19/08/23 10:34:30.02 w7ee27lc.net
>>730
それ本当に成り立つの？
Rの部分集合Aに対して関数1_Aを
(1_A)(x)=1 (x∈Aの時), (1_A)(x)=0 (それ以外の時)
と定めて、0以上1以下の全ての有理数が１回ずつ出現する数列を {q_n}_(n=1,2,…) とおく。
集合A_mを
A_m = ∪_(n=1,2,…) ( q_n - 1/(logm･2^n) , q_n + 1/(logm･2^n) )
とおいて、関数g~:R→[0,∞]を
g~(x) = Σ_(m=2,∞) (1_(A_m))(x)
と、そして関数g:R→[0,∞)を
g(x)=0 (g~(x)=∞の時), g(x)=g~(x) (それ以外)
と定める。
この時、0と1の間のどの有理数qをとっても、任意のε>0について
∫_(q-ε,q+ε) g(x)
=∫_(q-ε,q+ε) g~(x) (g~による∞の逆像はルベーグ零集合になるから)
≧∫_(q-ε,q+ε) Σ_(m=2,∞) (1_(q - c/logm , q + c/logm))(x) (cはある正の数)
=Σ_(m=2,∞) 2min(ε,c/logm)
=∞
となるから、fが恒等的に0でない連続関数であれば、
ある0と1の間の有理数の近傍で、fの絶対値がある正の数より常に大きいことになるから
∫_(0,1) |g(x)f(x)|dx = ∞
となってしまう