現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む60

現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む60at MATH

現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む60 - 暇つぶし2ch573:名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/01/28(月) 01:03:38.54 ID:I3RTouch [1/4] >>168で「特化した証明」と書きましたが、まったく任意の実数xも含めて考えてみたので書きますね。当初考えていた証明→ sin のn倍角公式を使うものでしたが、オイラーの公式を使った方が簡単。オイラーの公式: e^(ix)=cos(x)+i*sin(x). そして、x:π/n の整数倍　とは限らず、x:任意の実数でもある程度の分析は可能→命題参照 Qを有理数体、Rを実数体とする。 xをπの整数倍ではない任意の実数とする。K=Q(cos(x)), L=Q(e^(ix))=K(i*sin(x)) とおくと L/K は2次拡大。また、L∩R=K という関係がある。以上のことから次の命題が成立することが分かる。命題　sin(x)∈K ⇔ i∈L. 最も簡単なケース（円分体） e^(ix)の整数乗でi に等しいものがあるとき ⇔ Lが1のn乗根（nは4の倍数）の体のとき i∈L だとしても、それが「e^(ix)の整数乗」という形で含まれるとは限らないので sin(x)\not∈K　の証明はより難しい。 sinとcos を入れ替えた場合→　x+π/2　として分析できる。（以上、オイラーの公式と初歩的な代数しか使ってない。） (引用終り)

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