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>>116
つづき
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2004年4月16日(金) 順序数の基本演算
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2004年5月8日(土) 選択公理と整列可能定理
(抜粋)
選択公理により例 えば次の数学の定理が証明出来ます。
任意の線型空間は基底を持つ
任意の可換環は極大イデアルを持つ
任意のフィルターに対してそれを含む超フィルターが存在する
コンパクト空間の直積はコンパクト
選択公理は具体的に対象を指定せずに存在を主張する公理であり、初期にはそ の妥当性に関して色々な議論があったのですが、数学における超越的な「存在 証明」に対する有効性により、現代数学のかなりの部分がこの公理に依存して います。
さらにゲーデルにより証明された選択公理の他の公理からの無矛盾性 により、少なくとも「矛盾」という観点からのこの公理に対する疑いは無くなっ たのです。選択公理により「任意の集合は整列可能」であることが証明出来ま す。
[定理]
任意の集合は整列可能である
X をが空の場合は自明なので、空でないと仮定し f を P(X) - {φ} の選択関数とします。NOT(a∈X) なる a を固定し、
g(x) = f(X - ran(x)) x が関数で X-ran(x) が空でない場合
g(x) = a その他の場合
と定義して g に対して「超限帰納法による関数の定義」を適用すると、
u(α) = g(u|α)
なるものが存在し、置換公理により g(θ)=a なる最小の順序数 θ をとると u|θ は θ から X への一対一上への関数とります。こ の結果により任意の集合はある Kα と基数が等し くなり、ここで正式に X の基数が外延として定義可能となります。
つづく