19/03/08 22:06:50.10 lnTMRuDp.net
「壊れたレコードのように…」という言葉があったんだが（下記）
同じＩＤで、似たような言葉を繰返す二つのＩＤ
カンニングで、答案二つで、間違えているところが同じだと、疑われるよね
それに似ている。二つのＩＤで、似たような間違いを繰返す ｗ（＾＾
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
ID非公開さん2018/4/2020:17:08
(抜粋)
「壊れたレコードのように…」という意味がわかりません。どう言うことの比喩ですか？
ベストアンサーに選ばれた回答
ble********さん 2018/4/2100:46:43
レコードって、髪の毛みたいな細い溝が刻まれてて、その溝を細い針が進んで音を再生するのです。
で、細い溝と細い針だから、ちょっとした傷で同じところを何度も再生してしまうことがあるのです。
この状態に見立てて、何度も同じことを言う人を例えて「壊れたレコードみたい」と言うのです。
例文
娘
「お父さん、酔っ払うと、昔の話を何度も繰り返して」
母親
「壊れたレコードみたいね」
父
「俺はまだ酔ってましぇん！」
みたいな、ね。
(引用終り)
109:１３２人目の素数さん
19/03/08 22:09:30.84 wiE/rvIh.net
いや、間違えてんのお前だしｗ
110:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 00:22:53.50 9Sqq12HI.net
証明はそこらに転がってると言いながら
何も出てこない！
これ、真っ赤なサイコのウソだよね
こんなやつら、相手にしても仕方ないよね（＾＾
URLﾘﾝｸ(news.livedoor.com)
意外とアナタの身近にも…!? 「サイコパス」にありがちな特徴 Peachy 2016年12月21日
(抜粋)
■社会のルールに順応できない
■平気で悪質な嘘をつく
サイコパスは傍からみると、よくもそんな嘘をつけるなと感じるようなことを、平気で言ってしまいます。後先を考えずに目先の利益にとらわれてしまう。また、相手を操りたいという考えから、そのようなひどい嘘をつくのです。他愛心がなく利己的だからこその発言といえます。
■無責任で衝動的に行動を起こす
(引用終り)
111:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 00:27:42.89 9Sqq12HI.net
>>98
サイコパスのウソ
何も出ないのは分ったよ
仕方ないから
下記、これ出すよｗ（＾＾；
スレ61 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:987番)
987 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/03/08(金) 14:34:23.63 ID:nHTjj5G+
Nのモデルを
…∈ 10 ∈9 ∈8 ∈7 ∈6 ∈5 ∈4 ∈3 ∈2 ∈1 ∈0
となるように作ろう！
(引用終り)
そう、だれか書いてくれたが、これだね
渕野昌先生が、同じことを書いている
順序の定義：順序数α,βに対し， α∈βをα＜βと表わし, "α∈βまたはα＝β”をα≦βと表わすことにする．
順序も定義せずに、”正則”と叫ぶバカがいる
公理系の議論をしているときに、定義もなしに議論するバカ
”∈”を使って、順序”＜”を定義する
これ
フォン・ノイマンが案出した巧妙なトリックなのだ（＾＾
（下記二つのPDFご参照。まあ、凡人には無理かも）
URLﾘﾝｸ(fuchino.ddo.jp)
渕野 昌，連続体仮説とゲーデルの集合論的宇宙（ユニヴァース）， 現代思想，2007年2月臨時増刊号 (2007), 94-116
(抜粋)
Ｐ13
フォン・ノイマンがここで案出したもう一つの巧妙なトリックは、
このように帰納的に定義することと結果として同じになるような順序数の内的な定義を与えることであった。
具体的には、「要素が集合の帰属関係∈ で 整列されるような集合を順序数とする」
として順序数を定義する。
また２つの順序数α、β
に対し、順序関係α < β を、
α ∈ β となることで定義するのである。
この順序数の定義により、各々の順序数は、それより小さい順序数の全体となり、
それらは各順序型に関して一意に決まり、その大小関係にそって、
数学的帰納法の議論のできるようなものとなるのである。
(引用終り)
つづく
112:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 00:28:54.67 9Sqq12HI.net
>>99
つづき
類似だが、追加しておく（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
特別企画 ???これから学ぶ人のために??? 公理的集合論 渕 野 昌 - J-Stage 渕野昌 著 数学 ?2013
(抜粋)
Ｐ412
(2.5） αはEに関して推移的である．つまり，任意のβ,γに対し， γ∈αかつβ∈γなら， β∈αが常�
113:ﾉ成り立つ； (2.6) ∈はα上の整列順序になっている． 上のような性質を持つαを順序数とよぶ．すべての順序数αは定義から∈に関して整列される． このことを強調するために， 順序数α,βに対し， α∈βをα＜βと表わし, "α∈βまたはα＝β”をα≦βと表わす ことにする． 自然数のときと同じように， 順序数αがこの順序に関してαより真に小さな順序数を集めたものになっていることも容易に示せる． すべての自然数は順序数で, (∈に関して)すべての自然数より大きな最小の順序数(最小の無限順序数)がNになる． ただし,Nを順序数と見るときには， これをωと表わすことが多い． 順序数には， 自然数がそうであるように， α＋1=α∪{α}という形をしていて, (∈による順序に関して）その直前の順序数（ここでのα）を持つ ものがある (引用終り) 以上
114:１３２人目の素数さん
19/03/09 06:48:28.69 0l/16VXN.net
>>99
>Nのモデルを
>…∈ 10 ∈9 ∈8 ∈7 ∈6 ∈5 ∈4 ∈3 ∈2 ∈1 ∈0
>となるように作ろう！
具体的にやってみせてくれｗ
ついでにいうと
>渕野昌先生が、同じことを書いている
はまったくの誤り 方向が逆だから
>順序数α,βに対し， α∈βをα＜βと表わし,
とあるから、スレ主とは全く逆になる
0∈1∈2∈3∈4∈5∈6∈7∈8∈9∈10･･･
この場合、自然数はみな正則
上記を満たす集合の例
0={}
1={0}={{}}
2={0,1}={{},{{}}}
3={0,1,2}={{},{{}},{{},{{}}}}
･･･
上記を構成するのにｓ「正則性公理」は必要ない
正則な集合をつくるのに正則性公理が必要とほざく
スレ主は正真正銘の白痴である！
115:１３２人目の素数さん
19/03/09 07:56:24.49 MQtT0Y1H.net
ツイッターで#テクノロジー犯罪と検索して、まじでやばいことを四代目澄田会の幹部がやってる
被害者に対して暴力団以外にタゲそらしをしてるがやってるのは暴力団で普段外に出ることが少ないため遊びで公共の電波と同じような電波を使って殺人をしてる
統失はほとんどが作られた病気で実際は電波によって音声送信や思考盗聴ができることが最近明らかになりつつある
警察や病院では病気としてマニュアル化されてしまっているのが現状で被害者は泣き寝入りしてる
被害者がリアルタイムで多い現状を知って、被害者間でしか本当の事だと認知できていない
実際にできると思われていない事だから、ただの幻聴ではない実際に頭の中で会話ができる
できないことだと思われているからこそ真面目に被害を訴えてる
海外でも周知されつつあることを知ってほしい。
このままだとどんどん被害が広がる一方
#テクノロジー犯罪
#四代目澄田会
116:１３２人目の素数さん
19/03/09 08:40:50.29 RtAkoZaQ.net
>>98
＞証明はそこらに転がってると言いながら
＞何も出てこない！
転がってるから出さないんだよｗ 自分で探せｗ そこまで面倒見切れんｗ
117:１３２人目の素数さん
19/03/09 08:50:19.22 RtAkoZaQ.net
>>99
＞順序も定義せずに、”正則”と叫ぶバカがいる
お前真性のバカだろ
>正則性公理（基礎の公理） 空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ：
>∀A(A≠{}→∃x∈A∀t∈A(t∈/x))
どこに順序の定義が要るの？
118:１３２人目の素数さん
19/03/09 08:59:51.60 RtAkoZaQ.net
>>99
>Nのモデルを
>…∈ 10 ∈9 ∈8 ∈7 ∈6 ∈5 ∈4 ∈3 ∈2 ∈1 ∈0
>となるように作ろう！
スレ主は∈も分かってなかったのかｗ
こいつ絶対中学出てねーだろｗ
119:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:25:47.62 9Sqq12HI.net
>>104
(引用開始)
＞順序も定義せずに、”正則”と叫ぶバカがいる
お前真性のバカだろ
>正則性公理（基礎の公理） 空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ：
>∀A(A≠{}→∃x∈A∀t∈A(t∈/x))
どこに順序の定義が要るの？
(引用終り)
ほんとサイコパスだね～（＾＾
おまえ、「正則性公理使わない」（不要）とか叫んでいたろ？
（例えば>>101 から「上記を構成するのにｓ「正則性公理」は必要ない」とかさｗ（＾＾； ）
しらーと、誤魔化すんだねｗ
120:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:26:52.19 9Sqq12HI.net
>>99 補足
>”∈”を使って、順序”＜”を定義する
>これ
>フォン・ノイマンが案出した巧妙なトリックなのだ（＾＾
この引用の前の記述が下記
URLﾘﾝｸ(fuchino.ddo.jp)
渕野 昌，連続体仮説とゲーデルの集合論的宇宙（ユニヴァース）， 現代思想，2007年2月臨時増刊号 (2007), 94-116
(抜粋)
Ｐ13
数の列の順序にそって帰納法の議論
が可能でなくてはならない。
121:集合論の言葉で、帰納法の議論の可能性をどう表現できるかを考てみると、 「0, 1, 2, 3,. . . , ω, ω + 1, ω + 2,. . . のどの部分列も最小の要素を持つ」、 という性質としてあらわすのが、自然であることがわかる。 そこで、順序数を、「その数より小さい数の全体が、どの部分集合も最小の要素を持つようなもの」、 と規定することが考えられる。 ところが、こう言っただけでは、ひとつひとつの順序数は、対象としては一意に決まってくれない。 これに対するエレガントな解決法は、カントルの時代よりずいぶん後になってから、 フォン・ノイマン(John von Neumann, 1903{1957) によって発明されている。 それは、各々の順序数を、それより小さい順序数の全体と定義する、というものであった。 これにより、有限の順序数、つまり自然数が集合として確定する: 0はそれより小さい順序数を一つも持たないから、φとなり、 1は0のみをそれより小さい順序数として持つから、{φ} となり、・・・ 等々。 また、ω = {0, 1, 2, , , ,}, ω + 1 = f0, 1, 2, , , , , ω} 等々。 ところが、このように続けたときの一般論を展開するには、 数学的帰納法による議論が必要になってくるが、 まさにそのような無限版の数学的帰納法を乗せる媒体として 順序数をここで定義しようとしているのであるから、これでは循環論法に陥ってしまう。 フォン・ノイマンがここで案出したもう一つの巧妙なトリックは、 このように帰納的に定義することと結果として同じになるような順序数の内的な定義を与えることであった。 具体的には、「要素が集合の帰属関係∈ で整列されるような集合を順序数とする」 として順序数を定義する。 (引用終り)
122:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:29:21.80 9Sqq12HI.net
>>101
>>…∈ 10 ∈9 ∈8 ∈7 ∈6 ∈5 ∈4 ∈3 ∈2 ∈1 ∈0
>0∈1∈2∈3∈4∈5∈6∈7∈8∈9∈10･･･
ご指摘の通りで
タイポがあるね。まあ、そのまま引用しただけだがね（＾＾
ピエロの書いた程度なら
下記「かがみのホームページ」にあるよ
かなり少ししっかり書いてあるぜ
膨大な記述でね。関係しそうなところを抜粋する。
なお、リンク先を直接読む方が良いだろう（但し、この引用コピペは、主にここでの検索の便宜のため）
さらに、文字化けと一部画像の部分があり、欠落部分あり。欠落部分などに、（略）と入れたが見落としている部分があればご容赦
繰返すが、リンク先を直接読む方が良いだろう
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
かがみのホームページ プロフィール 学生時代の専攻は数学。今の趣味も数学。
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
集合論雑記
[目次]
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
2004年1月3日 自然数の構成と ω
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
2004年1月22日 無限公理と自然数
つづく
123:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:30:35.04 9Sqq12HI.net
>>108
つづき
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
2004年2月1日 自然数と数学的帰納法
(抜粋)
前回 自然数全体の集合 N を定義しましたが、非常に天下り的な定義であり、 我々の直感の「自然数」の集合論的な表現としてふさわしいかを検証する必要 があります。
もちろん「数学的」には定義した対象が直感に合っても合わなく ても、論理的な矛盾がなければ問題がないとも考えられますし、実際若いころ はそのように考えていたのですが、最近は数学的対象に関する洞察を深めるた めには、形式的な体系が直感的な裏付けをもつ、ということは非常に大切なこ とであると考えが変化したのであります(＊)。
今までの議論から N は直感的に「自然数全体」を含んでいるこ とは納得できますが、問題は「余計なもの」を含んでいないかということです。 そのためには(現在は非公式な)次の事実が証明できれば十分だと思われますが、 順序の概念がないと不便で仕方がないので、次回は順序の定義と N 上 の順序について論じたいと思います。
n と n+1 の「間」の自然数は存在しない
n∈N で n≠0 のとき n=m+1 なる m∈N が存在する
(＊) 若いころは論理だけで�
124:ｷべてを理解できたという事情もあるのですが、 今考えると数学の論理的面を重視しすぎ、直感的な思考をおろそかにしたのが まずかった。 つづく
125:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:32:00.82 9Sqq12HI.net
>>109
つづき
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
2004年2月7日 順序
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
2004年3月20日 順序数の定義
(抜粋)
前回 まで自然数と自然数全体からなる集合を定義しました。ここで自然数に順序と 演算を定義して、それらの「常識的な」性質を証明する必要があるのですが、 あんまり面白くないのにあたりまえの結果しか出ないので、細かいことは省略 して順序の定義のみを行います。
a,b∈N に対して関係 a∈b は順序関係となる。 通常この関係を a<b と記述する。
もちろん a∈b が順序の公理を満たすことを証明する必要があるのですが、 ここでは省略です。また特に重要な点として、
N 上の順序関係 ∈ は整列順序である。
が成立します。これも証明が必要な事実ですがここでは省略します。さていよ いよ順序数の定義ですが、これは次のように行われます。
集合 X が順序数とは次の二つの性質を満たすこと。
(1) X は ∈ に関して整列順序集合
(2) a∈b∈X のとき a∈X(この性質をもつ X を推移的という)
(2) の条件は b∈X のとき b⊆X ということです。
つづく
126:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:32:49.08 9Sqq12HI.net
>>110
つづき
[定理]
任意の n∈N は順序数である
N(即ち ω) は順序数である
証明は略しますが N 上で関係 ∈ が通常の自然数の順序を表現し ていることを考えれば直感的には明白な事実です。実際には今まで省略した証 明にはすべて数学的帰納法が使用されます。ここで一つも証明がないのもなん なので、ω+1(即ち ω∪{ω}) が順序数になることを証明 します。
まず ∈ に関する整列性ですが ω が整列集合で、ω は ω+1 の最大元なので成立するのは明らかです。推移性に関しても a∈b∈(ω+1)と仮定し b が自然数の場合は ω の推移性 から a∈ω が成立し、b=ω の場合 a∈ω は ω の定義によりこちらも明らかです。
[定義]
自然数 n に対して ω + n を次のように帰納的に定義する
ω + 0 = ω
ω + (n + 1) = (ω + n) + 1
最後の式の左辺の +1 は自然数の加算で、右辺の +1 は(ω + n)∪{ω + n} のことです。そうすると数学的帰納法により ω + n は順序数になることが容易に証明することが可能です。さて、ここまでで 次の順序数が構成されたわけです。
自然数
ω
ω + (n + 1) (n は自然数)
直感的に記述すると自然数 n は {0,1,2,...,n-1} のことであり、ω は {0,1,2,3,...}、 ω+(n+1) は {0,1,2,3,...,ω,ω+1,...,ω+n} という感じです。
最後の n の ω までの「極限」をとり ω+ω={0,1,2,3,...,ω,ω+1,...,ω+n,...} と拡 張したいのはもちろんで、そのようにどんどん大きな順序数を構成することが 集合論の基本理念なのですが、実を言いますと今までの公理では ω+ω でさえ構成することが出来ず、次回以降に導入する「置換公 理」なるものが必要となるのです。
次回は順序数を理解するとともに、集合論における最も重要な概念である「整 列順序」に関する基本的な性質を証明し、次次回以降にこの性質を利用して順 序数の基本性質を導きたいと考えております。
つづく
127:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:33:37.28 9Sqq12HI.net
>>111
つづき
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
2004年3月22日(月) 整列順序
集合 X に順序関係 < が定義されていて、X の任意の部分集合が導入され た順序に関して最小元を持つとき X を整列順序集合と呼ぶのでありました。 次の条件を満たす 整列集合 X の真部分集合 Y を「始片(initial segment)」 と呼びます。
任意の a∈Y に対し x<a なる x∈X は Y に属する
始片は次の条件で特徴付けられます。
整列集合 X に対し Y⊂X が始片である必要十分条件は a∈X が存在し て Y={x∈X|x<a}
最初の条件から二番目の条件が成立するのは明らかです。また Y が最初の条 件を満たすとき X-Y の最小元を a とすると、二番目の条件を満たすことが容 易に証明出来ます。そこで次の記号を導入します。
整列集合 X の要素 a∈X に対し {x∈X|x<a} を X[a] と記述し、
128: X の a による始片と呼ぶ X の要素と X の始片に一対一の対応があることは明白です。始片の概念を使 用すると、整列集合間の整列的な性質を記述することが可能です。 [補題] f: X → X を整列順序集合 X から X への増加写像とするとき、任意の x∈X に対し x f(x) x0 を f(x)<x を成立させる X の最小元とすると f の増加性 によりf(f(x0)) < f(x0) < x0 が成 立し矛盾。 つづく
129:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:34:18.41 9Sqq12HI.net
>>112
つづき
[定理]
f: X → X を整列順序集合 X 上の順序同型写像とするとき、f は恒等写像
f の逆写像を f-1 とすると f-1 も順序同型。x を f(x)≠x を成立させる x∈X と仮定すると、前補題により x < f(x) が成立し、f-1 の増加性により f-1(x) < x とな り矛盾。
[定理]
X を整列順序集合とするとき X と X[a] は順序同型にならない
f: X → X[a] が順序同型と仮定すると、f(a)∈X[a] なので f(a) < a となり補題に矛盾する。
[定理]
X,Y を二つの整列集合とするとき、次のいずれかの条件が成立する。またどの 二つの条件も両立しない。さらに各々の写像はただ一つ定まる。
(1) X から Y の上への増加写像(順序同型写像)が存在する
(2) Y から X の始片の上への増加写像(順序同型写像)が存在する
(3) X から Y の始片の上への増加写像(順序同型写像)が存在する
X×Y の部分集合 F を F={(x,y)|X[x] から Y[y] への順序同型写像が存 在する} と定義しすると F は関数関係となります。この関数関係を写像と考 えたものを f: dom(F) → ran(F) とすると f は増加写像でさらに dom(f),ran(f) それぞれ X,Y の始片となり f は dom(f) から ran(f) への順 序同型であることは容易に分かります。
ここで dom(f)≠X かつ ran(f)≠Y を仮定すると dom(f)=X[a],ran(f)=Y[b] なる a∈X,b∈Y が存在しますが、f の定義から (a,b)∈F となり a∈dom(f) となり矛盾。一意性に関しては f,g が (1)(2)(3) 何れか一つ の条件を満たす写像とするとき g-1・f が恒等写像になることに 注意すれば証明完了。
というわけで次回は上記で証明した整列集合の性質を順序数に応用し、順序数 の基本性質を導きます。
つづく
130:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:35:09.88 9Sqq12HI.net
つづき
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
2004年3月27日(土) 順序数間の順序
(抜粋)
順序数はその「内部」で ∈ に関する整列順序構造を持つわけですが、もっ とも著しい性質としては、その「外部」でも同様な整列順序構造を保つことで あり、これにより「順序数全体」という壮大なる階層構造(集合にはなりませんが)を構築することができるのです。
具体的に言うと α,β を順 序数とするとき α∈β という関係がやはり順序の公理と同等 な性質を満たすことが証明出来るのです。これを証明するためにまずいくつか の基本性質を証明します。
つづく
131:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:36:05.77 9Sqq12HI.net
>>114
つづき
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
2004年3月28日(日) 超限帰納法・置換公理
[定理]
P(x) を論理式とします。 任意の順序数 α,β に対して α<β のとき P(α) が成立するとき P(β) が成立すると仮定します。このとき任 意の順序数 α に対して P(α)
言い換えると次の二つの命題は同値。
(1) (∀β)([(∀α)(α<β → P(α))] → P(β))
(2) (∀α)[P(α)]
ここで全称記号は順序数全体を動くとします。
証明自体は簡単で (1) をが成立して (2) が成立しないと仮定し NOT[P(α)] が成立する順序数 α を考えます。α は整列集 合なので γ∈α を P(γ) を成立させない最小元とする と γ の最小性により δ<γ に対して P(δ) が成 立し (1) の仮定により P(γ) が成立して矛盾。
実際には超限帰納法は次の定式化が多用されます。
(i) P(0) が成立
(ii) P(α) が成立するとき P(α+1) も成立する
(iii) α が 0 でない極限数で β<α に対して P(β) が成立するとき P(α) が成立する
このときすべての α に対して P(α) が成立する
残念ながらこの定理も今の段階では余り役に立ちません。つまり ここで述べたように 現在手持ちの順序数が非常に「少ない」からです。例えば ω + ω さえもまだ定義することができません。膨大な順序数を「構成」するには次に 述べる置換公理が必要なのです。
つづく
132:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:36:37.48 9Sqq12HI.net
>>115
つづき
[公理 8. 置換公理]
P(x,y) を二項論理式とし�
133:ﾄ関数的な性質をもつとします。即ち、 P(x,y),P(x,y') が成立するとき常に y=y' が成立する。 この場合任意の集合 X に対して ある x∈X が存在して P(x,y) が成立する y 全体を含む集合が存在する 言い換えると「関数的な論理式」の集合による「像(range)」全体を含 む集合が存在するという公理であり、この集合を Y とするとき f:X → Y は写像となります。ここで f は P(x,y) を X x Y の部分集合に外延化した写 像です。 ここで非公式ですが、例えば P(x,y) を x∈ω のとき y は ω+x x がその他の場合 φ と定義し、置換公理により ω に対して存在が許される集合を Y とする と f:ω → Y は f(n)=ω+n なる写像となり ran(f) = f[ω] = {ω+n| n∈ω} も集合となることが分かります。 従って ω∪ran(f) = ω + ω を構成することが可能とな るのです。 次回以降は超限帰納法と置換公理を利用して「整列集合の順序数による表現」 「超限帰納法による関数関係の定義」「順序数の演算の定義」を行う予定です。 つづく
134:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:37:24.31 9Sqq12HI.net
>>116
つづき
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
2004年4月16日(金) 順序数の基本演算
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
2004年5月8日(土) 選択公理と整列可能定理
(抜粋)
選択公理により例 えば次の数学の定理が証明出来ます。
任意の線型空間は基底を持つ
任意の可換環は極大イデアルを持つ
任意のフィルターに対してそれを含む超フィルターが存在する
コンパクト空間の直積はコンパクト
選択公理は具体的に対象を指定せずに存在を主張する公理であり、初期にはそ の妥当性に関して色々な議論があったのですが、数学における超越的な「存在 証明」に対する有効性により、現代数学のかなりの部分がこの公理に依存して います。
さらにゲーデルにより証明された選択公理の他の公理からの無矛盾性 により、少なくとも「矛盾」という観点からのこの公理に対する疑いは無くなっ たのです。選択公理により「任意の集合は整列可能」であることが証明出来ま す。
[定理]
任意の集合は整列可能である
X をが空の場合は自明なので、空でないと仮定し f を P(X) - {φ} の選択関数とします。NOT(a∈X) なる a を固定し、
g(x) = f(X - ran(x)) x が関数で X-ran(x) が空でない場合
g(x) = a その他の場合
と定義して g に対して「超限帰納法による関数の定義」を適用すると、
u(α) = g(u|α)
なるものが存在し、置換公理により g(θ)=a なる最小の順序数 θ をとると u|θ は θ から X への一対一上への関数とります。こ の結果により任意の集合はある Kα と基数が等し くなり、ここで正式に X の基数が外延として定義可能となります。
つづく
135:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:38:04.74 9Sqq12HI.net
>>117
つづき
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2004年10月10日(日) 正則の公理
(抜粋)
重様な概念である「整順(well founded)な関係」を定義します。
[整順な関係の定義]
集合 上の二項関係 R(x,y)が整順(well founded)であるとは次の条件を満たすことである。
（略）
言い替えるとXの空でない部分集合に対して R(x,y)のYに「極小元」が存在するという感じでして、
実際定義で現れる（略） に対するの極小元と呼ぶのです。
さてここで「正則の公理」を導入して、すべての集合がＶの要素であることを証明する準備が出来ました。
[正則の公理(axiom of regualarity)]
（略）
[定理]
（略）
言い替えると
（略）
もっとはっきりと言い替えると
クラスＶは集合全体のユニヴァースである！！
正則の公理を「基礎の公理(axiom of foundation)」と呼ぶこともあります。
正則の公理の導入により、集合全体がこのように「空集合から巾集合を順序数 にそって積み上げ、それを合併の公理により張り合わせる」という集合を拡張 する三つの大きな操作、
即ち「巾集合の公理」「合併の公理」「置換公理」に より美しい形で表現可能であることは驚きであるとともに、
現代の集合論の公 理の整合性を強く示唆するものであると思うのであります。
さて証明ですが、まず次の事実に注意します。
正則の公理→任意の集合上で∈は整順な関係。
この事実は「正則の公理」が「任意の集合は∈に関する極小元を持つ」という事実を表現していることに注意すれば明らかです。
さらに次の事実に注意します。
xを推移的な集合とするとき x∈Ｖ
これを証明するためには x⊂Ｖであることを示せば十分です（x の各要素のrankを考える)。
実際そうでないとすると、（略）となるので（略）に関する極小元を（略）とすします。
するとzの極小性により（略） の推移性により （略） の定義に矛盾します。最後に次の事実
x∈Ｖ ←→ tc(x)∈Ｖ
を示せば定理の証明は完了ですが、これは推移的閉包の定義によりほとんど明 らかです。
つづく
136:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:40:03.27 9Sqq12HI.net
つづき
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集合論雑記
[目次]
2004年1月2日 集合論シリーズ・順序数開始予定
2004年1月3日 自然数の構成と ω
2004年1月3日 集合雑記準備
2004年1月3日 空集合
2004年1月3日 内包と外延
2004年1月6日 対の公理・合併の公理
2004年1月12日 巾集合の公理
2004年1月17日 二項関係
2004年1月17日 関数関係と写像
2004年1月22日 無限公理と自然数
2004年2月1日 自然数と数学的帰納法
2004年2月7日 順序
2004年2月14日 帰納法による関数の定義
2004年3月20日 順序数の定義
2004年3月21日 整列順序
2004年3月27日 順序数間の順序
2004年3月28日 超限帰納法・置換公理
2004年4月11日 整列順序と順序数・超限帰納法による関数の定義
2004年4月16日 順序数の基本演算
2004年4月19日 基数の定義
2004年5月2日 ?(アレフ)の定義
2004年5月8日 選択公理と整列可能定理
2004年5月16日 ?α の基本演算
2004年5月29日 共終数(cofinal)と正則基数
2004年6月8日 簡単な基数計算
2004年7月3日 一階述語論理を含む言語
2004年7月4日 一階述語論理を含む言語?続き
2004年7月9日 構造とモデル?7月11日内容追加
2004年7月18日 半順序とフィルター
2004年7月19日 超フィルターと κ-完備フィルター
2004年7月24日 一休み・ブルバキの集合論
2004年7月29日 閉非有界集合(closed unbounded set)
2004年8月1日 定常集合(stationary set)
2004年8月4日 デルタレンマ
2004年8月12日 定常集合の分割
2004年8月19日 木(tree)に関する諸定義(8月31日若干内容追加)
2004年8月31日 Suslin 直線(Suslin line)
2004年9月1日 Martin の公理
2004年9月2日 Martin の公理の帰結(その１)
2004年9月11日 Martin の公理の帰結(その２)
2004年10月7日 クラスと V
2004年10月10日 正則の公理
2005年1月9日 測度と可測基数
つづく
137:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:40:22.86 9Sqq12HI.net
つづき
2005年1月10日 番外編・Riemann Zeta 関数の謎
2005年1月23日 最小の可測基数
2005年2月20日 可測基数が到達不可能であること
2005年3月20日 Ulam の定理
2005年4月24日 Ulam の定理(続き)
2005年5月20日 番外編・連休中に勉強したこと---forcing
2005年6月1日 番外編・やっぱforcingではまる(2005年6月6日修正)
2005年6月12日 forcing について・Genericと名称(1回目)
2005年6月25日 forcing について・Genericと名称(2回目)
2005年6月26日 forcing について・Genericと名称(3回目) (2006年4月15日誤りを修正)
2005年7月3日 forcing について・Genericと名称(4回目) (2006年4月15日誤りを修正)
2005年7月16日 forcing における等号の基本性質
2005年8月5日 強制法(forcing)とZFC・一回目
2005年8月6日 強制法(forcing)とZFC・二回目(2006年4月15日一部改善)
2005年8月7日 強制法(forcing)とZFC・三回目
2005年8月13日 強制法(forcing)のご利益
2005年8月20日 Generic 拡大(Generic extension)・一回目
2005年8月21日 Generic 拡大(Generic extension)・二回目
2005年8月25日 連続体仮説の ZFC からの独立性・一回目
2005年8月26日 連続体仮説の ZFC からの独立性・二回目
2005年8月28日 ひとやすみ・これからの集合論雑記
2005年9月15日 もうひとやすみ・可算濃度の不思議
2006年4月1日 連続体の濃度・ゲーデル
つづく
138:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:41:07.24 9Sqq12HI.net
>>120
つづき
2006年4月1日 続・集合論勉強再開
2006年5月3日 強制法入門PDFファイル
2006年5月14日 L と Diamond
2006年6月8日 強制法入門再アップ
2006年6月15日 LとGCHに関するひとりごと
2006年6月19日 「強制法入門」修正
2006年6月24日 推移的崩壊とAFA
2006年7月1日 超巾と正則性
2006年7月8日 Scottの定理・可測基数とL(2006年7月24日追記)
2006年7月9日 弱コンパクト基数がいっぱい
2006年7月19日 さらなる無限降下列(このねたはだめ)
2006年8月5日 今だ弱コンパクト基数おこもり中
2006年8月13日 分割の性質に関するメモ
2006年8月24日 可測基数と弱コンパクト基数(再挑戦)
2006年9月10日 超積、超べきとLo?の定理
2006年10月2日 弱コンパクト基数の基本性質(一回目)
2006年10月2日 ゲーデルの完全性定理
2006年10月14日 弱コンパクト基数(二回目)無限論理との関連
2006年10月27日 ゲーデルの完全性定理(続き)
2006年11月12日 正規フィルターとフォドァの補題
2006年11月14日 正規超フィルターと超べき
2006年11月17日 記述不可能性(一回目)
2006年11月18日 記述不可能性(二回目)
2006年11月22日 記述不可能性(三回目)
つづく
139:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:42:05.38 9Sqq12HI.net
>>121
つづき
2006年12月11日 強制法入門ちょっと変更
2006年12月12日 コーヘンオリジナル強制法(一回目)
2006年12月13日 コーヘンオリジナル強制法(二回目)
2006年12月15日 Lとダイアモンド
2006年12月22日 Lαの絶対性
2007年1月20日 ダイアモンドを作る
2007年1月22日 強制でSuslin木を削除
2007年2月17日 充足可能性について考えたこと (間違い)
2007年4月14日 ゲーデルの L (一回目)
2007年5月3日 整列不可能な実数列
2007年5月3日 結局コーエン実数
2007年9月3日 0# (zero-sharp) 一回目
2007年9月17日 0# (zero-sharp) 二回目
2007年9月19日 0# (zero-sharp) 三回目
2007年9月23日 0# (zero-sharp) 四回目
2007年9月24日 0# (zero-sharp) 五回目
2007年10月8日 0# (zero-sharp) 六回目 Kunenの定理 (準備編)
2007年10月9日 0# (zero-sharp) 七回目 Kunenの定理 (証明編)
2008年4月13日 基数計算 (1回目 基本の基本の準備 (1))
2008年4月29日 基数計算 (2回目 基本の基本の準備 (2))
2008年5月18日 基数計算 (3回目) 特異基数仮説のお話
2008年8月11日 Δシステムレンマ自己流証明 (暫定版)
2008年12月14日 可測石 (番外編)
2008年12月31日 玄妙基数 (ineffable cardinal)
2009年3月15日 フォドアの補題の初等的部分構造を使った証明
2010年10月11日 エルデシュ=ラドーの定理
つづく
140:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:42:47.42 9Sqq12HI.net
>>122
つづき
[公理目次]
[公理 1. 空集合の存在公理]
[公理 2. 外延性の公理]
[公理 3. 内包の公理]
[公理 4. 対の公理]
[公理 5. 合併の公理]
[公理 6. 巾集合の公理]
[公理 7. 無限公理]
[公理 8. 置換公理]
[公理 9. 選択公理]
[公理 10. 正則の公理]
[参考文献]
Thomas J. Jech,Karel Hrbacek著 Introduction to Set Theory
Kenneth Kunen 著 Set Theory
Thomas J. Jech 著 Set Theory
前原昭二 著 数学基礎論入門
A.カナモリ著 渕野昌訳 巨大基数の集合論
(引用終り)
141:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 10:43:42.09 9Sqq12HI.net
えんえん、コピペしたが
あとは、基本的にサイコパスは無視な
こいつの頭はカラッポだということが分ったから
142:１３２人目の素数さん
19/03/09 10:56:40.26 0l/16VXN.net
>>108
>ご指摘の通りで タイポがあるね。
>まあ、そのまま引用しただけだがね（＾＾
ギャハハハハハハ！！！
スレ主 毎度恒例の
「中身を全く読みもせずコピペ」
貴様、言葉を理解できない白痴かよ
ギャハハハハハハ！！！
143:１３２人目の素数さん
19/03/09 11:09:11.44 0l/16VXN.net
>>109-116
おまえ、コピペした文章、一度でも読んでみた？
自然数の定義でも、順序数の定義でも、
正則性の公理なんて一度も使ってないだろ？
その証拠に正則性の公理が出てくるのは>>118じゃん
ようするにかがみんは貴様の主張が間違ってることを
露骨に示してるじゃんwｗｗｗｗｗｗ
自然数や順序数が整列順序を持つ、と主張するのに
正則性の公理なんか使う必要ないんだよ
おまえさ、自分で自分の主張の誤りを示す
絶好のテクスト貼って、
144:壮大な自爆劇演じたいの？ 白痴？なぁ、おまえ、白痴？
145:１３２人目の素数さん
19/03/09 11:12:23.02 0l/16VXN.net
>>118
>正則の公理→任意の集合上で∈は整順な関係。
帰納法を導くのに「任意の集合上で」∈は整順な関係である必要はない
あくまで自然数や順序数（これ全部、集合）で∈が整順な関係であればいい
そんなことも分からんのか？白痴
146:１３２人目の素数さん
19/03/09 11:15:55.52 0l/16VXN.net
結論：スレ主は中身を読まずにコピペするサル
荒らしは失せろ！
147:１３２人目の素数さん
19/03/09 11:20:26.57 RtAkoZaQ.net
>>106
>ほんとサイコパスだね～（＾＾
サイコパスはお前ｗ
>おまえ、「正則性公理使わない」（不要）とか叫んでいたろ？
人違いだろｗ
>（例えば>>101 から「上記を構成するのにｓ「正則性公理」は必要ない」とかさｗ（＾＾； ）
>しらーと、誤魔化すんだねｗ
誤魔化してるのはお前ｗ
下記のどこに順序の定義が要るのか誤魔化さずに答えなさいｗ
>正則性公理（基礎の公理） 空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ：
>∀A(A≠{}→∃x∈A∀t∈A(t∈/x))
148:１３２人目の素数さん
19/03/09 11:23:53.81 RtAkoZaQ.net
正則性公理のどこに順序の定義が要るのかスレ主は誤魔化さずに答えなさい
答えないなら数学板から出て行きなさい
149:１３２人目の素数さん
19/03/09 12:08:20.87 0l/16VXN.net
>>130
スレ主はホント、ろくに考えもせずに
口から出任せをポンポンいうからね
考えなしの白痴の証拠
150:１３２人目の素数さん
19/03/09 15:54:30.85 AxFa9pQJ.net
超限帰納法よりZornが好まれる現実
151:１３２人目の素数さん
19/03/09 16:26:30.39 0l/16VXN.net
スレ主は聞き齧った言葉をわけもわからずつぶやくだけの白痴
バカは数学板に来るな
152:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 22:06:22.85 9Sqq12HI.net
>>118
渕野昌先生（＾＾
「基礎の公理を放棄することは， 超限帰納法を駆使する集合論的数学の大きな部分について， そのような数学での結果を，ユニヴァースの well-founded part に制限したときに成り立つ結果と読みかえる，ということを余儀無くされることを意味します．
私には，基礎の公理を放棄することで， この「超限帰納法を駆使する集合論的数学の大きな部分を放棄する」という 大きな犠牲の代償となるような数学的な何かが得られるようには思えないのです．」
URLﾘﾝｸ(fuchino.ddo.jp)
基礎の公理の成り立たない集合論 (non well-founded set theory) について
渕野 昌(Sakae Fuchino) Last modified: Sat Aug 13 14
（この文章はまだ書きかけです）
(抜粋)
基礎の公理 (Axiom of Foundation) は，
(1)
すべての集合 x に対し，x の要素で， ∈ （の transitive closure として得られる（前）順序）に関して極小なものが存在する
ことを主張するものです．この公理により，∈-列のループ（特に長さが 1 のループ x ∈ x）や， ∈ に関する無限下降列 x1 ∋ x2 ∋ x3 ∋ ・・・ が存在しないことなどが帰結されます．
基礎の公理は， 他の集合論の公理よりも遅れてスタンダードな公理系に組みいれられるようになったものです． そのせいか，数理論理学を専門としない人で，この公理には何か問題がある， と思っている方も少なくないようです．
他の集合論の公理が， 様々な集合の存在や， すでに存在している集合から新しい集合を構成するときの個々の構成原理の成立を主張しているのに対し， 基礎の公理は， 集合論の対象である一つ一つの集合に対し，(1) の性質を持たなければいけない， という制限を果している，と解釈することのできる公理になっています．
普通には基礎の公理を仮定した集合論が数学のベース理論として採用されているのは， 『数学を展開するための基礎としての集合論』， という立場からは， 基礎の公理を満たすような集合の全体の領域を出る必要がないことが， 判っている，と断言できるからです．
たとえば，自然数の全体 N や実数の全体 R, 実数から実数への関数の全体 …，などはすべて， このような基礎の公理を満たす領域の中で自然に構成できます (註 1)．
つづく
153:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 22:07:21.12 9Sqq12HI.net
>>134
つづき
基礎の公理を放棄することは， 超限帰納法を駆使する集合論的数学の大きな部分について， そのような数学での結果を，ユニヴァースの well-founded part に制限したときに成り立つ結果と読みかえる，ということを余儀無くされることを意味します．
私には，基礎の公理を放棄することで， この「超限帰納法を駆使する集合論的数学の大きな部分を放棄する」という 大きな犠牲の代償となるような数学的な何かが得られるようには思えないのです．
参考文献
[1]J. Barwise and L. Moss, Vicious Circles. CSLI Lecture Notes 60, CSLI Publications, Stanford (1996).
[2]渕野 昌，構成的集合と公理的集合論入門，in: 田中一之（編） "ゲーデルと20世紀の論理学（ロジック） 第4巻，集合論とプラトニズム"，東京大学出版会 (2007).
[3]渕野 昌，連続体仮説とゲーデルの集合論的宇宙（ユニヴァース）， 現代思想，2007年2月臨時増刊号 (2007), 94-116. この記事に多少手を入れたものは ここ からダウンロードできます．
[4]M. Rathjen, Fragments of Kripke-Platek set theory with infinity, in: Proof Theory (Leeds, 1990), Cambr
154:idge Univ. Press, (1992), 251-273. [5]S. Shelah, on the Arrow property, Advances in Applied Math 34 (2005), 217--251. 少し専門的になりますが， 基礎の公理は選択公理の不在のもとでは，ある種の弱い選択公理の substitute として使えるので，これも仮定しないときに何が言えるのかを調べることは， 基礎の公理が集合論でになっている役割を明らかにする， という観点からも興味のある問題となります． たとえば，選択公理と Axiom of Multiple Choice は基礎の公理を仮定したときには同値になることが知られていますが (この証明に関しては Andres Caicedo の書いたよくまとまった学生向けのテキストがネットからダウンロードできます)， 基礎の公理を落とすと同値でないことが consistent になることが， Fraenkel-Mostowski のモデルを用いて証明できます． これを示すモデルが atoms を導入せずに作れるのか，というのは多分未解決の問題ではないかと思います． 以上
155:１３２人目の素数さん
19/03/09 22:54:31.04 RtAkoZaQ.net
数学的帰納法の原理は正則性公理無しに証明可能
を
ZF公理系に正則性公理は不要
と曲解するバカがいるようですなｗ
156:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 23:07:38.96 9Sqq12HI.net
>>134 補足
「数理論理学II 坪井明人 University of Tsukuba」
補題 23 証明 「基礎の公理を用いると，
Aの中で ∈ に関して極小な元が存在する（x の元なのでそれは順序数）」
”この形で表現した補題 23 を超限帰納法とよぶ．
”
ここで、「 ∈ に関して極小な元が存在する」にご注目（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
坪井明人ロジックの部屋 University of Tsukuba
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
学部（数学類）関連
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
数理論理学II 坪井明人 University of Tsukuba
(抜粋)
Ｐ13
1.3 順序数
順序数を表すために，α, β, . . . を用意する．この記法のもとに，例えば
∃αφ(α) は，論理式 ∃x(Ord(x) ∧ φ(x)) の省略形と考える．
補題 23. ∃αφ(α) → ∃β(φ(β) ∧ ∀y ∈ β￢φ(y))
が成立する．
証明. φ(α) を仮定する．集合 A = {x ∈ α : φ(x)} に基礎の公理を用いると，
Aの中で ∈ に関して極小な元が存在する（x の元なのでそれは順序数）．
β ∈ αをそのような極小元とする．
β が求める元であることを示す．極小性から任意
の y ∈ β は A に属さない．
y ∈ α は推移性から成立しているので，このことは
￢φ(y) を意味する．
上の補題は，与えられた（妥当な）条件に対して，それを満たす極小の順序
数が存在することを意味している．φ(α) は α 以外の自由変数を持っていてもよい．
注意 24. 補題 23 の対偶を考えると，（ψ = ￢φ として）次の論理式が成り立つ
のが分かる：
∀β(∀y ∈ βψ(y) → ψ(β))→ ∀αψ(α).
この形で表現した補題 23 を超限帰納法とよぶ．
(引用終り)
157:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/09 23:25:42.65 9Sqq12HI.net
>>137
この説明分り易いね（＾＾
URLﾘﾝｸ(tech-blog.rei-frontier.jp)
Rei Frontier Tech Blog レイ・フロンティア株式会社のデータアナリストの齋藤です。
ZFC公理系について：その3 2017-11-16
(抜粋)
正則性公理
αを任意の順序数とするとき、
α∈α+∈(α+)+∈・・・
となり、このような列はいくらでも延ばすことができます。
しかし、αから"左へ"いくらでも列を延ばすことはできません。
たとえば α=2 とすれば 2∋1∋0 でスト
158:ップです。 一般に、αを任意の順序数とするとき、 αに含まれる元βで γ∈β→γ not∈a が成り立つものが存在します （β=0とすればよい）。 このことがより一般的に成り立つことを主張するのが、つぎの公理です： (Set9) 正則性公理 ∀a[a≠Φ→∃b(b∈a∧a∩b=Φ)] 普通の言葉でいうと、 「空でない集合aに対して、その元bで、bのいかなる元もaには含まれないものが存在する」 ということになります。 たとえば、xを任意の集合とし、 a={x} とおけば、 aの元は xのみなので、正則性公理から {x}∪x=Φ となり、したがって x not∈x が成り立ちます。 すなわち、正則性公理を仮定すれば、集合がそれ自身を元として含むという状況は起こらなくなります。 (引用終り) 注：おそらく {x}∪x=Φ→{x}∩x=Φ （下から3行目）で、タイポでしょう（＾＾
159:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 07:44:43.52 rk/29Zdt.net
>>138
＜超限帰納法＞
ブリタニカ：αで番号づけるために，選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならないが，超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い。
世界大百科事典：これでよい理由は，Pλが正しくないようなλがあったとして，そのようなλ全体の集合をMとすれば，Λが整列集合という仮定により，Mに最小元αがある。するとμ＜αならばPμが正しいのだから，Pαも正しいはずで，α∈Mに反する。
＜数学的帰納法＞
ブリタニカ：自然数全体の集合を定義したペアノの公理系の第5公理を基礎に導かれる論法である。そこでペアノの第5公理を数学的帰納法の公理と呼ぶ。
URLﾘﾝｸ(kotobank.jp)
コトバンク
(抜粋)
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説
超限帰納法
transfinite induction
順序数αで番号づけられた命題 P(α)について，ξ＜αについて P (ξ) が成立すれば，P (ξ) を証明することによって P (α) を証明する方法。
自然数についての数学的帰納法を一般化したものである。
αで番号づけるために，選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならないが，超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い。
世界大百科事典 第２版の解説
【超限帰納法 transfinite induction】
一般化された数学的帰納法の一種で，次のような証明法である。
”整列集合Λの各元λに命題Pλが対応しているとき，次のことが証明できれば，すべてのPλは正しい。
〈各λ∈Λに対して，μ＜λならばPμが正しいという仮定のもとで，Pλは正しい〉。”
これでよい理由は，Pλが正しくないようなλがあったとして，そのようなλ全体の集合をMとすれば，Λが整列集合という仮定により，Mに最小元αがある。
するとμ＜αならばPμが正しいのだから，Pαも正しいはずで，α∈Mに反する。
つづく
160:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 07:45:16.39 rk/29Zdt.net
>>139
つづき
URLﾘﾝｸ(kotobank.jp)
コトバンク
(抜粋)
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説
数学的帰納法
mathematical induction
自然数 n についてのある命題 A(n) において，A(1) は真である，ある任意の自然数 s について A(s) が真であると仮定すれば A(s＋1) もまた真である，という2つのことが証明されれば，A(n) はすべての自然数 n について真であるという推論が成り立つ。
この推論を数学的帰納法あるいは完全帰納法といい，自然数全体の集合を定義したペアノの公理系の第5公理を基礎に導かれる論法である。
そこでペアノの第5公理を数学的帰納法の公理と呼ぶ。
デジタル大辞泉の解説
【数学的帰納法】
数学で、自然数nの命題が、n＝1のときに成り立ち、次にn＝kのときに成り立つと仮定して、n＝k＋1のときにも成り立つことを証明すれば、この命題は任意の自然数nについて成り立つという証明法。完全帰納法。
(引用終り)
以上
161:１３２人目の素数さん
19/03/10 07:50:59.56 GIdC0pS8.net
>>135
>基礎の公理を放棄することは，
>超限帰納法を駆使する集合論的数学の大きな部分について，
>そのような数学での結果を，ユニヴァースの well-founded part に
>制限したときに成り立つ結果と読みかえる，
>ということを余儀無くされることを意味します
ほら、フチノも書いてるじゃん
ユニヴァースの well-founded part については超限帰納法�
162:ｪ成立するって 基礎の公理がないからっていって、 ユニヴァースの well-founded part が全然無くなる わけじゃないんだよ スレ主はそんなことも分からん白痴
163:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 09:33:09.42 rk/29Zdt.net
>>139-140 補足
下記「超限帰納法」の証明、しっかり書いてあるのだが、長いので部分のみコピー
リンク先を見て下さい
URLﾘﾝｸ(cai3.cs.shinshu-u.ac.jp)
集合の基礎的性質その３ 師玉康成 信州大
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この文書について...
集合の基礎的性質その３
この文書はLaTeX2HTML 翻訳プログラム Version 2002-2-1 (1.70)
Copyright c 1993, 1994, 1995, 1996, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds,
Copyright c 1997, 1998, 1999, Ross Moore, Mathematics Department, Macquarie University, Sydney.
を日本語化したもの( 2002-2-1 (1.70) JA patch-2.0 版)
Copyright c 1998, 1999, Kenshi Muto, Debian Project.
Copyright c 2001, 2002, Shige TAKENO, Niigata Inst.Tech.
を用いて生成されました。
翻訳は Katsumi WASAKI によって 平成17年10月12日 に実行されました。
Yasunari SHIDAMA
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超限帰納法
(抜粋)
Xが整列集合とし,P(x)は関係式とします。
が成立ちます。これを自然数での数学的帰納法になぞらえて超限帰納法と呼びます。
[証明] 前半の関係式
が空集合でないことになります。 するとXは整列集合でしたから Ｙ=⊂ Xには最小元 x∈Yが存在します。
が整列順序集合であることも明らか。（Xを最大元としてS(X)に加える。）
(引用終り)
164:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 09:38:38.31 rk/29Zdt.net
>>139 補足
>ブリタニカ：αで番号づけるために，選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならないが，超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い。
このブリタニカ説明が、ちょっと意味不明
選択公理を前提にしていると、いろんな推論で、心配がないことは言えると思うが、
「選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならない」とか
「超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い」とか
これだけだと、意味わからん（＾＾
URLﾘﾝｸ(cai3.cs.shinshu-u.ac.jp)
整列可能定理
(抜粋)
以下の定理が知られています。
[ツェルメロの整列可能性定理] 任意の集合E上に整列順序が存在する。
以下に証明を述べますが,
Xが有限集合か,自然数の集合Nとの間に双射が存在するなら整列順序を入れることは 難しくありません。
Nとの間に双射が存在しなくても,順序を定義する方法の,アイデアの一つは,次のようなものです。
まず,x ∈ Eを一つ取り出し,これを定義したい順序で,最初の要素とします。 次に E ＼{x}から要素y ∈ Xを取り出し,これをXの次の要素とします。さらに E ＼ {x,y}から要素z ∈ Xを取り出し,これをyの次の要素とします。無論はEは無限集合で,しかも,Nとの間に双射が定義されず,１番目,２番目,…,と要素の選択を「数学的帰納法」で定義できないかもしれません。
そこで,任意のE部分集合Y ⊆ Xに対して,
τ(Y) ∈ E ＼ Y
となるような写像τを作ります。このような写像は,Eのべき集合
B(E)={Y｜ Y ⊆ E}
を使って造られる集合の族,
この集合が空集合でないことは,
ですので選択公理によって保証されます。
τ(Y), Y ⊆ E, Y ≠ E
の直感的な意味は,Yの全ての要素により(順序Rについて)真に大きい要素で,しかもそのような要素の中では,一番小さい要素です。
です。 [ツェルメロの定理の証明終]
[補題]
[補題の証明]
に矛盾する。 [補題の証明終]
165:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 09:50:1
166:8.99 ID:rk/29Zdt.net
167:１３２人目の素数さん
19/03/10 10:06:10.70 GIdC0pS8.net
>143
>>基礎の公理がないからっていって、
>>ユニヴァースの well-founded part が全然無くなる
>>わけじゃないんだよ
>そうだね
では、数学的帰納法や超限帰納法の全てに「基礎の公理」が不可欠
という貴様の発言は全くの誤りだな
>しかし、
言い訳は無意味 舌噛み切って死ね
P.S.
>基礎の公理を仮定したら集合論が、すっきりするよと
貴様、最後に「と」をつける馬鹿な癖が最後まで抜けなかったな
日本人じゃないだろ ん？貴様、北朝鮮人か？
168:１３２人目の素数さん
19/03/10 10:06:46.64 GIdC0pS8.net
>>143
>>基礎の公理がないからっていって、
>>ユニヴァースの well-founded part が全然無くなる
>>わけじゃないんだよ
>そうだね
では、数学的帰納法や超限帰納法の全てに「基礎の公理」が不可欠
という貴様の発言は全くの誤りだな
>しかし、
言い訳は無意味 舌噛み切って死ね
P.S.
>基礎の公理を仮定したら集合論が、すっきりするよと
貴様、最後に「と」をつける馬鹿な癖が最後まで抜けなかったな
日本人じゃないだろ ん？貴様、北朝鮮人か？
169:１３２人目の素数さん
19/03/10 10:39:02.35 P9iEWxsH.net
大事なことなので二度と…w
170:１３２人目の素数さん
19/03/10 10:40:08.38 P9iEWxsH.net
わっ、本当に最後に「と」が入ってもうたわwwwwww
171:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 11:06:23.72 rk/29Zdt.net
>>143
＜Well-founded relation（後述引用ご参照）＞
１）
”on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S. In other words, a relation is well founded if
(∀ S ⊆ X)[S ≠ Φ → (∃ m ∈ S)(∀ s ∈ S) ￢ (sRm)].”
（>>138）「(Set9) 正則性公理 ∀a[a≠Φ→∃b(b∈a∧a∩b=Φ)]」などと対比するのが、分り易いかも
つまり、正則性公理は、set theoryだが、on a class Xとして、”Well-founded relation”を一度理解して、
それとの比較で、正則性公理を考える（∈を使った順序の中の話しとして、考えるべしと）
２）
”In set theory, a set x is called a well-founded set if the set membership relation is well-founded on the transitive closure of x.
The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, asserts that all sets are well-founded.”
正則性公理の説明
３）
”When the well-founded relation is set membership on the universal class, the technique is known as ∈-induction.”
”∈-induction”というのは、集合論で最初に使う”∈を使った順序”での、induction（帰納法）だよと
つづく
172:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 11:08:35.27 rk/29Zdt.net
>>149
つづき
４）
”As an example, consider the well-founded relation (N, S), where N is the set of all natural numbers, and S is the graph of the successor function x → x + 1.
Then induction on S is the usual mathematical induction, and recursion on S gives primitive recursion.
If we consider the order relation (N, <), we obtain complete induction, and course-of-values recursion.
The statement that (N, <) is well-founded is also known as the well-ordering principle
173:.” これ、普通の自然数に対する数学的帰納法な ５） ”The Mostowski collapse lemma implies that set membership is a universal among the extensional well-founded relations: for any set-like well-founded relation R on a class X which is extensional, there exists a class C such that (X,R) is isomorphic to (C,∈).” 和訳 「モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma) によれば、集合要素関係 (set membership) は普遍的な整礎関係である。 つまり、クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる。」 とある。なので、(X, R) → (C, ∈) なので、”∈を使った順序”というのは、結構普遍的（universal） ６） Reflexivity "For example, in the natural numbers with their usual order >=, we have 1 >= 1 >= 1 >= ・・・. " ここで、「>=, we have 1 >= 1 >= 1 >= ・・・」の例を挙げているけど、”∈を使った順序”で、∋は >=では無く、>だよと定義するのが、正則性公理の意味の別の側面だろう つづく
174:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 11:09:21.34 rk/29Zdt.net
or any s ∈ S. In other words, a relation is well founded if
(∀ S ⊆ X)[S ≠ Φ → (∃ m ∈ S)(∀ s ∈ S) ￢ (sRm)].
Some authors include an extra condition that R is set-like, i.e., that the elements less than any given element form a set.
Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.[1][2]
In order theory, a partial order is called well-founded if the corresponding strict order is a well-founded relation. If the order is a total order then it is called a well-order.
In set theory, a set x is called a well-founded set if the set membership relation is well-founded on the transitive closure of x.
The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, asserts that all sets are well-founded.
A relation R is converse well-founded, upwards well-founded or Noetherian on X, if
つづく
175:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 11:10:57.56 rk/29Zdt.net
>>151 これ失敗でボツな（＾＾；
貼り直し
>>150
つづき
（参考引用）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
(抜粋)
Well-founded relation
"Noetherian induction" redirects here. For the use in topology, see Noetherian topological space.
In mathematics, a binary relation, R, is called well-founded (or wellfounded) on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S. In other words, a relation is well founded if
(∀ S ⊆ X)[S ≠ Φ → (∃ m ∈ S)(∀ s ∈ S) ￢ (sRm)].
Some authors include an extra condition that R is set-like, i.e., that the elements less than any given element form a set.
Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.[1][2]
In order theory, a partial order is called well-founded if the corresponding strict order is a well-founded relation. If the order is a total order then it is called a well-order.
In set theory, a set x is called a well-founded set if the set membership relation is well-founded on the transitive closure of x.
The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, asserts that all sets are well-founded.
A relation R is converse well-founded, upwards well-founded or Noetherian on X, if
つづく
176:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 11:12:05.10 rk/29Zdt.net
>>152
つづき
Contents
1 Induction and recursion
2 Examples
3 Other properties
4 Reflexivity
Induction and recursion
On par with induction, well-founded relations also support construction of objects by transfinite recursion. Let (X, R) be a set-like well-founded relation and F a function that assigns an object F(x, g) to each pair of an element x ∈ X and a function g on the initial segment {y: y R x} of X. Then there is a unique function G such that for every x ∈ X,
As an example, consider the well-founded relation (N, S), where N is the set of all natural numbers, and S is the graph of the successor function x → x + 1. Then induction on S is the usual mathematical induction, and recursion on S gives primitive recursion.
If we consider the order relation (N, <), we obtain complete induction, and course-of-values recursion. The statement that (N, <) is well-founded is also known as the well-ordering principle.
There are other interesting special cases of well-founded induction. When the well-founded relation is the usual ordering on the class of all ordinal numbers, the technique is called transfinite induction. When the well-founded set is a set of recursively-defined data structures, the technique is called structural induction.
When the well-founded relation is set membership on the universal class, the technique is known as ∈-induction. See those articles for more details.
つづく
177:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 11:13:00.87 rk/29Zdt.net
>>153
つづき
Other properties
If (X, <) is a well-founded relation and x is an element of X, then the descending chains starting at x are all finite, but this does not mean that their lengths are necessarily bounded. Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer.
Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite)
178: length; the chain ω, n ? 1, n ? 2, ..., 2, 1 has length n for any n. The Mostowski collapse lemma implies that set membership is a universal among the extensional well-founded relations: for any set-like well-founded relation R on a class X which is extensional, there exists a class C such that (X,R) is isomorphic to (C,∈). Reflexivity A relation R is said to be reflexive if a R a holds for every a in the domain of the relation. Every reflexive relation on a nonempty domain has infinite descending chains, because any constant sequence is a descending chain. For example, in the natural numbers with their usual order >=, we have 1 >= 1 >= 1 >= ・・・. To avoid these trivial descending sequences, when working with a reflexive relation R it is common to use (perhaps implicitly) the alternate relation R′ defined such that a R′ b if and only if a R b and a ≠ b. In the context of the natural numbers, this means that the relation <, which is well-founded, is used instead of the relation =<, which is not. In some texts, the definition of a well-founded relation is changed from the definition above to include this convention. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82 整礎関係 （多分、上記の和訳（多分ちょっと古い版）） (引用終り) 以上
179:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 11:20:32.16 rk/29Zdt.net
>>143
>「選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならない」とか
（>>152より）
Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.[1][2]
(引用終り)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Axiom of dependent choice
(抜粋)
In mathematics, the axiom of dependent choice, denoted by DC, is a weak form of the axiom of choice (AC) that is still sufficient to develop most of real analysis.
It was introduced by Paul Bernays in a 1942 article that explores which set-theoretic axioms are needed to develop analysis.[a]
(引用終り)
という記述があるので、選択公理と全く無関係でもないみたいだね
180:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 11:23:18.10 rk/29Zdt.net
>>147-148
どうも。スレ主です。
それ、おもしろいわ（＾＾
181:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 12:29:09.79 rk/29Zdt.net
>>149 補足
> ２）
>”When the well-founded relation is set membership on the universal class, the technique is known as ∈-induction.”
>”∈-induction”というのは、集合論で最初に使う”∈を使った順序”での、induction（帰納法）だよと
ちょっと繰り返しになるが、>>55-56にも引用したけど
”∈-induction”というのは、集合論で最初に使う”∈を使った順序”での、induction（帰納法）と見ることもできて
”equivalent to the axiom of regularity given the other ZF axioms”だと
まあ、”∈”を等号抜きの”⊂”と思えば、包含関係の順序になるし
だから、”∈-induction”は結構普遍
それを、きちんと言ったのが、（>>150）モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma) （下記）
なので、”∈を使った順序”の視点で、
”Given the other axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction.”
は、全く正しい
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
モストフスキ崩壊補題
(抜粋)
一般化
全ての整礎的かつ集合状な関係は整礎的かつ集合状かつ外延的な関係に埋め込める。これはモストフスキ崩壊補題の変形を導く：整礎的かつ集合状な関係は、あるクラス上の∈-関係と同型である。(このクラスは一意的でないし、推移的である必要もない)
応用
ZFの集合モデルは集合状かつ外延的である。 モデルが整礎的なら本補題により、ZFの推移的モデルと一意的に同型である。
ZFのあるモデルの∈-関係が整礎的であるというのは、そのモデル内で正則性公理が成立するという主張よりも強いことに注意。
ZFは無矛盾であるとの仮定の下で、ZFのモデルMで、 その論議領域にR-極小要素をもたない部分集合AをもつがAはそのモデル内で集合でないというものがある。(Aの要素が全て議論領域内にあってもAはモデルの議論領域内に無い)
もっと正確には、そうでない集合AにはMの要素xでA = R?1[x]となるものが存在する。だからMは正則性公理を満たす(内部的には整礎的である)が、Rは整礎的関係でなく、この崩壊補題も適用できない
(引用終り)
つづく
182:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 12:33:46.63 rk/29Zdt.net
>>157
つづき
（>>55-56より再録）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Epsilon-induction
(抜粋)
In mathematics, ∈ -induction is a variant of transfinite induction that can be used in set theory to prove that all sets satisfy a given property P[x].
If the truth of the property for x follows from its truth for all elements of x, for every set x, then the property is true of all sets.
This principle, sometimes called the axiom of induction (in set theory), is equivalent to the axiom of regularity given the other ZF axioms. ∈ -induction is a special case of well-founded induction.
The Axiom of Foundation (regularity) implies epsilon-induction.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Axiom of regularity
(抜粋)
However, regularity makes some properties of ordinals easier to prove; and it not only allows induction to be done on well-ordered sets but also on proper classes that are well-founded relational structures such as the lexicographical ordering on {(n,α)｜ n∈ ω ∧ α is an ordinal }.
Given the other axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction.
The axiom of induction tends to be used in place of the axiom of regularity in intuitionistic theories (ones that do not accept the law of the excluded middle), where the two axioms are not equivalent.
In addition to omitting the axiom of regularity, non-standard set theories have indeed postulated the existence of sets that are elements of themselves.
Contents
1.1 No set is an element of itself
1.2 No infinite descending sequence of sets exists
1.3 Simpler set-theoretic definition of the ordered pair
2 The axiom of dependent choice and no infinite descending sequence of sets implies regularity
3 Regularity and the rest of ZF(C) axioms
4 Regularity and Russell's paradox
(引用終り)
以上
183:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 12:51:17.94 rk/29Zdt.net
>>139
>＜数学的帰納法＞
>ブリタニカ：自然数全体の集合を定義したペアノの公理系の第5公理を基礎に導かれる論法である。そこでペアノの第5公理を数学的帰納法の公理と呼ぶ。
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ペアノの公理
(抜粋)
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理） 二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[1]。
ラムダ計算はペアノの公理を満たす自然数の、異なる構成法を与える。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
算術の超準モデル (英: non-standard model of arithmetic) とは、（一階）ペアノ算術のモデルのうち、通常の自然数ではない要素（超準数）を含むようなモデルのことである。
それに対し、通常の自然数 N は算術の標準モデルと呼ばれる。ペアノ算術の任意のモデルは線形順序で並んでおり、 N と同型な切片を持つ。超準モデルは、その切片の外に元を持つようなモデルであると言える。
可算超準モデルの構造
超積モデルは非可算となることが知られている。このことを見る一つの仕方は N の無限直積から超積モデルへの単射を構成すればよい。
他方でレーヴェンハイム-スコーレムの定理により、可算な算術の超準モデルが存在しなければならない。
構成法の一つとしてヘンキン構成を用いた方法がある。
URLﾘﾝｸ(www2.kobe-u.ac.jp)
^ 坪井明人 数学基礎論サマースクール モデル理論入門
(引用終り)
つづく
184:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 12:52:44.84 rk/29Zdt.net
>>159
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
レーヴェンハイム?スコーレムの定理（英: Lowenheim?Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
例と帰結
自然数を N、実数を R とする。この定理によれば、(N, +, ×, 0, 1) の理論（真の一階算術の理論）には非可算なモデルがあり、(R, +, ×, 0, 1) の理論（実閉体の理論）には可算なモデルがある。もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。
レーヴェンハイム?スコーレムの定理は、それらの公理化が一階ではあり得ないことを示している。例えば、線型順序の完備性は実数が完備な順序体であることを特徴付けるのに使われるが、その線型順序の完備性は一階の性質ではない。
理論が範疇的 categorical であるとは、同型の違いを除いて唯一のモデルを持つことを意味する。この用語は1904年、オズワルド・ヴェブレンが考案したもの[1]で、その後しばらくの間、数学者らは集合論を範疇的な一階の理論で記述することで、数学の堅固な基盤を築けると考えていた。レーヴェンハイム-スコーレムの定理はこの希望への最初の打撃となった。
なぜなら、その定理によれば無限のモデルを持つ一階の理論は範疇的にはなり得ないからである。さらに1931年、ゲーデルの不完全性定理によって希望は完全に打ち砕かれた。
つづく
185:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 12:57:30.92 rk/29Zdt.net
>>160
つづき
レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた
例えば、真の算術には非可算なモデルがあり、それらは一階のペアノ算術を満足するが、同時に帰納的でない部分集合を持つ
さらに、集合論の可算なモデルの存在である。集合論は実数が非可算であるという文を満たさなければならない。この直観に反するような状況はスコーレムのパラドックスと呼ばれ、可算性 は絶対的ではないことを示している
歴史
以下の記述は主に Dawson (1993) に基づいている。モデル理論の初期の歴史を理解するには、統語論的整合性（一階論理の推論規則を使って導かれるものには矛盾がないこと）と充足可能性（モデルがあること）を区別しなければならない
いくぶんか驚くべきことに、ゲーデルの完全性定理がこの区別を不要とする以前でさえも、整合性 (consistency) という用語は場合によって違う意味で使われていた
後にモデル理論となる重要な成果は、レオポルト・レーヴェンハイム が "Uber Moglichkeiten im Relativkalkul"（1915年）で発表した下記の「レーヴェンハイムの定理」であった
スコーレムの名が下方の定理（下降定理）だけでなく上方の定理（上昇定理）にも付与されているのは、ある意味で皮肉である
「私は、系 6.1.4 を慣例に従って上方レーヴェンハイム-スコーレムの定理と呼ぶ。しかし、実のところスコーレムは非可算集合の存在を信じておらず、したがってこの定理の意味するところを信じてすらいなかった」 - Hodges (1993)
「スコーレムは … その結論を意味がないとして拒絶した。タルスキは … スコーレムの形式主義的観点に立つなら、上方の定理を無意味だとするなら下方レーヴェンハイム-スコーレム定理も無意味とすべきではないか、と非常に適切に応えた」 - Hodges (1993)
「トアルフ・スコーレムは亡くなる直前まで、この定理に彼の名が冠せられていることに憤慨していたという。彼は非可算集合の存在そのものが不合理であるとし、実在しないと考えていた」 - Poizat (2000)
参考文献
レーヴェンハイム-スコーレムの定理は、モデル理論や数理論理学の教科書には必ずといってよいほど登場する。
(引用終り)
以上
186:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 13:07:29.46 rk/29Zdt.net
>>159
>^ 坪井明人 数学基礎論サマースクール モデル理論入門
パワーポイントなので、ちょっと読みにくいが、貼る（＾＾
URLﾘﾝｸ(www2.kobe-u.ac.jp)
数学基礎論サマースクール ２０１１
URLﾘﾝｸ(www2.kobe-u.ac.jp)
チュートリアル2 モデル理論入門1 坪井明人（筑波大）
URLﾘﾝｸ(www2.kobe-u.ac.jp)
チュートリアル2 モデル理論入門1 坪井明人（筑波大）
(抜粋)
自然数の超準モデル
自然数の真の拡大 N* ＞ N の存在は示した．
実数の真の拡大も同様に存在する�
187:D (引用終り)
188:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 13:28:04.41 rk/29Zdt.net
>>160 追加参考＜対訳＞
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Lowenheim-Skolem theorem
(抜粋)
Examples and consequences
Many consequences of the Lowenheim?Skolem theorem seemed counterintuitive to logicians in the early 20th century, as the distinction between first-order and non-first-order properties was not yet understood.
One such consequence is the existence of uncountable models of true arithmetic, which satisfy every first-order induction axiom but have non-inductive subsets.
Another consequence that was considered particularly troubling is the existence of a countable model of set theory, which nevertheless must satisfy the sentence saying the real numbers are uncountable.
This counterintuitive situation came to be known as Skolem's paradox; it shows that the notion of countability is not absolute.
＜対訳＞
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
レーヴェンハイム?スコーレムの定理
(抜粋)
例と帰結
レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。
例えば、真の算術 (true arithmetic) には非可算なモデルがあり、それらは一階のペアノ算術を満足するが、同時に帰納的でない部分集合を持つ。さらに悩ましかったのは、集合論の可算なモデルの存在である。
それにもかかわらず、集合論は実数が非可算であるという文を満たさなければならない。
この直観に反するような状況はスコーレムのパラドックスと呼ばれ、可算性 (countability) は絶対的 (absolute) ではないことを示している。
189:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 13:40:49.47 rk/29Zdt.net
>>162
まだ、下記の嘉田 勝先生の「超冪による自然数論の超準モデルの構成」の方が読める・・（＾＾；
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
嘉田勝
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
資料公開
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
超冪による自然数論の超準モデルの構成
嘉田 勝
2013 年 1 月 16 日 / 2014 年 6 月 11 日改訂
(抜粋)
4. N の超冪は自然数論の超準モデルである
ストラクチャー N には，0N < x, 1N < x, . . . をすべて同時にみたす要素 x は存在しない．
したがって，ストラクチャー M はストラクチャー N と同型ではない．
なぜこのようなことが起こるのか？ それは，「x は無限大の自然数である」という性質が言語 L
の論理式で記述できないからである．
1 階述語論理の論理式構成規則では，L の個々の定数記号 0, 1, . . . について 0 < x, 1 < x, . . . と
いう論理式は作れるが，「それらすべての AND」を意味する論理式は構成できない．
つまり，1 階述語論理では「無限大の自然数」というコンセプトを表現できないために，
ストラクチャーに「無限大の自然数」が存在したとしても，1 階述語論理の記述能力の範囲ではその存在を認識できない
（あるかないかを論理式の真偽で判定できない）のである．*4
*4 「x は無限大の自然数である」は論理式で ∀n ∈ N (n < x) と書けばよい，と思うかもしれない．
しかし，それは早計である．
1 階述語論理の論理式では “∈ N” の部分を記述する方法がないからである．
∀n (n < x) だと，（もし「無限大の自然数」が存在すれば）n の変域が「無限大の自然数」にも及ぶので，意図通りの主張の表現にはならない．
190:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 13:53:46.67 rk/29Zdt.net
>>164 追加
ああ、これわりと良いわ（＾＾
PDF版の方がお薦め。絶対見やすい
URLﾘﾝｸ(konn-san.com)
数学関係をまとめておくばしょ konn-san.com
URLﾘﾝｸ(konn-san.com)
超積によるコンパクト性定理の証明と超準モデル ─君の知らない自然数─ konn-san.com
posted on 2013/03/09 00:00:00 JST
(抜粋)
PDF版 URLﾘﾝｸ(konn-san.com)
5．自然数の超準モデル
ここでは，超冪を用いて自然数の超準モデルを構成する．超準モデル（non-standard model）というのは，通常期待されるような物と
191:異なるモデルでありながら，一階述語論理の範囲内では全く同じ性質を持つようなモデルのことである． 元の狭義減少列 α_0 > α_1 > ・・・ > α_n > ・・・ が得られる． これらはいずれも 0 より大きい．よって自然数の狭義減少列が得られたことになる． しかし，自然数の整列性から狭義減少列は存在しない筈だ．どういうことか？ 今我々が考えているのは，「一階述語論理」で書ける範囲の理論であった． つまり，「狭義減少列が存在しない」とか「自然数は整列する」といった概念は，一階述語論理では書けないと云うことが，この事実の伝える事なのである． 自然数の整列性は，「任意の自然数からなる部分集合に最小値が存在する」という形で述べられるが，この「部分集合」に対する量化が一階述語論理では行えないのである*3． このことは，「自然数の部分集合」全体は非可算無限個存在するが，自然数の理論自体は可算言語で記述されるため，高々可算個の部分集合しか扱えない，ということを考えるとちょっと分かり易いのではないだろうか． *3.そうはいっても，「集合と位相」などの講義でそういったことを証明したぞ，と思われるかもしれない． あれが上手くいくのは，集合論の中で自然数や数列といった対象を扱っているからである
192:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 14:04:52.60 rk/29Zdt.net
>>162
関連
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
坪井明人（筑波大）
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
数理論理学Ｉ 坪井明人（筑波大）
Mathematical Logic I
09 年 講義ノート
3 ウルトラプロダクトとコンパクト性 11
3.1 ウルトラフィルター . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 ウルトラプロダクト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 コンパクト性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 L¨owenheim-Skolem の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 超準解析の基礎 28
5.1 R の拡大 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2 連続関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3 コンパクト集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.4 微分可能性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.5 積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.6 重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
P17
例47 （自然数の超準モデルの存在）
193:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 14:14:45.71 rk/29Zdt.net
>>166 追加
これは数学ではないが、ご参考まで
URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
大きな数としての超準数
―超準数と厳格有限主義―
矢田部 俊介 科学哲学科学史研究 (2012), 6: 1-15 2012-02-28 京大紅リポジトリ
(抜粋)
1 はじめに
形式的な自然数論において，個体記号 0 と後者関数 S を使い構成される項を数値
と呼ぶ．例えば SS0 は 2 を表現する数値である．（原理的に）数値として表現できる
自然数のことを標準的自然数（標準数）と呼び，数値では表現できない自然数を超準
的自然数（超準数）と呼ぶ．多くの場合，自然数概念について論じる哲学者は，古典
論理上のペアノ算術（PA）の標準モデルを特権的なものであると考え，超準数の存
在を真剣に考慮することを拒否する傾向があるように見受けられる．例えば，構造主
義者にとって，算術とはたった一つの構造， PA の標準モデルについてのものである
（Halbach and Horsten 2005）．もちろん，PA およびその帰納的な拡大では不完全性定
理によって超準モデルの存在が排除できない．従って，標準モデルを指定するために
は ω-規則や二階古典論理の採用など，算術を越えた手法が必要となる．
ここではネルソン（Nelson 1977）を参照し，厳格有限主義 (SF) の立場は，
ダメットの批判（Dummett 1975）にもかかわらず，少な
くとも整合的であり，数学者の自然数の捉え方を解釈する上で参考�
194:ﾆなることを示す． 4 結論 小論では，人間の自然数の捉え方について PA の標準モデルに固執する立場を攻撃 し，非古典的な多くの体系も算術とみなす数理論理学者の自然数の捉え方は SF によっ て解釈できることを論じた． (引用終り)
195:１３２人目の素数さん
19/03/10 14:37:16.78 GIdC0pS8.net
スレ主発狂
自分の些細な誤りも認められない
チキンの哀れな末路
196:１３２人目の素数さん
19/03/10 15:38:11.77 JpEw/Vqj.net
時枝でフルボッコされたスレ主は逃亡先の集合論でもやはりフルボッコされましたとさ
197:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 19:35:21.42 rk/29Zdt.net
>>68
>新歓でちょっとした数学の記事を書くんだけど、「数学がZFCから作られていることを実感してもらうためにZFからペアノの公理のモデルでも構成するか」とか思ってたの、難しすぎ感あるな。
二つのコースがあって
１）一つは、前スレ61で下記に示すように、ZF中で正則性公理を使うコース
２）も一つは、ピエロちゃんの、ZF中で正則性公理を使わないコース
(引用終り)
ここ、いままでを纏めると、下記
１．フォン・ノイマンがここで案出した「要素が集合の帰属関係∈ で 整列されるような集合を順序数とする」構成を使って、
自然数を構成する。（後述 渕野昌PDF２つと、ペアノの公理 wikipedia ご参照）
２．自然数のペアノの第5公理＝数学的帰納法の公理だけれども（>>140）、
これは、自然数が整列集合であることと公理として同値だ（>>59）
３．正則性公理を使えば、これは（ZF公理系下で）帰納法の公理と同値(>>157)なので、自然数が整列集合であることは、即言える
あとは、”一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理） 二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[1]。”（>>159）をいう
４．しかし、正則性公理を使わないで、ペアノの第5公理＝数学的帰納法の公理を導くのは、”かがみのホームページ”のやり方だな
かがみさんがきちんと出来ているかどうかは、検証していないが、結構しっかり書いていたと思う
（余談だが、普通の教科書では、ここまで書けない（スペースの問題もあり）し、講義でも時間の関係で詳しくやれないと思う）
５．あと、モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma)（>>157）などに触れて
”∈を使った順序”とか、”∈-induction”は、結構普遍で、ZFCの中での位置付けを語れば、完璧かもね（＾＾
つづく
198:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 19:37:27.48 rk/29Zdt.net
>>170
つづき
６．さらに、正則性公理の意味の補足
「>=, we have 1 >= 1 >= 1 >= ・・・」の例類似で、”∈を使った順序”で、∋は >=では無く、>（等号=含まず）(>>150と>>152)」だとか、
正則性公理の意味の別の側面で、それは極小元の存在保証（無限降下列禁止）の意味があるとか、そういう蘊蓄を、付け加えておけば、新歓としては良いだろうね（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(fuchino.ddo.jp)
渕野 昌，連続体仮説とゲーデルの集合論的宇宙（ユニヴァース）， 現代思想，2007年2月臨時増刊号 (2007), 94-116
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
特別企画 これから学ぶ人のために 公理的集合論 渕 野 昌 - J-Stage 渕野昌 著 数学 ?2013
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ペアノの公理 （ここにフォン・ノイマンの構成法がある）
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
かがみのホームページ プロフィール 学生時代の専攻は数学。今の趣味も数学。
URLﾘﾝｸ(evariste.jp)
199:2004年1月3日 自然数の構成と ω http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200402.html#20040201-2 2004年2月1日 自然数と数学的帰納法 http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200402.html#20040207-2 2004年2月7日 順序 http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200403.html#20040320-1 2004年3月20日 順序数の定義 http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200403.html#20040322-1 2004年3月22日(月) 整列順序 http://fuchino.ddo.jp/foundation.html 基礎の公理の成り立たない集合論 (non well-founded set theory) について 渕野 昌(Sakae Fuchino) Last modified: Sat Aug 13 14 以上
200:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 22:54:23.80 rk/29Zdt.net
>>170
（追加参考）
URLﾘﾝｸ(repository.lib.tottori-u.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(repository.lib.tottori-u.ac.jp)
第二階論理によるペアノ算術 田畑 博敏 鳥取大学教育地域科学部 2002
(抜粋)
はじめに
よく知られているように，ペアノは自然数に関する公理系を作ることにより，その公理から算術の真理を定理として導こうとした。
その公理の中に数学的帰納法の原理が含まれている。
第一階の論理によるこの原理の定式化は，いわゆる公理図式によるもので，具体的な一階の(自由変項を含む)論理式を代入することにより無数の公理が得られる。
それゆえ数学的帰納法の公理は無数の論理式に対応する無数の公理を含むことになる。
しかし，論理式はせいぜい可算個しかないゆえに，論理式が表す自然数の性質もせいぜい可算無限価しかない。
他方，第二階論理によって定式化される数学的帰納法の公理は単一の公理であり，それは，「すべての自然数の性質(集合)」 に言及していると解釈され，非可算個の性質(集合)を量化の範囲に含んでいる。
さらに，第一階の論理によるペアノの公理系はコンパクト性定理により標準モデルとは同型でない非標準モデルが存在するのに対して，第二階のペアノの公理系はカテゴリカルである(すなわち，すべてのモデルが同型的である)。
このような相違は，なによりも定式化の基礎にある論理の相違に由来している。
そこで，本論文の梗概はつぎのようになる。
まず第l節では第二階ペアノ算術の公理系を提示して，そのモデルのいくつかを考え，非標準的モデルにも触れる。
第2節では，第二階論理によるペアノの公理系がカテゴリカルであることを示す。
それを受けて，第3節では，公理系の意図されたモデルを，互いに同型なペアノ・モデルの代表としてとり，ここで原始回帰(primitiv erecursion)という定義図式によって定義される自然数上の演算(加法・乗法・巾法)の存在を示す。
第4節では，数学的帰納法のモデルではあるが，他のペアノの公理のモデルとはかぎらないモデルと， (意図された)自然数のモデル上の合同関係との，つながりを論じる。
つづく
201:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/10 22:54:50.53 rk/29Zdt.net
>>172
つづき
第一階論理を基礎にした第一階ペアノ算術には，自然数の構造に代表される，意図されたモデルとは同型でないモデル，非標準モデルが存在するO このことは，第一階論理において成り立つコンパクト性定理からの帰結である。
他方以下の補題(補題1. 2. 1)に見るように，第一階ペアノ算術のモデルである構造免が標準的数しか持たないことと，標準的数の集合がAにおいて第一階の式によって定義可能であることとは，必要十分の関係にある。
よって，第一階ペアノ算術が非標準モデルを持つということは意図された数(標準的数)が第一階の論理式では定義できない，ということを意味する。
「算術を適確に表現する」という観点からも，第一階論理の表現力の弱さが，ここで浮彫りになる。
さて，第一階ペアノ算術の非標準モデル，すなわち，意図された標準モデルと同型でないモデルの存在は，第一階論理のコンパクト性定理から(大まかには)以下のように導かれる。
2. 第二階ペアノ公理系のカテゴリー性
この節では，第二階ペアノ公理系がカテゴリカル(categorical)であること，すなわち任意のペアノ・モデルが同型である(isomorphic) であることを示す。
(引用終り)
以上
202:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/03/11 07:49:41.19 NUGiaq8/.net
>>171
> 「>=, we have 1 >= 1 >= 1 >= ・・・」の例類似で、”∈を使った順序”で、∋は >=では無く、>（等号=含まず）(>>150と>>152)」だと
下記 「例えばx={x}のような集合やx∈yかつy∈xなる集合は正則性の公理の下では集合にはなり得ない」という記述が、上記の「∋は >=では無く、>（等号=含まず）