
Set theory
In the von Neumann construction of the ordinals, 0 is defined as the empty set, and the successor of an ordinal is defined as S(α)=α∪{α}.
Thus, we have 0=Φ(={}), 1=0∪{0}={Φ}, 2=1∪{1}={{Φ},Φ}, and so on.
The von Neumann construction, along with the axiom of infinity, which guarantees the existence of at least one infinite set, can be used to construct the set of natural numbers, N_0, such that the Peano axioms of arithmetic are satisfied.
つづく
223:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/12 12:24:01.86 L9877gai.net
>>189
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
空集合
(抜粋)
性質
・全ての集合は空集合を部分集合として含む：任意の集合 A に対し、Φ ⊆ A である。
何故なら、任意の集合 A に対し、命題「 ∀ x: x ∈ Φ → x ∈ A は常に真だからである（en:Vacuous truth 参照）。
特に A=Φ とすれば、 Φ ⊆ Φ が成り立つことも分かる。
・どんなものであれ、空集合に元として含まれることはない。
∀ x,x not∈ Φ .
・空集合の部分集合は空集合自身のみである。
({∀A)[A⊆ Φ → A=Φ ].
・空集合の元の数は0である。
|Φ| = 0.
・どんな集合 A についても、A と空集合 Φ の和集合は A に等しく、A と Φ の共通部分や直積は Φ に等しい：
A ∪ Φ = A, A ∩ Φ = Φ, A × Φ = Φ = Φ × A.
・空集合を定義域とする写像は、終域を定めるごとに唯1つ定まり、且つ単射である。
特に、終域も空集合である場合は全単射となる（空写像の項を参照）。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ペアノの公理
以上
224:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/12 14:17:38.39 L9877gai.net
>>187
＞二階述語論理および高階述語論理
余談だが
(>>13より)
渕野先生が書いている
”厳密性を数学と取りちがえるという勘違い”
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
数とは何かそして何であるべきか デデキント 訳解説 渕野昌 筑摩書房2013
「数学的直観と数学の基礎付け 訳者による解説とあとがき」
P314
(抜粋)
数学の基礎付けの研究は，数学が厳密でありさえすればよい， という価値観を確立しようとしているものではない.
これは自明のことのようにも思えるが，厳密性を数学と取りちがえるという勘違いは，
たとえば数学教育などで蔓延している可能性もあるので，
ここに明言しておく必要があるように思える
多くの数学の研究者にとっては，数学は，記号列として記述された「死んだ」数学ではなく，
思考のプロセスとしての脳髄の生理現象そのものであろう
そのような「生きた」「実存としての」(existentialな)数学で問題になるのは，
アイデアの飛翔をうながす(可能性を持つ)数学的直観」とよばれるもので，
これは， ときには，意識的に厳密には間違っている議論すら含んでいたり，
寓話的であったりすることですらあるような，
かなり得体の知れないものである
(引用終り)
IUTスレ36より
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
望月新一 出張・講演
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)(2015-02).pdf
[17] 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い （2015-02） （京都大学数理解析研究所 2015年02月）PDF
いま、物議をかもしているIUTだが、このPDFなどを見ると、
”意識的に厳密には間違っている議論すら含んでいたり，
寓話的であったりすることですらあるような，
かなり得体の知れないものである”が、ぴったりという感じです（＾＾
まあ、人間の思考は、二階述語論理および高階述語論理、あるいはそれ以上のものだろう
”記号列として記述された「死んだ」数学”じゃ、だめだと
二階述語論理および高階述語論理が、”回復”（>>179）しているのも、そういうことだろうね（＾＾
225:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/12 16:06:49.33 L9877gai.net
>>191
>そのような「生きた」「実存としての」(existentialな)数学で問題になるのは，
>アイデアの飛翔をうながす(可能性を持つ)数学的直観」とよばれるもので
例のかがみさん(>>171)も書いているね
「最近は数学的対象に関する洞察を深めるた めには、形式的な体系が直感的な裏付けをもつ、ということは非常に大切なこ とであると考えが変化したのであります」
と
”数理解析研究所
226:講究録”に投稿論文があるね 多分、DRコースには行ったんだろうね 私らより、大分レベルが高いね（＾＾ http://evariste.jp/kagami/index.html かがみのホームページ http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200402.html 2004年2月1日(日) 自然数と数学的帰納法 [集合論雑記目次] 前回 自然数全体の集合 N を定義しましたが、非常に天下り的な定義であり、 我々の直感の「自然数」の集合論的な表現としてふさわしいかを検証する必要 があります。 もちろん「数学的」には定義した対象が直感に合っても合わなく ても、論理的な矛盾がなければ問題がないとも考えられますし、実際若いころ はそのように考えていたのですが、 最近は数学的対象に関する洞察を深めるた めには、形式的な体系が直感的な裏付けをもつ、ということは非常に大切なこ とであると考えが変化したのであります(＊)。 (＊) 若いころは論理だけですべてを理解できたという事情もあるのですが、 今考えると数学の論理的面を重視しすぎ、直感的な思考をおろそかにしたのが まずかった。 (参考) https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/104721/1/0374-9.pdf 局所環の半安定性 (可換環論の研究) 鏡 弘道 数理解析研究所講究録 (1980), 374: 118-130
227:１３２人目の素数さん
19/03/12 17:28:37.30 XD2CO/Bi.net
>私らより、大分レベルが高いね（＾＾
変数と定数の違いも分からないサルと比較してもなあ
228:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/12 17:48:22.06 L9877gai.net
>>189 補足
（再掲）
正則性 (Regularity)公理
Axiom of Regularity
∀ A
A ≠ Φ
↓
∃ X ∈ A (X ∩ A = Φ)
(空でない集合は自分自身とまじわりの無い要素を１つは持つ)
(引用終り)
正則性公理に限りませんが
こういう対象は、”多面的・多重的・多層的に物事を見る”
ということを意識してやるべきですね
例えば、
１）正則性公理が、集合の出来方を規定して、無限降下列を禁止して、フォンノイマン宇宙を秩序づけているという視点もあれば
２）∈を使った順序で、∈に等号（=）を含ませず、極小元を保証しているものだという視点
３）あるいは、上記を公理命題として規定するときに、いかにすっきり記述するか（「公理命題」としての記述は、一切の不要なぜい肉を落として、使う用語や記号は極少にして、表現は簡潔に）という視点
１）は集合（あるいは宇宙）の出来方、２）は順序と極小元、３）は「公理命題」の記述のあり方
そういう複数の視点から、理解すべきであって
”∃ X ∈ A (X ∩ A = Φ)”という記号が読めたから、理解できたというものではないだろうと（＾＾；
URLﾘﾝｸ(hikari.atea.jp)
アテアBLOG
2017.05.23
【多角的に見る】多面的・多重的・多層的に物事を見ること 大杉日香理
(抜粋)
どんなことでも慣れないうちは手際がおぼつきませんが、
やっていくうちに自分なりのやり方で捉えられるようになります
なによりも視点を複数持って物事を見るクセをつけること
URLﾘﾝｸ(hikari.atea.jp)
URLﾘﾝｸ(hikari.atea.jp)
URLﾘﾝｸ(hikari.atea.jp)
(引用終わり)
229:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/12 18:51:52.38 L9877gai.net
>>194
和訳を見ると、いま引用されている現代記法とちょっと違う気もするね（＾＾
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Axiom of regularity
(抜粋)
The axiom of regularity was introduced by von Neumann (1925); it was adopted in a formulation closer to the one found in contemporary textbooks by Zermelo (1930).
Zermelo, Ernst (1930), "Uber Grenzzahlen und Mengenbereiche. Neue Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre." (PDF), Fundamenta Mathematicae, 16: 29?47, doi:10.4064/fm-
230:16-1-29-47; translation in Ewald, W.B., ed. (1996), From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics Vol. 2, Clarendon Press, pp. 1219?33 http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm16/fm1615.pdf (和訳PDF) https://www.jstage.jst.go.jp/article/subutsukaishi1927/5/3/5_3_256/_article/-char/en J-STAGE home/Nippon Sugaku-Buturigakkwaishi / Volume 5 (1931) Issue 3 1931 Volume 5 Issue 3 Pages 256-265 https://www.jstage.jst.go.jp/article/subutsukaishi1927/5/3/5_3_256/_pdf/-char/en Uber Grenzzahlen und Mengenbereiche. Neue Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre E. Zermelo (引用終わり)
231:
19/03/12 19:08:54.18 v3QGpR8z.net
私は集合と要素を別のものとして区分するのは反対です、要素なるものはなく、すべてが集合であるべきだと思っています
232:１３２人目の素数さん
19/03/12 20:20:03.99 3s+TiYp7.net
まもなく日本から世界経済が崩壊し、世界教師マＹトレーヤとＵＦＯが出てくる。
それからベーシックインカムがはじまるので、２０年間ヒキコモリの人でも死にはしない。
むしろ、心配するなら被曝のほう。
【メルトダウンＡ級戦犯】 『非常用発電機』安倍が放置 『非常用空冷回路』小泉が撤去 死刑求刑
ｽﾚﾘﾝｸ(liveplus板)
233:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/12 20:58:07.56 uuICzLx2.net
>>196
C++ さん、どうも。スレ主です。
お元気そうで、なによりです
なにを集合として扱うのか？
これは、いろいろと時代の変遷があるみたいですよ
>私は集合と要素を別のものとして区分するのは反対です
無制限に、なんでも集合に取り入れると、まずいので公理化した
で、素朴集合論から、公理的集合論（主としてZFC）の時代になった
正則性公理による、集合の制限も、その一つでしょう
いまは、公理的集合論を乗り越えていこうという動きが大きくなっていると思います
その大きな動きの一つが、圏論でしょうね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
集合論
(抜粋)
目次
1 素朴集合論と公理的集合論
2 集合論の歴史
3 数学にあたえた影響
数学にあたえた影響
集合論以前の数学は、数であるとか方程式であるとかあらかじめ与えられた数学的対象の性質を研究する、という性格が強いものだった。
集合論以降は問題にしている数学的な現象をよく反映するような「構造」を積極的に記号論理によって定義し、その構造を持つ集合について何がいえるかを調べる、という考え方が優勢になった。
とくに20世紀に入ってからの抽象代数学や位相空間論では様々な新しい数学的対象が集合の道具立てを用いて積極的に構成され、研究された。
このパラダイムはニコラ・ブルバキによる「数学原論」においてその頂点に達したと見なされている。
一方で、さまざまな数学の問題に対応した構造を理解するときには、個々の対象が具体的にどんな集合として定義されたかということよりも、類似の構造を持つほかの数学的対象との関係性の方がしばしば重要になる。
この関係性は対象間の写像のうちで「構造を保つ」ようなもの（しばしば準同型と呼ばれる）によって定式化される。このような考え方を扱うために圏論が発達した
234:。 集合論の著しい特徴は集合間の写像たちまでが再び集合として実現できることだが、こういった性質を圏論的に定式化することで集合論の圏論化・幾何化ともいうべきトポスの概念がえられる。 http://fuchino.ddo.jp/kobe/jyohokiso-2013-history.pdf 公理的集合論 成立の歴史 渕野 昌 神戸大学大学院 システム情報 2013 年前期 情報基礎特論での講義
235:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/12 21:33:02.64 uuICzLx2.net
>>198
C++ さんには、こちらの武田先生の方が、読みやすいかも（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.nii.ac.jp)
武田 英明 TAKEDA Hideaki 情報学プリンシプル研究系 教授
URLﾘﾝｸ(www-kasm.nii.ac.jp)
集合論とOWL Full 小出誠二，武田英明
第24回セマンティックウェブとオントロジー研究会;SIG-SWO-A1101-11 2011年6月 セマンティックウェブとオントロジー研究会
人工知能学会研究会資料
236:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/12 22:30:30.87 uuICzLx2.net
>>198
>いまは、公理的集合論を乗り越えていこうという動きが大きくなっていると思います
>その大きな動きの一つが、圏論でしょうね
関連で
下記が面白い（＾＾
URLﾘﾝｸ(martbm.hatenablog.com)
martingale & Brownian motion id:martbm はてなブログPro
2017-07-23
ＺＦＣの圏論での「代替」には意味があるのか？
(抜粋)
たまには、数学の「歴史」の話をしようかと思う。
ご存知のように、数学の「基礎」はカントールによって危機に陥れられた。つまり、（素朴）集合論によって。あらゆる集合を含む集合は、自分自身を含むだろうか？ この答えは含むと言っても矛盾だし、含まないと言っても矛盾。正解は「それ」は「集合ではない」というものであった。では、なにが集合なのだろう？ そこから、公理的集合論は始まる。
バートランドラッセルが提案した「プリンキピア・マセマティカ」は、上記のパラドックスに「直接」、パッチを当てる、という意味では、素直な発想だったと言えるであろう。コンピュータの世界では今では一般的になった「型」という考えを使ってこの問題にアプローチする方法であったわけだが、興味深いのは、この頃の「哲学者」はまだ、真面目に「数学」をやっていた、ということであろう。
しかし、この問題はそれ以降はより、エレガントに議論されるようになる。つまり、数学基礎論（＝論理学）と、公理的集合論として。しかし、そこで問題となったのは「後者」であった。なぜ、公理的集合論が問題なのか？ それは、一言で言えば、この「公理系」が「直感的」ではないことなのだ。
ここで大事なポイントは、「これ」が「数学の基礎」として提示されているところにある。ようするに、あまりに「人工的」な印象を受けるわけである。
つづく
237:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/12 22:31:05.85 uuICzLx2.net
>>200
つづき
もっと言えば、この公理は
強すぎる
のではないのか、という疑いが強いわけである。なぜ、こんな公理が用意されたのか？ それは、上記の「矛盾」を回避するためであった。つまり、いろいろと分かっている「矛盾」を回避しながら、かつ、
今ある「全て」の数学を成立させる
ための「基礎」となる公理はなんなのか、として「探された」結果として、この姿があるわけで、少しも「直感的」な理由から選ばれていないわけである。
もちろん、このＺＦＣが矛盾がないのであれば、それでいいと言えるのかもしれない。しかし、矛盾がないことはゲーデルの不完全性定理から、それが言えると考えることには限界があることが分かっている。しかし、とりあえず今のところは矛盾は見付かっていない。だったら、これでいいんじゃないかと考えるかもしれないが、�
238:謔､するに これが「数学の基礎」と言うには、あまりに「人工的」なんじゃないのか？ という、気持ち悪さが残っているわけである。 この問題に対して、おそらく数学の「歴史」は、今までのところ、あまりはかばかしい達成をあげていないんじゃないのかと思っている。ただ、一つ。まあ、昔から知られている結果ではあるが、おもしろいアプローチが知られている。 それが、 カテゴリー（圏論） である。 つづく
239:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/12 22:32:01.00 uuICzLx2.net
>>201
つづき
つい最近、以下の本を読んでいたら、第３章が「集合論について」となっている。
集合論の圏論的な公理のうち評判のよいものを一つ選ぶと、形式ばらない要約は次のようになる。
1.関数の合成は結合的で恒等射をもつ
2.終対象が存在する
3.元のない集合が存在する
4.関数は元への効果で決定される
5.集合ＡとＢについて、積Ａ×Ｂが構成できる
6.集合ＡとＢについて、ＡからＢへの関数の集合を構成できる
7.ｆ:Ａ→Ｂとｂ∈Ｂについて、逆像ｆ^?１｛ｂ｝を構成できる
8.Ａの部分集合は、Ａから｛０、１｝への関数と対応する
9.自然数たちが集合をなす
10.すべての全射は切片をもつ
この非形式的な要約は、「元」や「逆像」といった用語を用いているが、それは集合、関数、合成という基本概念を使って定義できるものだ。たとえば、集合Ａの元は終集合からの射として定義される。
これらの公理は確実に都合よく、圏論の言葉で表現できる。たとえば、最初の公理は集合と関数が圏をなすといっており、１０個すべてを合わせたものは、圏論通の専門用語で「集合と関数は自然数対象と選択をもつwell-pointedトポスになる」と表現される。
しかし公理を述べるためには、いかなる圏論の再燃にも訴える必要はなく、集合と関数の言葉で表現できる。詳細は Lawvere-Rosebruch(2003) あるいは Leinster(2014) を参照されたい。
つづく
240:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/12 22:32:22.84 uuICzLx2.net
>>202
つづき
The relation between our axioms and ZFC is well understood.
The ten axioms are weaker than ZFC; but when the eleventh is added, the two theories have equal strength and are 'bi-interpretable' (the same theorems hold).
Moreover, it is known to which fragment of ZFC the ten axioms correspond: 'Zermelo with bounded comprehension and choice'.
The details of this relationship were mostly worked out in the early 1970s [2, 14, 15]. Good modern accounts are in Section VI.10 of [7] and Chapter 22 of [9].
（Tom Leinster. Rethinking set theory.(2014)）
[1212.6543] Rethinking set theory
上記の公理のより詳しい説明は、Leinster(2014)によくまとまっている。
ようするに、上記の引用にある圏論的な公理は
集合論ではない（「集合」と「属する」という「無定義用語」によって、公理系を記述していない。あくまで「圏論」流に、「対象Ａから対象Ｂへの射」という「無定義用語」しか本質的に使っていない。一見、「集合論」的な無定義用語は出現するが、それはあくまで「定義」という、用語上の簡易性から導入されているにすぎない。）
直感的に、これらの公理が「大きすぎない」（ＺＦＣのように、直感的に言い過ぎていると思われるような主張がない。）
ＺＦＣより「弱い」公理系であるが、これにある「公理」を加えれば、ＺＦＣと相当な内容だと解釈できる。
ちなみに、最後のＺＦＣとの相等性については、以下の論文で議論されていて、
Gerhard Osius. Cat