19/03/26 12:15:42.23 cJcgY6MN.net
お疲れ様でした。この問題は整数問題ととらえて平方根を外すことを主眼に解こうとするとドツボにはまると思います。
特定の角度をもつ、ピタゴラス三角形をあらかじめ探し出し、目的の多角形の一辺に合うように
縮小し、座標に当てはめていけば見つけられます。以下、用意しておいた解答です。
11sin(π/11)=3.099...、12sin(π/12)=3.105なので、辺の数が12以上でなければ6.2を超えないことが判ります。
そこで、第一象限内に、A(a,a)、B(b,c)、C(c,b) を考え、残りは対称コピーしてできあがる12角形を考えます。
丁度、時計を15度傾けたとき、数字のある位置を頂点とする様な配置の仕方です。
この場合、必要とするピタゴラス三角形は、斜辺の角度が60度のものです。1:√3:2の比の三角形ですが、
これに近いものとして、120:209:241 を採用することとします。A(a,a)が、上のような配置の正十二角形の
一頂点だとしたら、一辺の長さは(√3-1)aとなります。√3-1=0.7320...に近い値として11/15=0.7333...を採用すると、
b=a+(11a/15)*(120/241)=329a/241、 c=a-(11a/15)*(209/241)=1316a/3615
この場合全周は、8*(11a/15+1316a/3615)=31736a/3615 で、(√2)aで割ると6.207673となり、
12角形を用いたのですが、ぎりぎり満足できそうなことが判ります。
aとして、241*3615/Floor[241*3615*sqrt(2)+1]=58081/82139 を使うと
A(58081/82139,58081/82139)、B(79289/82139,317156/1232085)、C(317156/1232085,79289/82139)
ほかにも、三種類のピタゴラス三角形を用いて、
X0=(1,0)、X1=X0+(3/7)*(-9/41,40/41)、X2=X1+(9/20)*(-204/325,253/325)、X3=X2+(18/37)*(-1161/1289,560/1289)
で定まる14角形などもあります。