19/06/22 12:34:39.49 V1+YATI5.net
最小多項式と無理性の証明
実数αに対し、f(α)=0を満たす有理数係数多項式fが存在した時その内最小次数で最高次数の係数が1となるものを最小多項式と呼ぶ。
⑴α=2,√2 の最小多項式を求めよ。
⑵実数αの最小多項式をfとする。有理数係数多項式gがg(α)=0を満たすならば、gはfで割り切れる事を示せ。
⑶αを実数とし、f(α)=0とする。
この時fが既約で最高次数の係数が1ならばfはαの最小多項式となる事を示せ。
⑶p:素数とし、n≧2とする。
x^n-pが既約である事を用いて
1+p^(1/n)+p^(2/n)+…+p^((n-1)/n)は無理数である事を示せ。