211:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/06 23:39:27.57 C0V9I9pS.net
>>186
>ガウスはガロア理論を知りませんでしたが、円分体に関しては、ガロア理論と実質的に同様のことを理解していたといわれています。
>ガウスは、19歳のある朝、正17角形が作図可能であることに気が付きましたが、その着想を円分体論として公表したのが1801年、ガウスが24歳のときでした。（ガウス整数論（Disquisitiones Arithmeticae））
まあ、下記の「響きあうガロアとガウス―正 17 角形の作図問題（第２版）(上野孝司 著) 2016 年12 月５日」などをご参照
これ、ちょっと面白いよ（＾＾
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
物理のかぎしっぽ
URLﾘﾝｸ(hooktail.org)
寄稿
数学
上野孝司氏による『君の為の数学原論』シリーズ †
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
響きあうガロアとガウス―正 17 角形の作図問題（第２版）(上野孝司 著) 2016 年12 月５日
（ガロアのf 項周期について、図解するなど詳しくしました）
群の抽象性と散在性―シローの定理と位数12の群(上野孝司 著)
群の抽象性と散在性―シローの定理と位数12の群（第２版）(上野孝司 著)
恐るべし、数学技術―ガウス積分とバーゼル問題(上野孝司 著)
バーゼル問題一般化にベルヌーイの執念、cot の解析がカギ(上野孝司 著)
置換群に翻弄された方程式の可解性―ガロア理論再考(上野孝司 著)
置換群に翻弄された方程式の可解性―ガロア理論再考（第２版）(上野孝司 著)
Ｎ次元超球の体積はヤコビアン、曲面積は平行四辺形(上野孝司 著)
加群構造定理が源流―アーベル基本定理とジョルダン標準形(上野孝司 著)
金融工学 ‐ オプション価格は熱方程式、ブラック・ショールズモデル(上野孝司 著)
解析か代数か - 物理数学の第一歩、ルジャンドルの多項式(上野孝司 著)
あっと驚く証明―ケイレイ－ハミルトンの定理、行列式の応用(上野孝司 著)
金融工学：ポートフォリオのリスク評価は共分散ー資産選択理論(上野孝司 著)
環論と存在性―複素数とはなんだろうか(上野孝司 著)
ローラン展開と留数解析―複素解析概論(上野孝司 著)
驚くべき中国式剰余定理(上野孝司 著)
多変数解析への誘い―デカルトの葉線と陰関数定理(上野孝司 著)（シリーズ完結）
212:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 00:04:28.51 ZzZOHX/k.net
>>189 追加
ガウス教の教祖と言われる高瀬正仁先生の
下記
「円周の等分に関するガウスの理論」なども
ガウスは、円分体のガロア対応を知っていた説に立っています
http
213:s://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo04/4_4takase.pdf 高瀬正仁 クロネッカーの数論の解明 II アーベル方程式の構成問題への道 1994 (抜粋) [目次] はじめに 1. 円周の等分に関するガウスの理論 2. 代数方程式論におけるアーベルの基本理念 (引用終り) https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo04/ 第4回数学史シンポジウム(1993.10.23?24) 所報 8 1994 ・黒川信重 L関数の歴史 ・三宅克哉 代数的数論--Zolotareffの場合 ・笠原乾吉 アーベルと特異モジュラー方程式 ・高瀬正仁 クロネッカーの数論の解明 II アーベル方程式の構成問題への道 ・鹿野健 いたる所微分不可能な連続関数の話題 ・足立恒雄 純粋数学のあけぼの --- 古代ギリシャにおける數学と哲学の交流 ・斎藤憲 古代ギリシャに比例の定義 ・清水達雄 零の発見のイスラム諸文学 ・杉浦光夫 シュバレーの群論 II https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/ 数学史シンポジウム報告集 19世紀数学史, 第1回数学史シンポジウム(1990.11.17) 所報 1 1991 近現代数学史, 第2回数学史シンポジウム(1991.11.9?10) 所報 4 1992 第3回数学史シンポジウム(1992.10.24?25) 所報 6 1993 第4回数学史シンポジウム(1993.10.23?24) 所報 8 1994 第5回数学史シンポジウム(1994.10.22?23) 所報 11 1995 20世紀数学シンポジウム, 第6回数学史シンポジウム(1995.11.9?12) 第7回数学史シンポジウム(1996.10.26?27) 所報 13 1997 第8回数学史シンポジウム(1997.10.25?26) 所報 16 1998 第9回数学史シンポジウム(1998.10.24?25) 所報 17 1999 （文字数オーバーで省略します） 第25回数学史シンポジウム(2014.10.11?12) 所報 36 2015 第26回数学史シンポジウム(2015.10.10?11) 所報 37 2016 第27回数学史シンポジウム(2016.10.8?9) 所報 38 2017 第28回数学史シンポジウム(2017.10.14?15) 所報 39 2018 (引用終り)
214:１３２人目の素数さん
19/02/07 02:36:06.64 0ncIsLEm.net
コピペにも程がある
215:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 07:11:16.26 ZzZOHX/k.net
>>191
どうもありがとう
ここはそういうスレです
テンプレにあるよ
テンプレ>>7より
このスレは、半分趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
もう半分は、ここはおれのメモ帳だ （ここには、自分が面白いと思った情報を集めてあるんだ。過去ログ見ると、いろいろ面白い情報（リンクやPDF があるよ（＾＾ ）
（ もしサイト移動などでリンク切れのときは、引用してある文章のキーワードによる検索をお願いします ）
テンプレ>>9より
大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です
じゃ、どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます
216:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 07:13:07.26 ZzZOHX/k.net
>>190 追加
下記は、いつもの黒川節炸裂なんだけど
まあ、２ページくらいなので、ちょっと息抜に読んでおくと面白いよ
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
黒川信重 L関数の歴史 1993
217:１３２人目の素数さん
19/02/07 07:19:46.36 ciEPvBoP.net
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
218:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 07:58:20.48 ZzZOHX/k.net
>>189
> URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
>響きあうガロアとガウス―正 17 角形の作図問題（第２版）(上野孝司 著) 2016 年12 月５日
これなかなか良いです
”３．序論? オイラーの関数”で、
オイラー（Euler) の関数Φを取り上げている
”５．原始Ｎ乗根の存在”で
”一般的には、方程式X^n = 1 の原始Ｎ乗根は
集合{ζi} （i はn と互いに素）
で表され、その個数は、オイラーの関数個、つまり、Φ(n) 個存在することがわかる。
円周等分多項式など後述するように円分体の構造の分析には、“オイラー関数個ある原始Ｎ乗根”が決定的に
重要な役割を果
219:たす。” と そうそう、これこれ、 これだね >>147や>>160の 「gcd(4p,k)=1とか、gcd(4p,4-p)=1とか」は、この話しだったね（今頃思い出したよ（＾＾； ） ”８．円分体Ｑ（ζ）の基底”も良いですね～（＾＾ ”【参考】ガロア理論の論点整理”も良い 「ガロア理論は壮麗な交響楽のようで、その理論構成は見事としかいいようがないのだが、あまりの重層的な 創りに見方を誤ると迷路から抜け出せないという危うさを常に孕んでいる。 そこで、理論の論点をまとめてみた。ガロア理論の解説書は多くみられるが、いずれも難解なものばかりで 論点をまとめて提示するなど教育に配慮した書物は少ない。だから自分がいま、どこの山場の何合目にいるの かという立ち位置がわからず、迷子になってしまうのである。その場合、必ず下記の四つの山場のいずれかに 迷い込んでいることは間違いない。この参考を自らの立ち位置を確認するものとして使っていただきたい。」 以上
220:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 08:10:07.37 ZzZOHX/k.net
>>195 補足
>”５．原始Ｎ乗根の存在”
やっぱり、原始Ｎ乗根というのが、円分体のキモですね
原始根関係ないとか、落ちこぼれバカが言っていた気がするけど、単にバカですねｗ（＾＾；
円分体と原始根は、一心同体みたいなものですよね（＾＾
221:１３２人目の素数さん
19/02/07 08:29:05.30 yUUNRYyV.net
「原始n乗根」のことを「原始根」と言うことはないよ。
222:１３２人目の素数さん
19/02/07 08:29:59.74 oVjUP8PL.net
>>131は証明できましたか？
223:１３２人目の素数さん
19/02/07 08:42:20.06 oVjUP8PL.net
αが有理数のとき
Q(cos(απ))⊂Q(sin(απ)) または
Q(cos(απ))⊃Q(sin(απ)) または
Q(cos(απ))=Q(sin(απ))
が成立する、言い方を変えれば、√(1-sin(απ)^2),√(1-cos(απ)^2)
の少なくとも一つのルートが外れる というのは著しいことであって
ほとんどすべての無理数に対してはこのような包含関係はない
つまり「ほとんどすべての無理数αに対しては上記のルートは両方とも外れない」
練習問題 そのことを示しなさい。
224:１３２人目の素数さん
19/02/07 08:48:11.22 oVjUP8PL.net
cos(απ)+i*sin(απ)が複素数の乗法に関して生成する群をC(α)とおくと
αが有理数か無理数かに従って、C(α)は有限群、または無限群。
これは即座に分かる。
225:１３２人目の素数さん
19/02/07 08:48:34.86 CDsrFbt6.net
>>199
誰だよお前
数学がしたいなら他所へ行けよ
なにが示しなさいだ？貴様この野郎
226:１３２人目の素数さん
19/02/07 08:49:46.98 5LNjryNS.net
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
227:１３２人目の素数さん
19/02/07 08:58:41.75 oVjUP8PL.net
問題
ピタゴラス方程式 a^2+b^2=c^2 の整数解が
abc≠0 のとき、自明でない解という。
αをピタゴラス方程式の自明でない解に対して
cos(απ)=a/c, sin(απ)=b/c
をみたす実数とすると、αは無理数であることを示せ。
解
C(α)が有限群のとき
それはcos(απ)+i*sin(απ)が1のべき根であることを意味する。
a/c+ib/cはガウス数体Q(i)の数だが
「Q(i)に含まれる1のべき根は1,-1,i,-i の4つしか存在しない」
ことより、a/c+ib/cは適合しない。
ゆえに、C(α)は無限群であり、αは無理数である。
228:１３２人目の素数さん
19/02/07 10:17:51.82 0ncIsLEm.net
>>201の存在理由が分からないw
229:１３２人目の素数さん
19/02/07 10:21:40.32 CDsrFbt6.net
>>204
お前の方が意味わからん
ここは数学の練習問題を解くスレじゃないぞ
230:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 10:24:30.08 fQeIm3x1.net
>>201
>数学がしたいなら他所へ行けよ
同意だね（＾＾
数学雑談はするが、練習問題はやらない
>>114の問いを取り上げたのは
円分体の視点から掘り下げると面白いと思ったから
前々スレから蒸し返して取り上げているだけのことだ
このスレは>>192
テンプレ>>7より
このスレは、半分趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
もう半分は、ここはおれのメモ帳だ （ここには、自分が面白いと思った情報を集めてあるんだ。過去ログ見ると、いろいろ面白い情報（リンクやPDF があるよ（＾＾ ）
ってことです
以上
231:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 10:25:07.22 fQeIm3x1.net
>>205
同意です（＾＾
232:１３２人目の素数さん
19/02/07 10:40:00.40 IzqMXevb.net
スレ主は頭の弱い人で競われる数学パラリンピックの代表なんだよなw
233:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 10:54:33.06 fQeIm3x1.net
>>208
それ、いいね
笑えるよ
座布団一枚やってくれ（＾＾
234:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 11:20:18.70 fQeIm3x1.net
>>203
ここは、小学生も来るので、へんなことを書かないように
>C(α)が有限群のとき
C(α)の定義がない
>C(α)が有限群のとき
>それはcos(απ)+i*sin(απ)が1のべき根であることを意味する。
意味わからん。α∈R（実数）のとき、
「cos(απ)+i*sin(απ)が1のべき根」は、無条件で成立するよね
下記より、任意の複素数でも、OKでしょ？（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ピタゴラスの定理
(抜粋)
オイラーの公式を用いた証明
三角関数と指数関数は冪級数によって定義されているものとする。（指数法則やオイラーの公式の証明に本定理が使用されない定義であればよい。）まず sin2 θ + cos2 θ = 1 が任意の複素数 θ に対して成り立つことを（3通りの方法で）示す。
(引用終わり)
>a/c+ib/cはガウス数体Q(i)の数だが
>「Q(i)に含まれる1のべき根は1,-1,i,-i の4つしか存在しない」
>ことより、a/c+ib/cは適合しない。
意味わからん
z=a/c+ib/cとして、共役複素数 z~=a/c-ib/c
とすると
zz~=(a/c)^2+(b/c)^2 =1
これを満たすピタゴラス数の組み合わせは、無数に存在するよ
（上記のwikipediaピタゴラスの定理とかどこにでも書いてある通り）
「Q(i)に含まれる1のべき根は1,-1,i,-i の4つしか存在しない」は、不成立だろ？ｗ（＾＾
>C(α)は無限群であり、αは無理数である
これも、C(α)の定義がないから、意味わからんが
拡大体のガロア群の話なら、超越拡大でしょ？ 「αは超越数である」とかじゃないの？
以上、繰り返すが、なんか試しているんだろうが
ここは、小学生も来るので、間違ったことを書かないように
うそつきサイコパスになっちゃうよ、あんたも
235:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 11:23:48.70 fQeIm3x1.net
>>210 引用文字化け訂正
sin2 θ + cos2 θ = 1 が任意の複素数 θ に対して成り立つ
↓
sin^2 θ + cos^2 θ = 1 が任意の複素数 θ に対して成り立つ
236:１３２人目の素数さん
19/02/07 11:26:38.55 0ncIsLEm.net
>>210
定義は書いてあるよ
237:１３２人目の素数さん
19/02/07 11:31:34.41 CDsrFbt6.net
>>212
問題と銘打ったレスには書いてない
238:１３２人目の素数さん
19/02/07 11:34:50.42 0ncIsLEm.net
>>213
とスレ主の子分も書いてるように、定義はかいてありますよ
239:１３２人目の素数さん
19/02/07 11:59:46.94 oVjUP8PL.net
>>210
あなたはご自分で「馬鹿」だとおっしゃっておられるので
本当に謙虚に心からそう思っておられるなら、まずは
ご自分が間違っている可能性からお考えになるべきかと思います。
円分体をお勉強される前に、「1のべき根」の定義から
是非お勉強されてください。
240:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 13:38:04.00 fQeIm3x1.net
>>210
補足
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
有理点の整数論 田口 雄一郎 東工大
2005年度 広島大学公開講座 及び
2005年度 九州大学 オープンキャンパスでの講演のノート。
平面内の一次、二次、三次曲線の有理点について高校生向けに解説した
( 実際の講演では三次曲線に入つたあたりで時間切れとなつた )。
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
数学関係の文章
アーベル多様体と数論
( 九州大学公開講座 「現代数学入門」 ( 2013年 7月 28日 ) の講演ノート )
類体論
(「整数論札幌夏の学校」 ( 2006年8月28日 ) に於ける講義ノート )
有理点の整数論
( 高校生 ( または一般の方 ) 向け講義ノート )
Fermat の最終定理を巡る数論
( 『日本の科学者』 vol
241:.40, no.3 ) Artin 導手の誘導公式 ( 2001年度 日本数学会 秋季大会 代数学一般講演アブストラクト集 ) Mod p Galois 表現について ( 特に像が可解の場合 ) ( RIMS講究録 1154 ) abc予想の話 ( 昔、北大理学部 ＨＰ の「サイエンストピックス」に掲載されたもの ) Fontaine-Mazur予想の紹介 ( RIMS講究録 1097 ) Fermatの最終定理 ( Wilesによる証明の一般向け解説 ) eとpiの超越性 ( Hilbertの証明 ) p進数 ( 初心者向けの解説 ) http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/ Yuichiro TAGUCHI http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/ 田口 雄一郎 (日本語ページ)
242:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 13:42:19.34 fQeIm3x1.net
>>216
ついで
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
類体論
(URLﾘﾝｸ(coe.math.sci.hokudai.ac.jp)
「 整数論札幌夏の学校」( 2006年8月28日 ～ 9月8日 ) 初日の講義ノート。
古典的な類体論について、予備知識を仮定せず、 約 180分で概説した。
「整数論札幌夏の学校」 ( 2006年8月28日 ) に於ける講義ノート )
243:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 14:24:08.27 fQeIm3x1.net
>>216 追加
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
数学通信 総目次「書評」
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
数学通信 23 巻(2018 年度)
書 評
ガウスの数論世界をゆく
?正多角形の作図から相互法則・数論幾何へ?
栗原将人 著，数学書房，2017 年
東北大学大学院理学研究科
山崎 隆雄
(抜粋)
本書の主題はガウス周期である．これはガウスが著書『数論研究』の中で導入したもの
で，幅広い応用を持つ．本書では（素数 p = 17 に対する八次の）ガウス周期を求めるこ
とで正十七角形の作図可能性が示されている．これと関連するが，円分方程式 x^n ?1 = 0
が冪根で解けるという定理（これもガウスの結果である）や，クンマーの円分体論でも
ガウス周期が有効に使われた（[2, 3] を参照）．しかし，なんといっても重要な応用は相
互法則で，本書でも多くのページが割かれている．ガウスの与えた多くの平方剰余の相
互法則の証明のうち，ガウス周期を用いるものは没後の１８６３年に発表された遺稿に
ある．これは第七証明と呼ばれているが，実はこれは『数論研究』執筆中の１７９６年
には得られていて，年代から言えば三番目の証明になるそうである．そればかりか，ふ
つう第六証明と呼ばれている１８１８年の論文にある証明は，この「第七証明」から「足
場を取り払って」書き直したものだという．
本書はガウスの原典（『数論研究』，上記の遺稿，相互法則に関する論文，手紙など）を
素材としており，歴史的な記述も多く，それが魅力の一つとなっている．
244:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 14:36:27.83 fQeIm3x1.net
>>210
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
■コラム「閑話休題」
更新情報：2019/02/07
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
■２０１１年のコラム（閑話休題）
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
２７８．未解決の予想と解決した予想（その２） (11/08/01)
［Ｑ］不定方程式：ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2，（ｘ，ｙ，ｚ）＝１はｘ，ｙのどちらか一方が２ｕｖ，他方がｕ^2－ｖ^2の形で，ｚがｕ^2＋ｖ^2の形をしているとき，そのときに限り満足されることを証明せよ．ただし
245:，（ｕ，ｖ）＝１でｕｖは偶数． http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/index.htm 2019/02/07 更新 Ikuro's Home Page
246:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 14:57:26.14 fQeIm3x1.net
>>210 追加
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
2004年後期「代数曲線」講義ノート
代数曲線に触れる - 広島大学 松本眞 著 - ?2004
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
代数曲線に触れる:補足 - 広島大学 松本眞 著 - ?2009
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
松本 広島大学大学院理学研究科
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
授業など教育活動関連
247:１３２人目の素数さん
19/02/07 19:21:56.89 ciEPvBoP.net
>>131
>Zを整数環とする。
>(1/2)Zに含まれない任意の有理数に対して
>その既約分数表示をm/nとすると
>
>nが奇数のとき
>Q(sin(mπ/n))/Q(cos(mπ/n)) は2次拡大。
>
>nが2で割れるが4で割れないとき
>Q(cos(mπ/n))/Q(sin(mπ/n)) が2次拡大。
>
>nが4で割れるとき
>Q(cos(mπ/n))=Q(sin(mπ/n)).
そういうことでしたか
よろしければ元ネタを教えていただけますか？
248:１３２人目の素数さん
19/02/07 19:22:45.73 ciEPvBoP.net
>>199
>αが有理数のとき
>Q(cos(απ))⊂Q(sin(απ)) または
>Q(cos(απ))⊃Q(sin(απ)) または
>Q(cos(απ))=Q(sin(απ))
>が成立する、
>言い方を変えれば、
>√(1-sin(απ)^2),√(1-cos(απ)^2)
>の少なくとも一つのルートが外れる
>というのは著しいことであって
>ほとんどすべての無理数αに対しては
>このような包含関係はない
>つまり
>「ほとんどすべての無理数αに対しては
>上記のルートは両方とも外れない」
そうだろうけど、証明は難しそうですな。
249:１３２人目の素数さん
19/02/07 19:24:17.53 ciEPvBoP.net
>>210
>>C(α)が有限群のとき
>C(α)の定義がない
>>200に以下の定義が書かれてますが
「cos(απ)+i*sin(απ)が複素数の乗法に関して生成する群をC(α)とおく」
>>それはcos(απ)+i*sin(απ)が1のべき根であることを意味する。
>意味わからん。
>α∈R（実数）のとき、
>「cos(απ)+i*sin(απ)が1のべき根」
>は、無条件で成立するよね
いや、成立しませんよ
ｚが１のべき根であるとは、
ある”自然数 n ”が存在して
z^n = 1 となること
上記の自然数nを
勝手に実数ｒに置き換えて
z^r=1 となるzと解釈するのは誤り
250:１３２人目の素数さん
19/02/07 19:25:39.76 ciEPvBoP.net
>>210
>>a/c+ib/cはガウス数体Q(i)の数だが
>>「Q(i)に含まれる1のべき根は1,-1,i,-i の4つしか存在しない」
>>ことより、a/c+ib/cは適合しない。
>意味わからん
>z=a/c+ib/cとして、共役複素数 z~=a/c-ib/c
>とすると
>zz~=(a/c)^2+(b/c)^2 =1
>これを満たすピタゴラス数の組み合わせは、無数に存在するよ
>「Q(i)に含まれる1のべき根は1,-1,i,-i の4つしか存在しない」は、不成立だろ？ｗ（＾＾
いや、成立しますよ
残念ながら、|z|=1というだけでは
z^n=1となる自然数nが存在する
とはいえません
「べき根」の定義を確認せず
勝手にでっち上げるのは悪い癖
251:１３２人目の素数さん
19/02/07 19:26:51.01 ciEPvBoP.net
>>210
>>C(α)は無限群であり、αは無理数である
>拡大体のガロア群の話なら、超越拡大でしょ？
>「αは超越数である」とかじゃないの？
いや、αは有理数でない（つまり無理数）とまでしかいえません
ちなみにa/c+ib/cはガウス数体Q(i)の数だから
代数的数であり超越数ではない
単純にa^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cで、
a>0かつb>0（当然c>0）であれば
(a/c+ib/c)^n=1となる自然数nは存在しない
というだけのこと
>なんか試しているんだろうが
なにも試されていないのに
勝手に言葉を誤解して間違うんじゃ
どうしようもありませんね
252:１３２人目の素数さん
19/02/07 19:27:59.77 ciEPvBoP.net
ダメ押ししますか
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
253:
19/02/07 20:14:12.02 D+7Y5NoN.net
>>195
石井俊全「ガロア理論の頂を踏む」に比べるとがっかりな内容ですね…
254:１３２人目の素数さん
19/02/07 20:26:46.82 J1kpANUY.net
岩波だと金さんがしきりにガロアネタで啓蒙書出してるなw
岩波も近年ゝ推しが目立つ
255:１３２人目の素数さん
19/02/07 21:29:01.31 oVjUP8PL.net
>>221-222
>よろしければ元ネタを教えていただけますか？
先日自分で考えました。
円分体や体論やってるひとからすると常識レベルかもしれませんが。
>>「ほとんどすべての無理数αに対しては
>>上記のルートは両方とも外れない」
>そうだろうけど、証明は難しそうですな。
難しくはないと思います。
「無理数」とぼかしましたが
x=sin(απ)が超越数のときを考えます。
そのときQ(x)はxを不定元とするQ上の有理函数体と同型なので
Q(x)とQ(√(1-x^2))の間に包含関係がないというだけです。
256:１３２人目の素数さん
19/02/07 21:40:33.75 ciEPvBoP.net
>>229
>Q(x)とQ(√(1-x^2))の間に包含関係がない
やっぱり難しい・・・
257:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 21:45:33.75 ZzZOHX/k.net
>>229
どうもありがとう
そちらで会話が成り立っているなら、それで可ですな
私みたいなバカが、口を出すまでもないでしょ（＾＾；
258:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 21:53:16.46 ZzZOHX/k.net
>>228
これやね（＾＾
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ガロアの論文を読んでみた (岩波科学ライブラリー) 単行本（ソフトカバー） ? 2018/9/22 金重明 (著)
商品の説明
内容紹介
決闘の前夜、ガロアが手にしていた第1論文。方程式の背後に群の構造を見出したこの論文は、まさに時代を超越するものだった。置換の定式化にはじまり、ガロア群、正規部分群の発見をへて、方程式が代数的に解ける条件の証明へ。簡潔で省略の多いガロアの記述の行間を補いつつ、高校数学をベースにじっくりと読み解く。
内容（「BOOK」データベースより）
決闘の前夜、ガロアが手にしていた第1論文。方程式の背後に群の構造を見出したこの論文は、まさに時代を超越するものだった。置換の定式化にはじまり、ガロア群、正規部分群の発見をへて、方程式が代数的に解ける条件の証明へ。簡潔で省略の多いガロアの記述の行間を補いつつ、高校数学をベースにじっくりと読み解く。
著者略歴 (「BOOK著者紹介情報」より)
金/重明
1956年東京生まれ。1997年『算学武芸帳』(朝日新聞社)で朝日新人文学賞、2005年『抗蒙の丘―三別抄耽羅戦記』(新人物往来社)で歴史文学賞、2014年『13歳の娘に語る―ガロアの数学』(岩波書店)で日本数学会出版賞を受賞(本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです)
つづく
259:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 21:53:57.29 ZzZOHX/k.net
つづき
1件中1 - 1件目のレビューを表示
5つ星のうち3.0ガロアが好きなんですね
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生誕二百年前後には多くのガロア理論解説本が出た。その際、著者もすでに便乗本を出していた。
今度は、ガロア自身の有名な第一論文の解説である。われわれの世代だと、確かに、ガロアは「ヒーロー」である。ガロアかっけ?である。そして多くの者が日下部とか山下などのガロア本に手を出してしまうのである。その先にはアルティン本があるのだが、そこまでたどり着いた者はわずかだと思う。
最近の「頂き」にしてもアルティン系だった。今度こそ、と思いながら、５合目にも達せずあえなく転落骨折がいいところではなかろうか。（ガロア理論がわからなくたって、死にゃ?しません。）
そこにまたまたの新刊！高校数学の範囲でガロアの理論ではなく、彼自身の論文をやさしく解説してくれると言う。長々と書くのは止めて正直に白状すると、今回も「ガロア、やっぱすごい」とは行きませんでした。
よ?く思い出すと、かのジョルダンは自分の有名な置換論を「ガロアの解説本に過ぎません」と謙遜したそうだ。ただの解説本が、びっちりと印刷された６６７ページもの大冊になるだろうか？
それに引き換え、スカスカの１７７ページの小冊子ごときで、やっぱガロアは分かる訳がないのでした。トホホな読書時間だった。
(引用終り)
以上
260:１３２人目の素数さん
19/02/07 21:54:30.94 ciEPvBoP.net
>>231
じゃ、こちらにコメントをお願いします
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
261:１３２人目の素数さん
19/02/07 22:08:33.49 5LNjryNS.net
＞あなたはご自分で「馬鹿」だとおっしゃっておられるので
＞本当に謙虚に心からそう思っておられるなら
口先だけなのは他人のアドバイスにまったく耳を貸さないことから明らか
262:１３２人目の素数さん
19/02/07 22:18:43.91 5LNjryNS.net
スレ主はいつも定義があーと言うくせに、自分は定義すら確認しないんだなｗ
馬鹿は死ななきゃ治らないｗ
263:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 22:37:43.82 ZzZOHX/k.net
>>227
C++さん、どうもありがとう
>石井俊全「ガロア理論の頂を踏む」に比べるとがっかりな内容ですね…
それ
264:は、視点の違いですよ ガロア山かガロア国に例えるかはともかく マップは、細かいのと概略の荒いのと、二つある方が良い 石井本は、細かいマップで 上野孝司 著 は、概略の荒いマップです http://hooktail.sub.jp/contributions/galoire32160913tu.pdf 響きあうガロアとガウス―正 17 角形の作図問題（第２版） 2016 年12 月５日 (引用開始) ０．はじめにー構造的数学教育の再考 筆者が体験した現代の数学教育 （東京大学教養学部と理学部数学科の数学教育）では、高校の数学を終えて大学に入ると、１、２年の教養課 程でストークスの定理までを扱う解析学やジョルダンの標準型までの線形代数、位相や集合論などといった“ 基礎”を学んだ後に専門課程で、群、環、体、留数定理に至るまでの複素解析の基礎を経てようやく“体とガロ ア理論”（３年次の代数学講義）の一般理論にたどりついたと思いきや、ここで正17 角形の作図を応用問題の ひとつとして、いっきょにサッと終えてしまう。しかし、大学の数学科の学生ならまだしも、普通の理工系の 学生にとってはこれは酷な話である。ほとんどの学生や一般の社会人は、この興味深い作図問題に至る一連の 課程をこなしきれず途中で力尽き、正17 角形の問題にたどり着くことができない。結局は断念するか、せい ぜいネットで一連の理論の終盤で扱う定規とコンパスによる作図といった技巧的な事柄を学ぶ程度で終わって しまうのである。筆者もこの作図問題の存在を知ったのは高校生のときであったが、実際にそれを理論として 学習するまでには５年もの歳月を要した。 つづく
265:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 22:39:07.86 ZzZOHX/k.net
>>237
多くのひとがガウスの残した偉大な歴史的な遺産を学びきれないといった実に残念な状況を生み出してし
まっている。これでは、ガロアやガウスも浮かばれまい。実は、正17 角形の作図問題だけならそれほど多く
の事柄を知らずとも、ガロアやガウスの思想を伴って学びとることができるのである。いや、逆にこの問題を
起点として議論を展開すれば、ガロアやガウスの思想の果実を具体的に学びとりながら、現代数学を習得でき
るのである。つまり、正多角形の作図“問題”は現代の構造的な数学教育のネガティブな影響の一端を如実に示
しているのである。本稿は、以上のような経緯を踏まえて、正１７角形の作図問題をガロアの理論やガウスの
思想という偉大な“おまけ”付きで、突貫工事で一挙に解決しようと試みたものである。５年の歳月を１日で再
現する、いわば、“君のための数学原論”である。必要な知識は、線形代数の初歩、群と体の定義くらいである。
(引用終り)
あと
＊筆者経歴
東京大学理学部数学科を経て教育学部卒業。証券会社、外資系通信社で金融・資本市場の業務を経験。専門は、債券
資本市場。主な著書・論文：『信用リスクを読む』（日本評論社）、『信用リスクとＭ＆Ａ』（同）、『世界金融危機と信用リス
ク』（同）、『鎮めの文化と資本市場』（ブルームバーグ）、『金融派生商品』
以上
266:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 22:43:04.35 ZzZOHX/k.net
>>238 補足
再度強調しておくと
「本稿は、以上のような経緯を踏まえて、正１７角形の作図問題をガロアの理論やガウスの
思想という偉大な“おまけ”付きで、突貫工事で一挙に解決しようと試みたものである。５年の歳月を１日で再
現する、いわば、“君のための数学原論”である。必要な知識は、線形代数の初歩、群と体の定義くらいである。」
ってこと
石井本とは全く視点が異なります
ですが、上野孝司 を頭に入れて
石井本を読めば良いのです（＾＾
マップで概略を頭に入れて
細かいマップを使うべしだと
267:１３２人目の素数さん
19/02/07 22:49:22.75
268:5LNjryNS.net
269:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 23:11:56.79 ZzZOHX/k.net
計算機の得意なC++のために～（＾＾
なお、ここでも、Washington本（>>184に同じ）が登場しますね（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
円分体の相対類数計算について(サーベイ,<特集>数論アルゴリズムとその応用) 谷口 哲也
J-STAGEトップ/日本応用数理学会論文誌 / 25 巻 (2015) 4 号 / 書誌
(抜粋)
2． 円分体の相対類数 定義， 歴史， 性質， 未解決問題
2．3 相対類数に関する未解決問題の例， 計算の現状
3． 解析的類数公式について
代数的整数論
の諸概念の詳細については， 山本［63］， 藤崎［14］， 高木［54， 551， Ireland ，
Rosen ［25］，Washington ［61］， Lang ［33】， 木村［28］などを参照されたい．
［611L ． C ． Washington．Introductiotno cyclotomic fields ， Vol．83 of Graduate Text sin Math ?
ematics 。 Springe?Vrerlag， New York， second edition， 1997．
(引用終り)
270:１３２人目の素数さん
19/02/08 02:08:49.74 f1doRqgT.net
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
271:１３２人目の素数さん
19/02/08 07:22:42.87 iyLEyg94.net
>>242は以下の言明とは異なる
「さて， 数列s^1～s^100 をランダムに選ぶ.
s^1の決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.」
つまり数列は確率変数ではなく、非可測性には影響されない
272:１３２人目の素数さん
19/02/08 08:12:39.23 XrEX/qI/.net
おっちゃんです。
>>199
>>203
>>229
オイラーの定数γについてここに書く前に、これらの種の問題も既に解決している。
私の論文のネタをパクられると困るから、スレ主等には円分体の話をしないでほしい。
273:１３２人目の素数さん
19/02/08 08:21:10.12 Xhor2d3e.net
2つの意味でその心配だけはしなくていいから安心しろ
274:１３２人目の素数さん
19/02/08 08:50:02.06 XrEX/qI/.net
>γが無理数であったとする。任意の有理数 1/p pは2以上の整数 に対して
>|γ－1/p|＝| lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n－log(n) )－1/p |
> ＝lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n－log(n) )－1/p
> ＞( 1＋1/2＋…＋1/p－log(p) )－1/p
> ＝1＋1/2＋…＋1/(p－1)－log(p)
> ＞0、
>従って、或る2以上の正整数kが存在して、p≧k のとき |γ－1/p|＞( 1＋1/2＋…＋1/p－log(p) )－1/p＞1/k≧1/p。
>故に、0＜|γ－q/p|＜1/p^2＜|γ－1/p| を満たすような既約有理数 q/p p≧2 は無限個存在する。
>(…以下略…)
見直したり他の方向から考えてはみたが、この部分は γ＝lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n－log(n) ) に特化していた。
ここに、γ_n＝1＋1/2＋…＋1/n－log(n) n≧2 は超越数で、n≧2 のとき {γ_n} は下に有界な単調減少列。
γが代数的無理数でないことまでは証明出来たが、ディオファンタス近似ではγの超越性まではいえない。
γの超越性をディオファンタス近似で証明しようとすると、ほぼ自動的にγが
275:超越数であることがいえて一般的に成り立つような証明になる。 やはり、γは有理数だった。
276:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 11:33:12.09 XX3WYJPV.net
>>244-246
おっちゃん、どうも、スレ主です。
お元気そうで何よりです。
いつもどおり、おっちゃん節健在ですね
「やはり、γは有理数だった」ｗ（＾＾
277:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 12:10:24.51 XX3WYJPV.net
>>203
遠隔レス失礼
問題
ピタゴラス方程式 a^2+b^2=c^2 の整数解が
abc≠0 のとき、自明でない解という。
αをピタゴラス方程式の自明でない解に対して
cos(απ)=a/c, sin(απ)=b/c
をみたす実数とすると、αは無理数であることを示せ。
↓
問題改
単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解が
(p,q) = (1,0),(0,i) ,(-1,0),(0,-i)のとき、自明な解ということにする。
ここに、iは虚数単位である。
αを
cos(απ)=p, sin(απ)=q
をみたす実数とすると、
(p,q)が、自明な解でないとき
αは無理数であることを示せ。
とします
（略証）
背理法を使う
p+iq =cos(απ)＋i*sin(απ)
は、単位円の方程式 x^2+y^2=1
を満たしていることに注意する
α＝m/n ここに、m、nは整数
と書けたとする
cos(απ)＋i*sin(απ)を、2n乗する
｛cos(απ)＋i*sin(απ)}^2n
={cos(m/n π)＋i*sin(m/n π)}^2n
={cos(2m π)＋i*sin(2m π)}^2n
=1
つまり、
cos(απ)＋i*sin(απ)＝ζ2n 但し、ζ2nは、上記の自明な解以外
（ここに、ζ2nは、いつもの円分体の根を表す。）
ところで、円分体の理論より、ζ2nは代数拡大であり、Q(i)の元ではない
よって、矛盾が生じたので、αは有理数ではない。即ち、αは無理数
略証終わり
言いたいことは、こんなことかなー？
これ、確かに面白ね～（＾＾
良い視点だと思う！（＾＾
278:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 13:03:27.47 XX3WYJPV.net
>>248
補足
読み返すと、文が拙いなー（＾＾
例えば
cos(απ)＋i*sin(απ)＝ζ2n 但し、ζ2nは、上記の自明な解以外
↓
cos(απ)＋i*sin(απ)＝(ζ2n)^h 但し、h>=1 の整数で、ζ2nは、上記の自明な解以外
とか、書くべきかも
まあ、普段証明を書かないからね
数学科生は、もっと洗練された表現をするのでしょうね（＾＾
こなれた教科書とか、大学教員の書きぶりをみると、こういうところ気配りがあるよね
279:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 13:27:52.78 XX3WYJPV.net
>>248 タイポ訂正
={cos(2m π)＋i*sin(2m π)}^2n
↓
=cos(2m π)＋i*sin(2m π)
ケアレスミスが多いな（＾＾；
気を付けましょう～！
試験なら減点されそう
280:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 14:03:03.65 XX3WYJPV.net
>>248
全く蛇足だが
・この話（αは無理数）は、どこかの教科書などにありそうに思うね
・p+iq =cos(απ)＋i*sin(απ)は、岩澤理論の下記Lの外なんやろね（岩澤理論は全く理解していませんが（＾＾ ）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
岩澤理論
(抜粋)
円分拡大の数論
1 の原始 p 乗根 ζ を添加する拡大 K = Q(ζ) である。Kn を 1 の原始 pn+1乗根の生成する K の（したがってとくに C 内の）部分体として、体の塔 Kn (n = 1, 2, ...) の和集合（合成体）を L と置く。
このとき、体の拡大 L/K のガロア群は Γ に同型である。これは、拡大 Kn/K のガロア群が Z/pnZ であることによる。
ここから、ガロア群 Γ 上の興味深い加群を取り出すことができる。岩澤は Kn のイデアル類群と、そのシロー p 部分群 In （p-部分）を考えた。このときノルム写像
Im → In
（ここで m > n）を考えれば逆系が得られ、その逆極限を I として Γ を I に作用させることができる。その作用を記述することに意味があるのである。
(引用終わり)
281:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 14:06:29.41 XX3WYJPV.net
>>251
これも、全く余談だが
・正しい命題は、普通どこかの教科書か論文で扱われている。あるいは、大定理の系として当然に得られるもの
・時枝記事のように、どこの教科書にもなく、どこの論文でも扱われていない。あるいは、大定理の系とは真逆だと。そういう命題は、おそらくは眉づばですよね（＾＾
282:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 14:17:53.33 XX3WYJPV.net
>>248
”単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解が
(p,q) = (1,0),(0,i) ,(-1,0),(0,-i)のとき、自明な解ということにする。
ここに、iは虚数単位である。”
ここらの表現も全く拙いね～
素人表現やね（＾＾；
283:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 14:29:13.83 XX3WYJPV.net
>>253
”単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解が
(p,q) = (1,0),(0,i) ,(-1,0),(0,-i)のとき、自明な解ということにする。
ここに、iは虚数単位である。”
↓
”単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解で
Z＝p+i q
(p,q) = (1,0),(0,1) ,(-1,0),(0,-1)のとき、自明な解とする。
ここに、iは虚数単位である。”
くらいに書くと、まだ読めるかな
いくら時間がなくとも、これくらいは書かないとね
まあ、手を入れだすと際限がないので、あとはスルーしてたもれ（＾＾
284:１３２人目の素数さん
19/02/08 15:02:32.01 mBVJVgPw.net
p^2+(iq)^2=1の意味でいいか？
285:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 15:53:08.92 XX3WYJPV.net
>>255
”単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解で
Z＝p+i q
(p,q) = (1,0),(0,1) ,(-1,0),(0,-1)のとき、自明な解とする。
ここに、iは虚数単位である。”
な
286:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 15:55:46.55 XX3WYJPV.net
>>256 補足
なので、回答はN
p^2+(iq)^2=1の意味でいいか？
↓
単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解で
ってことです
287:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 16:39:20.63 XX3WYJPV.net
>>251
>・この話（αは無理数）は、どこかの教科書などにありそうに思うね
いま検索中で、見つからない
下記は、関係ないけど、面白そうだから貼る（＾＾
URLﾘﾝｸ(ocw.nagoya-u.jp)
講義資料 | 数学展望 I | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW)
URLﾘﾝｸ(ocw.nagoya-u.jp)
連分数，フォードの円，双曲幾何 平成27年度前期 糸健太郎 名大
講義ノート 数学展望Ⅰ(一括ファイル, 67ページ) (PDF 文書, 1209KB) 2015
288:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 16:48:23.07 XX3WYJPV.net
>>258
いや、確かに
（αは無理数）は、どこかの教科書などにありそうに思うけど
思い返しても、記憶に引っかかってこない
まあ、みんなピタゴラスの整数解が見つかったとか
無限個あって、よしよしで終わっていた気がするね
和書にはなかも
英文探すのも大変だが（＾＾
289:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 16:49:19.97 XX3WYJPV.net
>>259 タイポ訂正
和書にはなかも
↓
和書にはないかも
290:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 17:19:19.57 XX3WYJPV.net
>>259 補足
そうか、”ゲルフォント、シュナイダー”か
下記
命題P：有理数ではない代数的数 α → 命題Q：sin{απ}, cos{απ}, tan{απ} は超越数
対偶
￢命題Q：sin{απ}, cos{απ}, tan{απ} は超越数ではない → ￢命題P：αは有理数か超越数
で
いまの場合は、（sin{απ}, cos{απ}）の両方とも有理数だと
それで、
αは有理数が否定されたから、
”ゲルフォント、シュナイダー”で
超越数が言えるかな？（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越数
(抜粋)
超越数の例
(2) 初等関数の特殊値が超越数となる例
・代数的数 α ≠ 0 に対する、 sin{α}, cos{α}, tan{α} 。 (リンデマン、ワイエルシュトラス (K. Weierstrass))
・有理数ではない代数的数 α に対する、 sin{απ}, cos{απ}, tan{απ} 。 (ゲルフォント、シュナイダー)
(引用終わり)
291:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 17:20:39.27 XX3WYJPV.net
>>261
ゼミだと
「”ゲルフォント、シュナイダー”の証明は？」とか
ツッコミありそう（＾＾；
292:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 17:25:56.73 XX3WYJPV.net
>>261
”いまの場合は、（sin{απ}, cos{απ}）の両方とも有理数だと
それで、
αは有理数が否定されたから、
”ゲルフォント、シュナイダー”で
超越数が言えるかな？”
(引用終わり)
まあ、それこそ、この程度のことは、
どっかにだれかが書いてそうだが、
疲れたので、ここまでだな？
”ゲルフォント、シュナイダー”まで行くと
もろ、本格的に超越数論だからね～、
ちょっと私の手に余る（＾＾
293:１３２人目の素数さん
19/02/08 17:38:45.43 XrEX/qI/.net
スレ主は>>144で岩沢理論についてのムック本の臨時別冊・数理科学について触れていたが、
おっちゃん的には、下の2冊がお薦めだね。
・臨時別冊・数理科学2017年3月 偏微分方程式の解の幾何学
これは幾何的に考えて偏微分方程式の解からその偏微分方程式が定義される様子の導出
について書かれている面白い本だ。普通の形式の本でそういうことが書かれている本は知らない。
・臨時別冊・数理科学201
294:6年11月 数理物理学としての微分方程式序論 こちらは理解するのは簡単ではないが、(非線形)偏微分方程式をするなら、持っていて損はない。
295:１３２人目の素数さん
19/02/08 17:52:56.45 XrEX/qI/.net
>>259
>（αは無理数）は、どこかの教科書などにありそうに思うけど思い返しても、記憶に引っかかってこない
平面 R^2 の単位円上に有理点が稠密に分布することは、むしろ初等整数論の結果になる。
他に関係する事柄は、元子お姉さんの研究の一端について書かれている「ダイヤモンドはなぜ美しい？」に載っている。
比較的良書ではある。
296:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 17:57:57.73 XX3WYJPV.net
>>252
>・正しい命題は、普通どこかの教科書か論文で扱われている。あるいは、大定理の系として当然に得られるもの
まあ、
いまの場合は、（sin{απ}, cos{απ}）の両方とも有理数なので
それで、上記のように
αは有理数が否定されて
”ゲルフォント、シュナイダー”の系として
αは、超越数が言えるってことでしょう
超越数論以外では、だれも触れないんだろうね
ピタゴラス数で終われば、高校数学の範囲だしね
大学数学だと、
超越数論で”ゲルフォント、シュナイダー”やれば分かるのだと
いやいや、>>203は なかなか面白い視点でしたね
297:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 18:00:51.93 XX3WYJPV.net
>>264
おっちゃん、どうも、スレ主です。
どうもありがとう（＾＾
”臨時別冊・数理科学”ね
あれ、結構本格的やね
どれもむずいわ（＾＾
298:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 18:01:13.95 XX3WYJPV.net
>>265
おっちゃん、どうも、スレ主です。
どうもありがとう（＾＾
299:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 18:05:40.22 XX3WYJPV.net
>>266
>>・正しい命題は、普通どこかの教科書か論文で扱われている。あるいは、大定理の系として当然に得られるもの
>”ゲルフォント、シュナイダー”の系として
>αは、超越数が言えるってことでしょう
暗に、時枝記事はそうじゃないよと
（だれも扱わない）
ダメダメですよと
早く気づけよ、おい
300:１３２人目の素数さん
19/02/08 18:09:57.02 XrEX/qI/.net
>>259
>>265は、はじめの一歩。
まあ、数論的な構造には意外に汚い構造があることも分かる。
3辺が有理数の直角三角形における直角 π/2 ではない他の2角は、
両方共に 0＜a、b＜1/2 を満たす2つの有理数 a、b を用いて
aπ、bπ と表わされる方が調和が取れた美しい構造をしていると思ったが、そうではなかった。
それじゃ、おっちゃんもう寝る。
301:１３２人目の素数さん
19/02/08 19:15:29.27 iyLEyg94.net
>>252
>時枝記事のように、・・・大定理の系とは真逆だと
時枝記事と前提が異なる大定理と比較しても無意味
確率変数でもないものに対して独立同分布とかいっても無意味
302:１３２人目の素数さん
19/02/08 19:18:39.17 iyLEyg94.net
スレ主は
「非ユークリッド幾何学は三角形の内角の和が二直角じゃないから間違ってる」とか
「相対性理論は速度の合成が足し算で表されないから間違ってる」とか
臆面もなくいいそう
303:１３２人目の素数さん
19/02/08 19:38:01.45 rawv4ykn.net
この程度の簡単な証明でも、自分の知性だけを頼りに正しさが確かめられないひとは大変ですね。
数学やってて楽しんでしょうか？
304:１３２人目の素数さん
19/02/08 19:46:59.55 rawv4ykn.net
証明に一箇所「ちゃんと証明すると結構大変」なことがあって
それこそ「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」
ということで、それは円分体のガロア群を計算することもほぼ同じ原理ですが
その根本的なところをスレ主は押さえていない。
ま、教えませんけどw
円分体（1のべき根の体）のことを滔々と語りながら
1のべき根が何かも知らなかったひとに何を言っても無駄でしょう...
305:１３２人目の素数さん
19/02/08 20:05:16.46 Xhor2d3e.net
>>272
ユークリッド幾何の公理のもとでは間違いだろなに言ってだ
306:１３２人目の素数さん
19/02/08 20:08:27.25 rawv4ykn.net
>>230
>>Q(x)とQ(√(1-x^2))の間に包含関係がない
>やっぱり難しい・・・
√(1-x^2)は有理函数ではない、これはよろしいでしょう？
代数的に書くとCを複素数体とすると
√(1-x^2)\not∈C(x)ですが
当然、√(1-x^2)\not∈Q(x).
xと√(1-x^2)を入れ替えても"双対"なので
x\not∈Q(√(1-x^2)).
論理的に面白いのは、超越数ξ,不定元xに対して
Q(ξ) 同型 Q(x)ということですかね。
体をCまで拡げてしまうとC(ξ)=C
ですから、当然函数体とは同型になりませんけど。
307:１３２人目の素数さん
19/02/08 20:53:56.10 iyLEyg94.net
>√(1-x^2)は有理函数ではない、これはよろしいでしょう？
ま、そこはね
308:１３２人目の素数さん
19/02/08 20:55:16.98 iyLEyg94.net
>>275
スレ主はユークリッド幾何学が正しいから
非ユークリッド幾何学は間違ってるとか
平気でいいそう
309:１３２人目の素数さん
19/02/08 21:48:47.74 1JaNdxjJ.net
比較できないものを比較する脳足りんか
310:１３２人目の素数さん
19/02/08 22:38:28.38 f1doRqgT.net
>>252
つまりあなたは時枝は間違いだと言うんですね？
では選択公理を仮定しても決定番号が自然数とは限らないことを証明して下さい。
できないなら根拠の無い言いがかりと解釈します。
311:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 00:40:49.43 c3aU14PB.net
>>274
「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」の証明が難しい？
ここは、小学生もいるので、変なことを言わないように、お願いします（＾＾
命題A： 「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」
↓↑
命題B：（>>248より）αを cos(απ)=p, sin(απ)=q をみたす実数とすると、(p,q)が、自明な解でないとき αは無理数である
これ成立ですよ！ 命題AとBは同値
命題Bが>>248で証明した命題ですよ！
以下、証明します
まず
命題Bを簡明に言い換えると
z= cos(απ) + i sin(απ) ＝e^(iαπ)とおいて
命題B’：zが単位円の有理点であれば、zの偏角αは無理数である
とします
命題Aを簡明に言い換えると
命題A’： 「Q(i)に含まれる円の等分点は±1,±iの4つだけ」
（円の等分点は、下記 永野哲也先生ご参照 ）
１）命題A’→命題B’
証明
背理法を使う。
zが単位円の有理点であるにも関わらず、zの偏角αは有理数であるとする
>>248で示した様に、zは円の等分点になる。これは、命題Aに矛盾する
２）命題B’→命題A’
証明
命題B’より、z= cos(απ) + i sin(απ) が、単位円の有理点であれば、zの偏角αは無理数である
よって、zは円の等分点ではない。従って、Q(i)に含まれる円の等分点は±1,±iの4つだけである
QED
簡単でしょ（＾＾
URLﾘﾝｸ(sun.ac.jp)
永野 哲也研 長崎県立大
URLﾘﾝｸ(sun.ac.jp)
第16回
(抜粋)
１．円の等分点
zk=cos 2πk/n + i sin 2πk/n (k=1,2,・・・,n)・・・(1)
（∵） ｚ＝１から測って、n等分点の最初の点ｚ1の偏角は、１周が2π（＝360度)であるので、 2π/n（ラジアン）
である。それ以後のn等分点は、隣の点と角 2π/n(ラジアン)だけ離れているので、
ｚ2の偏角は 2π/n×2（ラジアン）、ｚ3の偏角は 2π/n×3（ラジアン）、・・・、ｚnの偏角は 2π/n×n=2π（ラジアン）となる。
これらは、方程式
x^n＝１
の根である
１の原始n乗根
上式（１）で、k=1 と2以上のkについては、nと互いに素となるkの複素数zkを１の原始n乗根という
(引用終り)
312:１３２人目の素数さん
19/02/09 01:49:51.63 ja5oO2W3.net
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
313:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 08:06:10.36 c3aU14PB.net
>>281 訂正
zの偏角α
↓
zの偏角のα
としておきます
ここは、小学生も来るので（＾＾；
一般に偏角は、（下記「複素数の偏角」ご参照）
z= cos(απ) + i sin(απ) ＝e^(iαπ)
で、απを言いますから
まあ、πを１単位として測ったと思ってもいいのですが
ちょっと標準とずれますから
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
複素数の偏角
314:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 08:34:51.72 c3aU14PB.net
>>174
＞それにしても円分体は面白い。時間があれば Washington の本をじっくり読みたいところだが、
円分体 Washington の本は、下記ですね。間違いなし（＾＾
（Fermat's Last Theorem関連の一部のみ引用しておきます）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cyclotomic field
(抜粋)
Relation with Fermat's Last Theorem
A natural approach to proving Fermat's Last Theorem is to factor the binomial x^n + y^n, where n is an odd prime, appearing in one side of Fermat's equation
x^n + y^n = z^n
as follows:
x^n + y^n = (x + y)?(x + �
315:ﾄy)?…?(x + ζn???1y). Here x and y are ordinary integers, whereas the factors are algebraic integers in the cyclotomic field Q(ζn). If unique factorization of algebraic integers were true, then it could have been used to rule out the existence of nontrivial solutions to Fermat's equation. Kummer found a way around this difficulty. He introduced a replacement for the prime numbers in the cyclotomic field Q(ζp), expressed the failure of unique factorization quantitatively via the class number hp and proved that if hp is not divisible by p (such numbers p are called regular primes) then Fermat's theorem is true for the exponent n = p. Furthermore, he gave a criterion to determine which primes are regular and using it, established Fermat's theorem for all prime exponents p less than 100, with the exception of the irregular primes 37, 59, and 67. Kummer's work on the congruences for the class numbers of cyclotomic fields was generalized in the twentieth century by Iwasawa in Iwasawa theory and by Kubota and Leopoldt in their theory of p-adic zeta functions. つづく
316:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 08:35:22.75 c3aU14PB.net
>>284
つづき
References
1^ Proposition 2.7 of Washington 1997
・Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich (edd), Algebraic number theory, Academic Press, 1973. Chap.III, pp. 45?93.
・Daniel A. Marcus, Number Fields, third edition, Springer-Verlag, 1977
・Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1934-7, ISBN 0-387-94762-0, MR 1421575
・Serge Lang, Cyclotomic Fields I and II, Combined second edition. With an appendix by Karl Rubin. Graduate Texts in Mathematics, 121. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN 0-387-96671-4
Further reading
・Coates, John; Sujatha, R. (2006). Cyclotomic Fields and Zeta Values. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-33068-2. Zbl 1100.11002.
・Weisstein, Eric W. "Cyclotomic Field". MathWorld.
・Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Cyclotomic field", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
On the Ring of Integers of Real Cyclotomic Fields. Koji Yamagata and Masakazu Yamagishi: Proc,Japan Academy, 92. Ser a (2016)
(引用終り)
317:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 09:01:44.91 c3aU14PB.net
>>248 補足
>ところで、円分体の理論より、ζ2nは代数拡大であり、Q(i)の元ではない
>>248の証明では、「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」は使っていませんよ！！（＾＾
ここは、下記の円分多項式の体Q(i)内での既約性を認めてしまえば、
（円分多項式は、下記永野哲也先生ご参照）
難しい議論は不要
証明の荒筋だけ書くと
円分多項式で、f(x) =Φn(x)
と見慣れた記号に直して
例えば、f(ζn)=0とします (ζnは円分体の根)
�
318:烽ｵ、ζn∈Q(i)なら f(x) ＝(x-ζn)g(x) と因数分解できて （ここに、g(x)＝f(x) /(x-ζn) なる多項式です） Φn(x)の既約性に反する。 多項式で f(ζn)=0 → f(x) ＝(x-ζn)g(x) と書けることは、どこにでもある基本事項です （高校の範囲で、証明もどこにでもありそうですが、省略します） 別に、難しいことは何もない 「円分体のガロア群を計算する」なんて必要はありませんよ（＾＾ http://sun.ac.jp/prof/hnagano/ 永野 哲也研 長崎県立大 http://sun.ac.jp/prof/hnagano/houkoku/h26ensyu2-16.html#1602 第16回 (抜粋) ２．円分多項式 Φn(x)： １の原始n乗根のみを根にもつ多項式を円分多項式（または円周等分多項式）という。 定義より以下が正しい。 http://sun.ac.jp/prof/hnagano/image/h26ensyu2-16-5.jpg http://sun.ac.jp/prof/hnagano/image/h26ensyu2-16-6.jpg １の8乗根を単位円周上に図示すると以下のような z1、z2、z3、z4、z5、z6、z7、z8 である。 http://sun.ac.jp/prof/hnagano/image/h26ensyu2-16-7.jpg z1、z3、z5、z7 が１の原始8乗根である。 z4 は原始2乗根、z2、z6 は原始4乗根、z8 はもちろん原始1乗根である。 (引用終り)
319:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 09:10:44.69 c3aU14PB.net
>>286
>ところで、円分体の理論より、ζ2nは代数拡大であり、Q(i)の元ではない
正確には、>>286で示したのは、ζn not ∈Q(i) だけですが
（高校数学の範囲です）
”代数拡大”は、ガウス先生が示したそうですが
それも、ガロア理論の前ですね
DA読めば書いてあるかも（＾＾
320:１３２人目の素数さん
19/02/09 10:06:06.72 zTjwdrqx.net
スレ主は言葉の使い方がメチャクチャ。
Q(i)も代数拡大なんですがw
321:１３２人目の素数さん
19/02/09 10:13:00.40 zTjwdrqx.net
Q(ζ)/QもQ(i)/Qも代数拡大。
322:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 10:16:00.30 c3aU14PB.net
>>286
>ここは、下記の円分多項式の体Q(i)内での既約性を認めてしまえば、
>f(ζn)=0とします (ζnは円分体の根) もし、ζn∈Q(i)なら f(x) ＝(x-ζn)g(x) と因数分解できて
まあ、下記なんかが参考になる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
剰余の定理
(抜粋)
多項式に関する剰余の定理（じょうよのていり、Remainder theorem）は、多項式 f(x) をモニックな（最高次の係数が1である）二項一次多項式 x － a で割ったときの剰余はf(a) であるという定理。またとくに、f(a) = 0 ならば f(x) が x － a を因数に持つことが従う（因数定理）。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
因数定理
(抜粋)
多項式 f(X) が一次式 X － k を因子に持つ必要十分条件は f(k) = 0 となること、すなわち k が多項式 f(X) の根となることである[2]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
有理根定理
(抜粋)
有理根定理（ゆうりこんていり、英: rational root theorem）は整数係数の代数方程式
a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+・・・ +a_{0}=0
の有理数の解に対する制約を述べた定理である。有理根定理は次のような言明である：
定数項 a0 および最高次の係数 an がゼロでないなら、有理数解 x = p/q を互いに素（最大公約数が 1）な整数 p, q で表したとき、p, q は以下の条件を満たす。
・p は a0 の約数
・q は an の約数
有理根定理は、多項式の因数分解に関するガウスの補題（英語版）の特別な場合に当たる。また、最高次の係数 an が 1 であるとき成り立つ整数根定理 (integral root theorem) は、有理根定理の特別な場合である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
既約多項式
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アイゼンシュタインの既約判定法
323:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 10:17:15.52 c3aU14PB.net
>>288-289
ご指摘ありがとう
どんどんお願いします（＾＾
324:１３２人目の素数さん
19/02/09 10:17:55.53 zTjwdrqx.net
必死に検索して「お墨付き」を見つけなければ
証明の正しささえ自分で判断できないひとに数学は無理でしょう。
>「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」は使っていませんよ！！（＾＾
これも間違い。使わなければ証明できない。
この程度のことも分からないひとに数学は無理ですね。
325:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 10:19:53.50 c3aU14PB.net
>>288-289
ついでに、どう書くべきか
も指摘ついでにお願いします（＾＾
326:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 10:2
327:0:17.45 ID:c3aU14PB.net
328:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 10:27:32.33 c3aU14PB.net
テンプレ>>9再録
(抜粋)
スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です
じゃ、どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます
が、それも基本、信用しないように
数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本ですし
”証明”とかいうらしいですね、数学では
その”証明”がしばしば、間違っていることがあるとか、うんぬんとか
(引用終り)
まあ、こういうことです
なお、テンプレ>>7再録
”大学新入生もいると思うが、間違っても５ＣＨ（旧２ＣＨ）で数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、半分趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
もう半分は、ここはおれのメモ帳だ （ここには、自分が面白いと思った情報を集めてあるんだ。過去ログ見ると、いろいろ面白い情報（リンクやPDF があるよ（＾＾ ）”
数学なんかやっているつもりはありません！ はい！（＾＾
半分趣味と遊びのスレ
もう半分は、ここはおれのメモ帳だぁ～（＾＾
これ、定義です！ はい！（＾＾；
329:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 10:40:37.02 c3aU14PB.net
>>288-289
ご指摘ありがとう
なるほど、代数拡大の基礎体の明示がないと
数学科生は気を付けましょうね
代数拡大の基礎体は常に明示しましょうね
330:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 10:56:18.75 c3aU14PB.net
>>248 補足
円分体
1973/74の昔とこの頃ですが
（これ、過去にアップしたかも）
URLﾘﾝｸ(www.math.s.chiba-u.ac.jp)
円分 ? 昔とこの頃* アンドレ・ヴェイユ
* Andr´e Weil, La cyclotomie jadis et nagu`ere, S´eminaire BOURBAKI, 26e ann´ee, 1973/74, n
?452, Juin
1974. In: Springer Lecture Notes in Math. 431 (1975), 318-338, ?uvres Scientifiques (全集), Vol. III,
311-327. (大坪紀之による私家版日本語訳, 2012)
URLﾘﾝｸ(www.math.s.chiba-u.ac.jp)
大 坪 紀 之
千葉大学 大学院理学研究院
数学・情報数理学コース
331:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 11:12:55.74 c3aU14PB.net
>>290
>>>286
>>ここは、下記の円分多項式の体Q(i)内での既約性を認めてしまえば、
まあ、下記などを
URLﾘﾝｸ(ichikawa.ms.saga-u.ac.jp)
Galois 理論とその応用
市川 尚志 2 佐賀大学工学系研究科数理科学専攻
(抜粋)
P14
定理 1.5.2 (Eisenstein).
P15
例
(2) p を素数とするとき、p 次円周等分多項式
(X^p ? 1)/(X ? 1) = X^(p?1) + X^(p?2) + ・ ・ ・ + X + 1
は Q 上既約。
(引用終り)
URLﾘﾝｸ(ichikawa.ms.saga-u.ac.jp)
市川 尚志
ICHIKAWA, Takashi
佐賀大学大学院 工学系研究科 数理科学専攻
332:１３２人目の素数さん
19/02/09 11:30:15.58 ja5oO2W3.net
＞スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
馬鹿はチラシの裏でやってろ
333:１３２人目の素数さん
19/02/09 11:34:51.59 H+6ShgmK.net
>>299
ここはそういうスレだから嫌なら見るな
334:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 11:37:14.09 c3aU14PB.net
>>298
下記 大阿久先生はPDFは、49ページですが
円分体の最小多項式の既約をEisenstein の 判定法で示しています。
この手法は、結構標準（だいたいこれ）ですね
G が巡回群であることも、示されていますよ
そんな、大げさな話しじゃないよね
これ、ちょっとお薦めです
URLﾘﾝｸ(lab.twcu.ac.jp)
ガロア理論入門（体と群と方程式）
大阿久 俊則 東京女子大学 現代教養学部 数理科学科 数学専攻
この講義では，ガロア理論の基本的な部分を群，環，体などの現代の代数学の言葉を用
いて解説する．体としては複素数体の部分体（古典的な場合と呼ばれる）を主に扱う．
なお，「環と加群の基礎」の内容，特に単項イデアル整域 (PID) についての事項は既知
として自由に用いるので，必要に応じて参照してください．
P48-49
14 円分体
ζ の Q 上の最小多項式は
f(x) = x^p?1 + x^p?2 + ・ ・ ・ + x + 1
であることを示そう．x^p ? 1 = (x ? 1)f(x) と ζ^p = 1, ζ ≠ 1 より f(ζ) = 0 である．
f(x)が Q 上既約であることを示そう．
Eisenstein の
判定法により f(x + 1) は Q 上既約である．従って f(x) も Q 上既約である．
最後に，G が巡回群であることを示そう．
(引用終り)
URLﾘﾝｸ(lab.twcu.ac.jp)
大阿久 俊則 (おおあく としのり)
東京女子大学 現代教養学部 数理科学科 数学専攻
335:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 11:42:52.85 c3aU14PB.net
>>300
どうもありがとう
これは、キチガイを取締る役代表の方ですかね？
久し振りの取締りパトロール、ご苦労さまです
5chで大学レベルの数学やろうなんて、キチガイだよね
実際、そんなこと（大学レベルの数学）が成り立っているスレが、
このバカ板5chの数学板のどこにそんなスレがあるのか？
ネット検索から有用な情報を貼り付けて
それをネタに雑談する以上のことは
考えていませんので、悪しからず（＾＾；
336:１３２人目の素数さん
19/02/09 11:44:37.81 ja5oO2W3.net
>>302
チラシの裏でやってろ
337:１３２人目の素数さん
19/02/09 11:46:12.66 H+6ShgmK.net
>>303
嫌 な ら 見 る な
338:１３２人目の素数さん
19/02/09 11:46:56.43 ja5oO2W3.net
＞ネット検索から有用な情報を貼り付けて
言ってることが矛盾してる
お前は自他ともに認める馬鹿でアホなんだろ？
だったらそんなお前が選んで貼り付けた情報も信用できないだろ、何で有用と言えるんだ？
339:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 13:08:40.74 c3aU14PB.net
>>305
テンプレ>>9再録
どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます
が、それも基本、信用しないように
数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本です
QED
なお、何が有用でなにが有用で無いかは
属人性があります
ある人には有用でも、別の人にとってはそうではないですよ
340:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 13:11:00.55 c3aU14PB.net
数学ソフト Risa/Asir の記事ですが、
これ、分り易いかも（＾＾
URLﾘﾝｸ(core.ac.uk)
Title Radical Representation of Polynomial Roots
Author(s) 穴井, 宏和; 横山, 和弘
Citation 数理解析研究所講究録 (1995), 920: 9-24
Issue Date 1995-08
2.
Radical Representation of
Polynomial Roots
穴井宏和 (富士通情報研)
横山和弘 (’)
2.1 数学的基礎
2.1.1 Galois 理論
まず, Galois 理論について簡単に復習する. mmonic で既約な $\mathrm{Z}$ 上の $n$ 次の多項式を $f(x)$ とする.
2.1.2 巡回拡大
341:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 13:41:17.91 c3aU14PB.net
円分体から類体論へ
URLﾘﾝｸ(alg-d.com)
代数的整数論 類体論 壱大整域
ツ�
342:Cート (抜粋) @alg d 2013 年 2 月 9 日 0 初めに この PDF は某国某所で某氏によって開催されたとあるセミナーで発表する内容をまと めたものです．当然，こんな量喋りきれるはずは無いので当日は適当に必要な部分だけ喋 りますが，PDF の用量に制限は無いので書けるだけ書いています．今回の話は類体論が どういうものかを理解してもらうのが目的です．類体論をやるには当然代数的整数論の 基本的な知識が必要ですが，頑張ってその辺をごまかしています．(無理なところは諦め てその辺の知識を仮定しています．) 目的が目的なので類体論の証明などは殆どやりませ ん．というかそういうのを勉強したい方は本を読んで下さい． 1 導入 ～有理数体の類体論へ～ (引用終り) http://alg-d.com/ 壱大整域 http://alg-d.com/math/number_theory/ 整数論
343:１３２人目の素数さん
19/02/09 13:54:43.76 ja5oO2W3.net
>>306
＞まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます
いやだから、馬鹿でアホなお前が正しいと思ったということは、正しくない可能性が
大いにあるということだ。違うかい？
正しくない可能性が大いにあるものをコピペする意味とは？
344:１３２人目の素数さん
19/02/09 13:58:08.31 CxrVcydz.net
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
345:１３２人目の素数さん
19/02/09 14:00:33.05 CxrVcydz.net
>>9
>大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です
じゃ、なんで数学板で書いてるの？
346:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 14:07:08.39 c3aU14PB.net
円分体から類体論へ２
URLﾘﾝｸ(www.math.okayama-u.ac.jp)
第 50 回代数学シンポジウム・徳島大学，2005 年 8 月 2 日
GLn の大域・局所 Langlands 対応
吉田 輝義1
(京都大学大学院理学研究科 / Harvard University)
(抜粋)
2 円分体（Q 上・Qp 上）
上で紹介した円分体の理論は，類体論およびその代数幾何学的実現である虚数乗法論の両方に
対して完全な形の雛形を提供している．次節以降これらの理論を述べるために，上の定理 3 およ
び命題 4 を再定式化し，また p 進体上の円分体についても述べる．
2.1 有理数体上の円分体
有理数体 Q 上の最大円分拡大に関しては以下の定理が基本的である：
定理 7. F = Q とするとき，次が成り立つ：
(A) （円分多項式の既約性） (4) は同形である：G
cyc
Q
?=?→ Zb×.
(B) （Kronecker-Weber） (3) は同形である：G
ab
Q
?=?→ G
cyc
Q ，すなわち Q
cyc = Q
ab．
(A) の部分は，N に関して定理 3 の射影的極限を取っただけである．(B) の部分の証明はここ
では扱わないが，分岐理論を用いるか，または一般の大域類体論の系として示される．
３ 類体論と Langlands 対応
本節からは特に証明を与えず，理論の主結果の紹介にとどめる．まず，Qp および Q 上の最大
円分拡大に関する結果を，それらの有限次拡大体（局所体・代数体）の最大 Abel 拡大に一般化
した理論である類体論を説明する．
４虚数乗法論と志村多様体論
ここでは，前節に紹介した類体論・Langlands 対応の代数幾何学的構成を与える理論を紹介す
る．これらは，類体論に関しては Q および Qp の場合の定理 7，定理 9 の (A) を一般化する構成
であり，さらにそれを一般化する Langlands 対応（定理 18・予想 19）に関しては，一対一対応
の ?→（GLn の表現 → n 次元 Galois 表現）の方向の構成である．
(引用終り)
347:１３２人目の素数さん
19/02/09 14:10:05.85 ja5oO2W3.net
自己矛盾に満ちたスレ主
348:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 14:11:44.08 c3aU14PB.net
なるほどね
一人で
少なくとも二つのIDを使えるというのは、分った（＾＾；
（しかし、朝から夜遅くまで、IDを使い分けてご苦労さんとしか言いようがないね（＾＾ ）
>>282 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/02/09(土) 01:49:51.63 ID:ja5oO2W3 [1/5]
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
>>310 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/02/09(土) 13:58:08.31 ID:CxrVcydz [1/2]
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
(引用終り)
349:１３２人目の素数さん
19/02/09 14:37:48.96 ja5oO2W3.net
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
350:１３２人目の素数さん
19/02/09 14:48:24.42 ja5oO2W3.net
決定番号が自然数であるなら>>315の成立に疑いの余地は無い。
よって不成立を主張したいなら、「決定番号は自然数である」が偽であることを示さなくてはならない。
どうぞ、示して下さい。示せなければ、馬鹿でアホなスレ主が理解できていないだけと認定します。
351:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 15:18:26.26 c3aU14PB.net
都築先生も、いいですね
「既約多項式の互いに共役な元の入れ替えを考察するというのが、ガロアによる方程式の理論の原型であ
る。一方、自己同型は線形空間として体拡大をとらえる現代的方法である。この章では、両者の関係を解説
する。」ってところが、スレタイに合致！（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
平成 16 年度代数学 B
講義ノート
広島大学大学院理学研究科 都築 暢夫
この講義の目的は、体の理論・ガロア理論を解説し、その応用として
(1) ギリシアの 3 大作図不能問題
(2) 作図可能な正多角形の決定
(3) 一般の 5 次以上の方程式の非可解性
を考察することにある。
体とは、加減乗除をもつ代数系である。与えられた体係数の方程式がいかに解けるか ? これは昔から
の大問題であった。もちろん現在も方程式を解くというのは代数幾何や数論幾何の中心的課題である。方程
式を解くと、その解を含む新しい体 (拡大体) ができる。その相対的な状況を、いかに考察するのかという
基本的枠組みを与えるのが体論・ガロア理論である。
Contents
1. 体 1
2. 体の作り方 7
3. 多項式環と既約多項式 13
4. 単拡大 18
5. 既約性判定法 22
6. 代数閉体 25
7. 共役元 27
8. 分離拡大と正規拡大 31
9. ガロア拡大と基本定理 37
10. 円分体 46
11. 作図とギリシアの三大作図不能問題 50
12. 方程式の可解性 56
P27
7. 共役元
既約多項式の互いに共役な元の入れ替えを考察するというのが、ガロアによる方程式の理論の原型であ
る。一方、自己同型は線形空間として体拡大をとらえる現代的方法である。この章では、両者の関係を解説
する。
P31
8. 分離拡大と正規拡大
体論における種々の概念、例えば代数性など、は、体に属するすべての元に対してある性質が成立する
ことを要求する。しかし、多くの場合は生成元について問えば十分であることがわかる。この章で定義する
分離性や正規性もそのような概念であり、共役元と埋め込み・自己同型の関係からわかる。
(引用終り)
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
広島大数学科 都築暢夫
352:１３２人目の素数さん
19/02/09 15:24:20.29 ja5oO2W3.net
示せなかったので、馬鹿でアホなスレ主が理解できていないだけと認定しました
353:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 15:45:59.00 c3aU14PB.net
>>281
>「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」の証明が難しい？
下記の”アイゼンシュタイン（Eisenstein）の既約判定定理”
これは、整数係数の範囲の因数分解ですが、証明を見れば分るように、iを添加した環Z(i)で考えても成り立つ
だから、整数環Z内で既約なら、環Z(i)内でも既約
それで、既約多項式の根を添加して、実数体Rを拡大することを考えれば良い
大阿久先生が、>>301で円周等分多項式の既約をEisenstein の 判定法で示しています
これより、円分体の根 ζ3,ζ5,ζ6,・・・,ζn,・・・ は、既約方程式の根
よって、これらは、Q(i)に含まれない（簡明に言えば、ベキ根拡大になります。高校数学の延長上です）
よって、「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」
354: QED 簡単ですよね https://mathtrain.jp/eisenstein 高校数学の美しい物語 最終更新:2018/01/13 アイゼンシュタインの定理 (抜粋) アイゼンシュタイン（Eisenstein）の既約判定定理 ある素数 p が存在して以下の3つの条件を満たすとき， 整数係数多項式 f(x)=anx^n+an?1x^n?1+・・・+a1x+a0 を （整数係数の範囲でできるとこまで）因数分解すると必ず k 次式以上の因数がでてくる。 ・a0 は p の倍数だが p^2 の倍数でない ・a1 から ak?1 まで全て p の倍数 ・ak が p の倍数でない 特に，k=n の場合に3つの条件を満たす式は既約（それ以上因数分解できない）です。 アイゼンシュタインの定理の証明 いよいよ証明です！ 方針：1つ1つ丁寧に係数を比較していくだけです。ほとんど機械的な計算で証明することができるので入試で出題されるかもしれません。 証明 ある素数 p に対して3つの条件を満たすとき f(x)=anx^n+・・・a1x+a0 が g(x)=bnx^n+・・・b1x+b0 と h(x)=cnx^n+・・・c1x+c0 の積に因数分解できたとする。 つづく
355:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 15:46:31.28 c3aU14PB.net
>>319
つづき
a0=b0c0 は p で1回のみ割り切れるので b0,c0 のどちらかのみが p の倍数。
b0 が p の倍数としても一般性を失わない。
次に 1 次の係数を比較すると，
a1=b0c1+b1c0
で a1,b0 が p の倍数なので b1 も p の倍数。
以下同様に，係数比較により b2,b3,・・・bk?1 も p の倍数であることが分かる。
最後に ak が p の倍数でないことから bk も p の倍数でない，すなわち bk≠0 が分かる。
すなわち g(x) は k 次以上である。
一見めんどくさそうな定理ですが，3つの条件を確認するのは簡単なので理解すればどうってことない定理です。
(引用終り)
以上
356:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 15:51:32.11 c3aU14PB.net
>>318
しかし、おまえもアホなサイコパスやねー（＾＾
お前に同意する人減ったなー
ま、どこまでがんばれるか楽しみだよ（＾＾；
357:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 15:52:08.82 c3aU14PB.net
サイコ人かな
スーパーサイコ人かな（＾＾
358:１３２人目の素数さん
19/02/09 16:03:43.60 ja5oO2W3.net
＞お前に同意する人減ったなー
いや、お前が勝手にID名寄せしてるだけだろｗ 妄想乙ｗ
359:１３２人目の素数さん
19/02/09 16:07:09.71 ja5oO2W3.net
まあどんなに話を逸らそうとしたところで示せなかった事実は変えられない。
よって馬鹿でアホなスレ主が理解できなかっただけの話。これが最終結論です。
360:１３２人目の素数さん
19/02/09 16:08:33.94 ja5oO2W3.net
＞お前に同意する人減ったなー
スレ主に同意する人は3年間で何人？ っぷ
361:１３２人目の素数さん
19/02/09 16:12:23.11 ja5oO2W3.net
馬鹿でアホなスレ主はチラシの裏でやれ
どうしても数学板でやりたけりゃ
「馬鹿でアホな私スレ主は3年間も間違い続けましたが時枝は成立でした」
とテンプレに書いとけ
362:１３２人目の素数さん
19/02/09 16:22:25.92 H+6ShgmK.net
>>326
LRすらまともに読めないお前が数学板から出ていけ
363:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 16:25:27.27 c3aU14PB.net
>>184
追加
URLﾘﾝｸ(www.sci.u-toyama.ac.jp)
2003年度整数論サマースクール 「岩澤理論」
URLﾘﾝｸ(www.sci.u-toyama.ac.jp)
イントロダクション（50分） 小松啓一 (早稲田大学)
(抜粋)
このサマースクールのテーマである岩澤理論が登場するまで, 円分体の類数を研
究する人はフェルマの問題を解こうとしている人と同一視されていたということ
を藤崎先生から伺いました. ここでいう円分体とは有理数体 Q に 1 の原始 m 乗根
ζm = e
2πi
m を附加した体 Q(ζm) の部分体である. この話から想像できるように, 円
分体の類数について, 何か理論的なものがあるとは, 誰も思っていなかった�
364:墲ｯで す. さて, Weber の定理は以下に述べる岩澤の定理が登場するまで, 人から省みられ ることはなかった. 定理 1.(岩澤 1956) p を素数, k を有限次代数体, K を k の p 巾次巡回拡大と し, K/k で分岐する素イデアルがただ１つとする. このとき, k の類数 hk が p と素 ならば K の類数 hK も p と素である. この定理から Weber の定理はすぐに従う. さて, 証明には類体論が使われる. 即 ち, K のイデアル類群の p-Sylow 部分群 AK を調べるかわりに, K の最大不分岐 アーベル p-拡大 L のガロア群 Gal(L/K) を調べる. 類体論は AK と Gal(L/K) が同 型であるという事を示すのに使われる. (引用終り)
365:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 16:28:13.72 c3aU14PB.net
>>327
これは、キチガイを取締る役代表の方ですね
キチガイ取締りパトロール、ご苦労さまです（＾＾；
同意です
煮ても焼いても食えないね、サイコやろうは
366:１３２人目の素数さん
19/02/09 16:34:34.84 ja5oO2W3.net
未だバレてないと思ってるところが馬鹿丸出しｗ
367:１３２人目の素数さん
19/02/09 16:36:46.45 H+6ShgmK.net
>>330
はいガイジレス
痴呆が進行しすぎて他人の区別すらできない
368:１３２人目の素数さん
19/02/09 16:40:17.88 CxrVcydz.net
>>314
＞一人で少なくとも二つのIDを使えるというのは、分った
妄想ですね
別IDで「●チガイを取締る役代表」を演じる
卑怯卑劣なサイコパスのスレ主とは違いますよ
369:１３２人目の素数さん
19/02/09 16:41:14.59 H+6ShgmK.net
>>332
こいつもガイジか
球とトーラスの区別すらつかなそう
370:１３２人目の素数さん
19/02/09 16:41:20.61 CxrVcydz.net
●チガイを取締る役代表のときは
●チガイ丸出しの書き込みするよね
サイコパスのスレ主は
371:１３２人目の素数さん
19/02/09 16:42:47.88 H+6ShgmK.net
>>334
で、どうして同一人物だと思うの？これについてただの一度もまともな説明もらってないけど