19/02/05 22:06:47.90 YkzLfObS.net
>>152 タイポ訂正の訂正
ζ4p^(4-p)+1/ζ4p^(4-p) = 2cos{2π(4-p)}/4p=2sin2π/p
↓
ζ4p^(4-p)+1/ζ4p^(4-p) = 2cos{2π(4-p)}/4p=2sin2π/4p=2sinπ/2p
Q(sin2π/p)を考えようというのが
↓
Q(sinπ/p)を考えようというのが
これもとい。訂正の方が間違っていた（＾＾；
いやー、おっちゃんのこと言えんな～（＾＾；
下記と混同していたな
スレ59 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:801番)
(抜粋)
Q(cos2π/p)とQ(sin2π/p)と問題で
sin2π/p=cos{2π/p-π/2}=cos{2π(4-p)}/4pであることを利用
↓
この類推で
原問のQ(cosπ/p)とQ(sinπ/p)では
sinπ/p=cos{2π/2p-π/2}=cos{2π(2-p)}/4pであることを利用
とでもして、
ζ4p^(2-p) + 1/ζ4p^(2-p)＝2cos{2π(2-p)}/4p＝2sinπ/p
なので
ζ4p^(2-p)k + 1/ζ4p^(2-p)k
を作って、
OG(sinπ/p)
を作るのでしょうか？
だからOG(sinπ/p)の元を調べて、
2sinπ/p = ζ4p^(2-p) + 1/ζ4p^(2-p)
は、OG(cosπ/p) の外だと言えればいい
(引用終り)
と、自分で書いたのに、ボケとるよなー、おれって・・（＾＾；
で、ζ4p^(2-p)k + 1/ζ4p^(2-p)kが、拡大Q（sinπ/p）の原始元になっていれば、嬉しい
で、繰り返しになるが
数学雑記さん（>>114）URLﾘﾝｸ(fjmttty.hatenablog.com)
が、解答の中でやっているように
ζ4p + 1/ζ4p を作ることができれば、これは2cos 2π/(4p)=2cosπ/(2p)
なので、倍角公式で、cosπ/p が出せる
gcd(4p,k)=1とか、gcd(4p,4-p)=1とかに似た話しはどっかで読んだ気がするのだが
{ζ4p^(2-p)k + 1/ζ4p^(2-p)k}を何度も掛けていく（べき乗を作る）と思った・・（＾＾；
ここらの式変形はガウスのDAにあったかもね・・。もし、あったらガウスはほんと天才やね（＾＾
（彼は、19歳でDAをほとんど書き上げたというからね・・）
まあ、もうちょっと、調べてみましょう
確かに、ここらは（円分体は）、いろんな数論の出発点やね・・
知っといて損はない。というか、知っておく方が絶対良いよね
178:１３２人目の素数さん
19/02/05 22:08:45.08 qhednLae.net
>>143
じゃあスレ主が流れるなｗ
179:１３２人目の素数さん
19/02/05 22:12:51.56 qhednLae.net
自分が答えられないとうんこレスですか、まさにキチガイだね
180:１３２人目の素数さん
19/02/05 22:15:05.70 qhednLae.net
そんなキチガイだから3年かかって時枝一つ理解できないんだよｗ
キチガイには数学は無理だから諦めなｗ
181:１３２人目の素数さん
19/02/05 22:16:43.19 qhednLae.net
>>153
安心しな
お前はいつもゼロ点だから減点しようが無い
182:１３２人目の素数さん
19/02/05 22:23:04.02 qhednLae.net
何言ってるかわからない答案を連発しといて、誤記減点に気をつけなだってｗ
スレ主ってホント馬鹿だねｗ
183:１３２人目の素数さん
19/02/05 22:39:21.97 PAsJI8AS.net
キチガイ怒りの5連投
なお内容は煽りのみで数学的なものは一切含まれない模様
早急に死ね
184:１３２人目の素数さん
19/02/05 22:51:47.73 qhednLae.net
>>166
キチガイ登場ｗ
数学的問い>>67をスルーしといて、言ってることがメチャクチャだなｗ
185:１３２人目の素数さん
19/02/05 22:56:26.64 qhednLae.net
キチガイは数学的問いを見て見ぬふりする悪癖があるｗ
よって再掲するｗ どうぞスルーして下さい。何度でもコピペしてあげますからｗ
＞さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
＞例えばkが選ばれたとせよ.
＞s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
↑は、決定番号が自然数である限り否定しようがない。
もし否定したいなら決定番号が自然数とは限らないことを示さなければならない。
はいどうぞ～ がんばって示してね～
186:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/06 07:12:08.07 C0V9I9pS.net
>>166
これは、キチガイを取締る役代表の方ですね
（おやじギャグを解説しても白けるが、会社の”代表取締役”のパロなのです、ハイ（＾＾； ）
キチガイ取締りパトロール、ご苦労さまです（＾＾
煮ても焼いても食えないね、サイコやろうは
187:１３２人目の素数さん
19/02/06 07:18:17.17 bsjm3Ccu.net
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
188:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/06 07:34:23.12 C0V9I9pS.net
>>160 追加
ようやく、問題の構造が分った～！（＾＾
下記「Q(ζm)∩R}= Q(ζm+1/ζm) である。このQ(ζm+1/ζm)を、最大実部分体または実円分体という。」で
最大実部分体 or 実円分体 が、キーワー�
189:hやね これで、検索すると、いろいろヒットするね それは、ともかく Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(sinπ/p)⊂Q(ζ4p + 1/ζ4p) という構造なんやね で、Q(ζ2p + 1/ζ2p)と⊂Q(ζ4p + 1/ζ4p)の二つが、円分体の”最大実部分体または実円分体”だと（＾＾ で、sinπ/pは、Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)の外（含まれない） だと、それを示せば良いのだ なお、Q(sinπ/p)＝Q(ζ4p + 1/ζ4p)なのでしょうね、多分 Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(sinπ/p)は、>>158-159で終わったが ”sinπ/pは、Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)の外（含まれない）”の細部の証明が、まだ示せないスレ主でした（＾＾； https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93 円分体 (抜粋) 性質 ・Q(ζm)∩R}= Q(ζm+1/ζm) である。このQ(ζm+1/ζm)を、最大実部分体または実円分体という。 (引用終り) 以上
190:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/06 07:36:04.17 C0V9I9pS.net
>>171 タイポ訂正（流しと強調を兼ねて（＾＾ ）
で、Q(ζ2p + 1/ζ2p)と⊂Q(ζ4p + 1/ζ4p)の二つが、円分体の”最大実部分体または実円分体”だと（＾＾
↓
で、Q(ζ2p + 1/ζ2p)とQ(ζ4p + 1/ζ4p)の二つが、円分体の”最大実部分体または実円分体”だと（＾＾
191:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/06 07:53:14.46 C0V9I9pS.net
>>171
円分体は、やっといた方がいいみたい（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ikagawashii-hitorigoto.blogspot.com)
い加川しいhitorigoto 加川貴章
(抜粋)
20171212
ノイキルヒの本を読むゼミ。円分体での素数の分解がよくわかったところで、次は平方剰余の相互法則を円分体を用いて証明する、という話。うん、円分体に持ち込むと上下がひっくり返せる理由がよくわかる。で来週から局所化の話で、1次元スキームとか出てくるところ。ここは小生苦手にしているので、じっくり勉強させてもらいたい所
2017125
ノイキルヒのゼミから。円分体で素数がどう素イデアル分解されるかなど。わざわざ Z[ζ] が整数環だから、任意の素数の分解は円周等分多項式の分解でわかる、ということでその道筋で示していた。
そんなもん不分岐なのの分解だったらフロベニウス置換の性質を用いれば一発じゃないか、と思ったんだが、代数体でなく一般のデデキント整域で議論を進めているから、(分解群)/(惰性群)が巡回群であることが使えない。
だから円周等分多項式で見なくてはいけない。そうするとえらく難しい。でそこで予習切れ。うーん、ノイキルヒの本は難しいな
20171114
ノイキルヒのゼミ。で今は Q(ζn) の整数環が Z[ζn] であることの証明だったが、n が素数の冪の場合で沈没したらしく、「一般の場合は来週にします」とのことだった。
で40分くらいで終了。円分体の整数環の決定って、何でこんなに難しいんだろう？そもそも [Q(ζn)：Q]＝φ(n) であることも、一般の場合は実に難しい。ちゃんと証明読んでない人も多いんではないかと想像するが、いかがだろうか？
小生？ちゃんと読みましたよ、何種類か。でもその中で特に腑に落ちる証明があったわけではない。これからも学生に色々本を読ませながら、腑に落ちる証明探しの旅を続けよう。
2017117
ノイキルヒの本を読むゼミ。相変わらず進まない。まあヒルベルト理論は難しいし、仕方ないのだ。来週は円分体の話なんで、いくらか分かりやすくなるんじゃないだろうか。ちょっと期待
つづく
192:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/06 07:54:00.53 C0V9I9pS.net
>>173
つづき
2017825
当たり前のように見えることが本当に当たり前か？という問に関して考え始める。計算を色々やってみて、出来た、と思ったらまだ出来ていない、でコンピューターで計算して計算ミスはないことなど確認と、この繰り返し。夕刻にやっとやっぱり当たり前の結果しか成り立たないことがわかった。途中円分体を考えたり、最大実部分体の正規底を考えたりと、結構大事だったが、良かった。すっきり
2017726
それにしても円分体は面白い。時間があれば Washington の
193:本をじっくり読みたいところだが、 (引用終り) https://researchmap.jp/read0059180/ researchmap (抜粋) 研究者氏名 加川 貴章 カガワ タカアキ URL http://www.ritsumei.ac.jp/se/%7Ekagawa/ 所属 立命館大学 部署 理工学部数理科学科 職名 教授 学位 理学博士(早稲田大学) その他の所属 立命館大学 学歴 - 1991年 早稲田大学 理工学部 数学 - 1997年 早稲田大学大学院 理工学研究科 数学 (引用終り)
194:１３２人目の素数さん
19/02/06 09:01:36.44 gKBRkkX8.net
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
195:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/06 12:03:20.17 QNIYYpOH.net
>>171 補足
ほんと蛇足だが
Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(sinπ/p)⊂Q(ζ4p + 1/ζ4p)⊂Q(ζ4p)
Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)
で、下記の円分体の性質から
4p＝4*pと因数分解できて
Q(ζ4p)は、Q(ζ4)とQ(ζp)との合成体と見ることができる
ここから、攻める手もありそうですな～（＾＾；
すぐに何か浮かぶわけではないのが、鈍才のつらいところです（＾＾
ガウスのように始めよ、すぐガウスでないことに気づく・・のだが・・ｗｗ（＾＾
ζ4＝cos2π/4 + i*sin2π/4 =cosπ/2 + i*sinπ/2 =i
か・・
これ、多分>>115より
"K=Q(cos(x)), L=Q(e^(ix))=K(i*sin(x)) とおくと
L/K は2次拡大。また、L∩R=K という関係がある。"
と繋がっているんだろうね・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
円分体
(抜粋)
性質
・3 以上の整数 m に対して、円分体 Q (ζm) の拡大次数 [ Q (ζm): Q ]は、φ (m)である。
但し、φ (n)はオイラー関数である。
・任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である。
・3 以上の整数 m に対して、 m=p_1^{e_1・・・ p_{r}^{e_{r} ( p_1,・・・ ,\ p_{r} は、相異なる素数、 e_1,・・・ ,e_{r} >= 1) と素因数分解すると、
Q (ζm) は、 Q (ζ{p_1^{e_1}}),・・・ ,Q (ζ{p_{r}^{e_{r}}) の合成体であり、
Gal ( Q (ζm)/ Q )～＝ ( {Z} /m {Z} )^x～＝ ( {Z} /p_1^{e_1} {Z} )^x X ・・・ X ( {Z} /p_{r}^{e_{r}} {Z} )^x
が成立する。
また、円分体 Q (ζm)} で分岐する有理素数[1]は、 p_1,・・・ , p_{r} に限る。
(引用終わり)
196:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/06 13:36:21.54 QNIYYpOH.net
>>176 蛇足
これも蛇足だが
ζ2＝cos2π/2 + i*sin2π/2 =cosπ + i*sinπ =-1
なので、
Q(ζ2p)＝Q(ζp)・・・(1)
かな？
で、
Q(ζ4p)＝Q(i,ζp)・・・(2)
（iとζpとを添加した体）
と見ることができて
Q(ζ2p)⊂Q(ζ4p)＝Q(i,ζp)
ζ2p - 1/ζ2p ＝-2i*sinπ/p
だったから
sinπ/p ∈ Q(ζ4p)＝Q(i,ζp)
は、すぐに得られるね
だから、どうしたと言われそうだがね
で、問題は、
(>>114)
命題2：sinπ/p not ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)＝Q(ζp)
をどう示すかなのだが
こういう場合に、背理法が使えればいいのだが
sinπ/p ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p) を仮定して、
うまく矛盾が導かれるかどうか
（当然矛盾はしているのだが・・）
鈍才の私には、なかなか閃きません（＾＾；
197:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/06 15:59:08.09 QNIYYpOH.net
>>177 追加
ちょっと閃いたね～ｗ（＾＾
命題2：sinπ/p not ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)＝Q(ζp)
（略証）
背理法を使う
sinπ/p ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)＝Q(ζp)
が成り立つとする
ζp-1/ζp =2i*sinπ/p∈ Q(ζp)
だから
i = （2i*sinπ/p）/（sinπ/p） ∈ Q(ζp)
となる
そうすると
Q(ζp) ＝ Q(i,ζp) ＝Q(ζ4p)となる＊）
これは、矛盾である
QED
＊）注：Q(ζp) ＝ Q(i,ζp) ＝Q(ζ4p)の矛盾を示すところで
円分体の大定理(>>176)を使うというのが、結構大げさなんだけどね（＾＾；
まあ、昔受験時代に読んだ、「大学への数学」でよく言われたのが
「牛刀を用いてニワトリを割く」という言葉なんだけど
（当時は、大学で扱う大定理の系として、問題を解くみたいな使い方だったと思ったが）
まあ、この問題では、円分体の理論との結びつきという意味�
198:ﾅ、一番見通しがいいかもね 円分体の大定理の証明？ それは私の手に余るので、加川貴章先生（>>173-174）へどうぞ まあ、どこか探せば、PDFが落ちていると思うし、教科書とかにも載ってそうです （高木の整数論とかにないかな （これは持ってないんだが）？（＾＾； ） http://www.kokin.rr-livelife.net/koto/koto_ki/koto_ki_4.html ことわざ図書館 (抜粋) 牛刀をもって鶏を割くぎゅうとうをもってにわとりをさく 「鶏を割くに焉んぞ牛刀を用いん」ともいう。 小事を処理するのに、大掛かりな手段を用いることのたとえ。
199:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/06 16:02:27.93 QNIYYpOH.net
>>178 補足
この背理法は、多分
これ、>>115より
"K=Q(cos(x)), L=Q(e^(ix))=K(i*sin(x)) とおくと
L/K は2次拡大。また、L∩R=K という関係がある。"
と同じ話だろうね
”背理法”と呪文を唱えると
証明っぽくなるよね（＾＾
200:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/06 16:05:20.07 QNIYYpOH.net
>>178
>円分体の大定理の証明？ それは私の手に余るので、加川貴章先生（>>173-174）へどうぞ
加川ゼミでこれやると、「証明は？」と言われて、
黒板ハリツケの刑で、私は立ち往生ですね （＾＾
201:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/06 16:20:31.97 QNIYYpOH.net
>>178
>i = （2i*sinπ/p）/（sinπ/p） ∈ Q(ζp)
>となる
昔、高校数学で、割り算のとき
「必ず 分母 ≠0 を言え」と、口酸っぱく言われたね（＾＾；
分母 ≠0 と 分母 ＝0 の場合で、
場合分けを、落とし穴として引っかけで、
証明の出題をしている場合が多いのだとかね
一言書いてあるだけで、印象が違うとかも言われた
まあ、sinπ/p ≠0 は良いでしょうね（＾＾
202:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/06 16:23:25.67 QNIYYpOH.net
>>178 タイポ訂正 （流しを兼ねて）
i = （2i*sinπ/p）/（sinπ/p） ∈ Q(ζp)
↓
i = （i*sinπ/p）/（sinπ/p） ∈ Q(ζp)
ケアレスミスが多いな
注意しましょうね（＾＾；
203:１３２人目の素数さん
19/02/06 20:59:15.43 gKBRkkX8.net
決定番号が自然数であることがまったく言えていないのでケアレスミスを気にしても仕方が無い。
ゼロ点で落第。
204:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/06 21:00:04.37 C0V9I9pS.net
>>174
＞それにしても円分体は面白い。時間があれば Washington の本をじっくり読みたいところだが、
下記の”[10] L. C. Washington, Introduction to cyclotomic elds, 2-nd edition, GTM 87, Springer (1997).”だろうかね（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.cck.dendai.ac.jp)
第22回 (2014年度) 整数論サマースクール 『非可換岩澤理論』 2014.8.28?2014.9.1
世話係
原 隆 (東京電機大学)
水澤 靖 (名古屋工業大学)
URLﾘﾝｸ(www.cck.dendai.ac.jp)
講演内容
URLﾘﾝｸ(www.cck.dendai.ac.jp)
講演レジュメ
可換拡大の岩澤理論の代数的側面について 藤井 俊 (金沢工業大学)
本講演では、まず導入として岩澤理論の起源である Zp 拡大の一般論を解説し、後の講演で用いられる概念、用語の紹介を行う。
次いで、非可換岩澤理論で扱われる「分岐付岩澤加群」が、どのような文脈で岩澤理論に現れるのかについて解説をする。
本稿の構成は,
・2 章: Zp 拡大の一般論
・3 章: 円分Zp 拡大上のKummer 理論, イデアル類群と分岐付岩澤加群
となっている. 2 章はWashington の本[10] の13 章の内容の解説である. 3 章は, 岩澤先生
の論文[7] の前半部分の(簡易な) 解説である. 論文[7] では, Kummer 理論のすべての部分を
扱っているが, 本稿ではプラス部分に限定をして話を進める.
[10] L. C. Washington, Introduction to cyclotomic elds, 2-nd edition, GTM 87, Springer (1997).
On a
205:lgebraic aspects of Iwasawa theory for abelian extensions Satoshi Fujii (Kanazawa Institute of Technology) In this lecture I will first explain general theory on Zp-extensions of algebraic number fields, which is the origin of Iwasawa theory. Then I introduce several concepts and terminologies concerning it which shall be used throughout this lecture series. Under these preparations I would like to introduce the notion of the “Iwasawa module with ramification,” and explain how this notion appears in the classical Iwasawa theor
206:１３２人目の素数さん
19/02/06 21:15:37.63 bsjm3Ccu.net
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
207:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/06 21:17:09.49 C0V9I9pS.net
>>178
＞「牛刀を用いてニワトリを割く」という言葉なんだけど
下記にあるような、円分体のガロア対応をベースに
Q(ζp) 、 Q(i,ζp) 、Q(ζ4p)のガロア群を作って
「矛盾」を示すのもありかね
牛刀ではあるけれども、大学数学とは、むしろ、”牛刀使い”が、賞讃されるような気がする
というか、Q(ζp) 、 Q(i,ζp) 、Q(ζ4p)などは、あくまで学習のための具体例の一つであって
”牛刀の使い方と切れ味”を試すための学習例にすぎないのだと
（私は、まだまだそこへ行っていませんがね（＾＾； ）
URLﾘﾝｸ(biteki-math.hatenablog.com)
美的数学のすすめ
2015-04-17
円分体のガロア対応
(抜粋)
ガロア対応を円分体に応用すると、ガウス周期と、ガロア群の部分群との関係が分かります。ガウスはガロア理論を知りませんでしたが、円分体に関しては、ガロア理論と実質的に同様のことを理解していたといわれています。
ガウスは、19歳のある朝、正17角形が作図可能であることに気が付きましたが、その着想を円分体論として公表したのが1801年、ガウスが24歳のときでした。（ガウス整数論（Disquisitiones Arithmeticae））
ガロアが誕生したのは1811年、1832年に決闘で亡くなるまでにガロアはガウスの円分体論を当然知っていました。ガロアは、このガウスの円分体論を強く意識して（「ガロワ理論下」デイヴィッド・A. コックス、338ページ）、ガロア理論の着想を得たと考えられています。
円分体論とはこれだけのことか？
ここまで見てきた対応は、ガロア理論の応用です。このガロア理論は、これだけでも十分に驚くべき内容です。ガロア理論は全ての体について成り立つものですが、上のようにきれいな形でガロア対応を記述できるものはそう多くありません。その意味で、上の結果だけでも十分です。
しかし、円分体論はガロア理論に吸収されてしまうのでしょうか？そうではありません。上のガロア対応にはガロア理論を超えたさらに驚くべき内容が隠されています。それを考えるには、円分多項式がmodpでどのように因数分解されるのか考える必要があります。
次回は、円分多項式がmodpでどのように因数分解されるか考えてみます。
(引用終り)
208:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/06 21:22:30.01 C0V9I9pS.net
>>186
関連追加
URLﾘﾝｸ(biteki-math.hatenablog.com)
美的数学のすすめ
2015-04-08
円分体のガロア群
円分体 ガロア理論
(抜粋)
今回は、円分多項式の分解体であるQ(ζn)のガロア群GaL(Q(ζn)/Q)を考えます。
ガロア理論の初歩については下記をご覧ください。
円分多項式の性質
このようにGal(Q(ζn)/Q)がアーベル群（可換群）であることが分かりました。類体論の対称は、ガロア群がアーベル群となる体の拡大ですが、円分体はその典型例です。
円分体のガロア群が決定できましたので、次回、円分体の部分体をこのガロア群の部分群から決定してみます。
(引用終り)
209:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/06 21:29:31.98 C0V9I9pS.net
>>187
関連追加
tsujimotterのノートブックは、
以前にも引用させてもらったと思う
これは、大学１～２年は、ざ
210:っと読んでおくと良いと思うよ（＾＾ http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/class-field-theory-of-cyclotomic-field tsujimotterのノートブック 2017-01-01 円分体の類体論の復習 以上の記事では，整数論にガロア理論を適用させ，素イデアルの分解法則を見出す「ヒルベルトの理論」の枠組みを紹介し，その系として円分体の分解法則を導きました。 上の記事から半年以上経っているので，円分体の類体論を復習しつつ，言い足りなかったことを少し補足したいと思います。 復習するテーマは大きく分けて以下の２つです。 ・ガロア拡大における分解法則とフロベニウス ・円分体の素イデアル分解法則 この記事のすぐあとに，続きの記事を書きたいと思っています。今回の記事はそのための準備です。例によって，少々レベルが高い記事になりますが，よかったら合わせて読んでみてください。 復習１：ガロア拡大における分解法則とフロベニウス 補足１：フロベニウス自己同型とアーベル拡大 補足２：アルティン写像と相互法則 復習２：円分体の素イデアル分解法則 まとめ 今回は「円分体の分解法則」だけ紹介しましたが，この流れを踏まえることで「二次体の場合の分解法則」も得ることができます。実はその話がしたくてこの記事を書きました。 一般に，これらは「Q上の類体論」と呼ばれるものですが，これが円分体の分解法則の延長で得られるのです。この辺が円分体が雛形と言われる所以でしょう。 次の記事では，ぜひ円分体のパワーを味わってください！
211:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/06 23:39:27.57 C0V9I9pS.net
>>186
>ガウスはガロア理論を知りませんでしたが、円分体に関しては、ガロア理論と実質的に同様のことを理解していたといわれています。
>ガウスは、19歳のある朝、正17角形が作図可能であることに気が付きましたが、その着想を円分体論として公表したのが1801年、ガウスが24歳のときでした。（ガウス整数論（Disquisitiones Arithmeticae））
まあ、下記の「響きあうガロアとガウス―正 17 角形の作図問題（第２版）(上野孝司 著) 2016 年12 月５日」などをご参照
これ、ちょっと面白いよ（＾＾
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
物理のかぎしっぽ
URLﾘﾝｸ(hooktail.org)
寄稿
数学
上野孝司氏による『君の為の数学原論』シリーズ †
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
響きあうガロアとガウス―正 17 角形の作図問題（第２版）(上野孝司 著) 2016 年12 月５日
（ガロアのf 項周期について、図解するなど詳しくしました）
群の抽象性と散在性―シローの定理と位数12の群(上野孝司 著)
群の抽象性と散在性―シローの定理と位数12の群（第２版）(上野孝司 著)
恐るべし、数学技術―ガウス積分とバーゼル問題(上野孝司 著)
バーゼル問題一般化にベルヌーイの執念、cot の解析がカギ(上野孝司 著)
置換群に翻弄された方程式の可解性―ガロア理論再考(上野孝司 著)
置換群に翻弄された方程式の可解性―ガロア理論再考（第２版）(上野孝司 著)
Ｎ次元超球の体積はヤコビアン、曲面積は平行四辺形(上野孝司 著)
加群構造定理が源流―アーベル基本定理とジョルダン標準形(上野孝司 著)
金融工学 ‐ オプション価格は熱方程式、ブラック・ショールズモデル(上野孝司 著)
解析か代数か - 物理数学の第一歩、ルジャンドルの多項式(上野孝司 著)
あっと驚く証明―ケイレイ－ハミルトンの定理、行列式の応用(上野孝司 著)
金融工学：ポートフォリオのリスク評価は共分散ー資産選択理論(上野孝司 著)
環論と存在性―複素数とはなんだろうか(上野孝司 著)
ローラン展開と留数解析―複素解析概論(上野孝司 著)
驚くべき中国式剰余定理(上野孝司 著)
多変数解析への誘い―デカルトの葉線と陰関数定理(上野孝司 著)（シリーズ完結）
212:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 00:04:28.51 ZzZOHX/k.net
>>189 追加
ガウス教の教祖と言われる高瀬正仁先生の
下記
「円周の等分に関するガウスの理論」なども
ガウスは、円分体のガロア対応を知っていた説に立っています
http
213:s://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo04/4_4takase.pdf 高瀬正仁 クロネッカーの数論の解明 II アーベル方程式の構成問題への道 1994 (抜粋) [目次] はじめに 1. 円周の等分に関するガウスの理論 2. 代数方程式論におけるアーベルの基本理念 (引用終り) https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo04/ 第4回数学史シンポジウム(1993.10.23?24) 所報 8 1994 ・黒川信重 L関数の歴史 ・三宅克哉 代数的数論--Zolotareffの場合 ・笠原乾吉 アーベルと特異モジュラー方程式 ・高瀬正仁 クロネッカーの数論の解明 II アーベル方程式の構成問題への道 ・鹿野健 いたる所微分不可能な連続関数の話題 ・足立恒雄 純粋数学のあけぼの --- 古代ギリシャにおける數学と哲学の交流 ・斎藤憲 古代ギリシャに比例の定義 ・清水達雄 零の発見のイスラム諸文学 ・杉浦光夫 シュバレーの群論 II https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/ 数学史シンポジウム報告集 19世紀数学史, 第1回数学史シンポジウム(1990.11.17) 所報 1 1991 近現代数学史, 第2回数学史シンポジウム(1991.11.9?10) 所報 4 1992 第3回数学史シンポジウム(1992.10.24?25) 所報 6 1993 第4回数学史シンポジウム(1993.10.23?24) 所報 8 1994 第5回数学史シンポジウム(1994.10.22?23) 所報 11 1995 20世紀数学シンポジウム, 第6回数学史シンポジウム(1995.11.9?12) 第7回数学史シンポジウム(1996.10.26?27) 所報 13 1997 第8回数学史シンポジウム(1997.10.25?26) 所報 16 1998 第9回数学史シンポジウム(1998.10.24?25) 所報 17 1999 （文字数オーバーで省略します） 第25回数学史シンポジウム(2014.10.11?12) 所報 36 2015 第26回数学史シンポジウム(2015.10.10?11) 所報 37 2016 第27回数学史シンポジウム(2016.10.8?9) 所報 38 2017 第28回数学史シンポジウム(2017.10.14?15) 所報 39 2018 (引用終り)
214:１３２人目の素数さん
19/02/07 02:36:06.64 0ncIsLEm.net
コピペにも程がある
215:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 07:11:16.26 ZzZOHX/k.net
>>191
どうもありがとう
ここはそういうスレです
テンプレにあるよ
テンプレ>>7より
このスレは、半分趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
もう半分は、ここはおれのメモ帳だ （ここには、自分が面白いと思った情報を集めてあるんだ。過去ログ見ると、いろいろ面白い情報（リンクやPDF があるよ（＾＾ ）
（ もしサイト移動などでリンク切れのときは、引用してある文章のキーワードによる検索をお願いします ）
テンプレ>>9より
大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です
じゃ、どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます
216:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 07:13:07.26 ZzZOHX/k.net
>>190 追加
下記は、いつもの黒川節炸裂なんだけど
まあ、２ページくらいなので、ちょっと息抜に読んでおくと面白いよ
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
黒川信重 L関数の歴史 1993
217:１３２人目の素数さん
19/02/07 07:19:46.36 ciEPvBoP.net
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
218:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 07:58:20.48 ZzZOHX/k.net
>>189
> URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
>響きあうガロアとガウス―正 17 角形の作図問題（第２版）(上野孝司 著) 2016 年12 月５日
これなかなか良いです
”３．序論? オイラーの関数”で、
オイラー（Euler) の関数Φを取り上げている
”５．原始Ｎ乗根の存在”で
”一般的には、方程式X^n = 1 の原始Ｎ乗根は
集合{ζi} （i はn と互いに素）
で表され、その個数は、オイラーの関数個、つまり、Φ(n) 個存在することがわかる。
円周等分多項式など後述するように円分体の構造の分析には、“オイラー関数個ある原始Ｎ乗根”が決定的に
重要な役割を果
219:たす。” と そうそう、これこれ、 これだね >>147や>>160の 「gcd(4p,k)=1とか、gcd(4p,4-p)=1とか」は、この話しだったね（今頃思い出したよ（＾＾； ） ”８．円分体Ｑ（ζ）の基底”も良いですね～（＾＾ ”【参考】ガロア理論の論点整理”も良い 「ガロア理論は壮麗な交響楽のようで、その理論構成は見事としかいいようがないのだが、あまりの重層的な 創りに見方を誤ると迷路から抜け出せないという危うさを常に孕んでいる。 そこで、理論の論点をまとめてみた。ガロア理論の解説書は多くみられるが、いずれも難解なものばかりで 論点をまとめて提示するなど教育に配慮した書物は少ない。だから自分がいま、どこの山場の何合目にいるの かという立ち位置がわからず、迷子になってしまうのである。その場合、必ず下記の四つの山場のいずれかに 迷い込んでいることは間違いない。この参考を自らの立ち位置を確認するものとして使っていただきたい。」 以上
220:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 08:10:07.37 ZzZOHX/k.net
>>195 補足
>”５．原始Ｎ乗根の存在”
やっぱり、原始Ｎ乗根というのが、円分体のキモですね
原始根関係ないとか、落ちこぼれバカが言っていた気がするけど、単にバカですねｗ（＾＾；
円分体と原始根は、一心同体みたいなものですよね（＾＾
221:１３２人目の素数さん
19/02/07 08:29:05.30 yUUNRYyV.net
「原始n乗根」のことを「原始根」と言うことはないよ。
222:１３２人目の素数さん
19/02/07 08:29:59.74 oVjUP8PL.net
>>131は証明できましたか？
223:１３２人目の素数さん
19/02/07 08:42:20.06 oVjUP8PL.net
αが有理数のとき
Q(cos(απ))⊂Q(sin(απ)) または
Q(cos(απ))⊃Q(sin(απ)) または
Q(cos(απ))=Q(sin(απ))
が成立する、言い方を変えれば、√(1-sin(απ)^2),√(1-cos(απ)^2)
の少なくとも一つのルートが外れる というのは著しいことであって
ほとんどすべての無理数に対してはこのような包含関係はない
つまり「ほとんどすべての無理数αに対しては上記のルートは両方とも外れない」
練習問題 そのことを示しなさい。
224:１３２人目の素数さん
19/02/07 08:48:11.22 oVjUP8PL.net
cos(απ)+i*sin(απ)が複素数の乗法に関して生成する群をC(α)とおくと
αが有理数か無理数かに従って、C(α)は有限群、または無限群。
これは即座に分かる。
225:１３２人目の素数さん
19/02/07 08:48:34.86 CDsrFbt6.net
>>199
誰だよお前
数学がしたいなら他所へ行けよ
なにが示しなさいだ？貴様この野郎
226:１３２人目の素数さん
19/02/07 08:49:46.98 5LNjryNS.net
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
227:１３２人目の素数さん
19/02/07 08:58:41.75 oVjUP8PL.net
問題
ピタゴラス方程式 a^2+b^2=c^2 の整数解が
abc≠0 のとき、自明でない解という。
αをピタゴラス方程式の自明でない解に対して
cos(απ)=a/c, sin(απ)=b/c
をみたす実数とすると、αは無理数であることを示せ。
解
C(α)が有限群のとき
それはcos(απ)+i*sin(απ)が1のべき根であることを意味する。
a/c+ib/cはガウス数体Q(i)の数だが
「Q(i)に含まれる1のべき根は1,-1,i,-i の4つしか存在しない」
ことより、a/c+ib/cは適合しない。
ゆえに、C(α)は無限群であり、αは無理数である。
228:１３２人目の素数さん
19/02/07 10:17:51.82 0ncIsLEm.net
>>201の存在理由が分からないw
229:１３２人目の素数さん
19/02/07 10:21:40.32 CDsrFbt6.net
>>204
お前の方が意味わからん
ここは数学の練習問題を解くスレじゃないぞ
230:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 10:24:30.08 fQeIm3x1.net
>>201
>数学がしたいなら他所へ行けよ
同意だね（＾＾
数学雑談はするが、練習問題はやらない
>>114の問いを取り上げたのは
円分体の視点から掘り下げると面白いと思ったから
前々スレから蒸し返して取り上げているだけのことだ
このスレは>>192
テンプレ>>7より
このスレは、半分趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
もう半分は、ここはおれのメモ帳だ （ここには、自分が面白いと思った情報を集めてあるんだ。過去ログ見ると、いろいろ面白い情報（リンクやPDF があるよ（＾＾ ）
ってことです
以上
231:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 10:25:07.22 fQeIm3x1.net
>>205
同意です（＾＾
232:１３２人目の素数さん
19/02/07 10:40:00.40 IzqMXevb.net
スレ主は頭の弱い人で競われる数学パラリンピックの代表なんだよなw
233:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 10:54:33.06 fQeIm3x1.net
>>208
それ、いいね
笑えるよ
座布団一枚やってくれ（＾＾
234:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 11:20:18.70 fQeIm3x1.net
>>203
ここは、小学生も来るので、へんなことを書かないように
>C(α)が有限群のとき
C(α)の定義がない
>C(α)が有限群のとき
>それはcos(απ)+i*sin(απ)が1のべき根であることを意味する。
意味わからん。α∈R（実数）のとき、
「cos(απ)+i*sin(απ)が1のべき根」は、無条件で成立するよね
下記より、任意の複素数でも、OKでしょ？（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ピタゴラスの定理
(抜粋)
オイラーの公式を用いた証明
三角関数と指数関数は冪級数によって定義されているものとする。（指数法則やオイラーの公式の証明に本定理が使用されない定義であればよい。）まず sin2 θ + cos2 θ = 1 が任意の複素数 θ に対して成り立つことを（3通りの方法で）示す。
(引用終わり)
>a/c+ib/cはガウス数体Q(i)の数だが
>「Q(i)に含まれる1のべき根は1,-1,i,-i の4つしか存在しない」
>ことより、a/c+ib/cは適合しない。
意味わからん
z=a/c+ib/cとして、共役複素数 z~=a/c-ib/c
とすると
zz~=(a/c)^2+(b/c)^2 =1
これを満たすピタゴラス数の組み合わせは、無数に存在するよ
（上記のwikipediaピタゴラスの定理とかどこにでも書いてある通り）
「Q(i)に含まれる1のべき根は1,-1,i,-i の4つしか存在しない」は、不成立だろ？ｗ（＾＾
>C(α)は無限群であり、αは無理数である
これも、C(α)の定義がないから、意味わからんが
拡大体のガロア群の話なら、超越拡大でしょ？ 「αは超越数である」とかじゃないの？
以上、繰り返すが、なんか試しているんだろうが
ここは、小学生も来るので、間違ったことを書かないように
うそつきサイコパスになっちゃうよ、あんたも
235:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 11:23:48.70 fQeIm3x1.net
>>210 引用文字化け訂正
sin2 θ + cos2 θ = 1 が任意の複素数 θ に対して成り立つ
↓
sin^2 θ + cos^2 θ = 1 が任意の複素数 θ に対して成り立つ
236:１３２人目の素数さん
19/02/07 11:26:38.55 0ncIsLEm.net
>>210
定義は書いてあるよ
237:１３２人目の素数さん
19/02/07 11:31:34.41 CDsrFbt6.net
>>212
問題と銘打ったレスには書いてない
238:１３２人目の素数さん
19/02/07 11:34:50.42 0ncIsLEm.net
>>213
とスレ主の子分も書いてるように、定義はかいてありますよ
239:１３２人目の素数さん
19/02/07 11:59:46.94 oVjUP8PL.net
>>210
あなたはご自分で「馬鹿」だとおっしゃっておられるので
本当に謙虚に心からそう思っておられるなら、まずは
ご自分が間違っている可能性からお考えになるべきかと思います。
円分体をお勉強される前に、「1のべき根」の定義から
是非お勉強されてください。
240:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 13:38:04.00 fQeIm3x1.net
>>210
補足
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
有理点の整数論 田口 雄一郎 東工大
2005年度 広島大学公開講座 及び
2005年度 九州大学 オープンキャンパスでの講演のノート。
平面内の一次、二次、三次曲線の有理点について高校生向けに解説した
( 実際の講演では三次曲線に入つたあたりで時間切れとなつた )。
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
数学関係の文章
アーベル多様体と数論
( 九州大学公開講座 「現代数学入門」 ( 2013年 7月 28日 ) の講演ノート )
類体論
(「整数論札幌夏の学校」 ( 2006年8月28日 ) に於ける講義ノート )
有理点の整数論
( 高校生 ( または一般の方 ) 向け講義ノート )
Fermat の最終定理を巡る数論
( 『日本の科学者』 vol
241:.40, no.3 ) Artin 導手の誘導公式 ( 2001年度 日本数学会 秋季大会 代数学一般講演アブストラクト集 ) Mod p Galois 表現について ( 特に像が可解の場合 ) ( RIMS講究録 1154 ) abc予想の話 ( 昔、北大理学部 ＨＰ の「サイエンストピックス」に掲載されたもの ) Fontaine-Mazur予想の紹介 ( RIMS講究録 1097 ) Fermatの最終定理 ( Wilesによる証明の一般向け解説 ) eとpiの超越性 ( Hilbertの証明 ) p進数 ( 初心者向けの解説 ) http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/ Yuichiro TAGUCHI http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/ 田口 雄一郎 (日本語ページ)
242:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 13:42:19.34 fQeIm3x1.net
>>216
ついで
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
類体論
(URLﾘﾝｸ(coe.math.sci.hokudai.ac.jp)
「 整数論札幌夏の学校」( 2006年8月28日 ～ 9月8日 ) 初日の講義ノート。
古典的な類体論について、予備知識を仮定せず、 約 180分で概説した。
「整数論札幌夏の学校」 ( 2006年8月28日 ) に於ける講義ノート )
243:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 14:24:08.27 fQeIm3x1.net
>>216 追加
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
数学通信 総目次「書評」
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
数学通信 23 巻(2018 年度)
書 評
ガウスの数論世界をゆく
?正多角形の作図から相互法則・数論幾何へ?
栗原将人 著，数学書房，2017 年
東北大学大学院理学研究科
山崎 隆雄
(抜粋)
本書の主題はガウス周期である．これはガウスが著書『数論研究』の中で導入したもの
で，幅広い応用を持つ．本書では（素数 p = 17 に対する八次の）ガウス周期を求めるこ
とで正十七角形の作図可能性が示されている．これと関連するが，円分方程式 x^n ?1 = 0
が冪根で解けるという定理（これもガウスの結果である）や，クンマーの円分体論でも
ガウス周期が有効に使われた（[2, 3] を参照）．しかし，なんといっても重要な応用は相
互法則で，本書でも多くのページが割かれている．ガウスの与えた多くの平方剰余の相
互法則の証明のうち，ガウス周期を用いるものは没後の１８６３年に発表された遺稿に
ある．これは第七証明と呼ばれているが，実はこれは『数論研究』執筆中の１７９６年
には得られていて，年代から言えば三番目の証明になるそうである．そればかりか，ふ
つう第六証明と呼ばれている１８１８年の論文にある証明は，この「第七証明」から「足
場を取り払って」書き直したものだという．
本書はガウスの原典（『数論研究』，上記の遺稿，相互法則に関する論文，手紙など）を
素材としており，歴史的な記述も多く，それが魅力の一つとなっている．
244:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 14:36:27.83 fQeIm3x1.net
>>210
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
■コラム「閑話休題」
更新情報：2019/02/07
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
■２０１１年のコラム（閑話休題）
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
２７８．未解決の予想と解決した予想（その２） (11/08/01)
［Ｑ］不定方程式：ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2，（ｘ，ｙ，ｚ）＝１はｘ，ｙのどちらか一方が２ｕｖ，他方がｕ^2－ｖ^2の形で，ｚがｕ^2＋ｖ^2の形をしているとき，そのときに限り満足されることを証明せよ．ただし
245:，（ｕ，ｖ）＝１でｕｖは偶数． http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/index.htm 2019/02/07 更新 Ikuro's Home Page
246:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 14:57:26.14 fQeIm3x1.net
>>210 追加
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
2004年後期「代数曲線」講義ノート
代数曲線に触れる - 広島大学 松本眞 著 - ?2004
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
代数曲線に触れる:補足 - 広島大学 松本眞 著 - ?2009
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
松本 広島大学大学院理学研究科
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
授業など教育活動関連
247:１３２人目の素数さん
19/02/07 19:21:56.89 ciEPvBoP.net
>>131
>Zを整数環とする。
>(1/2)Zに含まれない任意の有理数に対して
>その既約分数表示をm/nとすると
>
>nが奇数のとき
>Q(sin(mπ/n))/Q(cos(mπ/n)) は2次拡大。
>
>nが2で割れるが4で割れないとき
>Q(cos(mπ/n))/Q(sin(mπ/n)) が2次拡大。
>
>nが4で割れるとき
>Q(cos(mπ/n))=Q(sin(mπ/n)).
そういうことでしたか
よろしければ元ネタを教えていただけますか？
248:１３２人目の素数さん
19/02/07 19:22:45.73 ciEPvBoP.net
>>199
>αが有理数のとき
>Q(cos(απ))⊂Q(sin(απ)) または
>Q(cos(απ))⊃Q(sin(απ)) または
>Q(cos(απ))=Q(sin(απ))
>が成立する、
>言い方を変えれば、
>√(1-sin(απ)^2),√(1-cos(απ)^2)
>の少なくとも一つのルートが外れる
>というのは著しいことであって
>ほとんどすべての無理数αに対しては
>このような包含関係はない
>つまり
>「ほとんどすべての無理数αに対しては
>上記のルートは両方とも外れない」
そうだろうけど、証明は難しそうですな。
249:１３２人目の素数さん
19/02/07 19:24:17.53 ciEPvBoP.net
>>210
>>C(α)が有限群のとき
>C(α)の定義がない
>>200に以下の定義が書かれてますが
「cos(απ)+i*sin(απ)が複素数の乗法に関して生成する群をC(α)とおく」
>>それはcos(απ)+i*sin(απ)が1のべき根であることを意味する。
>意味わからん。
>α∈R（実数）のとき、
>「cos(απ)+i*sin(απ)が1のべき根」
>は、無条件で成立するよね
いや、成立しませんよ
ｚが１のべき根であるとは、
ある”自然数 n ”が存在して
z^n = 1 となること
上記の自然数nを
勝手に実数ｒに置き換えて
z^r=1 となるzと解釈するのは誤り
250:１３２人目の素数さん
19/02/07 19:25:39.76 ciEPvBoP.net
>>210
>>a/c+ib/cはガウス数体Q(i)の数だが
>>「Q(i)に含まれる1のべき根は1,-1,i,-i の4つしか存在しない」
>>ことより、a/c+ib/cは適合しない。
>意味わからん
>z=a/c+ib/cとして、共役複素数 z~=a/c-ib/c
>とすると
>zz~=(a/c)^2+(b/c)^2 =1
>これを満たすピタゴラス数の組み合わせは、無数に存在するよ
>「Q(i)に含まれる1のべき根は1,-1,i,-i の4つしか存在しない」は、不成立だろ？ｗ（＾＾
いや、成立しますよ
残念ながら、|z|=1というだけでは
z^n=1となる自然数nが存在する
とはいえません
「べき根」の定義を確認せず
勝手にでっち上げるのは悪い癖
251:１３２人目の素数さん
19/02/07 19:26:51.01 ciEPvBoP.net
>>210
>>C(α)は無限群であり、αは無理数である
>拡大体のガロア群の話なら、超越拡大でしょ？
>「αは超越数である」とかじゃないの？
いや、αは有理数でない（つまり無理数）とまでしかいえません
ちなみにa/c+ib/cはガウス数体Q(i)の数だから
代数的数であり超越数ではない
単純にa^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cで、
a>0かつb>0（当然c>0）であれば
(a/c+ib/c)^n=1となる自然数nは存在しない
というだけのこと
>なんか試しているんだろうが
なにも試されていないのに
勝手に言葉を誤解して間違うんじゃ
どうしようもありませんね
252:１３２人目の素数さん
19/02/07 19:27:59.77 ciEPvBoP.net
ダメ押ししますか
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
253:
19/02/07 20:14:12.02 D+7Y5NoN.net
>>195
石井俊全「ガロア理論の頂を踏む」に比べるとがっかりな内容ですね…
254:１３２人目の素数さん
19/02/07 20:26:46.82 J1kpANUY.net
岩波だと金さんがしきりにガロアネタで啓蒙書出してるなw
岩波も近年ゝ推しが目立つ
255:１３２人目の素数さん
19/02/07 21:29:01.31 oVjUP8PL.net
>>221-222
>よろしければ元ネタを教えていただけますか？
先日自分で考えました。
円分体や体論やってるひとからすると常識レベルかもしれませんが。
>>「ほとんどすべての無理数αに対しては
>>上記のルートは両方とも外れない」
>そうだろうけど、証明は難しそうですな。
難しくはないと思います。
「無理数」とぼかしましたが
x=sin(απ)が超越数のときを考えます。
そのときQ(x)はxを不定元とするQ上の有理函数体と同型なので
Q(x)とQ(√(1-x^2))の間に包含関係がないというだけです。
256:１３２人目の素数さん
19/02/07 21:40:33.75 ciEPvBoP.net
>>229
>Q(x)とQ(√(1-x^2))の間に包含関係がない
やっぱり難しい・・・
257:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 21:45:33.75 ZzZOHX/k.net
>>229
どうもありがとう
そちらで会話が成り立っているなら、それで可ですな
私みたいなバカが、口を出すまでもないでしょ（＾＾；
258:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 21:53:16.46 ZzZOHX/k.net
>>228
これやね（＾＾
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ガロアの論文を読んでみた (岩波科学ライブラリー) 単行本（ソフトカバー） ? 2018/9/22 金重明 (著)
商品の説明
内容紹介
決闘の前夜、ガロアが手にしていた第1論文。方程式の背後に群の構造を見出したこの論文は、まさに時代を超越するものだった。置換の定式化にはじまり、ガロア群、正規部分群の発見をへて、方程式が代数的に解ける条件の証明へ。簡潔で省略の多いガロアの記述の行間を補いつつ、高校数学をベースにじっくりと読み解く。
内容（「BOOK」データベースより）
決闘の前夜、ガロアが手にしていた第1論文。方程式の背後に群の構造を見出したこの論文は、まさに時代を超越するものだった。置換の定式化にはじまり、ガロア群、正規部分群の発見をへて、方程式が代数的に解ける条件の証明へ。簡潔で省略の多いガロアの記述の行間を補いつつ、高校数学をベースにじっくりと読み解く。
著者略歴 (「BOOK著者紹介情報」より)
金/重明
1956年東京生まれ。1997年『算学武芸帳』(朝日新聞社)で朝日新人文学賞、2005年『抗蒙の丘―三別抄耽羅戦記』(新人物往来社)で歴史文学賞、2014年『13歳の娘に語る―ガロアの数学』(岩波書店)で日本数学会出版賞を受賞(本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです)
つづく
259:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 21:53:57.29 ZzZOHX/k.net
つづき
1件中1 - 1件目のレビューを表示
5つ星のうち3.0ガロアが好きなんですね
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生誕二百年前後には多くのガロア理論解説本が出た。その際、著者もすでに便乗本を出していた。
今度は、ガロア自身の有名な第一論文の解説である。われわれの世代だと、確かに、ガロアは「ヒーロー」である。ガロアかっけ?である。そして多くの者が日下部とか山下などのガロア本に手を出してしまうのである。その先にはアルティン本があるのだが、そこまでたどり着いた者はわずかだと思う。
最近の「頂き」にしてもアルティン系だった。今度こそ、と思いながら、５合目にも達せずあえなく転落骨折がいいところではなかろうか。（ガロア理論がわからなくたって、死にゃ?しません。）
そこにまたまたの新刊！高校数学の範囲でガロアの理論ではなく、彼自身の論文をやさしく解説してくれると言う。長々と書くのは止めて正直に白状すると、今回も「ガロア、やっぱすごい」とは行きませんでした。
よ?く思い出すと、かのジョルダンは自分の有名な置換論を「ガロアの解説本に過ぎません」と謙遜したそうだ。ただの解説本が、びっちりと印刷された６６７ページもの大冊になるだろうか？
それに引き換え、スカスカの１７７ページの小冊子ごときで、やっぱガロアは分かる訳がないのでした。トホホな読書時間だった。
(引用終り)
以上
260:１３２人目の素数さん
19/02/07 21:54:30.94 ciEPvBoP.net
>>231
じゃ、こちらにコメントをお願いします
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
261:１３２人目の素数さん
19/02/07 22:08:33.49 5LNjryNS.net
＞あなたはご自分で「馬鹿」だとおっしゃっておられるので
＞本当に謙虚に心からそう思っておられるなら
口先だけなのは他人のアドバイスにまったく耳を貸さないことから明らか
262:１３２人目の素数さん
19/02/07 22:18:43.91 5LNjryNS.net
スレ主はいつも定義があーと言うくせに、自分は定義すら確認しないんだなｗ
馬鹿は死ななきゃ治らないｗ
263:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 22:37:43.82 ZzZOHX/k.net
>>227
C++さん、どうもありがとう
>石井俊全「ガロア理論の頂を踏む」に比べるとがっかりな内容ですね…
それ
264:は、視点の違いですよ ガロア山かガロア国に例えるかはともかく マップは、細かいのと概略の荒いのと、二つある方が良い 石井本は、細かいマップで 上野孝司 著 は、概略の荒いマップです http://hooktail.sub.jp/contributions/galoire32160913tu.pdf 響きあうガロアとガウス―正 17 角形の作図問題（第２版） 2016 年12 月５日 (引用開始) ０．はじめにー構造的数学教育の再考 筆者が体験した現代の数学教育 （東京大学教養学部と理学部数学科の数学教育）では、高校の数学を終えて大学に入ると、１、２年の教養課 程でストークスの定理までを扱う解析学やジョルダンの標準型までの線形代数、位相や集合論などといった“ 基礎”を学んだ後に専門課程で、群、環、体、留数定理に至るまでの複素解析の基礎を経てようやく“体とガロ ア理論”（３年次の代数学講義）の一般理論にたどりついたと思いきや、ここで正17 角形の作図を応用問題の ひとつとして、いっきょにサッと終えてしまう。しかし、大学の数学科の学生ならまだしも、普通の理工系の 学生にとってはこれは酷な話である。ほとんどの学生や一般の社会人は、この興味深い作図問題に至る一連の 課程をこなしきれず途中で力尽き、正17 角形の問題にたどり着くことができない。結局は断念するか、せい ぜいネットで一連の理論の終盤で扱う定規とコンパスによる作図といった技巧的な事柄を学ぶ程度で終わって しまうのである。筆者もこの作図問題の存在を知ったのは高校生のときであったが、実際にそれを理論として 学習するまでには５年もの歳月を要した。 つづく
265:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 22:39:07.86 ZzZOHX/k.net
>>237
多くのひとがガウスの残した偉大な歴史的な遺産を学びきれないといった実に残念な状況を生み出してし
まっている。これでは、ガロアやガウスも浮かばれまい。実は、正17 角形の作図問題だけならそれほど多く
の事柄を知らずとも、ガロアやガウスの思想を伴って学びとることができるのである。いや、逆にこの問題を
起点として議論を展開すれば、ガロアやガウスの思想の果実を具体的に学びとりながら、現代数学を習得でき
るのである。つまり、正多角形の作図“問題”は現代の構造的な数学教育のネガティブな影響の一端を如実に示
しているのである。本稿は、以上のような経緯を踏まえて、正１７角形の作図問題をガロアの理論やガウスの
思想という偉大な“おまけ”付きで、突貫工事で一挙に解決しようと試みたものである。５年の歳月を１日で再
現する、いわば、“君のための数学原論”である。必要な知識は、線形代数の初歩、群と体の定義くらいである。
(引用終り)
あと
＊筆者経歴
東京大学理学部数学科を経て教育学部卒業。証券会社、外資系通信社で金融・資本市場の業務を経験。専門は、債券
資本市場。主な著書・論文：『信用リスクを読む』（日本評論社）、『信用リスクとＭ＆Ａ』（同）、『世界金融危機と信用リス
ク』（同）、『鎮めの文化と資本市場』（ブルームバーグ）、『金融派生商品』
以上
266:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 22:43:04.35 ZzZOHX/k.net
>>238 補足
再度強調しておくと
「本稿は、以上のような経緯を踏まえて、正１７角形の作図問題をガロアの理論やガウスの
思想という偉大な“おまけ”付きで、突貫工事で一挙に解決しようと試みたものである。５年の歳月を１日で再
現する、いわば、“君のための数学原論”である。必要な知識は、線形代数の初歩、群と体の定義くらいである。」
ってこと
石井本とは全く視点が異なります
ですが、上野孝司 を頭に入れて
石井本を読めば良いのです（＾＾
マップで概略を頭に入れて
細かいマップを使うべしだと
267:１３２人目の素数さん
19/02/07 22:49:22.75
268:5LNjryNS.net
269:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/07 23:11:56.79 ZzZOHX/k.net
計算機の得意なC++のために～（＾＾
なお、ここでも、Washington本（>>184に同じ）が登場しますね（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
円分体の相対類数計算について(サーベイ,<特集>数論アルゴリズムとその応用) 谷口 哲也
J-STAGEトップ/日本応用数理学会論文誌 / 25 巻 (2015) 4 号 / 書誌
(抜粋)
2． 円分体の相対類数 定義， 歴史， 性質， 未解決問題
2．3 相対類数に関する未解決問題の例， 計算の現状
3． 解析的類数公式について
代数的整数論
の諸概念の詳細については， 山本［63］， 藤崎［14］， 高木［54， 551， Ireland ，
Rosen ［25］，Washington ［61］， Lang ［33】， 木村［28］などを参照されたい．
［611L ． C ． Washington．Introductiotno cyclotomic fields ， Vol．83 of Graduate Text sin Math ?
ematics 。 Springe?Vrerlag， New York， second edition， 1997．
(引用終り)
270:１３２人目の素数さん
19/02/08 02:08:49.74 f1doRqgT.net
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
271:１３２人目の素数さん
19/02/08 07:22:42.87 iyLEyg94.net
>>242は以下の言明とは異なる
「さて， 数列s^1～s^100 をランダムに選ぶ.
s^1の決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.」
つまり数列は確率変数ではなく、非可測性には影響されない
272:１３２人目の素数さん
19/02/08 08:12:39.23 XrEX/qI/.net
おっちゃんです。
>>199
>>203
>>229
オイラーの定数γについてここに書く前に、これらの種の問題も既に解決している。
私の論文のネタをパクられると困るから、スレ主等には円分体の話をしないでほしい。
273:１３２人目の素数さん
19/02/08 08:21:10.12 Xhor2d3e.net
2つの意味でその心配だけはしなくていいから安心しろ
274:１３２人目の素数さん
19/02/08 08:50:02.06 XrEX/qI/.net
>γが無理数であったとする。任意の有理数 1/p pは2以上の整数 に対して
>|γ－1/p|＝| lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n－log(n) )－1/p |
> ＝lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n－log(n) )－1/p
> ＞( 1＋1/2＋…＋1/p－log(p) )－1/p
> ＝1＋1/2＋…＋1/(p－1)－log(p)
> ＞0、
>従って、或る2以上の正整数kが存在して、p≧k のとき |γ－1/p|＞( 1＋1/2＋…＋1/p－log(p) )－1/p＞1/k≧1/p。
>故に、0＜|γ－q/p|＜1/p^2＜|γ－1/p| を満たすような既約有理数 q/p p≧2 は無限個存在する。
>(…以下略…)
見直したり他の方向から考えてはみたが、この部分は γ＝lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n－log(n) ) に特化していた。
ここに、γ_n＝1＋1/2＋…＋1/n－log(n) n≧2 は超越数で、n≧2 のとき {γ_n} は下に有界な単調減少列。
γが代数的無理数でないことまでは証明出来たが、ディオファンタス近似ではγの超越性まではいえない。
γの超越性をディオファンタス近似で証明しようとすると、ほぼ自動的にγが
275:超越数であることがいえて一般的に成り立つような証明になる。 やはり、γは有理数だった。
276:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 11:33:12.09 XX3WYJPV.net
>>244-246
おっちゃん、どうも、スレ主です。
お元気そうで何よりです。
いつもどおり、おっちゃん節健在ですね
「やはり、γは有理数だった」ｗ（＾＾
277:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 12:10:24.51 XX3WYJPV.net
>>203
遠隔レス失礼
問題
ピタゴラス方程式 a^2+b^2=c^2 の整数解が
abc≠0 のとき、自明でない解という。
αをピタゴラス方程式の自明でない解に対して
cos(απ)=a/c, sin(απ)=b/c
をみたす実数とすると、αは無理数であることを示せ。
↓
問題改
単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解が
(p,q) = (1,0),(0,i) ,(-1,0),(0,-i)のとき、自明な解ということにする。
ここに、iは虚数単位である。
αを
cos(απ)=p, sin(απ)=q
をみたす実数とすると、
(p,q)が、自明な解でないとき
αは無理数であることを示せ。
とします
（略証）
背理法を使う
p+iq =cos(απ)＋i*sin(απ)
は、単位円の方程式 x^2+y^2=1
を満たしていることに注意する
α＝m/n ここに、m、nは整数
と書けたとする
cos(απ)＋i*sin(απ)を、2n乗する
｛cos(απ)＋i*sin(απ)}^2n
={cos(m/n π)＋i*sin(m/n π)}^2n
={cos(2m π)＋i*sin(2m π)}^2n
=1
つまり、
cos(απ)＋i*sin(απ)＝ζ2n 但し、ζ2nは、上記の自明な解以外
（ここに、ζ2nは、いつもの円分体の根を表す。）
ところで、円分体の理論より、ζ2nは代数拡大であり、Q(i)の元ではない
よって、矛盾が生じたので、αは有理数ではない。即ち、αは無理数
略証終わり
言いたいことは、こんなことかなー？
これ、確かに面白ね～（＾＾
良い視点だと思う！（＾＾
278:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 13:03:27.47 XX3WYJPV.net
>>248
補足
読み返すと、文が拙いなー（＾＾
例えば
cos(απ)＋i*sin(απ)＝ζ2n 但し、ζ2nは、上記の自明な解以外
↓
cos(απ)＋i*sin(απ)＝(ζ2n)^h 但し、h>=1 の整数で、ζ2nは、上記の自明な解以外
とか、書くべきかも
まあ、普段証明を書かないからね
数学科生は、もっと洗練された表現をするのでしょうね（＾＾
こなれた教科書とか、大学教員の書きぶりをみると、こういうところ気配りがあるよね
279:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 13:27:52.78 XX3WYJPV.net
>>248 タイポ訂正
={cos(2m π)＋i*sin(2m π)}^2n
↓
=cos(2m π)＋i*sin(2m π)
ケアレスミスが多いな（＾＾；
気を付けましょう～！
試験なら減点されそう
280:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 14:03:03.65 XX3WYJPV.net
>>248
全く蛇足だが
・この話（αは無理数）は、どこかの教科書などにありそうに思うね
・p+iq =cos(απ)＋i*sin(απ)は、岩澤理論の下記Lの外なんやろね（岩澤理論は全く理解していませんが（＾＾ ）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
岩澤理論
(抜粋)
円分拡大の数論
1 の原始 p 乗根 ζ を添加する拡大 K = Q(ζ) である。Kn を 1 の原始 pn+1乗根の生成する K の（したがってとくに C 内の）部分体として、体の塔 Kn (n = 1, 2, ...) の和集合（合成体）を L と置く。
このとき、体の拡大 L/K のガロア群は Γ に同型である。これは、拡大 Kn/K のガロア群が Z/pnZ であることによる。
ここから、ガロア群 Γ 上の興味深い加群を取り出すことができる。岩澤は Kn のイデアル類群と、そのシロー p 部分群 In （p-部分）を考えた。このときノルム写像
Im → In
（ここで m > n）を考えれば逆系が得られ、その逆極限を I として Γ を I に作用させることができる。その作用を記述することに意味があるのである。
(引用終わり)
281:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 14:06:29.41 XX3WYJPV.net
>>251
これも、全く余談だが
・正しい命題は、普通どこかの教科書か論文で扱われている。あるいは、大定理の系として当然に得られるもの
・時枝記事のように、どこの教科書にもなく、どこの論文でも扱われていない。あるいは、大定理の系とは真逆だと。そういう命題は、おそらくは眉づばですよね（＾＾
282:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 14:17:53.33 XX3WYJPV.net
>>248
”単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解が
(p,q) = (1,0),(0,i) ,(-1,0),(0,-i)のとき、自明な解ということにする。
ここに、iは虚数単位である。”
ここらの表現も全く拙いね～
素人表現やね（＾＾；
283:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 14:29:13.83 XX3WYJPV.net
>>253
”単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解が
(p,q) = (1,0),(0,i) ,(-1,0),(0,-i)のとき、自明な解ということにする。
ここに、iは虚数単位である。”
↓
”単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解で
Z＝p+i q
(p,q) = (1,0),(0,1) ,(-1,0),(0,-1)のとき、自明な解とする。
ここに、iは虚数単位である。”
くらいに書くと、まだ読めるかな
いくら時間がなくとも、これくらいは書かないとね
まあ、手を入れだすと際限がないので、あとはスルーしてたもれ（＾＾
284:１３２人目の素数さん
19/02/08 15:02:32.01 mBVJVgPw.net
p^2+(iq)^2=1の意味でいいか？
285:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 15:53:08.92 XX3WYJPV.net
>>255
”単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解で
Z＝p+i q
(p,q) = (1,0),(0,1) ,(-1,0),(0,-1)のとき、自明な解とする。
ここに、iは虚数単位である。”
な
286:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 15:55:46.55 XX3WYJPV.net
>>256 補足
なので、回答はN
p^2+(iq)^2=1の意味でいいか？
↓
単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解で
ってことです
287:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 16:39:20.63 XX3WYJPV.net
>>251
>・この話（αは無理数）は、どこかの教科書などにありそうに思うね
いま検索中で、見つからない
下記は、関係ないけど、面白そうだから貼る（＾＾
URLﾘﾝｸ(ocw.nagoya-u.jp)
講義資料 | 数学展望 I | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW)
URLﾘﾝｸ(ocw.nagoya-u.jp)
連分数，フォードの円，双曲幾何 平成27年度前期 糸健太郎 名大
講義ノート 数学展望Ⅰ(一括ファイル, 67ページ) (PDF 文書, 1209KB) 2015
288:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 16:48:23.07 XX3WYJPV.net
>>258
いや、確かに
（αは無理数）は、どこかの教科書などにありそうに思うけど
思い返しても、記憶に引っかかってこない
まあ、みんなピタゴラスの整数解が見つかったとか
無限個あって、よしよしで終わっていた気がするね
和書にはなかも
英文探すのも大変だが（＾＾
289:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 16:49:19.97 XX3WYJPV.net
>>259 タイポ訂正
和書にはなかも
↓
和書にはないかも
290:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 17:19:19.57 XX3WYJPV.net
>>259 補足
そうか、”ゲルフォント、シュナイダー”か
下記
命題P：有理数ではない代数的数 α → 命題Q：sin{απ}, cos{απ}, tan{απ} は超越数
対偶
￢命題Q：sin{απ}, cos{απ}, tan{απ} は超越数ではない → ￢命題P：αは有理数か超越数
で
いまの場合は、（sin{απ}, cos{απ}）の両方とも有理数だと
それで、
αは有理数が否定されたから、
”ゲルフォント、シュナイダー”で
超越数が言えるかな？（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越数
(抜粋)
超越数の例
(2) 初等関数の特殊値が超越数となる例
・代数的数 α ≠ 0 に対する、 sin{α}, cos{α}, tan{α} 。 (リンデマン、ワイエルシュトラス (K. Weierstrass))
・有理数ではない代数的数 α に対する、 sin{απ}, cos{απ}, tan{απ} 。 (ゲルフォント、シュナイダー)
(引用終わり)
291:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 17:20:39.27 XX3WYJPV.net
>>261
ゼミだと
「”ゲルフォント、シュナイダー”の証明は？」とか
ツッコミありそう（＾＾；
292:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 17:25:56.73 XX3WYJPV.net
>>261
”いまの場合は、（sin{απ}, cos{απ}）の両方とも有理数だと
それで、
αは有理数が否定されたから、
”ゲルフォント、シュナイダー”で
超越数が言えるかな？”
(引用終わり)
まあ、それこそ、この程度のことは、
どっかにだれかが書いてそうだが、
疲れたので、ここまでだな？
”ゲルフォント、シュナイダー”まで行くと
もろ、本格的に超越数論だからね～、
ちょっと私の手に余る（＾＾
293:１３２人目の素数さん
19/02/08 17:38:45.43 XrEX/qI/.net
スレ主は>>144で岩沢理論についてのムック本の臨時別冊・数理科学について触れていたが、
おっちゃん的には、下の2冊がお薦めだね。
・臨時別冊・数理科学2017年3月 偏微分方程式の解の幾何学
これは幾何的に考えて偏微分方程式の解からその偏微分方程式が定義される様子の導出
について書かれている面白い本だ。普通の形式の本でそういうことが書かれている本は知らない。
・臨時別冊・数理科学201
294:6年11月 数理物理学としての微分方程式序論 こちらは理解するのは簡単ではないが、(非線形)偏微分方程式をするなら、持っていて損はない。
295:１３２人目の素数さん
19/02/08 17:52:56.45 XrEX/qI/.net
>>259
>（αは無理数）は、どこかの教科書などにありそうに思うけど思い返しても、記憶に引っかかってこない
平面 R^2 の単位円上に有理点が稠密に分布することは、むしろ初等整数論の結果になる。
他に関係する事柄は、元子お姉さんの研究の一端について書かれている「ダイヤモンドはなぜ美しい？」に載っている。
比較的良書ではある。
296:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 17:57:57.73 XX3WYJPV.net
>>252
>・正しい命題は、普通どこかの教科書か論文で扱われている。あるいは、大定理の系として当然に得られるもの
まあ、
いまの場合は、（sin{απ}, cos{απ}）の両方とも有理数なので
それで、上記のように
αは有理数が否定されて
”ゲルフォント、シュナイダー”の系として
αは、超越数が言えるってことでしょう
超越数論以外では、だれも触れないんだろうね
ピタゴラス数で終われば、高校数学の範囲だしね
大学数学だと、
超越数論で”ゲルフォント、シュナイダー”やれば分かるのだと
いやいや、>>203は なかなか面白い視点でしたね
297:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 18:00:51.93 XX3WYJPV.net
>>264
おっちゃん、どうも、スレ主です。
どうもありがとう（＾＾
”臨時別冊・数理科学”ね
あれ、結構本格的やね
どれもむずいわ（＾＾
298:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 18:01:13.95 XX3WYJPV.net
>>265
おっちゃん、どうも、スレ主です。
どうもありがとう（＾＾
299:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/08 18:05:40.22 XX3WYJPV.net
>>266
>>・正しい命題は、普通どこかの教科書か論文で扱われている。あるいは、大定理の系として当然に得られるもの
>”ゲルフォント、シュナイダー”の系として
>αは、超越数が言えるってことでしょう
暗に、時枝記事はそうじゃないよと
（だれも扱わない）
ダメダメですよと
早く気づけよ、おい
300:１３２人目の素数さん
19/02/08 18:09:57.02 XrEX/qI/.net
>>259
>>265は、はじめの一歩。
まあ、数論的な構造には意外に汚い構造があることも分かる。
3辺が有理数の直角三角形における直角 π/2 ではない他の2角は、
両方共に 0＜a、b＜1/2 を満たす2つの有理数 a、b を用いて
aπ、bπ と表わされる方が調和が取れた美しい構造をしていると思ったが、そうではなかった。
それじゃ、おっちゃんもう寝る。
301:１３２人目の素数さん
19/02/08 19:15:29.27 iyLEyg94.net
>>252
>時枝記事のように、・・・大定理の系とは真逆だと
時枝記事と前提が異なる大定理と比較しても無意味
確率変数でもないものに対して独立同分布とかいっても無意味
302:１３２人目の素数さん
19/02/08 19:18:39.17 iyLEyg94.net
スレ主は
「非ユークリッド幾何学は三角形の内角の和が二直角じゃないから間違ってる」とか
「相対性理論は速度の合成が足し算で表されないから間違ってる」とか
臆面もなくいいそう
303:１３２人目の素数さん
19/02/08 19:38:01.45 rawv4ykn.net
この程度の簡単な証明でも、自分の知性だけを頼りに正しさが確かめられないひとは大変ですね。
数学やってて楽しんでしょうか？
304:１３２人目の素数さん
19/02/08 19:46:59.55 rawv4ykn.net
証明に一箇所「ちゃんと証明すると結構大変」なことがあって
それこそ「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」
ということで、それは円分体のガロア群を計算することもほぼ同じ原理ですが
その根本的なところをスレ主は押さえていない。
ま、教えませんけどw
円分体（1のべき根の体）のことを滔々と語りながら
1のべき根が何かも知らなかったひとに何を言っても無駄でしょう...
305:１３２人目の素数さん
19/02/08 20:05:16.46 Xhor2d3e.net
>>272
ユークリッド幾何の公理のもとでは間違いだろなに言ってだ
306:１３２人目の素数さん
19/02/08 20:08:27.25 rawv4ykn.net
>>230
>>Q(x)とQ(√(1-x^2))の間に包含関係がない
>やっぱり難しい・・・
√(1-x^2)は有理函数ではない、これはよろしいでしょう？
代数的に書くとCを複素数体とすると
√(1-x^2)\not∈C(x)ですが
当然、√(1-x^2)\not∈Q(x).
xと√(1-x^2)を入れ替えても"双対"なので
x\not∈Q(√(1-x^2)).
論理的に面白いのは、超越数ξ,不定元xに対して
Q(ξ) 同型 Q(x)ということですかね。
体をCまで拡げてしまうとC(ξ)=C
ですから、当然函数体とは同型になりませんけど。
307:１３２人目の素数さん
19/02/08 20:53:56.10 iyLEyg94.net
>√(1-x^2)は有理函数ではない、これはよろしいでしょう？
ま、そこはね
308:１３２人目の素数さん
19/02/08 20:55:16.98 iyLEyg94.net
>>275
スレ主はユークリッド幾何学が正しいから
非ユークリッド幾何学は間違ってるとか
平気でいいそう
309:１３２人目の素数さん
19/02/08 21:48:47.74 1JaNdxjJ.net
比較できないものを比較する脳足りんか
310:１３２人目の素数さん
19/02/08 22:38:28.38 f1doRqgT.net
>>252
つまりあなたは時枝は間違いだと言うんですね？
では選択公理を仮定しても決定番号が自然数とは限らないことを証明して下さい。
できないなら根拠の無い言いがかりと解釈します。
311:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 00:40:49.43 c3aU14PB.net
>>274
「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」の証明が難しい？
ここは、小学生もいるので、変なことを言わないように、お願いします（＾＾
命題A： 「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」
↓↑
命題B：（>>248より）αを cos(απ)=p, sin(απ)=q をみたす実数とすると、(p,q)が、自明な解でないとき αは無理数である
これ成立ですよ！ 命題AとBは同値
命題Bが>>248で証明した命題ですよ！
以下、証明します
まず
命題Bを簡明に言い換えると
z= cos(απ) + i sin(απ) ＝e^(iαπ)とおいて
命題B’：zが単位円の有理点であれば、zの偏角αは無理数である
とします
命題Aを簡明に言い換えると
命題A’： 「Q(i)に含まれる円の等分点は±1,±iの4つだけ」
（円の等分点は、下記 永野哲也先生ご参照 ）
１）命題A’→命題B’
証明
背理法を使う。
zが単位円の有理点であるにも関わらず、zの偏角αは有理数であるとする
>>248で示した様に、zは円の等分点になる。これは、命題Aに矛盾する
２）命題B’→命題A’
証明
命題B’より、z= cos(απ) + i sin(απ) が、単位円の有理点であれば、zの偏角αは無理数である
よって、zは円の等分点ではない。従って、Q(i)に含まれる円の等分点は±1,±iの4つだけである
QED
簡単でしょ（＾＾
URLﾘﾝｸ(sun.ac.jp)
永野 哲也研 長崎県立大
URLﾘﾝｸ(sun.ac.jp)
第16回
(抜粋)
１．円の等分点
zk=cos 2πk/n + i sin 2πk/n (k=1,2,・・・,n)・・・(1)
（∵） ｚ＝１から測って、n等分点の最初の点ｚ1の偏角は、１周が2π（＝360度)であるので、 2π/n（ラジアン）
である。それ以後のn等分点は、隣の点と角 2π/n(ラジアン)だけ離れているので、
ｚ2の偏角は 2π/n×2（ラジアン）、ｚ3の偏角は 2π/n×3（ラジアン）、・・・、ｚnの偏角は 2π/n×n=2π（ラジアン）となる。
これらは、方程式
x^n＝１
の根である
１の原始n乗根
上式（１）で、k=1 と2以上のkについては、nと互いに素となるkの複素数zkを１の原始n乗根という
(引用終り)
312:１３２人目の素数さん
19/02/09 01:49:51.63 ja5oO2W3.net
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
313:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 08:06:10.36 c3aU14PB.net
>>281 訂正
zの偏角α
↓
zの偏角のα
としておきます
ここは、小学生も来るので（＾＾；
一般に偏角は、（下記「複素数の偏角」ご参照）
z= cos(απ) + i sin(απ) ＝e^(iαπ)
で、απを言いますから
まあ、πを１単位として測ったと思ってもいいのですが
ちょっと標準とずれますから
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
複素数の偏角
314:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 08:34:51.72 c3aU14PB.net
>>174
＞それにしても円分体は面白い。時間があれば Washington の本をじっくり読みたいところだが、
円分体 Washington の本は、下記ですね。間違いなし（＾＾
（Fermat's Last Theorem関連の一部のみ引用しておきます）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cyclotomic field
(抜粋)
Relation with Fermat's Last Theorem
A natural approach to proving Fermat's Last Theorem is to factor the binomial x^n + y^n, where n is an odd prime, appearing in one side of Fermat's equation
x^n + y^n = z^n
as follows:
x^n + y^n = (x + y)?(x + �
315:ﾄy)?…?(x + ζn???1y). Here x and y are ordinary integers, whereas the factors are algebraic integers in the cyclotomic field Q(ζn). If unique factorization of algebraic integers were true, then it could have been used to rule out the existence of nontrivial solutions to Fermat's equation. Kummer found a way around this difficulty. He introduced a replacement for the prime numbers in the cyclotomic field Q(ζp), expressed the failure of unique factorization quantitatively via the class number hp and proved that if hp is not divisible by p (such numbers p are called regular primes) then Fermat's theorem is true for the exponent n = p. Furthermore, he gave a criterion to determine which primes are regular and using it, established Fermat's theorem for all prime exponents p less than 100, with the exception of the irregular primes 37, 59, and 67. Kummer's work on the congruences for the class numbers of cyclotomic fields was generalized in the twentieth century by Iwasawa in Iwasawa theory and by Kubota and Leopoldt in their theory of p-adic zeta functions. つづく
316:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 08:35:22.75 c3aU14PB.net
>>284
つづき
References
1^ Proposition 2.7 of Washington 1997
・Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich (edd), Algebraic number theory, Academic Press, 1973. Chap.III, pp. 45?93.
・Daniel A. Marcus, Number Fields, third edition, Springer-Verlag, 1977
・Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1934-7, ISBN 0-387-94762-0, MR 1421575
・Serge Lang, Cyclotomic Fields I and II, Combined second edition. With an appendix by Karl Rubin. Graduate Texts in Mathematics, 121. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN 0-387-96671-4
Further reading
・Coates, John; Sujatha, R. (2006). Cyclotomic Fields and Zeta Values. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-33068-2. Zbl 1100.11002.
・Weisstein, Eric W. "Cyclotomic Field". MathWorld.
・Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Cyclotomic field", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
On the Ring of Integers of Real Cyclotomic Fields. Koji Yamagata and Masakazu Yamagishi: Proc,Japan Academy, 92. Ser a (2016)
(引用終り)
317:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 09:01:44.91 c3aU14PB.net
>>248 補足
>ところで、円分体の理論より、ζ2nは代数拡大であり、Q(i)の元ではない
>>248の証明では、「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」は使っていませんよ！！（＾＾
ここは、下記の円分多項式の体Q(i)内での既約性を認めてしまえば、
（円分多項式は、下記永野哲也先生ご参照）
難しい議論は不要
証明の荒筋だけ書くと
円分多項式で、f(x) =Φn(x)
と見慣れた記号に直して
例えば、f(ζn)=0とします (ζnは円分体の根)
�
318:烽ｵ、ζn∈Q(i)なら f(x) ＝(x-ζn)g(x) と因数分解できて （ここに、g(x)＝f(x) /(x-ζn) なる多項式です） Φn(x)の既約性に反する。 多項式で f(ζn)=0 → f(x) ＝(x-ζn)g(x) と書けることは、どこにでもある基本事項です （高校の範囲で、証明もどこにでもありそうですが、省略します） 別に、難しいことは何もない 「円分体のガロア群を計算する」なんて必要はありませんよ（＾＾ http://sun.ac.jp/prof/hnagano/ 永野 哲也研 長崎県立大 http://sun.ac.jp/prof/hnagano/houkoku/h26ensyu2-16.html#1602 第16回 (抜粋) ２．円分多項式 Φn(x)： １の原始n乗根のみを根にもつ多項式を円分多項式（または円周等分多項式）という。 定義より以下が正しい。 http://sun.ac.jp/prof/hnagano/image/h26ensyu2-16-5.jpg http://sun.ac.jp/prof/hnagano/image/h26ensyu2-16-6.jpg １の8乗根を単位円周上に図示すると以下のような z1、z2、z3、z4、z5、z6、z7、z8 である。 http://sun.ac.jp/prof/hnagano/image/h26ensyu2-16-7.jpg z1、z3、z5、z7 が１の原始8乗根である。 z4 は原始2乗根、z2、z6 は原始4乗根、z8 はもちろん原始1乗根である。 (引用終り)
319:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 09:10:44.69 c3aU14PB.net
>>286
>ところで、円分体の理論より、ζ2nは代数拡大であり、Q(i)の元ではない
正確には、>>286で示したのは、ζn not ∈Q(i) だけですが
（高校数学の範囲です）
”代数拡大”は、ガウス先生が示したそうですが
それも、ガロア理論の前ですね
DA読めば書いてあるかも（＾＾
320:１３２人目の素数さん
19/02/09 10:06:06.72 zTjwdrqx.net
スレ主は言葉の使い方がメチャクチャ。
Q(i)も代数拡大なんですがw
321:１３２人目の素数さん
19/02/09 10:13:00.40 zTjwdrqx.net
Q(ζ)/QもQ(i)/Qも代数拡大。
322:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 10:16:00.30 c3aU14PB.net
>>286
>ここは、下記の円分多項式の体Q(i)内での既約性を認めてしまえば、
>f(ζn)=0とします (ζnは円分体の根) もし、ζn∈Q(i)なら f(x) ＝(x-ζn)g(x) と因数分解できて
まあ、下記なんかが参考になる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
剰余の定理
(抜粋)
多項式に関する剰余の定理（じょうよのていり、Remainder theorem）は、多項式 f(x) をモニックな（最高次の係数が1である）二項一次多項式 x － a で割ったときの剰余はf(a) であるという定理。またとくに、f(a) = 0 ならば f(x) が x － a を因数に持つことが従う（因数定理）。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
因数定理
(抜粋)
多項式 f(X) が一次式 X － k を因子に持つ必要十分条件は f(k) = 0 となること、すなわち k が多項式 f(X) の根となることである[2]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
有理根定理
(抜粋)
有理根定理（ゆうりこんていり、英: rational root theorem）は整数係数の代数方程式
a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+・・・ +a_{0}=0
の有理数の解に対する制約を述べた定理である。有理根定理は次のような言明である：
定数項 a0 および最高次の係数 an がゼロでないなら、有理数解 x = p/q を互いに素（最大公約数が 1）な整数 p, q で表したとき、p, q は以下の条件を満たす。
・p は a0 の約数
・q は an の約数
有理根定理は、多項式の因数分解に関するガウスの補題（英語版）の特別な場合に当たる。また、最高次の係数 an が 1 であるとき成り立つ整数根定理 (integral root theorem) は、有理根定理の特別な場合である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
既約多項式
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アイゼンシュタインの既約判定法
323:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 10:17:15.52 c3aU14PB.net
>>288-289
ご指摘ありがとう
どんどんお願いします（＾＾
324:１３２人目の素数さん
19/02/09 10:17:55.53 zTjwdrqx.net
必死に検索して「お墨付き」を見つけなければ
証明の正しささえ自分で判断できないひとに数学は無理でしょう。
>「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」は使っていませんよ！！（＾＾
これも間違い。使わなければ証明できない。
この程度のことも分からないひとに数学は無理ですね。
325:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 10:19:53.50 c3aU14PB.net
>>288-289
ついでに、どう書くべきか
も指摘ついでにお願いします（＾＾
326:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 10:2
327:0:17.45 ID:c3aU14PB.net
328:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/02/09 10:27:32.33 c3aU14PB.net
テンプレ>>9再録
(抜粋)
スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です
じゃ、どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます
が、それも基本、信用しないように
数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本ですし
”証明”とかいうらしいですね、数学では
その”証明”がしばしば、間違っていることがあるとか、うんぬんとか
(引用終り)
まあ、こういうことです
なお、テンプレ>>7再録
”大学新入生もいると思うが、間違っても５ＣＨ（旧２ＣＨ）で数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、半分趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
もう半分は、ここはおれのメモ帳だ （ここには、自分が面白いと思った情報を集めてあるんだ。過去ログ見ると、いろいろ面白い情報（リンクやPDF があるよ（＾＾ ）”
数学なんかやっているつもりはありません！ はい！（＾＾
半分趣味と遊びのスレ
もう半分は、ここはおれのメモ帳だぁ～（＾＾
これ、定義です！ はい！（＾＾；