19/03/23 21:14:10.50 vg/14z0H.net
自分も5の場合の(連結なDによる)非自明分割はみつけた
2nの場合は、自明n分割からさらに赤道による分割を考えればいけるね
131:１３２人目の素数さん
19/03/23 22:48:26.55 bFmkZXZA.net
(1)次の条件を満たす 有理数 s,t を見つけよ
・0 ≦ t ≦ 1/√2
・61/80 ≦ s
・s^2 = 2t^2-2t+1
(2)次の条件を満たす 凸多角形 を見つけよ。
・すべての頂点は、単位円の周上または内部にあり、両座標は有理数
・すべての辺長は、有理数
・周長は 31/5 以上
132:１３２人目の素数さん
19/03/23 23:02:40.19 ontDjONn.net
>>126
おお、連結なの見つけたのか すごい
2nの場合、もし左の図のことを言ってるのなら残念。これはどう変換しても軸は不変だから非自明じゃないんだ
（共通の固有ベクトルを持つだけで良いから、固有値まで一緒じゃなくても良い。例えば、
①から②への変換では軸は固有値1の固有ベクトル、①から③への変換では軸は固有値-1の固有ベクトルとなる）
一応非自明な5-合同分割のひとつの例を右図に挙げておきます。
わかりにくいですが正二十面体を立体射影で平面に落としたみたいなノリで描いてます。
外円の円周は本来は一点を表し、各同じ色の領域全体が一つのパーツになってます。
本来曲線で描かれるべきところもありますが、辺を共有してる、点だけ共有してる等の位置関係は保ってるので
そこから本来の形状を想像していただけたらとorz
URLﾘﾝｸ(o.8ch.net)
133:１３２人目の素数さん
19/03/23 23:52:22.38 vg/14z0H.net
>>128
②→③の変換を、２つの領域の共有する1点の方向に軸をとって回転させる、とすればよいのでは？
134:１３２人目の素数さん
19/03/24 00:17:53.96 Dv7WFm6W.net
>>129
実際それは固有ベクトルの１つなんだけど、絵に描かれてる直線も固有ベクトルであることに変わりはないよね
それで、自明の定義が「～～共通する実固有ベクトルが存在する」だから、他の固有ベクトルの存在に関わらずこれは自明になるんだ
"軸"と表現すると各変換で一つしかないように思えるけど（これはこちらの言葉選びが良くなかったと思う、すまない）
その図の場合、言及してもらった方向にx軸をと�
135:黷ﾎ、②から③への変換は f(x,y,z)=(x,-y,-z) と表せるから (1,0,0) の他に (0,cosθ,sinθ) という無数の"軸"を持つことがわかる（そして図の直線の方向もその中に含まれる）
136:１３２人目の素数さん
19/03/24 00:25:11.34 tXXhNwbU.net
>>130
そういや元の定義は固有ベクトルを共有しないって話でしたね
考えてるうちに失念してました、失敬
137:１３２人目の素数さん
19/03/25 03:09:51.72 mXyNEWNR.net
>>127 (1)
与式は
s^2 = t^2 + (1-t)^2
ピタゴラス数だから、自然数 a, b により
s = (aa+bb)/N,
t = (aa-bb)/N,
1-t = 2ab/N,
と表わせる。
N = aa+2ab-bb,
s ≧ 61/80 より
0.41421356 = √2 -1 < a/b < (61-√1042)/19 = 1.51157764 または 4.90947499 = (61+√1042)/19 < a/b,
0 ≦ t < 1/√2 より
1 ≦ a/b < {1+√(4-2√2)}/(√2 -1) = 5.02733952
これらより
1 ≦ a/b < (61-√1042)/19 = 1.51157764
ならば十分。
例) a=b, s=1, t=0,
138:１３２人目の素数さん
19/03/25 14:09:39.15 mXyNEWNR.net
>>132
訂正ｽﾏｿ
s ≧ 61/80 より
0.41421356 = √2 - 1 < a/b < (19+√4082)/61 = 1.35886117
0 ≦ t < 1/√2 より
1 ≦ a/b < 1 + √2 + √(4+2√2) = 5.02733949
これらの共通部分は
1 ≦ a/b < (19+√4082)/61 = 1.35886117
139:１３２人目の素数さん
19/03/25 21:50:38.26 8L6drYlk.net
>>127 の出題者です。
まず最初に (1) の第一条件 「0 ≦ t ≦ 1/√2」 を「1/2 ≦ t ≦ 1/√2 」に変更させてください。
これは、(2)における、「凸多角形」を「多角形」としてしまうような重大なミスでした。申し訳ありません。
にもかかわらず、132さんには、「1/2 ≦ t ≦ 1/√2 」と変更されたとしても、対応可能なほど、
丁寧に解いていただき、感謝いたします。
s,tの表現や、4.90947499=(61+√1042)/19 < a/b < {1+√(4-2√2)}/(√2 -1)=5.02733952
などから、十分過ぎる内容です。
a:b=5:1を採用すると、自然と、(s,t)=(13/17,12/17) が導けますから。
すでにお気づきだとは思いますが、この問題作成のきっかけは、有名な入試問題「π>3.05を証明せよ」です。
61/80という数字は、そこから持ってきたものです。
140:１３２人目の素数さん
19/03/26 04:26:59.13 OnHU8Iku.net
>>127
しょうがねぇから (2) も解くか････
A (1, 0)
B (1 - 8nn/(nn+1)^2, 4n(nn-1)/(nn+1)^2)
C (c, c)
とおく。
ただし c = {21(n^4-6nn+1) + 80n(nn-1)}/{41(nn+1)^2} < 1/√2,
n≧6 のとき凸16角形（の 1/8）となる。
AB は 横2n：縦(nn-1) の直角⊿の斜辺ゆえ
AB = 4n/(nn+1),
BC は 横20：縦21 の直角⊿の斜辺ゆえ
BC = (29/41){1 - 4n(nn+2n-1)/(nn+1)^2},
周長L = 8 (AB+BC),
・L が 31/5 以上となるのは n=7,8,9 の場合。
n=6, L = 8 (0.64864865 + 0.12451674) = 6.185323095
n=7, L = 8 (0.56000000 + 0.21615610) = 6.20924878
n=8, L = 8 (0.49230769 + 0.28409872) = 6.21125126
n=9, L = 8 (0.43902439 + 0.33619651) = 6.20176724
n=10, L = 8 (0.39603960 + 0.37726813) = 6.18646187
141:１３２人目の素数さん
19/03/26 12:15:42.23 cJcgY6MN.net
お疲れ様でした。この問題は整数問題ととらえて平方根を外すことを主眼に解こうとするとドツボにはまると思います。
特定の角度をもつ、ピタゴラス三角形をあらかじめ探し出し、目的の多角形の一辺に合うように
縮小し、座標に当てはめていけば見つけられます。以下、用意しておいた解答です。
11sin(π/11)=3.099...、12sin(π/12)=3.105なので、辺の数が12以上でなければ6.2を超えないことが判ります。
そこで、第一象限内に、A(a,a)、B(b,c)、C(c,b) を考え、残りは対称コピーしてできあがる12角形を考えます。
丁度、時計を15度傾けたとき、数字のある位置を頂点とする様な配置の仕方です。
この場合、必要とするピタゴラス三角形は、斜辺の角度が60度のものです。1:√3:2の比の三角形ですが、
これに近いものとして、120:209:241 を採用することとします。A(a,a)が、上のような配置の正十二角形の
一頂点だとしたら、一辺の長さは(√3-1)aとなります。√3-1=0.7320...に近い値として11/15=0.7333...を採用すると、
b=a+(11a/15)*(120/241)=329a/241、 c=a-(11a/15)*(209/241)=1316a/3615
この場合全周は、8*(11a/15+1316a/3615)=31736a/3615 で、(√2)aで割ると6.207673となり、
12角形を用いたのですが、ぎりぎり満足できそうなことが判ります。
aとして、241*3615/Floor[241*3615*sqrt(2)+1]=58081/82139 を使うと
A(58081/82139,58081/82139)、B(79289/82139,317156/1232085)、C(317156/1232085,79289/82139)
ほかにも、三種類のピタゴラス三角形を用いて、
X0=(1,0)、X1=X0+(3/7)*(-9/41,40/41)、X2=X1+(9/20)*(-204/325,253/325)、X3=X2+(18/37)*(-1161/1289,560/1289)
で定まる14角形などもあります。
142:１３２人目の素数さん
19/03/26 14:33:33.45 OnHU8Iku.net
>>135 をﾁｮﾄ変えてみた。
A (1,0)
B (1 - 8nn/(nn+1)^2, 4n(nn-1)/(nn+1)^2)
C' (c', c')
とおく。
ただし c' = (4/7){1 + n(n-3)(3n+1)/(nn+1)^2},
n≧6 のとき凸16角形（の 1/8)となる。
c' < 1/√2 = 0.70710678 より n≧8.
ABは 横2n：縦(nn-1) の直角⊿の斜辺ゆえ
AB = 4n/(nn+1),
BC'は 横3：縦4 の直角⊿の斜辺ゆえ
BC' = (5/7){1 - 4n(nn+2n-1)/(nn+1)^2},
周長L = 8 (AB+BC),
・L が 31/5 以上となるのは n=8,9,10,11 の場合。
n=7, L = 8 (0.56000000 + 0.21828571) = 6.22628571, c' = 0.71222857 (失格)
n=8, L = 8 (0.49230769 + 0.28689772) = 6.23364328, c' = 0.70667794
n=9, L = 8 (0.43902439 + 0.33950880) = 6.22826549, c' = 0.69992352
n=10, L = 8 (0.39603960 + 0.38098506) = 6.21619729, c' = 0.69298528
n=11, L = 8 (0.36065574 + 0.41444312) = 6.20079088, c' = 0.68629785
n=12, L = 8 (0.33103448 + 0.44195685) = 6.18393070, c' = 0.68003397
143:１３２人目の素数さん
19/03/26 15:44:11.04 OnHU8Iku.net
>>136
なるほど。
(1,0) (0,1) を通さなければ 12角形で可能でござるな。
(1,0) (b,c) (c,b) (0,1) の12角形は、中央の辺長が |b-c|√2 なので即アウトでござる。
また
A (1,0)
B (1 - 8nn/(nn+1)^2, 4n(nn-1)/(nn+1)^2)
D (4m(mm-1)/(mm+1)^2, 1 - 8mm/(mm+1)^2)
E (0,1)
の12角形も
BD = {(mn-m-n-1)^2 - 2(m+n)^2}/[(mm+1)(nn+1)]・√2
でアウトでござる。
144:１３２人目の素数さん
19/03/26 16:20:01.43 OnHU8Iku.net
>>136
BA = AC = 638891/1232085 = 0.51854458
B~B = CC~ = 2･(317156/1232085) = 0.51482812
L = 4 (BA+AC+CC~) = 7648376/1232085 = 6.20766911
確かに可能でござる。
145:１３２人目の素数さん
19/03/26 23:49:26.44 cJcgY6MN.net
>>137
ある頂点から、有理数条件(x座標変位、y座標変位、距離すべてが有理数)を満たす点を探すだけなら、
簡単です。どんなものでもいいので、ピタゴラス三角形を持ってくればいいのです。しかも縮尺も
有理数倍でさえあれば自由です。いわば自由端問題で >>136 で記した二つは両方ともこの方針によるものです。
しかし、(t,t)型の頂点からも同時に有理数条件を満たさなければならないとなれば、大変です。
一定方向にのみ動かせますが、いわば固定端問題です。私はこの方針は面倒そうだと思い、端からあきらめて
いましたが、>>137 等では、それを行っています。よく見つけられたと、感歎してます。
実際にプロットしてみましたが、ｎの変化によって、頂点の分布が結構変化しますね。
凸条件を満たさないものや、単位円の外に出るものもありましたが、一定の範囲内のnに対し、
条件を満たします。
nは整数に限りません。有理数でokですね。すばらしい解答だと思います。
146:１３２人目の素数さん
19/03/27 01:22:35.54 RCQB5eMI.net
>>127
問題の趣旨に添う回答じゃないかもだけど一応。自然数 n に対して
a = 4n^4+8n^3-4n-1 = (2n^2-1)(2n^2+4n+1),
b = 8n^3+12n^2+4n = 4n(n+1)(2n+1),
c = 4n^4+8n^3+8n^2+4n+1 = (2n^2+2n+1)^2,
d = 8n^3+12n^2+8n+2 = 2(2n+1)(2n^2+2n+1)
と定めて α=(a+bi)/c とおけば、|α|=1, |1-α|=d/c と有理数になってくれるから、
うまいこと自然数 m を定めて複素平面上の点集合 {a^n}_(n=-m,…,m) を順に結べば周長以外の条件を全て満たす。
点集合を順に結んで（α^m と α^(-m) も結んで）凸多角形ができるために m が満たすべき条件はというと、
α^1 から α^m までが全て上半平面にあることのみ。（このため m の大きさはだいたい πn/2 程度に制限される）
n を十分大きくとればそれだけ辺が円に近づくから、周長が 31/5(<π) を超えるように n をとることは可能。
…そして実際にとれれば解決なんだけど、計算が煩雑になるため計算機に頼るしかないのが難点。一応理論だけ以上の通り
147:１３２人目の素数さん
19/03/27 02:49:58.29 7GIMN6w0.net
> nは整数に限りません。有理数でokですね。
そうであったか。しからばチト修正････
>>135
・凸条件 (nn-1)/2n > 1+√2 から
n > 1+√2 + √{2(2+√2)} = 5.02733949
・c = (21/41){1 + (8/21)n(2n-5)(5n+2)/(nn+1)^2} < 1/√2 から
n > {881 + (29√2)[29+√(2･29･29+881√2)]}/(17･47) = 5.36862925
・L が 31/5 以上となるのは
6.45963968 < n < 9.13156611
>>137
・凸条件 (nn-1)/2n > 1+√2 から
n > 1+√2 + √{2(2+√2)} = 5.02733949
・c' = (4/7){1 + n(n-3)(3n+1)/(nn+1)^2} < 1/√2 から
n > {31 + (5√2)[5+√(50+31√2)]}/17 = 7.93257298
・L が 31/5 以上となるのは
6.10446338 < n < 11.04823360
これらの共通部分は
7.93257298 < n < 11.04823360
でござるか。
148:１３２人目の素数さん
19/03/27 03:54:25.04 7GIMN6w0.net
>>141
c+a = 2{2n(n+1)}^2,
c-a = 2{(n+1)^2 - n^2}^2,
c = {(n+1)^2 + n^2}^2
cc - aa = bb,
b = 2{2n(n+1)}{(n+1)^2 + n^2},
dd - (c-a)^2 = bb,
d = 2{(n+1)^2 - n^2}{(n+1)^2 + n^2} = 2{(n+1)^4 - n^4}
149:１３２人目の素数さん
19/03/27 16:01:08.26 7GIMN6w0.net
>>141
θ = arcsin(b/c),
とおくと
m = [ π/θ ]
L = 2m(d/c) + 2sin(mθ),
n=3
a=527, b=336, c=25^2, d=14･25, θ=0.56758821841666, m=5,
sin(5θ) = 28515500892816/(c^5) = 0.29900669864185 ∈ Q
L = 2･5･(14/25) + 2sin(5θ) = 6.1980133972837
n=4
a=1519, b=720, c=41^2, d=18･41, θ=0.44262888469558, m=7,
sin(7θ) = 1637671530080839800240/(c^7) = 0.043177033944429 ∈ Q
L = 2･7･(18/4
150:1) + 2sin(7θ) = 6.2326955313035 ・L が 31/5 以上 ････ n≧4 n=17 a=373319, b=42840, c=613^2, d=70･613, θ=0.1142546313550, m=27, sin(27θ) = 0.056687202872879 ∈ Q L = 2･27･(70/613) + 2sin(27θ) = 6.2797691855174 n=18 a=466487, b=50616, c=685^2, d=74･685, θ=0.10808179674906, m=29, sin(29θ) = 0.00722048512511925 ∈ Q L = 2･29･(74/685) + 2sin(29θ) = 6.2801344009072 ・L が 6.28 以上 ････ n≧18
151:１３２人目の素数さん
19/03/27 18:59:48.64 RCQB5eMI.net
>>144
どうもありがとう。n=3 の時点でもう10ケタ超えてたのね…
そして n=4 と意外と早いタイミングで条件が満たされてやや驚き
152:１３２人目の素数さん
19/03/28 18:57:41.42 u5dugarK.net
底円の中心Oの半球を底円と平行な平面αで体積が半分になるように切断した
さらに、底円とαの中央にそれらの平面と平行な平面βで半球を切断する
βによる断面の中心をO'、周上の点をPとするとき、
∠OPO'を求めよ
153:イナ
19/03/29 01:39:27.60 HwjUDANs.net
前>>42
>>146
半径1の半球を底円から高さωまで足し集めたとき、体積が球(体積4π/3)の1/4とすると、
π/3=π∫0～ω(1-t^2)dt
1/3=[t-t^3/3]0～ω
1/3=ω-ω^3/3
ω^3-3ω+1=0―①
ω=sin∠OPO'
①を微分すると、
3ω^2-3=0
y=f(ω)=ω^3-3ω+1のグラフの形より、
ω=-1のとき極大、
ω=1のとき極小値-1をとる。
①の値が0となるωは、
0＜ω＜1のうちやや0寄りのとき。
∠OPO'≒18°
154:イナ
19/03/29 03:05:36.95 HwjUDANs.net
前>>147訂正。
{sin(20°)}^3-3sin(20°)+1=0.0139483266≒0
20°よりわずかに大きいが、整数値では20°がもっとも近い。
155:１３２人目の素数さん
19/03/29 03:26:16.56 MknlJmz0.net
π∫[0,a](1-x^2)dx = 1/2・2π/3より
a-a^3/3 = 1/3 。
∴ (2b) - (2b)^3/3 = 1/3。
∴ 3b - 4b^3 = 1/2。
∴ 3(sinθ) - 4(sinθ)^3 = 1/2。
∴ sin3θ = sin(π/6)。
∴ θ=π/18。
156:１３２人目の素数さん
19/03/29 04:31:06.94 VkFmcJI2.net
>>148
不正解
>>149
正解です
157:イナ
19/03/29 19:00:13.34 HwjUDANs.net
>>149-150え？ 10°はうすいよ。そんなうすっぺらの円盤が半球の1/3になるの？ 前>>148そうかなぁ？ 10°で1/3か。
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158:１３２人目の素数さん
19/03/29 19:57:39.23 LPNlICzO.net
白玉18個と黒玉2個の計20個の玉が袋に入っている。
「無作為に袋から玉を1つ取り出しその玉は戻さない」ということを繰り返す。
初めて黒玉が出るまでに白玉が出た個数として、最も確率の高いのを0, 6, 9, 18のうちから答えよ。
159:１３２人目の素数さん
19/03/29 23:17:05.53 wl3kiRr8.net
面白いかそれ
160:１３２人目の素数さん
19/03/29 23:20:33.96 tdvB3ar5.net
たぶん春休みの宿題を丸投げしたんだろう。レベル的にも納得いく。
161:
19/03/30 00:51:47.96 NlWMNrkf.net
>>152白玉1個食べて戻さない確率は18/20=9/10。白玉2個食べて戻さない確率は(9/10)(17/19)=63/190。白玉3個食べてｫｴｯ戻さない確率は(63/190)(16/18)=28/95。白玉4個食べてﾌｰｯ戻さない確率は(28/95)(15/17)=84/323。
白玉5個食べてｱｰ!! (84/323)(14/16)=72/323。白玉6個―(72/323)(13/15)=312/1615。9個かな？ 前>>151
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162:１３２人目の素数さん
19/03/30 01:30:17.91 7BGk7rf9.net
V(θ) = π∫[0～2sinθ] (1-xx) dx
= (2π/3) [(3/2)x - (1/2)x^3](x=0,2sinθ)
= (2π/3) {3sinθ - 4(sinθ)^3}
= V(π/6) sin(3θ),
面白い。
163:１３２人目の素数さん
19/03/30 01:47:23.62 OTGT3Nnx.net
よくあるキャッチコピー「2人に1人ががんになる」
実は、これには数字のカラクリがあるのだ
実際には、日本人が50歳までに罹る確率は、統計上では、なんと2％
60歳でも7％以下に過ぎない
80歳でも37％以下
90歳や100歳まで生きる人すべてを合わせて、ようやく「2人に1人」となる
（国立がん研究センターがん対策情報センター「最新がん統計」より）
164:１３２人目の素数さん
19/03/30 01:51:34.89 gEBypZ33.net
>>157
何いってんだ
死ぬ前までにガンにかかる確率、という言葉通りの当たり前の定義だぞ
165:１３２人目の素数さん
19/03/30 19:00:49.69 7BGk7rf9.net
URLﾘﾝｸ(ganjoho.jp)
→ 統計 → がん統計 → 最新がん統計
166:イナ
19/03/30 20:27:40.80 NlWMNrkf.net
なんで式いっしょなのに答え違うんだろ？ 計算間違えたかな？ 10°かな？ 前>>155
￣]/＼＿＿＿＿＿＿＿
＿/＼/ ,,､､∩∩/|
￣＼/ 彡`_`ﾐっ))|
￣|＼＿＿＿U,~⌒ヽ' |_
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＿| ∥ □ □ ∥ |/ /
_ `∥＿＿＿＿∥／_/
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＿＿＿＿＿＿＿＿＿∥/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
167:イナ
19/03/31 08:21:55.75 WvtQrXU6.net
前>>160
底円とαの中央にそれらの平面と平行な平面β
ここが難しい。
底円と平面αに平行な平面βという意味ではないのか？ 中央は点だ、点に平行ってのはおかいしな。
168:１３２人目の素数さん
19/03/31 08:25:55.92 Dv8nWMet.net
>>155
不正解です
20回続けて取り出した時、黒が出るタイミングはC(20,2)=190通りあります
これらは全て同様に確からしいです
うち初めに黒が出るのは19通り。6回白が出て黒が出るのは13通り。同様に選択肢順に10通り、1通り。
よって0が最も確率が高いと結論されます
169:イナ
19/03/31 11:32:36.22 WvtQrXU6.net
前>>161
平面βは底円と平面αのちょうど中央にあるとして、
π∫0～2sin∠OPO'(1-t^2)dt=(4π/3)(1/2)(1/2)
=π/3
[t-t^3]0～2sin∠OPO'=1/3
2sin∠OPO'-8(sin∠OPO')^3/3=1/3
6sin∠OPO'-8(sin∠OPO')^3=1―①
先の解答で、半球を平面αで切ったときの∠OPO'より上にある∠OP'O"はほとんど20°だったから、
∠OPO'=10°と予想される。 に①入し、、
s(in10°)な8(sin10°O^3=1
示された。
(文字化けの可能性あり)
170:イナ
19/03/31 14:31:24.53 WvtQrXU6.net
前>>163修正。
平面βは底円と平面αのちょうど中央にあるとして、
π∫0～2sin∠OPO'(1-t^2)dt=(4π/3)(1/2)(1/2)
=π/3
[t-t^3]0～2sin∠OPO'=1/3
2sin∠OPO'-8(sin∠OPO')^3/3=1/3
6sin∠OPO'-8(sin∠OPO')^3=1―①
先の解答で、半球を平面αで切ったときの∠OPO'より上にある∠OP'O"はほとんど20°だったから、
∠OPO'=10°と予想される。①に代入し、
6(sin10°)-8(sin10°)^3
=6(0.173648178)-8(0.173648178)^3
=6(0.173648178)-8(0.00523613325)
=1
∴示された。
171:１３２人目の素数さん
19/03/31 15:44:56.67 9epLhfw5.net
>>164
sin10°≒0.173648178
はあくまで近似値であって真の値でないためそれは数学的な証明でもなんでもありません
すなわち示されてません
172:イナ
19/03/31 16:23:25.92 WvtQrXU6.net
前>>164
>>165
しかしだな、
6(sin10°)-8(sin10°)^3の値がぴったり=1となったんだよ。≒1じゃない。近似じゃないんだ。信
173:じてほしい。びっくりしたし、おもしろいと思う。が、なんでそうなるかはまだこれから考えたいところ。 20°だと微妙に値がズレるのに、10°だとなぜかぴったりだった。
174:１３２人目の素数さん
19/03/31 16:31:17.49 B4Gs7DcY.net
3倍角の公式知らなそう
175:１３２人目の素数さん
19/03/31 16:40:25.28 9epLhfw5.net
>>166
近似値ではなくぴったり1になることはすでに>>149で示されてます
そういうことを言いたいのではなくて>>164が全く数学の証明になっていないということを言いたいだけです
176:１３２人目の素数さん
19/03/31 16:41:17.93 K6R/U40w.net
>>167
3倍角以前にイナとかいう奴は「証明」という概念を知らないんだろうな
177:１３２人目の素数さん
19/03/31 17:23:05.81 vR8eW31j.net
黙ってNG登録しておけよ。
178:１３２人目の素数さん
19/03/31 17:36:29.88 cXTAnoiE.net
中心がOにある半球を、その底面と平行な平面αで切断したところ、
下側の体積が半球の sin(3θ) 倍になった。
さらに、底面と平面αから等距離な平面βをとる。
βと半球との交円をCとし、C上の一点をPとするとき、
OPと底面のなす角を求めよ。
179:イナ
19/03/31 19:26:09.77 WvtQrXU6.net
前>>166
>>171
平面βの中心をO'とし、半球を水平面で切って(底面～平面β～平面αまで)足しあつめる(高さ0～2sin∠OPO'で積分する)と、
π∫0～2sin∠OPO'(1-t^2)dt=(4π/3)(1/2)(1/2)=π/3
[t-t^3/3]0～2sin∠OPO'=1/3
2sin∠OPO'-(8/3)(sin∠OPO')^3=1/3
6sin∠OPO'-8(sin∠OPO')^3=1
前問同様、∠OPO'=10゜
平面βと半球の底円が平行だから題意の角は∠OPO'の錯角で、10°
180:イナ
19/03/31 21:46:48.40 WvtQrXU6.net
前>>172
>>171つづき。
(4π/3)(1/2)(sin3θ)=π/3
2sin3θ=π
sin3θ=π/3
3θ=30°
θ=10°
∴題意の角はθ
181:イナ
19/03/31 21:52:53.25 WvtQrXU6.net
前>>173訂正。
(4π/3)(1/2)(sin3θ)=π/3
2sin3θ=π/3
sin3θ=π/6
3θ=30°
θ=10°
∴題意の角はθ
182:１３２人目の素数さん
19/04/01 07:17:19.46 cJKd39L0.net
10桁の近似値を入れて10桁電卓で計算したら1になるかもしれないけど
10桁の近似値を入れて50桁電卓で計算したら1にはならんよね
183:
19/04/01 12:55:26.59 NOTjRL9P.net
我輩の電卓は八桁である。前>>174シナコンで受賞して映画化するのを楽しみにしている。
￣￣]/＼＿＿＿_∩∩
＿＿/＼/ ,,､､(___))
￣￣＼/ 彡`-`ﾐっц|~
￣￣|＼___U,~⌒ヽ/ |__
□ | ∥￣￣~U~U~| / /
＿＿| ∥ □ ∥ |/ /
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￣￣￣￣￣￣￣￣￣∥
□ □ □ ∥ /
＿＿＿＿＿＿＿＿＿∥/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣したらば板みつけた。書きこめないけど。もっとおもしろい問題を出してほしい。
184:１３２人目の素数さん
19/04/01 17:23:17.07 w/PtvYf9.net
とりあえず確信になった事が一つある。
絶対に東大ではない。
185:
19/04/01 19:23:06.98 NOTjRL9P.net
6sin10°-8(sin10°)^3=1
だれかこの不思議を紐解いてくれないか。なんでぴったり10°なんだ。できれば図に描いて。脳でわかるような図を。
前>>176もう眠たい。雨降ってきそうなぐらい気圧下がってきてる。
￣￣]/＼＿＿＿_∩∩
＿＿/＼/ ,,､､(___))
￣￣＼/ 彡~-~ﾐっ /|
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＿＿＿＿＿∥/
￣￣￣￣￣￣
186:１３２人目の素数さん
19/04/01 19:30:49.41 2IqqjnJM.net
コテつけろよ
187:１３２人目の素数さん
19/04/02 01:51:47.11 16AvIFmf.net
永瀬隼介
深町秋生
ヒトモドキゴキブリネトウヨ猿障害者くそ食って自殺しろ
188:１３２人目の素数さん
19/04/02 01:57:34.26 AzFYC76j.net
URLﾘﾝｸ(booklive.jp)
ヒトモドキニホンザル滅多打ちに死刑にしろ
189:イナ
19/04/02 19:55:20.70 EVOP/tMS.net
>>179面白い問題 ∩∩
出してよ
190:｡前>>178(^o^)) [￣] ｸﾝｸﾝ…… U⌒U､ ￣￣]/＼___∩∩ノ (γ) ＿＿/＼/,,(`.`))⌒ヾU/ ￣￣＼/彡`-`ﾐυ`υυ/ ￣￣|＼_U,~⌒ヽ___／| □ | ∥￣~U~U~￣∥ | ＿＿| ∥ □ □ ∥ |/ _____`∥_________∥／ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣
191:１３２人目の素数さん
19/04/02 20:52:49.31 DfDvejy5.net
>>178
頼むからコテつけててくれ
192:１３２人目の素数さん
19/04/02 22:00:27.48 FlXb89/O.net
直線l上の異なる2点A,Bは線分ABをなしている。このABを三等分せよ。ただし次の条件で作図すること:
･ものさしとコンパスだけ
･ものさしは直線を引くためだけ
･コンパスは1回のみ使う
193:【令和】
19/04/03 12:25:27.29 ysNr45g9.net
>>183なんでコテが∩∩
要るの？ 前>>182(^o^))
[￣] ｸﾝｸﾝ…… U⌒U､
￣￣]/＼___∩∩ノ (γ)
＿＿/＼/,,(`.`))⌒ヾU/
￣￣＼/彡`-`ﾐυ`υυ/
￣￣|＼_U,~⌒ヽ___／|
□ | ∥￣~U~U~￣∥ |
＿＿| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥_________∥／
￣￣￣￣￣￣￣￣￣クジが引ける日時はコテが外れるんだよ。>>184
コンパスをただ一度どこで使うか。AB上の三等分地点をとおらなならんと思うがどうか。てことはABに対する垂直二等分線上に針を置けばいい。垂直二等分線はコンパスがなくても引ける。
ものさしを直線ABに対しやや斜めに置き、片側にAをとおる直線を、もう片側にBをとおる直線を同時に引く。これを逆の斜めで同様に行えばABを対角線としたひし形が描ける。そのもう一つの対角線がABの垂直二等分線だ。
さて問題はABの垂直二等分線上のどこにコンパスの針を置くかじゃない。ABの三等分地点のどちらか一方にコンパスの鉛筆を置かなならん。
コンパスの長さをABとするとABの中点からコンパスの針を置く位置までの長さは、三平方の定理より、
√{AB^2-(AB/6)^2}=(√35)AB/6
これは描けなさそう。
コンパスの長さを(1/2)ABとするとABの中点からコンパスの針を置く位置までの長さは同様に、
√{(AB/2)^2-(AB/6)^2}=(2√2)AB/6
=(√2)AB/3
これは描ける可能性がある。早ければあした。
194:１３２人目の素数さん
19/04/03 12:33:08.60 cZllLO+m.net
目分量を許すならものさしもコンパスもいらんな
195:１３２人目の素数さん
19/04/03 13:42:45.43 /GCa5KKq.net
画像荒らしを効率よくあぼーんする方法はないかね？
196:イナ
19/04/03 14:31:56.35 ysNr45g9.net
>>187目分量はだ[≒](Y)
めだろ。前>>185(~e~( )
[￣] ｸﾝｸﾝ…… U⌒~ﾉ
￣￣]/＼__∩∩ノ (γ）
＿＿/＼/,(`.`))⌒ヾU /
￣￣＼/彡`-υﾐ`υυ /
￣￣|＼_U,~⌒ヽ___／|
□ | ∥￣~U~U~￣∥ |
＿＿| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥_________∥／
￣￣￣￣￣￣￣￣￣画像が貼れなくてあれだけど、この[≒]みたいな感じで、ものさしをABに対し斜めに置けば、最後にコンパスで三等分できると思う。
197:１３２人目の素数さん
19/04/03 14:34:05.88 MZnkC3gh.net
>>187
本文指定でできるんじゃない？
198:１３２人目の素数さん
19/04/03 23:32:42.41 QPJsUbUo.net
>>178
-8x^3+6x-1=0の解がsin10°になる理由を考えろってこと？
199:１３２人目の素数さん
19/04/03 23:54:44.38 Je277FpB.net
今の教育課程なら優秀な高校生でもできそうだな
200:１３２人目の素数さん
19/04/04 00:06:57.38 rdNCDObo.net
東大農学部に入学できる学力があればできる。
201:１３２人目の素数さん
19/04/04 02:19:01.69 T4XvR5S2.net
>>184
直線AB上にない１点Zをとる。
コンパスでZを中心とし直線ABと交わる大きさの円周Cを曳く。
直線ABとCの交点をD, Eとする。
ものさしで直線DZを曳き、円周Cとの交点をD~とする。
ものさしで直線EZを曳き、円周Cとの交点をE~とする。
ものさしで直線D~E~を曳く。これは直線ABと平行である。
AB、D~E~の平行線をもう1本曳きたいが････
DED~E~ が長方形であることを使おう。
ものさしで長方形の各辺を2等分できれば、2直線AB、D~E~から等距離の直線を曳ける。
202:１３２人目の素数さん
19/04/04 02:56:14.55 T4XvR5S2.net
長方形DED~E~の一辺を3等分せよ。ただし、次の条件で作図すること：
･ものさしだけ
･ものさしは線分を引くためだけ（長方形の中
203:だけ）
204:
19/04/04 03:21:06.76 fNgAkNYq.net
￣]/＼_＿＿＿＿＿>>190
＿/＼/ ∩∩ /|ちょ
￣＼/ ((`-`)/ |っと
￣|＼＿＿,U⌒U､| |__違
］| ∥￣￣~U~U | / /う
＿| ∥ □ ∥ |/ /か
_ `∥＿＿＿∥／_/な。
￣￣￣￣￣￣￣￣∥ /
□ □ □ ∥ /
＿＿＿＿＿＿＿＿∥/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣xだとsinになるとも10°になるとも思う前>>188に、0＜x＜1の範囲で0寄りにあるある値に決まってしまう。知りたいのは値じゃない。
sin10°の10°のほう。
なぜぴったり10°なのか。
ただこれには自分なりの答えが出たからもうどっちでもいい。開運!!
205:１３２人目の素数さん
19/04/04 03:26:32.61 G54Ys2qS.net
>>192
もっと標準的なレベルの問題でしょ
3倍角の公式使うだけだし
206:１３２人目の素数さん
19/04/04 03:37:46.36 5edLtzqD.net
>>196
約1名東大農学部卒で解けないとのたまう御仁がいる。
207:１３２人目の素数さん
19/04/04 05:46:41.55 T4XvR5S2.net
>>194
>>194
対角線DD~，EE~の交点を Z(0,0) とする。
辺の長さを DE = D~E~ = 2p, DE~ = D~E = 2q とする。
D (-p,-q) E (p,-q) D~(p,q) E~(-p,q)
辺DE上に点S (-ps,-q) 辺D~E~上に点T (-pt,q) を任意とる。(0<s<t<1 とする)
SZの延長と辺D~E~の交点はS~(ps,q)
TZの延長と辺DEの交点はT~ (pt,-q)
S~T~ // ST
線分STと対角線DD~の交点はU (-(s+t)p/(2-s+t), -(s+t)q/(2-s+t))
線分STと対角線DD~の交点はV (-(s+t)p/(2+s-t), (s+t)q/(2+s-t))
線分S~T~ と対角線DD~，EE~の交点は U~，V~
UV~の延長と辺DE~，ED~の交点は W (-p,-qs)，X~(p,-qt)
VU~の延長と辺DE~，ED~の交点は X (-p,qt)，W~(p,qs)
したがって
SW~ // S~W // TX // T~X~ // DD~ (傾き q/p)
SW // S~W~ // TX~ // T~X // EE~ (傾き -q/p)
5本組の平行線が2つ得られた。
208:１３２人目の素数さん
19/04/04 06:26:06.12 fdTdmxGi.net
原理的に、定規とコンパスによる作図で描き出せる「2線の交点」（線は直線でも円弧でも可）は、すべて定規のみで描けるという定理があるから、
究極はコンパス0回にできるはずなんだ
209:１３２人目の素数さん
19/04/04 07:21:27.66 T4XvR5S2.net
>>198 (続き)
SW，T~Xと対角線DD~の交点をF，Gとする。
FT~とGSの交点をH，FXとGWの交点をIとする。
DHの延長とED~の交点は J (p, -q/3) EJ = (2q)/3
DIの延長とD~E~の交点は K (-p/3, q) E~K = (2p)/3
となる。
なお、各辺が3等分されたので、直線ABの平行線は無数に曳ける。
(注) アフィン幾何では、縦横に伸縮して考えてもよい。
たとえば正方形(p=q)にして考えると、両対角線の傾角は45°となる。
底辺に対する両対角線の傾角が等しいことが重要。
210:１３２人目の素数さん
19/04/04 07:38:10.41 T4XvR5S2.net
>>199
たぶん、できないと思うよ。（有限回では）
211:１３２人目の素数さん
19/04/04 08:58:43.20 MSMuw29B.net
nが有理数のとき、線分ABの1/nの長さの線分を取れることも示せそう
コンパスを使う回数を2回にすると、これまた少し違って楽しくなるね
212:１３２人目の素数さん
19/04/04 09:32:55.71 E6IKhtVL.net
>東大農学部に入学
誰にもできない
213:
19/04/04 11:32:03.46 fNgAkNYq.net
>>190その式なら
x=cos80°=1.73648178でも成り立つ。そうじゃなくて、半球を体積が半分になるように水平に切った球台をさらに高さ半分で水平に切るという一連の動作で、そのうすい球台の∠OPO'が、なぜぴったり10°になるのか、その不思議を言ってます。
￣]/＼＿＿＿＿前>>195
＿/＼/ ∩∩ /|
￣＼/ ((`-`)っ/ |
￣|＼＿_U,~⌒ヾ､ |__
］| ∥￣￣~U~~U| / /|
＿| ∥ □ ∥ |/ / |
_ `∥＿＿＿∥／_/ |
￣￣￣￣￣￣￣￣∥ /
□ □ □ ∥ /
＿＿＿＿＿＿＿＿∥/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣
214:
19/04/04 13:39:30.27 fNgAkNYq.net
､∩レイザービームの如
`_')っ､くぴったり10°
￣]/＼_＼________で切
＿/＼/ с＼.~っ /|らせ
￣＼/ ((`-＼っ/ |ると
￣|＼＿_U,~⌒＼| |__こ
］| ∥￣￣~U~~U＼/ /|
＿| ∥ □ ∥ |/＼ |
___`∥＿＿＿∥／_/ ＼
￣￣￣￣￣￣￣￣∥ /`
□ □ □ ∥ /が
＿＿＿＿＿＿＿＿∥/面
￣￣￣￣￣￣￣￣￣白かった。前>>204ていうか、ぴったり10°かな？―見当つけて当たったとこが面白かった。
215:
19/04/04 18:39:48.06 fNgAkNYq.net
>>204訂正。cos10°=0.173648178前>>205
､∩
`_')っ､ﾋﾟｯ
￣]/＼_＼________
＿/＼/ с＼.~っ /|
￣＼/ (`e'＼っ/ |
￣|＼＿_U,~⌒＼| |__
］| ∥￣￣~U~~U＼/ /|
＿| ∥ □ ∥ |/＼ |
___`∥＿＿＿∥／_/ ＼
￣￣￣￣￣￣￣￣∥ /*
□ □ □ ∥ /
＿＿＿＿＿＿＿＿∥/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣
216:１３２人目の素数さん
19/04/05 02:52:10.02 syrOJXlP.net
>>200
D (0,0) S (2a,0) T~ (2b,0) X (0,2mb) W (0,2ma)
とすると
対角線DD~： y = mx (m=q/p)
SW： y = m(2a-x)
T~X： y = m(2b-x)
SWとDD~の交点 F (a,ma)
T~XとDD~の交点 G (b,mb)
FT~： y = {ma/(2b-a)}(2b-x),
GS： y = {mb/(2a-b)}(2a-x),
これらの交点 H (3ab/(a+b),mab/(a+b))
DH： y = (m/3)x,
217:１３２人目の素数さん
19/04/07 04:36:50.66 p5MPyff0.net
実数上のC^1級関数f(x)についてlim(x→∞)f(x)は収束するとしたとき、以下の問に答えよ
(1)f'が単調増加の場合、lim(x→∞)f'(x)=0となることを証明せよ
(2)fが単調増加でかつ
lim(x→∞)f'(x)は0とはならない例を挙げよ
218:１３２人目の素数さん
19/04/07 20:49:13.17 HnYrjN0r.net
>>184
直線l上に点Bを中心として点Aを通る円Cを作図する。円Cと直線lの交点でAでない方をA'とする。
直線l上にない点Pを円Cの内部にとり、線分OP上の点Qを任意にとる。
APとA'Qの交点をR、A'PとAQの交点をR'、RR'とPBの交点をSとおく。
RBとSAの交点をT、PTとlの交点をUおけば、Uは線分ABの中点になる。
直線RR'と円Cの２つの交点をそれぞれV,Wとおく。
直線VBと円Cの交点でVでない方をV'、直線WBと円Cの交点でWでない方をW'とおけば、
直線VW、直線l、直線V'W'は全て平行であり、この順で等間隔である。
直線V'W'上から任意に点Oをとり、OAとVWの交点をD、OUとVWの交点をE、OBとVWの交点をFとおく。
点Oを原点として二点A,Bの位置ベクトルがそれぞれ(1,0),(1,1)となるように座標系を定めると、
現在 O(0,0), A(1,0), B(1,1), A'(1,2), D(2,0), E(2,1), F(2,2) 等が作図されていることになるので、
あとは例えばAEとA'Fの交点G(3,2)、ADとA'Eの交点H(3,0)、GHとBEの交点I(3,1)等のように作図をすれば、
OGとABの交点(1,2/3)、OHとABの交点(1,1/3)という求める二点が得られる。
219:１３２人目の素数さん
19/04/07 21:03:38.42 HnYrjN0r.net
>>209 訂正
１段落２行目
誤：線分OP上の点Qを任意にとる。
正：線分BP上に点Qを任意にとる。
３段落５行目
誤：OHとABの交点(1,1/3)
正：OIとABの交点(1,1/3)
220:１３２人目の素数さん
19/04/08 03:41:50.60 QMWP0bri.net
>>208
(1)
もしも f '(a) >0 となるaが存在したならば
x≧a ⇒ f '(x) ≧ f '(a) = b,
f(x) ≧ f(a) + b(x-a) → ∞ (x→∞)
となって矛盾する。
∴ f '(x) ≦ 0
∴ 単調増加で上に有界だから収束する。
lim[x→∞] f '(x) = L ≦ 0,
L < 0 ならば、ε=(-L)/2 に対して 或る N があって
x > N ⇒ |f '(x) -L| < ε = (-L)/2,
f(x) < f(N) +(-L)/2・(x-N) → -∞ (x→∞)
となって矛盾する。
∴ L=0
(2)
たとえば
f '(x) = sin(nnx) ( 2nπ < x
221: < (2n+1/nn)π ) = 0 (その他) f(x) → 2ζ(2) = ππ/3 (x→∞) ・有名な例 f '(x) = x/{1+ x^6･sin(x)^2}, 高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店(1961) p.141 第3章 積分法 練習問題(3)-(9)
222:１３２人目の素数さん
19/04/08 04:06:51.39 ngSQUI0x.net
>>211
素晴らしい
正解です
223:１３２人目の素数さん
19/04/08 05:49:09.82 Vu1Qm4OT.net
f(x)=1-x^2+x^4-x^8+x^16-x^32+…+(-1)^n・x^(2^n)+…
とするときf(x)は[0,1)で連続だが
片側極限lim(x→1-)f(x)は存在しないことを示せ。
224:１３２人目の素数さん
19/04/08 19:43:55.22 Vu1Qm4OT.net
>>213
f(x)をプロットした図です
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
225:１３２人目の素数さん
19/04/09 09:29:56.42 sDGeXCoR.net
>>214
x ～ 1 - (√2)(1/4)^n の辺りで極大 ～ 0.5027
x ～ 1 - (1/√2)(1/4)^n の辺りで極小 ～ 0.4973
x ～ 1 - (1/2)^n の辺りでは ≒ 1/2
ですかねぇ
226:１３２人目の素数さん
19/04/09 10:16:07.90 fr3gP2yM.net
>>213
n＝0 のとき (-1)^n・x^(2^n)＝x^(2^0)＝x^1なので、
f(x)=1-x^2+x^4-x^8+x^16-x^32+…+(-1)^n・x^(2^n)+…
ではなく
f(x)= x -x^2+x^4-x^8+x^16-x^32+…+(-1)^n・x^(2^n)+…
だよね？
227:１３２人目の素数さん
19/04/09 10:20:34.14 fr3gP2yM.net
>>213
a＝lim(x→1-)f(x)∈R が存在するとする。
f(x)＝Σ[n＝0～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n}) なので、0＜x＜1とm≧1を任意に取るとき、
f(x^{1/4^m})
＝Σ[n＝0～∞]x^{4^{n－m}}(1－x^{4^{n－m}})
＝Σ[n＝－m～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n})
となる。m→＋∞とすると、x^{1/4^m}↑1 なので、
a＝Σ[n＝－∞～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n})
となる。これが任意の0＜x＜1で言えることになる。
228:１３２人目の素数さん
19/04/09 10:25:33.18 fr3gP2yM.net
しかし、x＝1/2, 1/3 のときの Σ[n＝－∞～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n}) の値を
数値計算すると、同じ値にはならないことが予想される。
厳密に違う値になることを示すには、適当な有限項までは厳密に計算し、
残りの剰余項は雑に上下から評価するだけでよい。
この級数は収束のスピードが極めて速いので、それでも何とかなる。
ただし、手計算では追いつかない分量ではある (＾o＾)
229:１３２人目の素数さん
19/04/09 15:38:45.84 pPl9bD9c.net
>>216
出典もとはそうです。
230:１３２人目の素数さん
19/04/09 16:37:25.71 pPl9bD9c.net
>>213
この問題は過去スレ26
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
の318でも出題しましたが正解者がいないので再出題です
231:１３２人目の素数さん
19/04/09 16:44:38.66 pPl9bD9c.net
>>220
誤：318
正：381
連投すまん
232:１３２人目の素数さん
19/04/09 22:23:24.26 fr3gP2yM.net
>>220-221
>>217-218で解答は終わってるはずだけど？
どこか間違ってた？
233:１３２人目の素数さん
19/04/09 23:09:38.40 pPl9bD9c.net
>>222
>厳密に違う値になることを示すには、適当な有限項までは厳密に計算し、
>残りの剰余項は雑に上下から評価するだけでよい。
これが示されればよいが、示してないので不正解。
234:１３２人目の素数さん
19/04/09 23:42:47.01 fr3gP2yM.net
>>223
本質的ではないね。
a＝Σ[n＝－∞～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n}) (0＜x＜1)
が導けた時点で本質的な矛盾は既に出ている。あとはただの数値計算。
人間の手でも終わるような上手い評価の仕方もあるかもしれないが、
受験数学でもあるまいし、それは本質ではない。
235:１３２人目の素数さん
19/04/09 23:45:44.30 fr3gP2yM.net
何が言いたいかというと、本質的ではないところにこだわって
「不正解」とか言い出すのはバカバカしいということ。
236:１３２人目の素数さん
19/04/10 00:01:17.67 Uauc4jYt.net
これがもしオーダー計算だったら、評価の仕方まで重要な意味を持つが、
ここでは x＝1/2, 1/3 における
237: Σ[n＝－∞～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n}) の値を 比較するだけなので、ただの数値計算であり、評価の中身を見ても誰も得しない。 一応、雑な評価による計算例を書いておいてやるが、こんなの見てどうしたいんだ？ 0＜x＜1とn∈Zに対して 0＜x^{4^n}(1－x^{4^n})＜x^{4^n}－x^{4^{n＋1}} なので、 m＜M を満たす整数m,Mに対して 0＜Σ[n＝m～M－1]x^{4^n}(1－x^{4^n})＜x^{4^m}－x^{4^M}. よって 0＜Σ[n＝m～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n})≦x^{4^m}, 0＜Σ[n＝－∞～M－1]x^{4^n}(1－x^{4^n})≦1－x^{4^M}, 0＜Σ[n＝－∞～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n})≦1. 特に、0＜x＜1のとき g(x)：＝Σ[n＝－∞～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n}) は収束して 0＜g(x)≦1である。
238:１３２人目の素数さん
19/04/10 00:13:20.30 Uauc4jYt.net
次に、M＜m を満たす整数M,mに対して
g(x)≧Σ[n＝M～m－1]x^{4^n}(1－x^{4^n}),
g(x)＝(Σ[n＝－∞～M－1]＋Σ[n＝M～m－1]＋Σ[n＝m～∞])x^{4^n}(1－x^{4^n})
≦1－x^{4^M}＋Σ[n＝M～m－1]x^{4^n}(1－x^{4^n})＋x^{4^m}
であるから、
g(1/3)≧Σ[n＝M～m－1](1/3)^{4^n}(1－(1/3)^{4^n}),
g(1/2)≦1－(1/2)^{4^M}＋Σ[n＝M～m－1](1/2)^{4^n}(1－(1/2)^{4^n})＋(1/2)^{4^m}.
となる。特にM＝－4, m＝2として
g(1/3)≧Σ[n＝－4～1](1/3)^{4^n}(1－(1/3)^{4^n})＝：β,
g(1/2)≦1－(1/2)^{4^{－4}}＋Σ[n＝－4～1](1/2)^{4^n}(1－(1/2)^{4^n})＋(1/2)^{4^2}＝：α
となる。α,βともに有限項の計算でしかないが、人間の手で計算するのは無理があるので、
wolfram alpha で数値計算する。すると、
β＝0.499849960745428543744377819829608038347726011327545975385
α＝0.499054407972774107790531301512118479363010992347234146756
となるので、g(1/2)≦α＜β≦g(1/3)ということになる。つまりg(1/3)≠g(1/2)である。qed
239:１３２人目の素数さん
19/04/10 00:25:11.77 sUgnWMne.net
>>224 - 226
そんなに熱くならないで。
例えば、F(x)=∫(0,∞) sin(xt)/t dt はx>0で定数関数になるので、
a＝Σ[n＝－∞～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n})
が定数関数ではない保証はないと言いたかった。
この問題の出典元は
G.H.Hardy "On Certain Oscillating Series", Quar. J. Math. 38 (1907)
でエレガントな解答やより精密な解答は検索すれば出てきます。
240:１３２人目の素数さん
19/04/10 03:55:46.04 U6o1aJdw.net
>>218 の時点では「～ことが予想される」としか書かれてなかったからね
もし正しい結果であると確かめていたのなら「～ことが計算により確かめられる」とかの方がよかったかも
241:
19/04/11 00:04:54.42 8hywEaIU.net
>>209言われたとおり作図してみた。途中でUはA'の外側になった。これ以上は作図できない。
[￣]前>>206
￣￣]/＼_____________
＿＿/＼/,,､､ )
￣￣＼/彡-_-ﾐ /|
￣￣|＼_U,~⌒ヽ___／||
□ | ∥￣~U~U~￣∥ ||
＿＿| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥_________∥／
242:
19/04/11 00:15:46.29 8hywEaIU.net
____/＼/! ぁOP上じゃな
￣￣＼/彡-_-ﾐくOB上ね!
￣￣|＼_U,~⌒ヽ___／||
□ | ∥￣~U~U~￣∥ ||
＿＿| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥_________∥／
前>>230了解しました。
243:
19/04/11 00:47:48.85 8hywEaIU.net
→OA=(1,0)のとき、
|→OB|＜|→OA|だもんで、Oを任意にとると。
→OB≠(1,1)
x軸とy軸を何°にとってもOを任意にとると無理。得られない。
|→OB|≠1 ,､~
￣￣＼/彡-_-ﾐ 前>231/|
￣￣|＼_U,~⌒ヽ___／||
□ | ∥￣~U~U~￣∥ ||
＿＿| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥_________∥／
244:イナ
19/04/11 02:13:49.78 8hywEaIU.net
前>>232前々>>231
→OA=(1,0),→OB=(1,1)とすると、
|→OA|=1,|→OB|=√2
Oのとりうる軌跡は円Cの点Aにおける接線について円Cのない側に描け、
lを対称軸とした曲線。
OがV'W'上にあるとすると、Oは任意(∀)ではなく強制または特定(∃)のある点になる。
∠AOBが、x軸とy軸のなす角の半分になれば可能。
OU//VWだから交点Eがない。
てことはOはV'W'上にはないってことか。
｢V'W'上から｣Oをとるとはどうとるんだ？ 曲線のどこでもいいってこと？
(理解�
245:�……) OB=OA√2を満たすOの軌跡を描かないと任意のOがとれない。
246:イナ
19/04/11 03:50:28.77 8hywEaIU.net
前>>233
O、U、T、E、Pの順に一直線に並ぶ、であってる？
つまり任意にPに対して、
V'W'上にあるOは一意に決まる？ 任意のじゃなく、OA=1、OB=√2を満たす、ある特定のOってこと？
それなら(1,2/3)と(1,1/3)がたしかに決まる。ABが三等分できる。
きつねにつままれた。
247:１３２人目の素数さん
19/04/11 04:35:58.10 Shl1wRsq.net
>>209 の三段落二行目は少し言葉足らずだったか
旧：点Oを原点として～～～(1,0),(1,1)となるように座標系を定めると、
新：この平面を点Oを原点として～～～(1,0),(1,1)となるようなベクトル空間と見なすと、
の方がいいかな
248:１３２人目の素数さん
19/04/12 01:40:01.55 Ft4A/3fN.net
>>226 >>227
g(x^4) = g(x),
log| log(x) | が周期 log(4) をもつ…
例
g(1/2) = g(1/16) = 0.4972522664711 < α
g(1/3) = 0.50127862853167 > β
g(1/4) = g(1/√2) = 0.502747733528894
249:１３２人目の素数さん
19/04/12 02:31:05.94 Ft4A/3fN.net
g(1/2) = g(1/16) = 0.4972522664 7110579821 9691998556 5993689265 0429538854 9508079518
g(1/3) = g(1/81) = 0.5012786285 3167081181 3508586478 6965549098 0669739652 4161337761
g(1/4) = g(1/√2) = 0.5027477335 2889420178 0308001443 4006310734 9570461145 0491920482
250:１３２人目の素数さん
19/04/12 02:50:05.54 Ft4A/3fN.net
>>236
g(x^4) = 1- g(x^2) = g(x),
もあったな。
251:１３２人目の素数さん
19/04/12 04:45:17.54 6Hcxc2mN.net
10人を空部屋なしで5部屋に割り当てる
但し、各部屋の定員は3人とする
割り当て方は何通りあるか
252:１３２人目の素数さん
19/04/12 06:50:05.60 Tv4VatBO.net
高校の算数かよ
253:イナ
19/04/12 11:08:22.33 gywjounF.net
最大押しこみ③③②①①前>>234そうでもない③②②②①
一人部屋とか言うなやぁ②②②②②
￣￣]/＼____________
＿＿/＼/ .､､ )
￣￣＼/彡~-~ﾐっ /|
￣￣|＼_U,~⌒ヽ､_／||
□ | ∥￣￣~U~U∥ ||_
＿＿| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥________∥／ /
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣∥
□ □ □ □ ∥
____________________∥
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
254:１３２人目の素数さん
19/04/13 23:25:35.61 2vMGOWeJ.net
ある国の死刑囚は刑務所で毎朝1回コインを投げる。
そしてn日連続して表が出るとその日のうちに刑が執行される。
最初にコインを投げた日を1日目として
刑が執行されるまでの日数の期待値をnを用いて表せ（計算過程も必要）。
255:１３２人目の素数さん
19/04/14 00:17:11.91 LgnGaG/f.net
E = (1/2)(1+E) + (1/4)(2+E) + (1/8)(3+E) + ‥ + (1/2^n)(n+E) + (1/2^n)n
256:１３２人目の素数さん
19/04/14 00:55:12.07 iD41WV0l.net
>>243
正解です。
ちなみにEで解くと E=-2+2・2^n
257:１３２人目の素数さん
19/04/14 05:14:52.98 KIRP2yKs.net
これ結局エプシロン・デルタ論法におけるデルタの構成をやってるに過ぎず
意味がない
せいぜい総当たり的に帰納で解決してろ
こんなの数学じゃない
258:１３２人目の素数さん
19/04/14 05:18:27.67 KIRP2yKs.net
君たちの数学というのは全射が仮定されている中で
全射を証明していると言っているに過ぎない
仮定したものを証明してしまうというのは
代数学における初歩的なミスだよ
やり直してこい
むだだこんなクイズ
259:１３２人目の素数さん
19/04/14 06:32:47.50 Eab+8AK0.net
正解
260:１３２人目の素数さん
19/04/15 00:55:00.79 E+s2OTOl.net
www.businessinsider.jp post-168357
安倍下痢ネトウヨヒトモドキゴキブリ企業をぶち殺せ
261:１３２人目の素数さん
19/04/16 20:27:31.89 ZI7v1k+H.net
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
262:１３２人目の素数さん
19/04/16 21:42:51.49 O9AyuW9z.net
睦、水、水
263:１３２人目の素数さん
19/04/17 09:59:10.87 RMz1i/6Y.net
箱の中に「同一の●が２個」ある場合の量子統計の問題
・ケース１ 「 ●●」 箱の右で●●が観測される確は率３分の１
・ケース２ 「●● 」 箱の左で●●が観測される確率は３分の１
・ケース３ 「● ●」 箱の左右で●●が観測される確率は３分の１
最初に箱の右の観測装置で●が観測される確率は２分の１だが
最初に箱の右の観測装置で●が観測せれた場合
・残った●が箱の右の観測装置で観測される確率はいくらか？
・残った●が箱の左の観測装置で観測される確率はいくらか？
この問題は答えを出すのは簡単だけど
答えが出た後に
何でこうなるの？と悩む問題だ
264:イナ
19/04/17 13:29:32.11 3kOjccnp.net
>>249
馬場 1月か2月
千葉 3月か4月
台場 6月か9月か12月だがもしも6月か9月なら日にちを聞いてわかるってことにはならない。つまり12月だ。
つまり馬場千葉は1月3月だ。
(答え)馬場1月千葉3月台場(安生)12月
265:１３２人目の素数さん
19/04/17 16:57:12.07 IUjtBl5u.net
>>252
正解
266:１３２人目の素数さん
19/04/18 04:46:11.54 lz6Ux+Qr.net
>>251
＞箱の中に「同一の●が２個」ある場合の量子統計の問題
＞・ケース１ 「 ●●」 箱の右側で●●が観測される確は率３分の１
＞・ケース２ 「●● 」 箱の左側で●●が観測される確率は３分の１
＞・ケース３ 「● ●」 箱の左右で●●が観測される確率は３分の１
＞最初に箱の右の観測装置で●が観測される確率は２分の１だが
＞最初に箱の右の観測装置で●が観測せれた場合
＞ ・残った●が箱の右の観測装置で観測される確率はいくらか？
＞ ・残った●が箱の左の観測装置で観測される確率はいくらか？
答え
箱に残った１個の●が箱の「右」の観測装置で観測される確率は３分の２
（２分の１ × ？＝３分の１ ？＝３分の２）
箱に残った１個の●が箱の「左」の観測装置で観測される確率は３分の１
（１ － ３分の２ ＝ ３分の１）
答えは簡単に求められたが
出た答えが奇妙な事になっている
267:１３２人目の素数さん
19/04/18 06:42:23.73 lz6Ux+Qr.net
１）箱の中に区別のつく●と○が有った場合の確率
ケース１ 「 ●○ 」 箱の左側で●○が観測される確率４分の１
ケース２ 「 ●○」 箱の右側で●○が観測される確率４分の１
ケース３ 「● ○」 箱の左右で●○が観測される確率４分の１
ケース４ 「○ ●」 箱の左右で○●が観測される確率４分の１
２）箱の中に区別のつかない●●が有った場合の確率
ケース１「●● 」 箱の左側で●●が観測される確率３分の１
ケース２「 ●●」 箱の右側で●●が観測される確率３分の１
ケース３「● ●」 箱の左右で●●が観測される確率３分の１
問題
区別のつかない●●は
｛ｘ 、ｘ｝＝｛ｘ｝ と ｛ｘ 、ｘ｝≠｛ｘ｝ のどちらの規則に従うのか？
注）
この問題は面白いと感じられるのか？
それとも深刻な事態と感じられるのか？
物理では量子もつれとして深刻な事態という認識だけど
数学ではどんな認識なのか興味がある
268:１３２人目の素数さん
19/04/18 13:46:50.05 lz6Ux+Qr.net
１）箱の中に区別のつく●と○が有った場合の確率
ケース１ 「●○ 」 箱の左側で●○が観測される確率４分の１
ケース２ 「 ●○」 箱の右側で●○が観測される確率４分の１
ケース３ 「● ○」 箱の左右で●○が観測される確率４分の１
ケース４ 「○ ●」 箱の左右で○●が観測される確率４分の１
２）箱の中に区別のつかない●●が有った場合の確率
ケース１「●● 」 箱の左側で●●が観測される確率３分の１
ケース２「 ●●」 箱の右側で●●が観測される確率３分の１
ケース３「● ●」 箱の左右で●●が観測される確率３分の１
問題
１）は「４個のケース」があり
２）は「３個のケース」があるが
「４個のケース」を３「個のケース」に減らすときに ｛ｘ 、ｘ｝＝｛ｘ｝ を使用するか？
注）
この問題の解答は簡単だが不思議な感じがしてくる
269:１３２人目の素数さん
19/04/18 16:04:08.62 lz6Ux+Qr.net
箱の中に「同一の●が２個」ある場合の量子統計の問題
・ケース１ 「 ●●」 箱の右で●●が観測される確は率３分の１
・ケース２ 「●● 」 箱の左で●●が観測される確率は３分の１
・ケース３ 「● ●」 箱の左右で●●が観測される確率は３分の１
問題１ ケース１の場合
ａ） 最初に●が箱の「右」の観測装置で観測される確率は？
ｂ） 箱に残った１個の●が箱の「右」の観測装置で観測される確率は？
問題２ ケース２の場合
ａ） 最初に●が箱の「左」の観測装置で観測される確率は？
ｂ） 箱に残った１個の●が箱の「左」の観測装置で観測される確率は？
問題３ ケース３の場合
ａ１） 最初に●が箱の「右」の観測装置で観測される確率は？
ｂ１） 箱に残った１個の●が箱の「左」の観測装置で観測される確率は？
ａ２） 最初に●が箱の「左」の観測装置で観測される確率は？
ｂ２） 箱に残った１個の●が箱の「右」の観測装置で観測される確率は？
270:１３２人目の素数さん
19/04/18 19:36:45.11 /S03nmLm.net
＞最初に箱の右の観測装置で●が観測される確率は２分の１だが
これが間違いで正しくは3分の2
271:１３２人目の素数さん
19/04/18 19:54:22.52 lz6Ux+Qr.net
>>258
＞＞最初に箱の右の観測装置で●が観測される確率は２分の１だが
＞これが間違いで正しくは3分の2
それだと
最初に箱の右の観測装置で●が観測される確率は３分の２
最初に箱の右の観測装置で●が観測される確率は３分の１
になり変だ
最初は
右で観測されるか左で観測されるか
五分五分だ
272:１３２人目の素数さん
19/04/18 19:57:51.30 lz6Ux+Qr.net
>>25８
＞＞最初に箱の右の観測装置で●が観測される確率は２分の１だが
＞これが間違いで正しくは3分の2
間違えたので訂正
それだと
最初に箱の右の観測装置で●が観測される確率は３分の２
最初に箱の左の観測装置で●が観測される確率は３分の１
になり変だ
最初は
右で観測されるか左で観測されるか
五分五分だ
最初に箱の右の観測装置で●が観測される確率は２分の１
最初に箱の左の観測装置で●が観測される確率は２分の１
が正しい
273:１３２人目の素数さん
19/04/18 21:38:20.55 /S03nmLm.net
ケース1とケース3は右側に●が存在するので、最初に箱の右の観測装置で●が観測される確率は3分の2
ケース2とケース3は左側に●が存在するので、最初に箱の左の観測装置で●が観測される確率は3分の2
もしかして「最初に箱の右の観測装置で●が観測される確率」と
「最初に箱の左の観測装置で●が観測される確率」を�
274:ｫしたら100%になると思ってる？
275:１３２人目の素数さん
19/04/19 08:45:02.78 RsCZAaWw.net
>>261
＞もしかして「最初に箱の右の観測装置で●が観測される確率」と
＞「最初に箱の左の観測装置で●が観測される確率」を足したら100%になると思ってる？
最初に右で観測される確率は５０％ ＋最初に左で観測される確率は５０％＝１００％
276:１３２人目の素数さん
19/04/19 12:36:32.86 RsCZAaWw.net
>>261
＞もしかして「最初に箱の右の観測装置で●が観測される確率」と
＞「最初に箱の左の観測装置で●が観測される確率」を足したら100%になると思ってる？
最初に右で観測されるか左で観測されるかの２択だが
左右が対称だからそれぞれの確率は５０％で
右で観測される確率と左で観測される確率を足せば１００％になる
１００％以外になることはありえない
たとえば左右で観測される確率が８０％なら
残りの２０％ってどんな状態なんだ？
（想像が出来ない）
277:１３２人目の素数さん
19/04/19 21:12:57.94 qbWyYXie.net
＞最初に右で観測されるか左で観測されるかの２択だが
ケース1とケース3はそうだが、ケース2は違う。ケース2の場合は左右に●があるのだから、右からでも、左からでも観測される。
「最初に右で観測される確率」の排反事象は「最初に左で観測される確率」ではない、「最初に右で観測されない確率」だ
最初に右で観測される確率は66.66･･･％ ＋ 最初に右で観測されない確率は33.33･･･％＝１００％が正しい
もう飽きたから、最後にwikipediaの「モンティホール問題」とこれ URLﾘﾝｸ(www.juen.ac.jp)
を読んで感想聞かせて
278:１３２人目の素数さん
19/04/19 21:58:17.34 NMKawdLg.net
「観測したときに1事象目が右と観測される確率」と、
「右を観測したときに事象が観測される確率」を混同してない？
前者は1事象目が右で観測されるか左で観測されるかは排反、対称で、確率は1/2
>>251の意図はこっちじゃない？
>>255の各ケースが同様に確からしいという仮定が妥当かは知らんけど
279:１３２人目の素数さん
19/04/19 22:14:26.51 RsCZAaWw.net
>>257
＞問題１ ケース１の場合
＞ａ） 最初に●が箱の「右」の観測装置で観測される確率は？
＞ｂ） 箱に残った１個の●が箱の「右」の観測装置で観測される確率は？
＞問題２ ケース２の場合
＞ａ） 最初に●が箱の「左」の観測装置で観測される確率は？
＞ｂ） 箱に残った１個の●が箱の「左」の観測装置で観測される確率は？
ケース１とケース２は対称なので
問題１と問題２の解答は等しい
最初に●が観測される場合 左右で差が無いので
最初に右で●が観測される可能性は１／２
最初に左で●が観測される可能性は１／２
問題１ ａ） 答え 可能性は１／２
問題２ ａ） 答え 可能性は１／２
280:１３２人目の素数さん
19/04/19 22:25:51.99 RsCZAaWw.net
＞問題１ ケース１の場合
＞ａ） 最初に●が箱の「右」の観測装置で観測される確率は？
＞ｂ） 箱に残った１個の●が箱の「右」の観測装置で観測される確率は？
＞問題２ ケース２の場合
＞ａ） 最初に●が箱の「左」の観測装置で観測される確率は？
＞ｂ） 箱に残った１個の●が箱の「左」の観測装置で観測される確率は？
最初右で●が観測される可能性×次に●が右で観測される可能性＝●●が右で観測される可能性
最初左で●が観測される可能性×次に●が左で観測される可能性＝●●が左で観測される可能性
１／２ × ？ ＝ １／３
？ ＝ １／３ × ２／１ ＝ ２／３
問題１ ｂ）の答え ２／３
問題２ ｂ）の答え ２／３
281:１３２人目の素数さん
19/04/19 22:37:07.77 RsCZAaWw.net
>>265
＞「観測したときに1事象目が右と観測される確率」と、
＞「右を観測したときに事象が観測される確率」を混同してない？
電子を観測する場合は
箱の内側がスクリーンになっていて
電子が当たれば光る
最初に箱の右側のスクリーンに輝点ができれば
最初に電子は箱の右で観測された
最初に箱の左側のスクリーンに輝点ができれば
最初に電子は箱の左で観測された
左右は条件に差が無いので
最初に右で観測される可能性も最初に左で観測される可能性も
どちらも等しく１／２
282:イナ
19/04/19 22:55:10.28 VIbyYDz6.net
眠いなぁ。前>>252今夜は満月だね。見えないけど。一人部屋で寝るか。
￣￣]/＼____________
＿＿/＼/ .､､ )
￣￣＼/彡~-~ﾐっ /|
￣￣|＼_U,~⌒ヽ､_／||
□ | ∥￣￣~U~U∥ ||_
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_____`∥________∥／ /
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□ □ □ □ ∥
____________________∥
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
283:１３２人目の素数さん
19/04/19 22:56:13.29 RsCZAaWw.net
>>265
＞１）箱の中に区別のつく●と○が有った場合の確率
＞ケース１ 「●○ 」 箱の左側で●○が観測される確率４分の１
＞ケース２ 「 ●○」 箱の右側で●○が観測される確率４分の１
＞ケース３ 「● ○」 箱の左右で●○が観測される確率４分の１
＞ケース４ 「○ ●」 箱の左右で○●が観測される確率４分の１
＞２）箱の中に区別のつかない●●が有った場合の確率
＞ ケース１「●● 」 箱の左側で●●が観測される確率３分の１
＞ ケース２「 ●●」 箱の右側で●●が観測される確率３分の１
＞ ケース３「● ●」 箱の左右で●●が観測される確率３分の１
通常の物理の説明だと
ケース１ 「●○ 」
ケース２ 「 ●○」
ケース３ 「● ○」
ケース４ 「○ ●」
から
ケース１ 「●● 」
ケース２ 「 ●●」
ケース３ 「● ●」
ケース４ 「● ●」
を作る
ケース３とケース４は同一で
「同一なら１個」ということで１個のケースにする
物理系の人は数学は単なる道具なので別に気にはしないけど
ケースの場合は「同一なら１個」で
●の場合は「同一な●が２個ある」としてる
ようするに物理の説明では
ケースの場合は ｛ｘ 、 ｘ｝＝｛ｘ｝ で
●の場合は ｛ｘ 、 ｘ｝≠｛ｘ｝ としてる
これは数学系の人からみればどんな事なのか
興味があった
284:１３２人目の素数さん
19/04/20 00:06:49.36 c7EzbWtO.net
ああ、左右同時に観測開始して最初に1つ目の●が観測される。
しばらくして、2つ目の●が観測されるってことね。
最初に右側のみ観測して見つかるかどうか。と思ってた
相手の言ってることがおかしいと思ったら、自分がおかしいかもしれないと考える重要性
だったら最初の1個目は左右で五分五分だ。
そして2個目は3分の2の確率で同じ側で観測される。
別におかしいところはないね。
確率について知識がない人は2個目も五分五分と考えるだろうけど、
これがまさに URLﾘﾝｸ(www.juen.ac.jp) で解説されている
285:１３２人目の素数さん
19/04/20 00:34:48.95 naIbJBjK.net
昔、NHKの2355の番組で、紹介された算数(数学)トリックで、マジックナンバー9という問題が、気になってます。
タイトルしか覚えてなく、ネットで調べても、問題文や解説はありませんでした。誰か知っている人は教えてください。そのときは、面白かった記憶がありました。
286:１３２人目の素数さん
19/04/20 00:55:27.11 I2HBMQzQ.net
>>270
まず、無条件に
> ケース１ 「 ●○ 」 箱の左側で●○が観測される確率４分の１
> ケース２ 「 ●○」 箱の右側で●○が観測される確率４分の１
> ケース３ 「● ○」 箱の左右で●○が観測される確率４分の１
> ケース４ 「○ ●」 箱の左右で○●が観測される確率４分の１
の各事象、
> ケース１「●● 」 箱の左側で●●が観測される確率３分の１
> ケース２「 ●●」 箱の右側で●●が観測される確率３分の１
> ケース３「● ●」 箱の左右で●●が観測される確率３分の１
の各事象が同様に確からしいとはならないだろう
それぞれのケース1、2が等確率、前者のケース3、4が等確率になるのは、対称と仮定すればでいいとして、
前者の1、2と3、4
後者の1、2と3
の確率がどうなるかは仮定次第
後者のケースが3通りしかないからと言って、無条件に各確率が1/3にはならない
> ようするに物理の説明では
> ケースの場合は ｛ｘ 、 ｘ｝＝｛ｘ｝ で
> ●の場合は ｛ｘ 、 ｘ｝≠｛ｘ｝ としてる
「ケースの場合」、「●の場合」やこの式が何を意味するのかが分からないが、
何を同様に確からしいと仮定するか次第で、1/3でも1/4でもそれ以外にでもなるとしか言えないんじゃないの
287:１３２人目の素数さん
19/04/20 06:58:15.37 LOg2qWQT.net
>>273
＞それぞれのケース1、2が等確率、前者のケース3、4が等確率になるのは、対称と仮定すればでいいとして、
＞前者の1、2と3、4
＞後者の1、2と3
＞の確率がどうなるかは仮定次第
＞後者のケースが3通りしかないからと言って、無条件に各確率が1/3にはならない
物理の場合は正しいかどうかは観測結果に矛盾しないかどうかなので
ケースの個数が３個でそれぞれの確率がひとしく１／３と言っても
それが観測結果と矛盾してないので問題視はしない
288:１３２人目の素数さん
19/04/20 07:14:55.71 LOg2qWQT.net
>>271
＞だったら最初の1個目は左右で五分五分だ。
＞そして2個目は3分の2の確率で同じ側で観測される。
＞別におかしいところはないね
箱がものすごく大きく
「箱の右端のスクリーン」と「箱の左端のスクリーン」の距離が１光年あったとする
最初に「箱の右端のスクリーン」で●が観測された場合
「箱の左端のスクリーン」で●が観測される確率は１／３となる
右端のスクリーンと左端のスクリーンの距離は１光年なで
光速で進んでも１年かかる
ところが右端のスクリーンで●が観測された途端に
時間をおかず左端のスクリーンで●が観測される確率は１／３になる
289:１３２人目の素数さん
19/04/20 07:29:28.12 LOg2qWQT.net
>>273
> ようするに物理の説明では
> ケースの場合は ｛ｘ 、 ｘ｝＝｛ｘ｝ で
> ●の場合は ｛ｘ 、 ｘ｝≠｛ｘ｝ としてる
公理的集合論の対の公理で ｛ｘ 、ｘ｝＝｛ｘ｝ とし
「同一なら１個」としてる
「同一な●が２個そんざいする」とした場合は ｛ｘ 、ｘ｝≠｛ｘ｝となる
ケースをリンゴやコップに変えても｛ｘ 、 ｘ｝＝｛ｘ｝ は普遍だが
ケースを●に変えると ｛ｘ 、 ｘ｝≠｛ｘ｝となってしまう
「 ｛ｘ 、 ｘ｝＝｛ｘ｝」や 「｛ｘ 、 ｘ｝≠｛ｘ｝」が
物の性質に依存してるということになる
（物の性質に依存する法則は物理法則）
290:１３２人目の素数さん
19/04/20 09:09:27.19 I2HBMQzQ.net
マルチされると質問を読む気がどんどんなくなるんだよな
何よりスレをまたいで時系列追って読むのが面倒くさい
291:１３２人目の素数さん
19/04/20 10:48:19.25 LOg2qWQT.net
>>271
＞だったら最初の1個目は左右で五分五分だ。
＞そして2個目は3分の2の確率で同じ側で観測される。
＞別におかしいところはないね
物理学者はこれを不思議な現象と見てる
最初の●が左右どちらかで観測されると
残った●の観測確率が変化する
箱の右端のスクリーンと
箱の左端のスクリーンの距離が１光年の場合は
光速さで情報を伝えても１年かかるし
光速さを超えて情報を伝える事は物理法則として不可能
ところが箱の右端のスクリーンで最初に●が観測されれば
瞬時に「箱全体」で
残った●が箱の右側で観測される可能性は２／３になり
箱の左側で観測される可能性は１／３となる
大きさは１光年もある箱全体で瞬時に
残った●の観測確率が変化するのは
光測度を越えられないという物理法則と整合性がとれない
と物理学者は考えている
292:１３２人目の素数さん
19/04/20 13:12:29.35
293:EF8tKNxG.net
294:１３２人目の素数さん
19/04/20 15:23:50.89 c7EzbWtO.net
これ思い出した
URLﾘﾝｸ(shinh.skr.jp)
295:１３２人目の素数さん
19/04/20 21:50:54.91 gdRtZPKm.net
1以上22以下の自然数の集合をSとする
Sの部分集合Tで、次の条件を満たすものを考える
[条件] Tに属する任意の2つの要素の差は4でも7でもない
Tの要素数の最大値はいくらか
1 5 9 13 17 21
2 6 10 14 18 22
3 7 11 15 19
4 8 12 16 20
Table[2n-b-a+{(n+a)mod4}+4C(0,n-8+a),{a,0,1},{b,0,2},{n,1,10}]
{3, 6, 9, 8, 11, 14, 17, 20, 19, 22}
{2, 5, 8, 7, 10, 13, 16, 19, 18, 21}
{1, 4, 7, 6, 9, 12, 15, 18, 17, 20}
{3, 6, 5, 8, 11, 14, 17, 16, 19, 22}
{2, 5, 4, 7, 10, 13, 16, 15, 18, 21}
{1, 4, 3, 6, 9, 12, 15, 14, 17, 20}
296:１３２人目の素数さん
19/04/21 07:29:01.97 fv+YGyRx.net
>>249
安生さんは「何月生まれなのか？」を聞いてるのに、
なぜ積やら和やら答えてんだ？
297:１３２人目の素数さん
19/04/21 09:20:31.16 JdKcD9SO.net
>>279「量子力学は非局所的である」
リンゴの場合は位置は点で表現されるんで
リンゴは位置が点で表現される局所的な存在ということになる
観測前の電子の位置は点では表現できず
箱の中全体で観測される確率があるだけなので
位置が局所的な点で表現できないということで非局所的存在と呼ばれる
２個のリンゴは位置が異なるので
リンゴ自身がいくら似ていても位置で区別がつく
２個の電子の場合は非局所的存在なので
位置も含めて全く区別できないという状態になる
同一な電子が２個存在するという状態が可能になる
298:１３２人目の素数さん
19/04/21 17:22:18.51 XkS1+nYS.net
>>283
それは確率解釈の話であって、(非)局所性とは別の話です
299:１３２人目の素数さん
19/04/21 21:08:07.09 JdKcD9SO.net
>>284それは確率解釈の話であって、(非)局所性とは別の話です
観測される前の電子は
点で表現されるような位置には存在しない
たとえば箱の中の右側のスクリーンで電子が観測された場合
電子は輝点として観測されるけど
観測直前に電子は輝点周辺のどこかの点に存在してたわけではない
300:１３２人目の素数さん
19/04/21 22:49:08.10 bYyP/IWs.net
いいから量子統計勉強せずにこのスレの内容で語ってるアホはまず物理勉強してこいよ
頭悪すぎるわ
301:１３２人目の素数さん
19/04/21 23:10:05.00 Ln3WaNNT.net
そもそもここは何板の何スレだよっていう話からなんだが
アホが語っているだけで面白さのかけらもないっていう
302:１３２人目の素数さん
19/04/22 00:49:53.72 /zyMP2Jz.net
こんなところに書き込む奴が頭いいとでも？
頭いいならこのスレからオサラバして論文でも書いてどうぞ
303:１３２人目の素数さん
19/04/23 05:34:18.99 qOtPFs73.net
Table[{1-n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)(n-9)(n-10)(n-11)(n-12)/13!}/4,{n,0,13}]
Table[(1-C(0,n-13))/4,{n,0,13}]
式を短くできる
304:１３２人目の素数さん
19/04/23 10:14:22.25 JlcPFlsw.net
難しすぎるんじゃ
もっと低レベルの面白い問題をみんなでわいわい解きたいんじゃ
305:１３２人目の素数さん
19/04/23 10:33:05.67 RTePNdDs.net
>>290
低レベルの面白い問題が欲しいか？
家庭教師のトライが新しい数学を創造する。「無理数はルートとπ、有理数はルートとπ以外」
nagata＠数学垢@kamere112
これ、YouTubeにある無料授業動画の1シーンだけど、有理数と無理数の説明ガバガバじゃね？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
nagata＠数学垢
トライかなんかの無料動画ですね。あそこまで堂々とcmとか流してる塾がこんなガバガバな授業をするのは流石に、、
平田朋義@tomo3141592653
無理数を無理矢理作った数と説明するトライの講師、ピタゴラス派の残党なのでは。
ヘルパー竹@merazoma25252
最近話題になってるトライの有理数と無理数の動画を見てたら急に再生止まって動画削除された
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
すーぱーぜっき@superZ_th
√でもπでもないため、有理数である。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
ソース
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)
306:１３２人目の素数さん
19/04/23 11:03:45.13 qOtPFs73.net
C: 複素数全体
R: 実数全体
Q: 有理数全体
Z: 整数全体
N: 自然数全体
使用例. 1 ∈ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
307:イナ
19/04/24 22:00:07.39 efTTfbN0.net
前>>269
>>88
KからBCに垂線KPを引く。
tan∠KJG=KP/JP―①
KP=BP=BG{BP/(GP+BP)}
=(1/√3){√3/(√3+1)}
=1/(1+√3)
=(√3-1)/(√3+1)(√3-1)
=(√3-1)/2―②
JP=1/√3+1/(√3+1)
=(√3+1+√3)/√3(√3+1)
=(1+2√3)(√3-1)/√3(√3+1)(√3-1)
=(5-√3)/2√3
=(5√3-3)/6―③
①に②③を代入し、
tan∠KJG=√3(√3-1)/(5-√3)
=√3(√3-1)(5+√3)/(5-√3)(5+√3)
=(3-√3)(5+√3)/22
=(15-3-2√3)/22
=(6-√3)/11
≒0387995381
=tan21.2060231°
∴∠KJG=21.2060231°
308:イナ
19/04/24 22:04:34.24 efTTfbN0.net
>>88前>>293訂正。
KからBCに垂線KPを引く。
tan∠KJG=KP/JP―①
KP=BP=BG{BP/(GP+BP)}
=(1/√3){√3/(√3+1)}
=1/(1+√3)
=(√3-1)/(√3+1)(√3-1)
=(√3-1)/2―②
JP=1/√3+1/(√3+1)
=(√3+1+√3)/√3(√3+1)
=(1+2√3)(√3-1)/√3(√3+1)(√3-1)
=(5-√3)/2√3
=(5√3-3)/6―③
①に②③を代入し、
tan∠KJG=√3(√3-1)/(5-√3)
=√3(√3-1)(5+√3)/(5-√3)(5+√3)
=(3-√3)(5+√3)/22
=(15-3-2√3)/22
=(6-√3)/11
≒0.387995381
=tan21.2060231°
∴∠KJG=21.2060231°
309:１３２人目の素数さん
19/04/24 22:41:22.90 J6WuqMke.net
なんと。
三角比使えるようになったんだ。
310:１３２人目の素数さん
19/04/25 03:30:45.17 peMAw/KD.net
n人掛けの長いすがある
ここに、2人組のカップルがつぎつぎとランダムな
位置に座っていく
但し、各カップルは隣り合って座り、1人が1人分の椅子を占有し、
一度座ったら動かないものとする
もし、左から3,4人目のところにカップルが座り、6,7人目の
ところにもカップルが座ると、5人目のところは使えないままと
なることになる
このように各カップルはランダムな位置を占有しながら、
座れなくなるまでカップルは座っていく
このとき、最後に左右が埋まって空席のまま
使われず残る椅子の数はいくつになると期待されるか、
nで表せ
311:イナ
19/04/25 15:03:55.37 TMuqqGyR.net
前>>294
>>296
三席あればカップルが座れてほかのカップルが座れない。なおかつ席が奇数か偶数かによって最小の空席が1か0になる。よって6分類を考える。
n=6K,6K+1,6K+2,6K+3,6K+4,6K+5のとき、
空席の数は、
0～2K,1～2K+1,0～2K,1～2K+1,0～2K,1～K+1
期待値は、
K,K+1,K,K+1,K,K+1
nで表すと、[P]はPを超えない最大の整数として、
nが偶数のとき[n/6]
nが奇数のとき、[n/6+1]
312:１３２人目の素数さん
19/04/25 15:
313:38:23.22 ID:86YiFZJj.net
314:イナ
19/04/25 16:50:39.89 TMuqqGyR.net
前>>297
1≦n≦15で空席の期待値を数式から求め、実際の空席の数と比べると、ほとんどあってる。n=4のときとn=10のときは特別なのかな。
n=1のとき、
[1/6+1]=[7/6]=1……1 ○
n=2のとき、
[2/6]=[1/3]=0……0 ○
n=3のとき、
[3/6+1]=[3/2]=1……1 ○
n=4のとき、
[4/6]=[2/3]=O……0or2
期待値は1 ×
n=5のとき、
[5/6+1]=[11/6]=1……1 ○
n=6のとき、
[1]=1……0or2
期待値は1 ○
n=7のとき、
[7/6+1]=[13/6]=2……1or2or3
期待値は2 ○
n=8のとき、
[8/6]=[4/3]=1……0or2
期待値は1 ○
n=9のとき、
[9/6+1]=[3/2+1]=[5/2]=2……1or3
期待値は2 ○
n=10のとき、
[10/6]=[5/3]=1……0or2or4
期待値は2 ×
n=11のとき、
[11/6+1]=[17/6]=2……1or3
期待値は2 ○
n=12のとき、
[12/6]=2……0or2or4
期待値は2 ○
n=13のとき、
[13/6+1][19/6]=3……1or3or5
期待値は3 ○
n=14のとき、
[14/6]=[7/3]=2……0or2or4
期待値は2 ○
n=15のとき、
[15/6+1]=[5/2+1]=3……1or3or5
期待値は3 ○
315:イナ
19/04/25 17:11:31.28 TMuqqGyR.net
前>>299訂正。
n=6K+4のときは空席が1増えるみたいだ。Kは正の整数として。
空席の数の期待値は、
nが偶数で、かつ6K+4でないとき、[n/6]
nが奇数または、偶数で6K+4のとき、[n/6+1]
316:イナ
19/04/25 17:19:00.46 TMuqqGyR.net
前>>300
4,10,16,22,28,34,40,46,52……
16と52を除いてみんな凶数。隠れ奇数だな。
317:１３２人目の素数さん
19/04/25 17:19:37.92 /09RQMVj.net
.com/toshio_tamogami/status/1110356301664514048
コリアンパブヒトモドキたもゴミ犯罪者自殺しろヒトモドキウヨ淫行猿
318:１３２人目の素数さん
19/04/25 18:08:58.85 Zmp/303X.net
>>299
流石にその答えはどうよ
例えば、n=4の場合の、空席の数が0,2となる確率を何故等しいとしているのか
参考
■初等関数研究所■
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:279番)
分からない問題はここに書いてね478
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:401番)
319:１３２人目の素数さん
19/04/25 18:33:58.60 86YiFZJj.net
>>303のリンク先見てみればわかる。
最低限漸化式と特性関数の話しわかってないと無理。
Σ使った表示なら帰納法でいけるかもしれないけど。
320:１３２人目の素数さん
19/04/25 21:27:44.07 peMAw/KD.net
積分のしっかりとした知識もいるよ
321:１３２人目の素数さん
19/04/26 00:49:28.73 bw3Iwg0E.net
n席のときの期待値をS(n)とする。
S(0)=0、S(1)=1である。
1組目のカップルが座ると、連続した空席は左右2つに分断される。
今後、左側にカップルが座っても右側に影響を与えない。右側も左側に影響を与えない。
左側の連続した空席の数は0～n-2が等しい確率で現れる。右側も同じ
なので、S(n)=(S(0)+S(1)+･･･+S(n-2))*2/(n-1)が成り立つ
あとはわからん
322:１３２人目の素数さん
19/04/26 01:45:32.34 AXvpsest.net
>>60
漸化式： a(n) = a(n-1) + a(n-2)/((2n-1)(2n-3)),
a(1) = 0, a(2) = 1/3, a(3) = 1/3, a(4) = 12/35, a(5) = 47/135, ････
a(n) = 1F1(-n,-2n,-2) → 1/e (n→∞) >>66-69
b(n) = (2n-1)!!a(n)
は自然数列で、OEISにある。
漸化式： b(n) = (2n-1)b(n-1) + b(n-2),
b(1) = 0, b(2) = 1, b(3) = 5, b(4) = 36, b(5) = 329, ････
b(n) は Number of loop-less linear chord diagrams with n chords.
指数型母関数： exp{√(1-2x) -1}/√(1-2x) = Σ[k=0,∞) {b(k)/k!}x^k
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
符号付きバージョン
(-1)^n b(n) = Y_n(-1)
Y_n はn次のベッセル関数
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
323:１３２人目の素数さん
19/04/26 03:32:05.41 BSQr4ZG5.net
━━━━━━━━━
━━━☆━━━━☆━━━━
324:１３２人目の素数さん
19/04/26 03:34:01.48 BSQr4ZG5.net
一方、もしk人掛けの椅子ではx人分、n-k-2人掛けではy人分、
孤立したスペースを生じると期待されるとすれば、k人掛けの椅子と
n-k-2人掛けの椅子が両方あればx+y人分の孤立スペースが
出来ると期待される
以上より、最初のカップルがk+1,k+2個目を占有したなら、
孤立して残るスペースはa_k + a_n-k-2人分と期待される
各位置に座る確率はまったくランダムであるから、
この事象は1/(n-1)の確率でおきる
故に、a_nはa_0,a_1, ・ ・ ・a_n-2を用いて次のように表せる
a_n=(1/(n-1))sum[a_k + a_n-k-2,{k,0,n-2}]
=(2/(n-1))sum[a_k,{k,0,n-2}]
この式をより簡潔にする
両辺をn-1倍した式について、nにn+2を代入した式から
n+1を代入した式を引く
(n-1)a_n=2sum[a_k + a_n-k-2,{k,0,n-2}]
(n+1)a_n+2 - na_n+1=2sum[a_k,{k,0,n}]-2sum[a_k,{k,0,n-1}]=2a_n
∴(n+1)a_n+2=na_n+1 + 2a_n
325:１３２人目の素数さん
19/04/26 03:34:35.88 0EJ0W9Yp.net
>>306
それを三項間漸化式に変形してwolfram 突っ込めば答えが得られる
326:１３２人目の素数さん
19/04/26 06:02:50.03 BSQr4ZG5.net
■a_nの評価
a_n=Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}]
=(n)Sum[(-2)^k/k!,{k,0,n-1}]-Sum[(-2)^k/(k-1)!,{k,1,n-1}]
■n→∞の極限を考える
a_n≒(n)Sum[(-2)^k/k!,{k,0,∞}]+(2)Sum[(-2)^(k-1)/(k-1)!,{k,1,∞}]
=n/e^2 + 2/e^2=(n)e^(-2) + (2)e^(-2)≒(n)e^(-2)
従って、nが十分大きい時、a_n即ち孤立した椅子の数は
全体のe^(-2)という割合になると考えられる
327:１３２人目の素数さん
19/04/26 17:20:18.62 AXvpsest.net
>>306
漸化式： (n+1) S(n+2) = n S(n+1) + 2 S(n),
S(1) = 1, S(2) = 0, S(3) = 1, S(4) = 2/3, S(5) = 1, S(6) = 16/15, S(7) = 11/9,
母関数： x･exp(-2x)/(1-x)^2 = Σ[k=0,∞] S(k) x^k,
s(n) = (n-1)! S(n) は自然数列で、OEIS にある。
漸化式： s(n+2) = n{s(n+1) + 2s(n)},
s(1) = 1, s(2) = 0, s(3) = 2, s(4) = 4, s(5) = 24, s(6) = 128, s(7) = 880,
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
328:１３２人目の素数さん
19/04/26 19:37:56.33 DSYpVadX.net
lim (x→1、y→1) x(1-y^n)-y(1-x^n)+y^n-x^n/(1-x)(1-y)(x-y)
nは1より大きい自然数
329:１３２人目の素数さん
19/04/27 02:49:25.92 Cwx7ucxK.net
分子は
| 1, 1, 1 |
－| x, y, z |
|x^n,y^n,z^n|
分母は
| 1, 1, 1 |
－| x, y, z | = -(x-y)(y-z)(z-x) = -⊿,
|x^2,y^2,z^2|
これは Vandermonde 行列式、つまり差積。（本問では z=1）
(与式) = Σ[i≧0, j≧0, k≧0, i+j+k=n-2] x^i y^j z^k
{右辺の項数} = {n-2 を3つの非負整数の和に分割する方法}
= {n個から境界2つを選ぶ方法}
= C[n, 2]
= n(n-1)/2.
330:１３２人目の素数さん
19/04/27 13:34:03.99 Cwx7ucxK.net
分子も分母も x,y,z の交代式だから
(与式) = (x,y,z の(n-2)次の対称式) = P_n(x+y+z, xy+yz+zx, xyz)
P_2 = 1, P_3 = x+y+z, P_4 = (x+y+z)^2 - (xy+yz+zx),
P_5= (x+y+z)^3 -2(x+y+z)(xy+yz+zx) +xyz,
P_n= (x+y+z)P_{n-1} - （ｘｙ+ｙｚ+ｚｘ）P_{n-2} + (xyz)P_{n-3},
[分かスレ４７８.450-452] と同じだけど････
331:１３２人目の素数さん
19/04/27 18:48:55.10 ffXKBjzv.net
正解、ちなみに因数分解による回答を想定してた
332:１３２人目の素数さん
19/04/27 19:11:35.28 ayC26
333:s8w.net
334:１３２人目の素数さん
19/04/27 19:46:21.04 ffXKBjzv.net
読みづらいかも知らんがこれで勘弁
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
335:１３２人目の素数さん
19/04/27 21:46:58.98 TxYKNnRs.net
数学板ペン習字偏差値60はあるな
336:１３２人目の素数さん
19/04/28 09:30:27.61 a3oa95Dr.net
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337:幾田素弘
19/04/28 17:09:34.20 qSZDyI5H.net
142857は奇跡の数
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)
338:イナ
19/04/28 23:18:22.05 MZ0QPSKm.net
[￣]なんかないのか、面
￣￣]_白い問題｡前>>301
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