19/09/27 22:53:37.34 0WxPsmbP.net
>>838
f(x)=Σ[n=1,∞] x^(2n)/(n^2 C[2n,n]) と置く
y=f(x)は微分方程式 (4-x^2)y''-xy'=√(4-x^2)(√(4-x^2)y')'=4 を満たしこれを解くと
f(x)=2(arcsin(x/2))^2
問題の和Sは
S = ∫[0,1] -f((√-1)x)/x^2 dx
= 2∫[0,1] (arcsinh(x/2))^2/x^2 dx
… x=2sinh(t)と置いて2回部分積分
= 2∫[0,logφ]{log(1+e^(-t))-log(1-e^(-t))}dt - 8(logφ)^2
… log(1±x)を展開して項別積分
= -2{Li2(1/φ)-Li2(-1/φ)} + 2{Li2(1)-Li2(-1)} - 8(logφ)^2
ここにφ=(1+√5)/2, Li2(x)=Σ[n=1,∞] x^n/n^2
Li2(x)は
・Li2(1) = ζ(2) = π^2/6
・Li2(-1) = -(1/2)ζ(2) = -π^2/12
・Li2(x)-Li2(1-1/x) = π^2/6 - log(1-x)log x + (1/2)(log x)^2
を満たす(最後の式はx→1で成り立つことと両辺の微分が等しいことからわかる)
この式にx=1/φを代入し黄金比の関係1-φ=-1/φから
Li2(1/φ)-Li2(-1/φ) = π^2/6 - (3/2)(logφ)^2
よって
S=π^2/6 - 5(logφ)^2