19/02/07 08:58:41.75 oVjUP8PL.net
問題
ピタゴラス方程式 a^2+b^2=c^2 の整数解が
abc≠0 のとき、自明でない解という。
αをピタゴラス方程式の自明でない解に対して
cos(απ)=a/c, sin(απ)=b/c
をみたす実数とすると、αは無理数であることを示せ。
解
C(α)が有限群のとき
それはcos(απ)+i*sin(απ)が1のべき根であることを意味する。
a/c+ib/cはガウス数体Q(i)の数だが
「Q(i)に含まれる1のべき根は1,-1,i,-i の4つしか存在しない」
ことより、a/c+ib/cは適合しない。
ゆえに、C(α)は無限群であり、αは無理数である。