19/10/04 10:16:56.17 PaMQF2DX.net
半径1の球面上に周の長さ1の閉曲線を描く
閉曲線で囲まれる球面上の領域の面積の最大値を求めよ
901:１３２人目の素数さん
19/10/04 10:35:45.75 PaMQF2DX.net
>>859
少し修正します
球面上での閉曲線で囲まれる領域は二つ出来るけど
面積はその二つの内小さい方とします
902:１３２人目の素数さん
19/10/04 11:39:20.83 5EnWgEfI.net
>>859
とりあえず周長1の小円で切ってみる
小さい方の面積は2π-√(4π^2-1)
大きい方の面積は2π+√(4π^2-1)
そしてあまり意味はないけどこれらの積は1
903:１３２人目の素数さん
19/10/04 11:45:02.40 fvULVCiA.net
もしかしてこの手の問題の解は必ず定曲率の曲線になったりするのかな？
904:イナ
19/10/04 12:43:59.65 KosLGQWV.net
前>>835
>>859-860
最大の閉曲面は円周だから、球の表面から地下t{0≦t≦1-√(1-1/4π^2)}まで中心に向かって掘り、その地点を通る水平な円盤の円周をt=0から1-√(1-1/4π^2)まで足し集めると、
2π∫{0～1-√(1-1/4π^2)}√(2t-t^2)dt
=2π―(積分関数不明)
=2π-√(4π^2-1)
こういうことか。
905:１３２人目の素数さん
19/10/04 13:14:12.48 YAYJgVIL.net
>>863
関数不明ていわはりますけど、
その円周の付近の地面が軸に対してどれだけ傾いてはるか
よう考えはったらイナはんなら解けるはずどすえ
906:１３２人目の素数さん
19/10/04 15:25:30.51 qeBlIg9t.net
部分積分により
I = ∫√{t(2-t)} dt
= (t-1)√{t(2-t)} + ∫(1-t)^2 /√{t(2-t)} dt
= (t-1)√{t(2-t)} + ∫1/√{1-(t-1)^2} dt - I
= (t-1)√{t(2-t)} + arcsin(t-1) - I,
∴
I = (1/2)(t-1)√{t(2-t)} + (1/2)arcsin(t-1),
907:１３２人目の素数さん
19/10/04 16:05:09.64 qeBlIg9t.net
半径 1/(2π) = 0.1591549431 の小円で単位球を切ってみる。
球の中心から小円に垂線を下ろし、その向きをz軸とすると
(表面積) = 2π|⊿z|
= 2π{1 - √[1 - 1/(4π^2)] }
= 2π - √(4π^2 - 1)
= 0.080087887
ま�
908:ｽ arcsin(1/(2π)) = 0.1598346264
909:１３２人目の素数さん
19/10/04 16:26:58.57 4Fu/lmU2.net
じつは球の表面の領域Dについて
Dの面積=3×(Dと中心の凸包の体積)÷半径
を使うと高校生でも解けたりする。
910:１３２人目の素数さん
19/10/04 17:08:17.16 PaMQF2DX.net
>>861
>>863
>>866
結論から言えば円で正解ですが 最大性の証明もお願いします
ヒントはガウス・ボネの定理です
911:イナ
19/10/04 17:25:13.75 KosLGQWV.net
>>859-860
表面積=2π(2t-t^2)^(3/2)/(3/2)(2-2t)
=2π(2t-t^2)^(3/2)/3(1-t)―①
図を描くと、
t=1-√(1-1/4π^2)
1-t=√(1-1/4π^2)
=(1-1/4π^2)^(1/2)―②
t^2=1-2√(1-1/4π^2)+1-1/4π^2
=2-2√(1-1/4π^2)-1/4π^2
2t-t^2=2-2√(1-1/4π^2)-{2-2√(1-1/4π^2)-1/4π^2}
=1/4π^2―③
①に②③を代入すると、
表面積=2π(2t-t^2)^(3/2)/3(1-t)
=2π(1/4π^2)^(3/2)/(1-1/4π^2)^(1/2)
=2π(1/4π^2)^(3/2)/(1-1/4π^2)^(1/2)
=2π(1/4π^2)√(1/4π^2)/(1-1/4π^2)^(1/2)
=(1/4π^2)/(1-1/4π^2)^(1/2)
=1/2π√(4π^2-1)
=0.0256573341……
前>>863あってんのかな？
912:１３２人目の素数さん
19/10/04 18:09:18.71 qeBlIg9t.net
合ってる。
球面のうち平行な平面の間にある部分の
(表面積) = 2πr･|⊿z|
⊿z：平面の間隔
r：球面の半径
913:イナ
19/10/04 19:28:53.18 KosLGQWV.net
前>>869
半径1の球から断面の周長が1の欠球だかを切りとったら、切り口の面積は、
π(1/2π)^2=1/4π
表面積はこれより少し大きくないといけない。
前>>869
表面積=[(2t-t^2)^(3/2)/3(1-t)](t=0～1-√{1-√(1-1/4π^2)}―①
t=1-√(1-1/4π^2)
t^2=1-2√(1-4π^2)+1-1/4π^2
=2-2√(1-1/4π^2)-1/4π^2
2t-t^2=2{1-√(1-1/4π^2)}-{2-2√(1-1/4π^2)-1/4π^2}
=2-2√(1-1/4π^2)-{2-2√(1-1/4π^2)-1/4π^2}
=1/4π^2―②
1-t=√(1-1/4π^2)―③
①に②③を代入すると、
表面積=(1/4π^2)^(3/2)/3√(1-1/4π^2)
=(1/4π^2)√(1/4π^2)/3√(1-1/4π^2)
=1/3･8π^3√(1-1/4π^2)
=1/12π^2√(4π^2-1)
(＞1/4πであってんのかな？)
914:１３２人目の素数さん
19/10/04 20:50:39.97 qeBlIg9t.net
合ってる。
(表面積) = 2π|⊿z|
= 2π{1 - √[1 - 1/(4π^2)] }
> 2π{1 - [1 - 1/(8π^2)] }
= 2π/(8π^2)
= 1/(4π)
= 0.079577471546
915:イナ
19/10/04 21:16:43.51 KosLGQWV.net
前>>871
>>859-860
表面積＞1/4π=0.0795774715……
膨らみのぶんだけ表面積は断面積より大きい。
0.08ぐらいになるんじゃないかな？ もしかしたら0.08超えるかも。
916:１３２人目の素数さん
19/10/04 21:29:12.65 qeBlIg9t.net
>>866 に書いてあるし････
917:
19/10/05 00:50:08.36 yV8WUbz4.net
前>>873
どうやって0.08超えたんだ？
>>859-860
918:イナ
19/10/05 11:55:30.92 yV8WUbz4.net
前>>875
円周を0から1まで足し集めるやり方であってんじゃないの？
919:１３２人目の素数さん
19/10/05 11:58:03.66 o3KPqddg.net
長さを積分して面積になる
は平面までの話。
空間図形でやるにはそれだけではダメ。
920:イナ
19/10/05 12:12:07.49 yV8WUbz4.net
前>>875
>>876球体の表面積って土器みたいに積み重ねてバウムクーヘン法できないの？
921:イナ
19/10/05 12:17:40.17 yV8WUbz4.net
前>>878前々>>876
>>877じゃあどうやって0.08超える計算をしたんだ？ バウムクーヘン法だとばっかり思ってた。どおりで式が⊿とか意味わからんわけだ。
>>859-860
922:１３２人目の素数さん
19/10/05 12:24:41.72 o3KPqddg.net
>>878
補正すればできるやつもあるができないものもある。
球面の場合は補正すればできる。
高さhで切ってできる弧の長さをl、球の半径をRとして
∫l R/ √(R^2-h^2) dh
を計算すれば出る。
例 球面全体の場合はl=2π√(R^2-h^2)だから
∫[-R,R]l R/ √(R^2-h^2) dh
=∫ [-R,R] 2πR dh
=4πR^2
しかし特例。
普通は ‘長さを積分’ ではでない。
補正する因子が同じ高さで共通してないと無理。
923:１３２人目の素数さん
19/10/05 13:24:44.94 YguKL+q4.net
>>879
イナ氏にはこういう説明が分かりやすいはずだ
球体のスイカを皮がついたまま同じ厚さで輪切りにすることを考える
すると、スライスした実の厚さは同じはずなのに、緑色の皮の幅は端のほうほど
924:広いはずだ さてそれは何故でしょう？ そして緑色の皮の幅は実の厚みの何倍くらいあるでしょうか？
925:イナ
19/10/05 14:21:15.94 yV8WUbz4.net
前>>879
周長1の切り口の半径は、
1/2π
ピタゴラスの定理より、
半径1/2πの円の中心から、半径1の球の中心までの距離は、
√(1-1/4π^2)
(ここが飛躍してんだよ)
表面積は周長を足し集めたのか、
表面積=2π{1-√(1-1/4π^2)}
ここはなんで
半径1/2πの円の中心から、半径1の球の中心までの距離
に2πを掛けて周長1の内側部分の球体の表面積が出るんだ？
926:１３２人目の素数さん
19/10/05 14:50:36.34 o3KPqddg.net
>>882
> ピタゴラスの定理より、
> 半径1/2πの円の中心から、半径1の球の中心までの距離は、
> √(1-1/4π^2)
> (ここが飛躍してんだよ)
どこが？
> 表面積は周長を足し集めたのか、
> 表面積=2π{1-√(1-1/4π^2)}
表面積=∫[√(1-1/4π^2),1] 2π√(1-h^2)/√(1-h^2)dh
どの緯度の点を含むかだけで決まっちゃうのか。
意外にオモロイw
927:イナ
19/10/05 16:07:56.33 yV8WUbz4.net
前>>882
>>883
√(1-h^2)/√(1-h^2)dh
これは2πと、球を高さhの地点で水平に切った半径を、掛けあわせて出した周長を√(1-1/4π^2)から1まで足し集めてると思うんですが、なぜ分子と分母が同じなんでしょう？
(うんこ/うんこ)dhにしか見えない。
約分して
表面積=2π∫[√(1-1/4π^2),1]dh
=2π{1-√(1-1/4π^2)}
でいいですよね？
928:イナ
19/10/05 16:18:47.57 yV8WUbz4.net
前>>884つづき。
2πと、球を高さhの地点で水平に切った半径を、掛けあわせて出した周長を、
√(1-1/4π^2)から1まで足し集めると、
表面積=2π∫[√(1-1/4π^2),1]dh
=2π{1-√(1-1/4π^2)}
=2π-√(4π^2-1)
drじゃなくてdhだ。足し集める方向にうすく切ったのをdhにするんだ。わかった。
929:１３２人目の素数さん
19/10/05 19:50:20.44 YguKL+q4.net
＞>その前にまず、自然数x､y､zとは別の実数 X､Y､Zをx:y:z=X:Y:Zが成り立つように仮定して、そのX､Y､Zの上で Z=X+r とおいてから議論するのならば良い。
＞すみません。この方法で、うまく説明できるかが、わかりません。
その方法で説明できなければ証明と認めません。
930:１３２人目の素数さん
19/10/05 19:52:52.35 YguKL+q4.net
>>886誤爆した。失敬。
931:１３２人目の素数さん
19/10/06 11:07:13.40 4tBXkTQ/.net
>>868
閉曲線の内部に極軸をとる。
閉曲線を極座標で表わした式(*)を
θ = f(φ) ≧0,
f(0) = f(2π),
とする。
周長Lと面積Sは
L[f] ≧ ∫[0,2π] sin(f(φ)) dφ,
S[f] = ∫[0,2π] {1-cos(f(φ))} dφ,
と表わせる。
束縛条件 L[f]=1 の下で汎関数
I[f;λ] = S[f] - λ･(L[f]-1),
をfで変分すると
δI = ∫[0,2π] {sin(f(φ)) -λcos(f(φ))} δf dφ,
任意の δf に対して I[f;λ] が停留値となることから
sin(f(φ)) -λcos(f(φ)) = 0,
f(φ) = arctan(λ) = arcsin(1/(2π)),
*) もしヒダヒダがあれば、それを伸ばして広げることが可能。
932:イナ
19/10/06 13:40:34.04 T3/l18Vq.net
前>>885
>>866は答えはあってると思ったけど、途中がぶっとんでた。
せめて>>885これぐらいは書いてほしかった。どうやって0.08を超えたか途中が必要だと思う。
2π-√(4π^2-1)=0.080087887……＞0.08
インテグラル、積分区間、積分関数のネット上での書き方は再認識できた。
∫[積分区間](積分関数)dh
933:１３２人目の素数さん
19/10/06 16:15:09.01 wEvEymZW.net
>>888
解答ありがとうございます
閉曲線をxy平面に射影したときに円と同相になるとして、
極座標θ=f(φ)のθはxy平面における偏角だと思うのですがφはなんの量でしょうか xy平面に射影したときの動径ですか？ それともxz方向の偏角でしょうか
それと周長が不当式になってますがそのまま変分して扱えるのでしょうか
934:１３２人目の素数さん
19/10/06 16:15:38.99 wEvEymZW.net
>>890
不当式→不等式
935:１３２人目の素数さん
19/10/06 17:32:02.84 kcmTE7I
936:z.net
937:１３２人目の素数さん
19/10/06 19:33:32.34 jMFfdOb/.net
論理クイズ
４部屋あるアパートとその家主、そして７人の学生で実験をする。
学生は作戦会議の後、アパートの前でトランプ(ジョーカー抜き)から１枚引いて、自分のカードは見ずにお互いのカードを確認する。
その後アパートに入り、自分が入る部屋を４つから１つ選んで一斉に移動する。
家主は全ての部屋の学生のカードのマーク（ハート、スペードなど）を確認し、マークが２種類以上存在する部屋があった場合、各学生に同じ部屋にいる学生のカードをお互い確認させた上で、また一斉に部屋を移動させる(このとき移動しなくてもよい)。
これを、異なるマークが存在する部屋がなくなるまで繰り替えす。
ある作戦によって、カードの配役にかかわらずn回移動すれば実験を終了させられるとき、nの最小値とその時の作戦を考えてください。ただし作戦会議後は、相手のマークをしゃべったり、目などで合図を送ることはだめ。
938:１３２人目の素数さん
19/10/06 19:40:53.10 wEvEymZW.net
>>892
なるほど ありがとうございます たしかにそのパラメータ(θ,φ)ならそうなりますね
なので問題は不等式で変分を扱えるのかどうかですね
939:１３２人目の素数さん
19/10/06 23:53:42.54 BEV92yuK.net
>>893
n=0
作戦
(1) 事前にマークごとに0～3を割り当てておく
(2) 自分以外の人のマークの総和を4で割った余り+1号室に入る
(全員のマークの総和)-(自分のマーク) mod 4 は、マークが同じ人なら同じだから、
すべての部屋にマークが同じ人が振り分けられる。
940:１３２人目の素数さん
19/10/07 00:15:00.86 3bkiY8iJ.net
>>894
どゆこと？
最小値をとるとこで変分が0になるとは限らない？
それとも最小値をとることも示さないとダメと言う事？
941:イナ
19/10/07 06:55:31.92 cQazitH2.net
前>>889
>>893面白くない。
942:１３２人目の素数さん
19/10/07 07:38:58.03 cy67Vy4n.net
>>896
すみません 自己解決しました
最初は
長さ汎関数を
L[f] ≧ ∫[0,2π] sin(f(φ)) dφ
として不等式で小さくしてラグランジュ乗数法で変分してますが、その変分=0ともとの汎関数の変分=0で一致する理由はなんだろうかと思ったのですが
λが正でかつ最大問題を求めるのでそれで下からの汎関数で考えれば十分なんですね
943:１３２人目の素数さん
19/10/07 08:38:00.97 3bkiY8iJ.net
>>898
ガウス ボネ使う解答おながいします。
944:１３２人目の素数さん
19/10/07 11:19:41.95 9nA4ptKj.net
１から９までの整数が書かれたカードが一枚ずつ、合計九枚ある。A,B,Cの三人で数あてゲームをする。
ゲームの進行者であるAはまず、自分がどんなカードの組を引いた時にどんな宣言をするかについてのアルゴリズムを【BとC両方に】伝えた後、九枚の中から無作為に六枚を引く。
その後Bが残りの中から無作為に二枚を引き、Cが残りの一枚を引く。三人とも、カードの中身は他人に見せない。
Aは先程自分が伝えたアルゴリズムに従って宣言をする。
このような進行でゲームをする時、全員が引いたカードの組み合わせがどんな場合であっても次の条件が全て満たされるようなアルゴリズムは存在するか：
(1)BはCのカードを確定できる
(2)Cは、自分が持っていないどのカードについても、Bがそれを持っているかどうか確定できない
※Aは、Bだけに情報を伝えられるような伝達手段は持たないものとする。
※宣言の内容はアルゴリズムのみによって決まるのであって、例えば
「自分が引いたカードの組に関する事実を宣言する」
等のような、カードの組に対して宣言が一意に定まらないものは不可。
945:１３２人目の素数さん
19/10/07 11:48:29.57 3bkiY8iJ.net
>>900
意味が分からん。
例えば許される宣言で惜しくも条件を満たさない宣言はどんなのがあるの？
946:１３２人目の素数さん
19/10/07 11:52:38.06 3bkiY8iJ.net
例えば
自分の持ってるカードの合計を9で割った余りはxxである
みたいなのはありなん？
947:１３２人目の素数さん
19/10/07 12:00:31.84 UqQik4yf.net
>>902
除数として 9, 10, 11 のいずれかを使った場合は条件を満たせるらしい
8以下ではBがCを特定できない場合があり
12以上ではCがBを特定できる場合がある
948:１３２人目の素数さん
19/10/07 14:53:31.09 9nA4ptKj.net
>>901
例えば >>902 のアルゴリズムとか、あとは『自分が持ってない最小のカードの数字は○○である』とかはアルゴリズムとして許される例。
これらの場合は、どちらも惜しくも条件は満たさないのだけれども…
>>902 の場合について考えると、例えばCに1が、Bに3,5が配られたとすると、
CはAの宣言から、Bのカードの組み合わせとして(2,6),(3,5),(8,9)のどれかであることがわかる。
しかしこれではBが4も7も持っていないことがCにわかってしてしまうため、解としては不適となる。
949:１３２人目の素数さん
19/10/07 16:56:58.29 9nA4ptKj.net
そもそもアルゴリズムとして許されないのは、例えば
「自分が持っていないカードの数字をどれか一つ言う」
みたいなもの。
つまりこの問題でのアルゴリズムというのは、Aに配られるカードの組全体の集合（有限集合）から、日本語の文字列全体の集合への写像、のように認識をしていただけたらと。
もちろん値域が日本語の文字列でなく自然数全体の集合とかであっても良い。
『Aがどんなカードの組を持った時にどんな宣言をするか』が、BやCにも確定できるということが肝。
950:１３２人目の素数さん
19/10/07 17:10:40.66 9nA4ptKj.net
何でわざわざこんな回りくどい問題設定にしたのかというと、例えば
【１から７までのカードをA,B,C三人にそれぞれ3,3,1の枚数でランダムに配り、
AとBが『自分の手札に関する事実』を宣言することでAとBだけに三人のカードの内訳を確定させるにはどうすれば良いか】
という問題における
【AもBも、自分が持っているカードの組xyzについて『AまたはBのどちらかはxyzという手札である』と宣言すれば良い】
という別解、みたいなのを排除するためということになるかな
自分の手札がxyzの時にする宣言が『自分の手札がpqrである』という可能性も含んでいるならば、その宣言は手札がpqrだった時にする宣言と同じ、ということを担保したかった
951:１３２人目の素数さん
19/10/07 20:14:04.74 iZfBHchd.net
>>905
>日本語の文字列全体の集合への写
数学にならないかもね
952:１３２人目の素数さん
19/10/07 21:00:44.40 9nA4ptKj.net
>>907
もし日本語（で使う文字）の定式化とかを経由したくなければ、その後に書いた通り『自然数全体の集合』への写像でも良いし、実数全体だっていい
実際のところ >>902 のアルゴリズムは、カードの六枚組全体の集合から{0,1,…,8}への写像になっている
953:１３２人目の素数さん
19/10/07 21:46:17.35 iZfBHchd.net
>>908
ならばそう定義しておくべき
数学ならね
954:１３２人目の素数さん
19/10/07 22:06:39.32 9nA4ptKj.net
>>909
文字集合さえ決めればその値域としての文字列全体の構造は問うてないから、より実態に合った定式化というかをしたつもり
955:だったけど ちょっと言葉足らずで不親切だったかも知れない、すまぬ
956:１３２人目の素数さん
19/10/07 22:35:10.65 cEmWDLJd.net
>>910
でもまぁ言いたい事はわかった。
なかなかにムズイ。
957:１３２人目の素数さん
19/10/08 00:20:15.88 Df/2Z+n5.net
でけたかも
補題
X={1,‥,9}の任意の三元{i,j,k}に対し、Xの三元部分集合からなる集合Sで以下の性質を持つものが存在する。
(1) {i,j,k}∈S
(2) 任意のXの二元x,yに対し{x,y,z}∈SとなるXの元zがちょうどひとつ存在する。
(∵) L/Kを体の単純Galois拡大でガロア群が3次循環拡大の二つの直積となるものにとる。
L=K(α)とし、α1,‥α9をαの共役元でαi,αj,αkが
[K(αi,αj,αk):K]=3
を満たすように添字をつけておく。
具体的にはガロア群の位数3の元σをとりαi=α、αj=σα、αk=σσαとすれば良い。
S={{x,y,z}| [K(αx,αy,αz):K]=3}
が求める性質を満たす□
AがB,Cに与える情報としてB,Cに渡った三元i,j,kに対して補題の条件を満たすSをとりこれを二人に伝える。
Bは3数のうち2数をしってるから残り一個を確定することができる。
仮にCに渡った数がiとしてi以外のlを取るとき少なくとも一個mをとって{i,l,m}∈SとなるのでCはlが含まれないと結論付ける事は出来ない。
もしiを含むSの元が必ずlを含むとするとi,l以外の異なるp,qをとるとき条件から{i,p,l},{i,q,l}がともにSの元となり条件に反する。
よってSはiを含みlを含まない元を持つのでCはlが含まれると結論付ける事は出来ない。□
958:１３２人目の素数さん
19/10/08 03:06:17.86 rNXnFXpz.net
>>912
構成してる集合とかすごくいいセンいってる回答なんだけど、
少し確認すべきことが…
各組{i,j,k}に対して補題の条件を満たすSの存在は言えるけれど、
そのようなSは一つだけではないから、アルゴリズムとして許されるためには
「各組{i,j,k}と、それに応じてB,Cに伝える集合Sの対応関係」をあらかじめ決めて共有する必要がある。
（そしてこの時注意しなければならないのが、
例えばもし仮に{1,2,3}に対して宣言されるS_0が、{1,2,3}のみに対して宣言されるものだったならば、
AがS_0を宣言した瞬間、BだけでなくCも全員の内訳が確定できてしまうことになる、ということ。）
また、宣言したSを、BCに渡った手札の組としてあり得る可能性一覧表として捉えさせたいのであれば、
Sの任意の元P={p,q,r}について、BCに渡った手札がPだった場合の宣言はSである必要がある。
（∵もし二つの組PとP'で宣言される集合SとS'が異なったものであるならば、
Sという宣言をすることでP'の可能性が排除されてしまう）
959:１３２人目の素数さん
19/10/08 09:45:31.87 ofPIORDH.net
>>913
なるほど。
Sの選択も一つのアルゴリズムなのでそこでB,Cに情報がいかないようにしないとダメってことね。
ムズイ‥‥
960:１３２人目の素数さん
19/10/08 11:11:28.78 SNER2CzA.net
>>900
こうかな
イ 123 145 167 189 246 258 279 349 357 368 478 569
ロ 124 135 168 179 238 259 267 347 369 456 489 578
ハ 125 134 169 178 236 247 289 358 379 459 468 567
ニ 126 137 148 159 235 249 278 346 389 457 568 679
ホ 127 136 149 158 239 248 256 345 378 467 579 689
ヘ 128 139 146 157 237 245 269 348 356 479 589 678
ト 129 138 147 156 234 257 268 359 367 458 46
961:9 789 Aは、自分の持っていない3枚が、この数表のどの行に書かれているかを宣言する ・Bは、この数表の宣言された行と自分のカードから、Cのカードを確定できる ・Cは、この数表の宣言された行と自分のカードからでは、自分が持っていないどのカードについてもBがそれを持っているかどうか確定できない
962:１３２人目の素数さん
19/10/08 11:15:32.61 ofPIORDH.net
>>915
おお、すげぇ。
どうやって作ったの？
963:１３２人目の素数さん
19/10/08 11:27:25.22 SNER2CzA.net
>>915
例)Bが2と4、Cが7を引いた場合
Aは自分のカードに2と4と7がないことがわかるので「ハ」を宣言する(BとCがどのカードを持っているかは知らない)
Bは、ハの行に2と4を含む組み合わせが247しかないので、Cが7を持っていることを特定できる
Cは、ハの行に7を含む組み合わせが178、247、379、567の4通りあるため、これだけの情報からでは7以外のどのカードについても、それを持っているかどうか特定できない
964:１３２人目の素数さん
19/10/08 11:33:19.10 SNER2CzA.net
>>916
まず最初に123から129をそれぞれの行に振り分けておいて、行内に含まれるどのペアも被らないように他の組み合わせを配置していったらこうなった感じ
あと、前提として宣言の種類は7通り。これより多くても少なくてもいけない
965:１３２人目の素数さん
19/10/08 11:38:48.93 62z8kMAU.net
>>918
n個で作れる？
966:１３２人目の素数さん
19/10/08 12:02:37.55 ofPIORDH.net
>>918
力技か！
それもまた数学だな。
967:１３２人目の素数さん
19/10/08 14:10:46.06 SNER2CzA.net
>>919
カードの枚数が9以外の場合？
968:１３２人目の素数さん
19/10/08 14:39:52.70 V1izUaBe.net
>>915
大正解、すばらしい…！
{1,2,x}の割り振りだけからよくここまで完成させられたね…
実は自分も最初に見つけた時は力わざで、
誰かが綺麗な構成見つけてくれたらラッキー程度のことは考えてたんだけど、やはり難しいのかな…
以下は余談
組み合わせ数学の中で BIBD (Balanced Incomplete Block Design) という研究対象があるけど、
この問題は『９元集合に含まれる三つ組全体からなる集合の、七つの(9,3,1)-デザインによる分割』を求める問題と言い換えられたりする
ちなみにこれが１から７までのカードの場合、(7,3,1)-デザインは存在するけれど（最小の有限射影平面）、
(7,3,1)-デザインによる同じような分割は存在しないことがわかる（これも一応手計算で確かめられる）
969:１３２人目の素数さん
19/10/08 15:05:52.98 V1izUaBe.net
余談続き
nを3以上の整数とする時、そもそも(n,3,1)-デザインが存在するための必要十分条件は n≡1,3 (mod 6) であることがわかっている
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
n元集合に含まれる三つ組全体からなる集合の(n,3,1)-デザインによる分割が可能なnは、
n=3（自明な分割）とn=9（今回の問題）しか自分には確かめられてないんだけれども、こういう研究って既にされてたりするんだろうか…
970:１３２人目の素数さん
19/10/08 15:11:10.03 62z8kMAU.net
>>921
そそ
>>923
を見ると一般化されてるらしいから
アドホックではないしらみつぶしではない
具体的な求め方があるんだと思うよ
971:１３２人目の素数さん
19/10/08 15:36:57.88 SNER2CzA.net
>>924
「デザイン」と呼ばれているものと「分割」と呼ばれているものではすこし事情が異なるかなと思う
(n,3,1)-デザインというのは、n角形の辺と対角線のすべてを三辺形で過不足なく覆い尽くす問題と同型で、
その必要条件は、nが3以上の奇数かつnC2が3�
972:ﾌ倍数ということになるから、n≡1,3 (mod 6)であることは理解できるし、構成も難しくはないのだろうけど、 分割については、(n,3,1)-デザインだけですべての三辺形のパターンを過不足なく覆い尽くす問題になるので難易度が高くて、その存在や構成方法は一筋縄ではいかないんじゃないかな。 むしろ計算機向きの問題かと。 拡張を考えるなら、とりあえずn=13の解は存在するのかどうか？
973:１３２人目の素数さん
19/10/08 17:39:30.60 6uy05fws.net
一般化については次のwikiのSteiner triple systemsの後半で触れられてる。
URLﾘﾝｸ(en.m.wikipedia.org)
n=9ではup to isoで異なる解が二つあるそうな。
でn=15ではどうかという問題が肯定的に解かれてる。
n=13の場合が華麗に無視られてるのは難しくて無理なのか原理的に無理なのかは謎。
974:１３２人目の素数さん
19/10/08 18:23:46.77 V1izUaBe.net
>>926
ありがてえ
確かに、こういうのって小さい数の方から解かれてそうなもんだけどなあ
もし一般的に6n+1型の整数で不可能だとしたらそれはそれで面白いけど、示せるかどうか…
13C3=286個の元からなる集合を、11個の26元集合に分割するとしたら、可能な場合の数だけで
286!/((26!^11)*11!)≒4.75*10^279
通りになるから、コンピューターで探索するとしたらわりと効率良い方法を考えないと大変なことになりそう
975:１３２人目の素数さん
19/10/13 20:12:05.81 m8dyiQfg.net
別スレで出てた問題。
正しいのかどうか知らない
xi をn 個の正の数とする
m(k)=(Σ(xiの異なるk個の積)/c[n,k])^(1/k)
とおくとき
m(k)≧m(k+1)
を示せ。
不等式スレでは解決してるのかな？
976:１３２人目の素数さん
19/10/14 00:34:38.65 JQb+gLUh.net
〔マクローリンの不等式〕
ですね。高校数学の質問スレPart401 - 745 あたりで引用してまつね。
〔ニュートンの不等式〕
P(k-1)P(k+1) ≦ P(k)^2 ただし P(k) = m(k)^k
から出すのはどれも共通ですが、これの出し方はいろいろです。
不等式スレの物は直接法（微分なし）ですが面倒なのでお奨めしません。
次の影響かも。
Hardy、Littlewood & Polya: "Inequalities", Cambridge (1934) §2.22 公式51-55
数セミ増刊：「数学の問題」 第(1)集、日本評論社 (1977)
●21 の解説では次を引用しています。微分を使いますが比較的短いです。
Beckenbach & Bellmann: "Inequalities", Ergebnisse叢書, Springer-Verlag (1961) p.11
977:
19/10/14 00:54:31 JQb+gLUh.net
URLﾘﾝｸ(www.isinj.com)
の§12も参照････
978:
19/10/14 00:57:23 yDLeEzQX.net
おお、さすが不等式スレ。
とっくに話題に上ってたのね。
だろーなーとは思ったけど。
979:１３２人目の素数さん
19/10/14 13:49:21.99 6nFoZoGZ.net
変態どもの すくつですからね。（←誉め言葉）
980:１３２人目の素数さん
19/10/15 18:48:22.75 re42hqGv.net
これ凸不等式をちょっとうまく使うと行けるな。
981:
19/10/16 03:28:04 5dVhgqq0.net
微分を使う物
URLﾘﾝｸ(blog.livedoor.jp)
982:yoi/archives/46780160.html う～む。
983:１３２人目の素数さん
19/10/16 07:30:30.70 E0MNJiCI.net
どういうことかね？ 続けたまえ！
984:１３２人目の素数さん
19/10/16 13:58:43.55 kynI/4yw.net
>>934
その証明面白いけど後半が無駄じゃないのかな？
示してるのは
モニック実係数n次多項式P(x)のn-k次の係数をsk、dk=sk/c[n,k]とおく。
P(x)=0の解がすべてx<0にあるとき(dk)^(1/k)は単調減少。
でP'(x)/nに対して同様の構成でs'k、d'kを構成した時k<nに対してdk=d'kが成立する事とP'(x)=0の解もすべてx<0にある事を示してる。
でもだったらこの時点でk=n-1としていい気がする。
そしてその場合はam≧gmで一撃終わりのような。
985:１３２人目の素数さん
19/10/16 21:40:10.95 5dVhgqq0.net
k=n の場合
{d_(n-1)}^(1/(n-1)) ≧ (d_n)^(1/n), ････ (*)
は am-gm で一撃だろうけど、k<n の場合はこのままぢゃ出ない。
>>934 のミソはnの方を減らすこと。
{d_1,d_2,････,d_(n-1)} を変えずに文字数を n-1 に減らす。
それを繰り返して
{d_1,d_2,････,d_k} を変えずに文字数を k に減らす。
これに (*) を適用すれば、k<n に対しても
{d_(k-1)}^(1/(k-1)) ≧ (d_k)^(1/k),
が出る。
986:１３２人目の素数さん
19/10/16 22:04:25.03 kynI/4yw.net
書き方が悪かったな。
ま、読み方が悪かっただけで後半なにやってるかはわかった。
主張
モニックn次多項式p(x)=0の解がすべてx<0にあり、その係数n-k次の係数をskとし、dk=sk/c[n,k]とおくとき、1≦k≦n-1においてd[k]^(1/k)≧d[k+1]^(1/(k+1))。
を示している。
keyはq(x)=p'(x)/nとおくときq(x)もモニック多項式でq(x)=0の解がすべてx<0にあり、同様の構成でekを構成すれば1≦k≦n-1においてdk=ekまで容易。
ここまで読んで、ならp(x)の次数の帰納法で帰納法の仮定が使えないk=n-1の時のみやればいいじゃんと思って、そこはそんなに難しくないだろと思って後半よんでなかったら、なんの事はない、後半はその場合を丁寧に示してるだけなのね。
オレならまずk=n-1の時は帰納法用いずamgmで一括処理しといて、その後帰納法で書くかな。
n=2のケースでは一括処理済みのケースしかない。
n=lでいけるとしてn=l+1のときは一括処理済みのケースと帰納法の仮定が使えるケースしかない。了とか。
ま、趣味の問題でした。
お騒がせでした。
987:
19/10/17 04:18:29 eT2GFlgw.net
>>929
直接法 (微分なし) の概略だけ。
nについての帰納法による。
(n文字のk次の基本対称式)/C[n,k] = P(k),
これにxを追加した
(n+1文字のk次の基本対称式)/C[n+1,k] = Q(k) とおく。
便宜上
P(0) = Q(0) = 1, P(-1) = Q(-1) = P(n+1) = 0
とする。これらより
(n+1)Q(k) = (n-k+1)P(k) + k･P(k-1)･x,
これを入れて計算すると
(n+1)^2 {Q(k)^2 - Q(k-1)Q(k+1)}
= (n-k)(n-k+2){P(k)^2 - P(k-1)P(k+1)}
+ (n-k)(k-1){P(k-1)P(k) - P(k-2)P(k+1)}x
+ (k+1)(k-1){P(k-1)^2 - P(k-2)P(k)}xx
+ {P(k) - P(k-1)x}^2,
となる。(チョト面倒だが難しいことは何も使ってない)
帰納法の仮定から
P(k-1)/P(k-2) ≧ P(k)/P(k-1) ≧ P(k+1)/P(k),
となるので
Q(k)^2 - Q(k-1)Q(k+1) ≧ 0, (終)
988:
19/10/17 13:21:17 fQMp07ks.net
>>939
PとQを比べてる式のPのとこはtraceかなんかとってるんですか？
Qのあるサイドのx(n+1)の項がPの側には出てこないのはおかしいのでは？
989:１３２人目の素数さん
19/10/17 13:56:18.42 mTycNgJ9.net
>>940
sk=symmetricsumof x1…xn
nCkPk=sk
990: tk=symmetricsumof xx1…xn=xsk-1+sk n+1CkQk=tk=xnCk-1Pk-1+nCkPk (n+1)/(n-k+1)Qk=xk/(n-k+1)Pk-1+Pk (n+1)Qk=xkPk-1+(n-k+1)Pk
991:１３２人目の素数さん
19/10/17 14:01:28.43 fQMp07ks.net
>>941
あ、xがn+1文字目ね。i see
992:１３２人目の素数さん
19/10/17 14:59:09.06 eT2GFlgw.net
>>934 >>937 の参考書
安藤哲哉：「不等式」 数学書房 (2012) の定理1.1.4(McLaurin)
993:１３２人目の素数さん
19/10/17 17:32:36.36 fQMp07ks.net
私が見つけた証明。
多分あってると思うけどダメかも。
Aがaffine空間、pi、qjがAの点列でui、vjが重みとする。
f(p)かA上の広義凸関数でqjは{pi}の閉凸包に属し重み平均が等しい、すなわちΣuipi=Σvjqjとする。
この時Σuif(pi)≧Σvjf(qj)が成立する。
これを
正の数の組みxuに対しf((tu))=exp(Σtu log xu)で定義された凸関数に適用したらできた気がした。
994:１３２人目の素数さん
19/10/23 06:54:17.81 6RKGmCoK.net
楕円 x^2/a^2 + y^2 =1 をx軸中心に回転させて出来た楕円体をDとし, 平面 y=±p でこのDを3分割します
3つに分割されたDの体積が等しいとき, |p|>1/4 を示してください
995:１３２人目の素数さん
19/10/23 08:45:56 2nX5JPw6.net
>>945
a=1としてよい。
示すべきは
∫[-p,p]π(1-y^2)dy=1/3・4/3π⇒|p|>1/4
であり
∫[-1/4,1/4](1-y^2)dy<4/9
で十分。
LHS=47/96=0.489583333333‥
RHS= 0.444444444444‥
ぬ？
996:哀れな素人
19/10/26 09:43:39.49 cD+Slgcf.net
ｓ＝0.1＋0.11＋0.111＋0.1111＋0.11111＋……とする。
ｎ→∞のとき、ｓ／ｎの極限値を求めよ。
997:哀れな素人
19/10/26 09:54:13.62 cD+Slgcf.net
次の証明のどこがおかしいかを指摘せよ。
Ｈ＝1＋1/2＋1/3＋1/4＋……
＝1/2＋1/2＋1/4＋1/4＋1/6＋1/6＋1/8＋1/8＋……
＜1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7＋1/8＋……＝Ｈ
ゆえにＨ＜Ｈ
998:１３２人目の素数さん
19/10/26 10:06:49.95 khEQcQUN.net
>>948
安達さんこんにちは
安達さんの意味での…は数ではないですから、不等号は成り立ちません
終わりです
999:哀れな素人
19/10/26 10:20:10.15 cD+Slgcf.net
>>949は質問少年(笑
この少年は具体的な問題には答えられないおバカ少年(笑
数学の知識を覚えるだけの少年である(笑
1000:１３２人目の素数さん
19/10/26 10:24:17.50 khEQcQUN.net
安達さんは京大文学部で論文は自費出版のトンデモ本に書くものだと習ったそうです
京大も大したことないんですね
1001:哀れな素人
19/10/26 10:27:52.99 cD+Slgcf.net
こうしてこの少年は延々と僕に粘着してくる(笑
2chでも有数の粘着魔である(笑
で、結局、問題には答えない(笑
1002:１３２人目の素数さん
19/10/26 10:37:13.43 XNS6Icbu.net
ここではやめろよ
1003:１３２人目の素数さん
19/10/26 10:38:42.89 khEQcQUN.net
0.999...=1ではない(笑)と散々言っておいて、今更普通の数学持ち出してくる意味がわからないんですけど本当
数学的な答えはあっちに書きました
安達数学的にはH＜Hは矛盾でないで終わりです
自分が言ったことに一貫性を持たせて欲しいんですけど
1004:哀れな素人
19/10/26 10:41:10.62 cD+Slgcf.net
>>953
それは質問少年に対して言ってくれ。
僕はこのスレを荒らそうという意図などまったくないのである。
質問少年がからんできたから書いたまでだ。
1005:１３２人目の素数さん
19/10/26 10:42:28.63 khEQcQUN.net
じゃあっちに戻って議論しましょうか
1006:哀れな素人
19/10/26 10:42:59.13 cD+Slgcf.net
>>654
このスレを荒らすな
1007:バカ 粘着キチガイ
1008:１３２人目の素数さん
19/10/26 10:44:42.86 khEQcQUN.net
どう考えても荒らしてるのはあなたですよね(笑)
0.999....＜0.999...が成り立つと思ってる人が書き込んでいいスレッドではありませんよ？
1009:１３２人目の素数さん
19/10/26 10:47:06.52 CtwTxatM.net
荒らし二人ほんとうぜぇ
邪魔
1010:１３２人目の素数さん
19/10/26 14:16:08.06 UXK0qIA4.net
>>948
an<bn
でも
liman=limbn
となうことがあるからでしょ
1011:１３２人目の素数さん
19/10/26 14:17:21.58 UXK0qIA4.net
>>959
1人しかいないのかもね
1012:１３２人目の素数さん
19/10/26 17:58:33.59 3GseaLPx.net
(1)｢3以上の任意の整数nに対しxⁿ+yⁿ＝zⁿ｣を満たす正の整数の組(x,y,z)は存在しないことを示せ。
(2)｢任意の正の整数の組(x,y,z)に対しxⁿ+yⁿ＝zⁿ｣を満たす3以上の整数nは存在しないことを示せ。
(3)｢3以上の任意の整数nに対しある正の整数の組(x,y,z)が存在しxⁿ+yⁿ＝zⁿ｣でないことを示せ。
(4)3以上の任意の整数nに対し、xⁿ+yⁿ＝zⁿを満たす正の整数の組(x,y,z)は存在しないことを示せ。
1013:１３２人目の素数さん
19/10/26 19:27:51.27 yCWLpGs1.net
(1)
条件を満たす整数(x,y,z)が存在したとすると、
少なくとも
x^3+y^3=z^3 (a)
かつ
x^6+y^6=z^6 (b)
(a)^2=(b)より
(x^3+y^3)^2=x^6+y^6
だからx^3*y^3=0
これを満たす整数x,yは存在しない。
(2)
条件を満たすnが存在したとすると、
少なくともある整数(x,y,z)に対して
x^n+y^n=z^n
かつ
x^n+y^n=(z+1)^n
辺々引いて
0=(z+1)^n-z^n>0
これは矛盾。
(3)
｢3以上のある整数nが存在し任意の正の整数の組(x,y,z)に対しx^n+y^n≠z^n｣
を示せばよい。
n=4とする。
もう少し強い「x^4+y^4=z^2を満たす正の整数の組(x,y,z)は存在しない」
を証明すれば十分だけどめんどくさいので、
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
ここに丸投げ。
(4)
フェルマーの最終定理。余白が以下略。
1014:１３２人目の素数さん
19/10/27 09:25:00.75 nRsaMl4S.net
>>945
D: (x/a)^2 + y^2 + z^2 = 1,
あるyで切った断面は
(x/a)^2 + z^2 = 1-p^2 (楕円)
S(y) = πa(1-y^2)
V(p<y<1) = ∫[p,1] S(y)dy = πa∫[p,1] (1-y^2)dy
= πa [ y - (1/3)y^3 ](p→1)
= (π/3)a(p+2)(p-1)^2
V(-1<y<1) = 4(π/3)a
3等分より (p+2)(p-1)^2 = 4/3,
これを解くと
p = 2cos(120ﾟ- θ/3) = 0.2260737137892083 < 1/4
ここに θ = arccos(-1/3) = 109.47ﾟ (四面体角)
1015:１３２人目の素数さん
19/10/27 10:06:17.05 nRsaMl4S.net
あるいは
V(1/4<y<1) / V(-1<y<1) = (1/4)(1/4 +2)(1/4 -1)^2
= (3/4)^4
< 1/3 (← *)
∴ p < 1/4
*) 4^4 - 3^5 = 256 - 243 = 13 > 0,
1016:１３２人目の素数さん
19/10/28 00:58:37 M55VqgNP.net
>>963 (3) の略証
無限降下法による。
x^4 + y^4 = zz を満たす自然数 (x,y,z) が存在すると仮定する。
そのような (x,y,z) の組でｚが最小のものを考えると、
(xx,yy,z) の最大公約数は1となる。
{もし (xx,yy,z) が公約数d (d>1)をもてば (xx/d,yy/d,z/d) も
解となるから。}
(x,y,z) の2つは奇数だから、xは奇数としてもよい。
(xx,yy,z) は最大公約数が1である「ピタゴラス数」なので、
互いに素な自然数p,qを用いて
xx = pp-qq, yy = 2pq, z = pp+qq,
と表わせる。
第１式から (x,q,p) も最大公約数が1であるピタゴラス数と
なるので、同様に自然数r,sを用いて
x = rr-ss, q = 2rs, p = rr+ss, ････(1)
と表わせる。以上の式から
yy = 2pq = 4prs
p,r,s のどの2つも互いに素なので、それぞれ平方数となる：
p = PP, r = RR, s = SS,
これらと (1) の第３式を合わせて
R^4 + S^4 = P^2
となり元の方程式の新しい解 (R,S,P) が得られたが、
P ≦ P^4 = p
1017:p < pp+qq = z より、これはzの最小性に矛盾する。 ゲルフォント「方程式の整数解」ほか, 東京図書 数学新書5 (1960) 銀林 浩 (訳)
1018:１３２人目の素数さん
19/10/28 11:31:13.35 jWOLrGV/.net
銀林ってすごい名字だな
地名姓？
1019:１３２人目の素数さん
19/10/28 12:27:06.95 y++mYO4/.net
>>967
全国に110人しかいないらしい
URLﾘﾝｸ(myoji-yurai.net)
1020:１３２人目の素数さん
19/10/28 13:02:07.20 nzA/eGNg.net
銀林でぐぐったら算数教育にも影響のあった人みたいで黒木玄に批判されてる
3+4≠4+3はちょっとなあ…頭でっかちだ
和の交換法則が成り立たない数学なんて数学者と物理学者しか使わねーだろｗ
どんなエンジニアにも大工にも要らない思考だ
そんなものを基準に小学校教育やっても実用性を下げるだけだ
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1021:１３２人目の素数さん
19/10/28 13:05:32.43 nzA/eGNg.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
1022:１３２人目の素数さん
19/10/28 23:45:30 M55VqgNP.net
「子どもが４人遊んでいました。そこにあらたに子どもが３人やってき
ました。子どもは何人になりましたか？」
前の合併型がもっぱら空間的で同時存在しているものを対象としている
のに対して，この増加型は時間的構造をもっているという点がはっきり違
う。前の場合には，加えられる項４と３はほぼ対等であって，加法を
4 + 3 = 3 + 4
のいずれで表記しても，意味上そう違いはなかったが，この増加の場合に
は，被加数の４と加数の３とはまったく質が異なっている。４は初めに存
在しているいわば土台であり，３はあとからつけ加える増加分にすぎない。
だから，意味の上からは確かに，
4 + 3 ≠ 3 + 4
であって厳密には交換法則は成り立たない。この両辺の《値》が等しくな
るのは，ただの結果としてにすぎない。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
銀林 浩：『数の科学 ～水道方式の基礎～』 むぎ書房 教育文庫7 (1975)
1023:１３２人目の素数さん
19/10/29 00:45:15.59 gmdFPnoe.net
>>971
結果も何もそれが加法じゃん
1024:１３２人目の素数さん
19/10/29 00:47:10.27 gmdFPnoe.net
操作として+3と+4が違うのは当たり前
重要なのは「加法」ではa+b=b+aが成り立つという認識であって
それを認識させない教育は無価値だな
1025:１３２人目の素数さん
19/10/29 02:11:49.58 shRnWs6j.net
だな
あんま数学やりすぎるとバカになるのがよくわかる
1026:イナ
19/10/29 09:06:42.63 cxKisfmq.net
前>>897
>>970-971
あらたにやってきた子供の数は3、これに元からいた子供の数を足すと、
3+4=7(人)
1027:１３２人目の素数さん
19/10/29 09:24:25.73 0D9YZR8Q.net
何を交換法則と呼んでいるのかという言葉遊びにすぎないな
結果として常に成り立つことをもって交換法則として採用されていると考えるのが普通なんじゃないだろうか
意味も同じじゃなきゃダメだとか言い出すことにはなんの意味もない
1028:１３２人目の素数さん
19/11/01 17:40:37.93 Ceaoafi6.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
1029:哀れな素人
19/11/02 08:34:45.66 ry8dOXi2.net
ｓ＝1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋
1030:……とする。 ｎ→∞のとき、s/nの極限値を求めよ。
1031:１３２人目の素数さん
19/11/02 09:35:46.48 Ut+lkWg4.net
死刑にされても、無限回生き返る
ゾンビを、暗に仮定してそう。
1032:１３２人目の素数さん
19/11/02 21:36:50.16 JAGV6aTZ.net
>>973
それをちゃんとわかってる人って多分あんまりいないと思うんですよね
①3+4と4+3の操作が違うこと
②それらの値が等しいこと
掛け算とか足し算順序問題というのは、①をわかってるかどうかを立式のときにちゃんと示しなさい、というだけの話なんですけど、②と混同し始めるからわけわからなくなるわけですね
1033:１３２人目の素数さん
19/11/02 23:11:49 YDhMGzaI.net
>>980
>?3+4と4+3の操作が違うこと
3(+4)と(4+)3のどちらでもイイというのも理解しないとな
1034:１３２人目の素数さん
19/11/02 23:13:51 YDhMGzaI.net
3
+
4
でもいいし
4
+
3
でもいいよ
1035:１３２人目の素数さん
19/11/02 23:59:58 nyzx02uY.net
5のべき乗(5^t ※tは自然数）について
下一桁目は常に5（t≧1において)
下二桁目は常に2（t≧2において）
下三桁目は1と6の2通りの数字の繰り返し(t≧3において）
下四桁目は3,5,8,0の4通りの数字の繰り返し(t≧5において)
下五桁目は1,7,9,5,6,2,4,0の8通りの数字の繰り返し(t≧6において)
下六桁目は3,9,7,8,1,7,5,5,8,4,2,3,6,2,0,0の16通りの数の繰り返し...
この様に、5のべき乗の下t桁目は2^(t-2)通りの数字の繰り返しであると考えられる（※t≧2において）
↑誰かこれを証明・説明できるエロい人はいらっしゃらないでしょうか？
Excelで適当に計算してたら発見してしまって、なんでだろうってなやみ続けてます...
1036:１３２人目の素数さん
19/11/03 01:17:58.51 xtPtEeq3.net
>> 下一桁目は...
>> 下二桁目は...
>> 下三桁目は...
>> 下四桁目は...
>> 下五桁目は...
>> 下六桁目は...
という質問を
下一桁は...
下二桁は...
下三桁は...
下四桁は...
下五桁は...
下六桁は...
から始まる質問文に、適切に変えれば、くだらない質問をしたと気づくはず。
1037:１３２人目の素数さん
19/11/03 06:28:30.66 UKH+oV6a.net
>>978
log(n)<s<1+log(n)よりn→∞でs/n→0
1038:１３２人目の素数さん
19/11/03 09:04:33.65 cGhpq8uA.net
>>978
コーシーの不等式で
s(n)^2 = (1 +1/2 +1/3 + ････ +1/n)^2
≦ (1+1+1+･････+1)(1/1^2 + 1/2^2 ＋ 1/3^2 + ･････ + 1/n^2)
< n{1 + 1/(1･2) + 1/(2･3) + ･････ }
= n{1 + (1-1/2) + (1/2-1/3) + ･････ }
= 2n,
ゆえ
s(n)/n < √(2/n),
1039:１３２人目の素数さん
19/11/03 10:44:35.59 UKH+oV6a.net
にゃるほど>>986
問題は平凡だけど、面白い解き方があるってことか？
1040:１３２人目の素数さん
19/11/03 11:21:33 ecbcoMew.net
>>978,985,986
s/√n→？
1041:１３２人目の素数さん
19/11/03 17:30:00.34 83jrfyJC.net
>>[object Object]
1042:１３２人目の素数さん
19/11/03 18:57:06 UKH+oV6a.net
>>988
log(n)<s<1+log(n)を使えばやはり s/√n→0
1043:１３２人目の素数さん
19/11/03 19:02:22.99 XPmowBul.net
>>981
ペアノ算術的に考えれば
3+4=s(s(s(s(3))))
4+3=s(s(s(4)))
で全然違うんですけど
1044:１３２人目の素数さん
19/11/03 19:47:47.33 EDmm7YiB.net
そもそも「足し算」という概念は100%人間の妄想であって自然界に足し算など存在しない
有史以来ずっとあった足し算の概念をきちんと定義して整備した、「後付の理屈」がペアノ算術というだけ
小学生、中学生、高校生に足し算や数学を教えるのにペアノ算術など鼻くそほども必要ない
家を設計し、図面を引き、民生用アプリを開発する
現実の世界にペアノ算術なんて必要にならない
数学の象牙の塔にこもりすぎて頭がおかしくなったのが数学者
1045:１３２人目の素数さん
19/11/03 21:34:23 ecbcoMew.net
>>991
(4+)3はね
3に４を足すということの別の表現なんだよ
後に書かねばならないというのは傲慢
上でも下でも斜めでもイイ
1046:１３２人目の素数さん
19/11/03 21:39:03 ecbcoMew.net
>>991
ついでにいえば
3=s(s(s(0)))
4=s(s(s(s(0))))
なんだから
3+4=s(s(s(s(s(s(s(0)))))))
4+3=s(s(s(s(s(s(s(0)))))))
で同じというのが交換法則で
本質的には合成関数の結合法則よね
+4と+3が違うというのは
x+4≠x+3と関数（あるいは操作）として違うということだよ
1047:１３２人目の素数さん
19/11/03 22:37:44.33 cGhpq8uA.net
>>988
コーシーの不等式で
s(n)^3 ≦ (1+1+1+･････+1){1 +1/(2√2) +1/(3√3) +････ +1/(n√n)}^2
< n ζ(3/2)^2,
次に ζ(3/2) を押さえる。
√k > {√(k+1/2) + √(k-1/2)}/2,
より
1/(k√k) < 2/{k[√(k+1/2) + √(k-1/2)]}
= 2{√(k+1/2) - √(k-1/2)}/k
< 2{√(k+1/2) - √(k-1/2)}/√(kk-1/4))
= 2{1/√(k-1/2) - 1/√(k+1/2)},
∴ ζ(3/2) = 1 + Σ[k=2,∞] 1/(k√k)
< 1 + 2√(2/3)
= 2.63299316
∴ s(n) < 1.90677663n^(1/3),
これを使えばやはり
s(n)/√n < 1.90677663/n^(1/6) → 0 (n→∞)
なお、 ζ(3/2) = Σ[k=1,∞] 1/k^(3/2) = 2.612375348682････
これは統計力学に出てくるyo!
1048:１３２人目の素数さん
19/11/03 23:11:19.00 cGhpq8uA.net
y=1/x^a は下に凸だから
1/k^a < ∫[k-1/2,k+1/2] 1/(x^a) dx,
a>1 のとき
ζ(a) = 1 + Σ[k=2,∞] 1/(k^a)
< 1 + ∫[3/2,∞] 1/(x^a) dx
1 + (1/(a-1))(2/3)^(a-1)
< 1 + 1/(a-1)
= a/(a-1).
1049:１３２人目の素数さん
19/11/03 23:22:59.55 lqoYO0IN.net
以下は単なる落書きでデタラメ
S(∞)=log(∞)+γの∞での微分は、1/∞
√∞の∞での微分は、(1/(2√∞))
∴S/√N = (1/∞) ÷ (1/(2√∞)) = 2/√∞
∴S/√N = 0
1050:哀れな素人
19/11/04 09:16:25.30 QUZUD/8C.net
>>985
ｎ→∞のとき、log(n)→∞となるはずだが（笑
ｓは調和級数で、ｎ→∞のとき、ｓ→∞だから、s/n→∞/∞
一方チェザロ平均の定理によれば、ｓの第ｎ項は1/nだから、
ｎ→∞のとき、1/n→0だから、s/n→0
つまり答えは∞/∞か0
さて、どちらが正しいでせうか（笑
1051:１３２人目の素数さん
19/11/04 11:25:22 s8ZDWnld.net
>>998
ロピタルの定理を使えば、
lim[x→∞]logx/x=lim[x→∞](logx)’/(x)’=lim[x→∞]1/x=0
s/√n dでも
lim[x→∞]logx/√x=lim[x→∞](2/√x) =0
1052:１３２人目の素数さん
19/11/04 11:25:53 v76/uzJo.net
ラストうめぇ！
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