19/02/22 08:00:58.29 oBN2mzcA.net
>>196 追加
以前にも紹介したが、
下記市川 尚志先生 Galois理論とその応用 講義録 も円分体について
コンパクトに纏まっているね
URLﾘﾝｸ(ichikawa.ms.saga-u.ac.jp)
市川 尚志 佐賀大学大学院 工学系研究科 数理科学専攻
URLﾘﾝｸ(ichikawa.ms.saga-u.ac.jp)
Galois理論とその応用 講義録
(抜粋)
3.3. 円分体と類体論.
円分体. 一般の自然数 n に対し ζn = e^2π√?1/n とおくとき、Q(ζn) を n 次の円分体と呼ぶ。
定理 3.3.1.
(1) Q(ζn) は有理数体 Q の Galois 拡大。
(2) 体の拡大次数 [Q(ζn) : Q] は、Euler の関数 φ(n) = |(Z/(n))^×| に等しい。
(3) 2.3「円分拡大」において定義された群の準同型写像
φ : Gal(Q(ζn)/Q) → (Z/(n))^× ; ただし σ(ζn) = ζn^φ(σ)
は同型写像になる。
(4) n を割り切らない素数 p に対し、
略
= (Z/(n))×の元 p の位数
とすると、Z の素イデアル (p) は、Z[ζn] において φ(n)/fp 個の相異なる素イデアル
の積に分解する。
注意. この定理と Kronecker-Weber の定理：
体 L が Q の Abel 拡大、すなわち L が Q の Galois 拡大で Gal(L/Q) が Abel 群ならば、
L ⊂ Q(ζn) を満たす自然数 n が存在する
より、Q の任意の Abel 拡大 L に対し、L/Q の Galois 群の構造と素数の分解の様子が記述
できる。
(引用終り)