19/02/11 00:00:44.35 qyW7buAe.net
>>522
つづき
で、これを因数分解で見ると
x^4p - 1
＝(x^2p - 1)(x^2p + 1)
＝(x^p - 1)(x^p + 1)(x^2p + 1)
＝0
x^p ＝ 1 から、ζpがでる
x^p ＝ - 1 から、- 1=e^πi を使ってζ2pがでるが、Q(ζp)＝ Q(ζ2p)
x^2p ＝ - 1 から、- 1=e^πi を使ってζ4pがでる
体の拡大の次数は
|Q(ζp)：Q|＝p-1
|Q(ζ2p)：Q|＝p-1
|Q(ζ4p)：Q|＝2(p-1)
|Q(ζp)∩ R：Q|＝|Q(ζ2p)∩ R：Q|＝(p-1)/2
|Q(ζ4p)∩ R：Q|＝p-1
>>114の
問1：cos(π/n)∈Q(sin(π/n)) の証明は、
>>158-159の通りで、
「nが奇数ならn-1=2mと表せてcosの2m倍角公式がsinだけで書ける」（spread 多項式 Smを使う）ことから従う
問2：sinπ/p not ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)＝Q(ζp)の略証は、>>178に書いた通り
あと残っているのは
”Q(sinπ/p) ＝ Q(ζ4p)∩ R ”が成り立つはずなのだが・・、
まだ示せていない（＾＾；
追伸
なお、ここらの式変形やテクニックは、円分体やガロア理論では頻出だったよね、確か（＾＾；
まあ、ガウスなら秒殺で浮かぶだろうことが、鈍才のスレ主は、思いだしながら１週間くらいかかったよ（＾＾
つづく