19/03/03 15:16:45.71 EsgE3U3K.net
>>722 補足
戸松先生（下記）
「選択公理とは, このような無限回の操作が可能であることを認める公理であるといえる」
この選択公理と数学的帰納法のところを補足する
(引用開始)
URLﾘﾝｸ(www.ma.noda.tus.ac.jp)
数学IB No.6 担当: 戸松玲治
8 選択公理
(抜粋)
数学的帰納法によって
x1 < x2 < ・ ・ ・ < xn < ・ ・ ・ (8.1)
なるX 内の無限列(xn)∞ n=1 が取れる.
「論法」の数学的帰納法が示しているのは, 各n に対してxn < xn+1 となるxn+1 があることだ
けである. 問題はすべてのn に対して同時にx1 < x2 < ・ ・ ・ < xn < ・ ・ ・ となる元を取り出せるか, と
いうことにある(これができなければ, 有限時間に生きる我々には議論を終えることができない). 言
い換えるなら, 上記(8.1) を満たすような唯1 つに定まる写像f : N → X (n → xn) が我々にとれる
のであろうか？このように,「無限列を作る」という操作は一見簡単に見えて, 実は難しい.
選択公理とは, このような無限回の操作が可能であることを認める公理であるといえる. 我々には
不可能であるが, 当然のことのように思えるものだから, 公理として認めようというものである. つ
まり選択公理は超絶技巧なのであり, その武器を使用することを許したのである
(引用終り)
（言いたいことの要約）
１）選択公理は、整列可能定理と同値
２）整列可能定理は、自然数では、整列原理と呼ばれるが（後述）
整列原理と、数学的帰納法の原理は、同値（後述）
３）なので、可算選択公理 vs 整列原理 vs 数学的帰納法の原理（同値）の関係あり
４）なので、選択公理 vs 整列可能定理 vs 超限帰納法の原理
（”超限帰納法の原理”が同値かどうか未確認だが、上記４）との対比で、選択公理抜きでは、超限帰納法は 不成立だろう
「整列原理と数学的帰納法の原理が同値」だから、自然数の整列集合としての性質は、公理として決める必要あり
同様に、非可算無限集合の整列集合としての性質もまたは、公理として決める必要あり