19/01/25 23:44:30.27 PhzqWDq+.net
(2)からわからねえ
14:１３２人目の素数さん
19/01/25 23:46:37.38 PhzqWDq+.net
>>7
あの31言ったらダメなやつと考え方同じだな
15:１３２人目の素数さん
19/01/26 02:07:59.43 9LgO+YCH.net
>>9 >>12
2)
BP = p√2 とおくと
AP^2 = (1+p)^2 + p^2,
ところで、 1) より
AP = CP = (6+2√2 -2 -2)/2 = 1+√2,
これらより
p = {√(5+4√2) -1}/2 = 1.132241882312
DP = DB + BP = (2+p)√2 = 4.42965895059852
16:１３２人目の素数さん
19/01/26 03:07:30.45 nIE94LzE.net
では>>7のtopological proofのヒントを書いておきます
簡単のためn=2としておきます
(こちらで想定している証明方法であれば一般のnに対してもそのまま適用できます)
以下の補題を使います
補題
f:S^2→R^2を連続写像とするとき
f(x)=f(-x)
となるx∈S^2が存在する
補題の証明は易しいです(知らない場合は考えてみてください)
与えられた宝石の列に依存する連続写像f:S^2→R^2をうまく取ると、補題から直ちに元の命題が示されます
どのようにfを選べばよいか考えてみてください
17:１３２人目の素数さん
19/01/26 03:16:14.96 nIE94LzE.net
>>13
詳しくお願いします
初等的な証明方法はあるのかもしれませんが、把握しておりません
18:１３２人目の素数さん
19/01/26 05:07:18.40 w6H6WwzC.net
>>9
わかった
(2)
Pが辺ABからどれくらい離れてるか
AP:PB:BA=√2:√2:2により垂線下ろすと高さは1:1:√2だから1
点の水平移動しても外周は変わらないからBの真上とBの真横にPとP' を置く
PP'間は辺から離れてる距離により真ん中は√2/2
DBの長さは一辺2により2√2
足すとDPの距離は
2√2 + √2/2 = 5√2 / 2じゃないかな？
19:１３２人目の素数さん
19/01/26 06:12:08.46 9LgO+YCH.net
>>9 >>12
2)
BP1 = p√2 とおくと
AP1^2 = (2+p)^2 + p^2 = 2 + 2(1+p)^2,
ところで、 1) より
AP1 = CP1 = (6+2√2 -2 -2)/2 = 1+√2,
これらより
p = √(1/2 + √2) - 1 = 0.38355107
DP1 = DO + OP1 = √2 + (1+p)√2 = √2 + √(1+2√2) = 3.37085025
3)
AP1 = CP1 = 1+√2 = a,
OP1 = (1+p)√2 = 1.95663668743 = b,
とおくと
A(-√2, 0) B(0, √2) C(√2, 0) D(0, -√2)
P1(0, b) P2(0, -b) Q1(a, 0) Q2(-a, 0)
Pの軌跡は楕円
(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1,
20:１３２人目の素数さん
19/01/26 07:06:47.10 w6H6WwzC.net
小数点君…はじめから全部違うと思うゾ
点Pは楕円にはならない。
2点2辺固定の場合平行移動だぞ？
楕円の場合は焦点固定の場合だから
多分出題者高校生だと思うから3Cまでの計算だと思うぞ
21:１３２人目の素数さん
19/01/26 07:27:43.99 nXzLe+zS.net
>>17
＞点の水平移動しても外周は変わらないから
この図の左右の外周が等しいということ？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
22:１３２人目の素数さん
19/01/26 08:12:27.24 w6H6WwzC.net
>>20
そうそう等しいと俺は思った
あと6+2√2ね
でも違うっぽいな
23:１３２人目の素数さん
19/01/26 08:26:17.29 w6H6WwzC.net
ソーリー変わらないのは面積だた
24:１３２人目の素数さん
19/01/26 08:28:57.22 9LgO+YCH.net
>>19
2)
BP1 = p√2 とおくと
AP1 + BP1 = √{(2+p)^2 + p^2} + p√2 = √{2 + 2(1+p)^2} + p√2,
ところで、 1) より
AP1 + BP1 = 2√2,
これらより
p = 1/3
DP1 = DB + BP1 = 2√2 + (1/3)√2 = (7/3)√2,
3)
AP + BP = 2√2,
だよね。
25:１３２人目の素数さん
19/01/26 08:52:53.42 w6H6WwzC.net
>>23
これなら納得
26:１３２人目の素数さん
19/01/26 16:07:39.92 +hqqqAUQ.net
>>19
小数点君www
27:１３２人目の素数さん
19/01/27 02:46:38.56 NqmDnyZc.net
>>9 修正案
> 辺ABの上に点Pを取り、辺AP=BP=√2としたよ。
□ABCDの外部に点Pを取り、AP = BP = √2 としたニダ。
> 2)点Pを(1)の周長を変えないように点B点Dの延長線上となるように点Pを動かしたよ。
> その結果四角形APCDとなったよ。
2) 点Pを(1)の周長を変えないように、線分BDの延長線上に点Pを動かしたニダ。
その結果五角形 APBCD となったニダ。
> 3)点Pが(2)の状態にある時、点P1とし、(1)の周長を崩さぬように点Pを動かしまた点BDの直線上に動かしその点をP2としたよ。
3) (2)の状態にある点Pの位置を P1とし、(1)の周長を崩さぬように点Pを動かし、直線BDと再会した点をP2としたニダ。
28:１３２人目の素数さん
19/01/27 03:18:23.89 NqmDnyZc.net
解答案
3)
AP + BP = 2√2,
より
(xx/2) + (y-1)^2 = 1,
これは楕円アルヨ。
直線BD y=x との交点は
P_1 (4/3, 4/3)
P_2 (0, 0)
アルヨ。
29:１３２人目の素数さん
19/01/27 05:25:16.41 NqmDnyZc.net
解答案
(3)
ｘ → (√2)cosφ， ｙ → 1+sinφ
とおくぢゃん。
ds = √{(dx)^2 + (dy)^2},
s =∫[-π/2, arcsin(1/3)] √{1+(sinφ)^2} dφ
=∫[-1, 1/3] √{(1+tt)/(1-tt)} dt
= 2.256224416017548793463688895981454170195765856203120990202091790152911696637111818875640341701872164
ぢゃん。
30:１３２人目の素数さん
19/01/28 23:14:07.50 6NLk87Zc.net
>>15
ダメだ。サッパリ分からん。
もう答えおながいします。
どうも私しか考えてないみたいだし。
31:
19/01/29 00:55:06.60 /yig9SP5.net
前>>6「ABの上」という言い方がおかしい。どっちまわりに、どのようなABCDを描いたかでABの上は異なる場合がある。
正方形ABCDの外側、すなわち辺ABについて正方形ABCDのない側にPってことだと解釈した。
(2)PがBに対してAB方向にa、CB方向にbの地点に動いたとすると、
A→P→Cの長さは2√2+2のま変わらないから、
AP=PC=(2√2+2)/2
=√2+1
DP=2√2+BP
ピタゴラスの定理より、
AP^2=(1+√2)^2=(2+a)^2+b^2
a^2+4a+4+b^2=3+2√2
a^2+4a+4+a^2=3+2√2
2a^2+4a+1-2√2=0
a=-2+√{4-(2-4√2)}/2
=-1+{√(2+4√2)}/2
BP^2=a^2+b^2=2a^2
BP=a√2
DP=2√2+BP
=2√2+a√2
=2√2+√(1+2√2)-√2
=√2+√(1+2√2)
32:１３２人目の素数さん
19/01/29 21:48:41.22 3wqxz3P1.net
>>30
正解
これを求めてた
33:１３２人目の素数さん
19/01/29 22:48:59.17 gg311WSD.net
問題文に誤記を混ぜて難易度上げるのやめ
34:１３２人目の素数さん
19/01/29 23:32:31.47 LI2OtV3O.net
禿同
35:１３２人目の素数さん
19/01/31 17:48:11.38 SgKv6JMv.net
>>15
答え書くのメンドイなら元ネタどこから拾ってきたか教えてもらえませんでしょうか？
36:１３２人目の素数さん
19/02/01 00:05:16.95 WvZatiro.net
>>34
他に問題を考えている人がいるかもしれないと思い待っていました、すみません
紹介しようとしていた証明の出典はこちらの論文です
URLﾘﾝｸ(m.tau.ac.il)
(§2-3)
以下、n=2の場合について簡単に解説を書いておきます
>>15で与えた補題はBorsuk–Ulamの定理と呼ばれている有名な定理(の特殊な場合)です
S^2,R^2をS^n,R^nに置き換えたものが本来の主張です
証明は代数トポロジーの教科書をあたると良いでしょう
英語版wikipediaにも載っているようです
元々の問題は離散的な設定であるため、補題を適用する為には、まず問題を連続的な設定に置き換える必要があります
具体的には
紐→閉区間[0,1]=I
宝石列→閉区間Iの互いに素な2つの部分集合への分割I=V_1∪V_2
(宝石の総数をNとするとき、宝石１つの占める区間の長さを1/Nと考えて、宝石の種類によって分割。
pdfではcoloringと表現)
紐の切断……Iの互いに素な区間への分割I=U_1∪U_2∪U_3
また、S^2の元に対し「Iの分割及び2人への分配」を対応させます
具体的には、(x,y,z)∈S^2に対し
分割……U_1=[0,x^2],U_2=(x^2,x^2+y^2],U_3=(x^2+y^2,1]
分配……A=∪_{i|(x,y,z)の第i成分が正} U_iとB=∪_{i|(x,y,z)の第i成分が負} U_i
と定めます
最後に、f=(f_1,f_2):S^2→R^2を
f_i(x,y,z)=λ(A∩V_i)
(Aに含まれる種類iの宝石の"数")
(λはルベーグ測度)
と定めます
fが連続であることは明らかでしょう
最後に、このfに対し補題を適用すれば、元の主張が示されます
(なぜこれで示されるかはよく考えると分かると思います)
pdfでは、§2で元の問題を拡張した連続的な問題を定義し、§3でそれを示しています
37:１３２人目の素数さん
19/02/01 00:54:22.20 BJoyyTvk.net
>>35
なるほど！すばらしい！
この Borsuk–Ulam 使ったこの問題は自作ですか？
38:１３２人目の素数さん
19/02/01 00:56:14.54 zRDtyTsr.net
>>35
とおもったら論文がまんまこの問題なのか。
39:１３２人目の素数さん
19/02/01 02:22:56.48 WvZatiro.net
>>36-37
それほど専門的でなくかつとても面白い証明だと思ったので、ここで紹介しようと思いました
イントロによると、この論文より以前にトポロジーと帰納法を用いた証明がなされていますが、それに比べてより簡単な別証明を与えた形のようです
また、後半では高次元への一般化を考えています
40:１３２人目の素数さん
19/02/01 10:12:54.90 fE8+ehlC.net
>>38
面白い証明ですね。
Borusk-Ulamの証明も面白かったです。
wikipediaにはRP(n)のコホモロジー環の話使っててちょっと難しかったけどこの辺の勉強してる人には常識なんだろうなぁと。
でもこの問題考えてる途中で自然にコホモロジー環の事勉強させられたのでなんとか理解できました。
いい勉強になりました。
41:１３２人目の素数さん
19/02/02 00:20:36.17 CcMLtD6k.net
>>39
一般のnに対して示すには(コ)ホモロジーの理論が必要なので少し知識が必要ですね
n=2の場合は実は基本群を使うだけで示せます
また、wikipediaの証明を改めて見たのですが、Hurewiczの定理及びRP^nのコホモロジー環の環構造を使っており、たしかに要求される知識が多いですね、失礼しました
HatcherのAlgebraic Topologyという教科書であれば、もう少し簡単な証明が載っています
(n=2はThm1.10,一般のnはProp2B.6•Cor2B.7)
こちらの教科書は著者が無料で公開しているので興味があればどうぞ
URLﾘﾝｸ(pi.math.cornell.edu)
あと、あまり他の人が興味を示していない話題についてたくさんレスしてしまいすみません
邪魔でしたら控えます
42:１３２人目の素数さん
19/02/02 00:44:05.70 PBODxKHb.net
>>40
>URLﾘﾝｸ(pi.math.cornell.edu)
ありがとうございます。読んでみます。
ここですね。
p251
―
one can use the same argument with Z2 coefficients to deduce that H
H^*(RP(n); Z2) ≈ Z2[α]/(α^(n+1) with |α| = 1
―
時間見つけて頑張ってみます。
43:
19/02/02 17:52:44.76 +M2igxib.net
前>>30 ゜ 。 ﾟ｡ ゜°｡
∥∩∩ ゜。 ゜。° ゜
（(-_-)｡ﾟ°゜。ﾟ ｡ ｡ﾟ
（っц)~ ∩∩ｸﾝｸﾝ……
｢￣￣￣￣].-))⌒ヾ､゜
■/_UU＼■υυ`υυ。
(3)は楕円なのか。
44:１３２人目の素数さん
19/02/02 21:19:41.41 aneq0N3Y.net
加法的整数論とかヤング図形とか絡みの話なの？
45:１３２人目の素数さん
19/02/06 18:47:16.51 t0h24d3L.net
前スレ>>854の本人による改題
今度は高校数学で解いてほしいとか言わないんでよろしくお願いします
nを自然数とする。数列{a_n}及びa_0を a_0 = 1 , a_n = a_n-1 +3-(-1)^n と、また数列{p_n}を、素数を小さい方から順に並べた数列と定める。
(1) a_n の一般項を1つの式で表せ。
(2) b_n = a_n / p_n と定める。b_1 * b_2 * b_3 * ... * b_n-1 * b_n がとりうる最大値と、その時のnの値を全て求めよ。
46:１３２人目の素数さん
19/02/06 22:42:37.64 /QdXZOQs.net
>>44
(1) a_n = 3n + {3 - (-1)^n}/2,
47:１３２人目の素数さん
19/02/06 22:59:48.45 t0h24d3L.net
>>45
(1)正解です
是非とも(2)を解いてみてください
48:１３２人目の素数さん
19/02/06 23:39:15.45 /QdXZOQs.net
〔問題〕
25^r - 4^r = 9^r ？
URLﾘﾝｸ(www.itmedia.co.jp)
URLﾘﾝｸ(www.excite.co.jp)
49:１３２人目の素数さん
19/02/06 23:50:56.20 t0h24d3L.net
>>47
r=1/2
50:１３２人目の素数さん
19/02/07 00:55:10.33 xf+t3w/A.net
>>48
正解です。
51:１３２人目の素数さん
19/02/07 12:39:15.06 xf+t3w/A.net
>>48
でも 話ｒに聞いておきましょう。
52:１３２人目の素数さん
19/02/12 18:37:27.46 iZooXX6T.net
ジョーカーを除いたトランプ５２枚の中から１枚の
カードを抜き出し、表を見ないで箱の中にしまった
そして、残りのカードをよく切ってから
３枚抜き出したところ、３枚ともダイヤであった
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか
山札からダイヤを１２枚引くまでは変わらず１／４で、
１３枚目を引いたときに初めて０になる
■正の整数nに対して
{1-n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)(n-9)(n-10)(n-11)(n-12)/13!}/4
出力は0≦n≦13の範囲で
１／４
１／４
１／４
１／４
１／４
１／４
１／４
１／４
１／４
１／４
１／４
１／４
１／４
０
53:１３２人目の素数さん
19/02/12 22:50:43.16 v43eNdK7.net
典型題だと思いますが僕のやり方よりキレイな解答がありそうなのでお願いします
n(≧1)次元空間において、同一n-1次元空間上に存在しないn+1個の点がある。このn次元空間にn+1個の点から等距離な点が一つ定まることを示せ。
54:１３２人目の素数さん
19/02/13 00:19:33.88 JEwfowZE.net
鳩
55:１３２人目の素数さん
19/02/13 01:05:19.39 RdA60gUb.net
>>54
一番ふつうの垂直２等分超平面使うやつがしってる方法？
P0～Pnと並べてP(i-1)Piの垂直２等分超平面をAiとする。
Aiの法線ベクトルをviとしてAiの方程式をvi・(OPベクトル)=ciとおく。
v0～vnが張る空間の次元がn未満ならすべてのviと直交するwがとれる。
このときw・(OP(i-1)ベクトル)=w・(OPiベクトル)がすべてのiについて言えるから、この値をdとすれば、すべてのPiは平面w・(OPベクトル)=dに含まれるから矛盾。
よって連立方程式vi・(OPベクトル)=ciは解をもつ。
56:１３２人目の素数さん
19/02/13 07:24:08.54 WiCfUAAX.net
>>54
いえ、知りませんでした…！
僕のやり方より綺麗でした
ありがとうございます
57:１３２人目の素数さん
19/02/13 19:44:14.29 iJ6qT/QN.net
先頭車両から順に
1からnまでの番号がついたn両編成の列車がある
ただしnは2以上とする
各車両を赤色、青色、黄色のいずれか1色で塗るとき、
隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような
色の塗り方は何通りか
3 5 11 21 43 85 171 341 683 1365 2731 5461 10923 21845 43691
(2^(n+2)-(-1)^n)/3
58:１３２人目の素数さん
19/02/13 19:46:23.09 fk58WYlS.net
>>56
大昔の京大の入試問題か
59:１３２人目の素数さん
19/02/13 21:34:15.69 iJ6qT/QN.net
384=8!!
53760=2(10!!)+12!!
8755200=8(12!!)+13(14!!)
1805690880=15(14!!)+12(16!!)+9(18!!)
471092428800=10(16!!)+15(18!!)+16(20!!)+5(22!!)
153043438141440=4(18!!)+2(20!!)+3(26!!)
60836834554675200=(20!!)+17(22!!)+15(24!!)+16(26!!)+12(28!!)+(30!!)
規則性を見つけてくれ～(・ω・)ノ
60:１３２人目の素数さん
19/02/14 11:30:03.83 9vTB+Xrd.net
>>58
ソースは？
61:１３２人目の素数さん
19/02/17 19:54:32.15 CR4pm/Gs.net
ソースは
N組のカップル(合わせて2N人)が無作為に横一列に並ぶ
どのカップルについても彼氏と彼女が隣り合わない
確率を求めよ
a(n)=a(n-1)+a(n-2)/((2n-1)(2n-3)),a(1)=0,a(2)=1/3
の一般項を導くための準備
62:１３２人目の素数さん
19/02/19 12:40:25.28 IDFPWNBX.net
トランプの束がある
2～10までの数字が描かれたカードが各スートに1枚ずつと、
ジョーカーのカードが24枚ある
全てを混ぜて無作為に切り直して12枚のカードを無作為に引いたとき
その12枚のカードのうちジョーカー以外にいずれも違う数字が
書かれている確率はいくらか
Sum[choose(24,k)*choose(9,12-k)*4^(12-k), {k, 3, 12}]/(choose(60,12))
出力 7371811052/66636135475
63:１３２人目の素数さん
19/02/19 13:33:50.86 7AXKFV6p.net
トランプさんと安倍さんにノーベル賞を！
64:１３２人目の素数さん
19/02/19 15:48:46.32 OL3kpF0J.net
....あげるなよ。
65:１３２人目の素数さん
19/02/19 18:08:44.54 IDFPWNBX.net
ジョーカーを除いたトランプ５２枚の中から１枚の
カードを抜き出し、表を見ないで箱の中にしまった
そして、残りのカードをよく切ってから
３枚抜き出したところ、３枚ともダイヤであった
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか
最初に箱にしまった時が１／４で
そこから徐々に確率が減ってゆき、
山札から３枚ダイヤが出た時が１０／４９
山札から１３枚ダイヤが出たときに０になる
これを関数で表すことができる
正の整数aを定数、山札からn枚のダイヤが出るとして
［0≦a≦124］，［0≦n≦13］の範囲で成立する関数は
P(D)=((n-13)(a-4n-125))/(a(n-52)-7n^2+92n+6500)
P(D)=((n-13)(a+4n+1))/(a(n-52)+7n^2-216n-52)
66:１３２人目の素数さん
19/02/21 02:34:31.38 2JrJaJth.net
障害者無能秘書パイズリ國場のゴキブリ殺害予告暴言秘書ダルマ顔田中奇形クソまみれの米粒自殺しろ
ゴキブリ田中奇形の子供は奇形米粒確定キチガイ遺伝子死滅せよ
67:１３２人目の素数さん
19/02/21 17:15:24.10 B7Y19fQg.net
＞a(n)=a(n-1)+a(n-2)/((2n-1)(2n-3)),a(1)=0,a(2)=1/3 の一般項
a(n)=Hypergeometric1F1[-n;-2n;-2]
68:１３２人目の素数さん
19/02/21 19:15:58.25 vsVxMF6H.net
■二つの関数を一つに合成する
P1st
(6n^3+20n^2-n-27)(n-1)/24 （奇数）……①
(6n^4+14n^3-21n^2-26n+24)/24 （偶数）……②
Q1st
(6n^2+10n-3)(n+1)(n-1)/24 （奇数）……③
(6n^2-2n-5)(n+2)n/24 （偶数）……④
奇数［1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0］のみ出力する関数は
((-1)^(n+1)+1)/2 ……⑤
偶数［0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1］のみ出力する関数は
((-1)^n+1)/2 ……⑥
①x⑤+②x⑥
((6n^3+20n^2-n-27)(n-1)/24)(((-1)^(n+1)+1)/2)+((6n^4+14n^3-21n^2-26n+24)/24)(((-1)^n+1)/2)
P1st =｛12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51｝/48
③x⑤+④x⑥
((6n^2+10n-3)(n+1)(n-1)/24)(((-1)^(n+1)+1)/2)+((6n^2-2n-5)(n+2)n/24)(((-1)^n+1)/2)
Q1st =｛12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3｝/48
69:１３２人目の素数さん
19/02/21 21:42:12.13 +g9xqKAw.net
>>66
ほほう
超幾何級数を使うとシンプルに書けるんですねー
70:１３２人目の素数さん
19/02/23 02:20:54.39 M9p9l/x6.net
第一種の合流型超幾何関数（クンマー）
1Ｆ1[a; b; z] = 1 + Σ[k=1, ∞] {a(a+1)････(a+k-1)/b(b+1)････(b+k-1)} z^k /k!
1Ｆ1[-n; -2n; z] = {n!/(2n)!} Σ[k=0, n] {(2n-k)!/(n-k)!k!} z^k,
71:１３２人目の素数さん
19/02/23 22:08:11.94 jeV2tv0v.net
4面が緑色で2面が赤色のサイコロがあるとする
そのサイコロを20回振って、緑色(G)と赤色(R)のどちらが
出たかを記録した
次の3つの選択肢から１つを選ぶとする
もしあなたが選んだ選択肢が20回分の記録のどこかと
一致すれば25ドルもらえる
1.RGRRR
2.GRGRRR
3.GRRRRR
選択肢1は選択肢2に内包されており、また、
他の選択肢よりも短いにも拘わらず、
被験者の65%は選択肢2を選んだ
25ドルの賭金が話の上だけの形の調査でも、
結果に顕著な差は見られなかった
72:１３２人目の素数さん
19/02/24 01:25:07.07 lqPS9+/0.net
スレ27 #795 の一般化をトライ
縦Mマス、横Nマスのフィールド{(x,y)|x∈{1,…,N},y∈{1,…,M}}の相異なる2マスに宝を置き、
縦優先検索((1,1)→…→(1,N)→(2,1)→…)のPと
横優先検索((1,1)→…→(M,1)→(1,2)→…)のQとで
先にいずれかの宝を見つけたほうが勝ちとするゲーム
宝の置かれるパターンの数=MN(MN-1)/2に対して、
P,Qそれぞれの勝つパターンの数をP(M,N),Q(M,N)とする
と言っても、いきなり一般化は難しいので、まずは片方のパラメータを固定していくつか計算してみる
n≡0 (mod 2) のとき P(2,n) = Q(n,2) = (3nn-4n )/4, Q(2,n) = P(n,2) = (5nn-10n+4)/4
n≡1 (mod 2) のとき P(2,n) = Q(n,2) = (3nn-4n+1)/4, Q(2,n) = P(n,2) = (5nn-10n+5)/4
n≡0 (mod 6) のとき P(3,n) = Q(n,3) = (12nn-10n )/6, Q(3,n) = P(n,3) = (15nn-22n+ 6)/6
n≡1 (mod 6) のとき P(3,n) = Q(n,3) = (12nn-13n+1)/6, Q(3,n) = P(n,3) = (15nn-25n+10)/6
n≡2 (mod 6) のとき P(3,n) = Q(n,3) = (12nn-10n+2)/6, Q(3,n) = P(n,3) = (15nn-22n+ 8)/6
n≡3 (mod 6) のとき P(3,n) = Q(n,3) = (12nn-13n-3)/6, Q(3,n) = P(n,3) = (15nn-25n+ 6)/6
n≡4 (mod 6) のとき P(3,n) = Q(n,3) = (12nn-10n+4)/6, Q(3,n) = P(n,3) = (15nn-22n+10)/6
n≡5 (mod 6) のとき P(3,n) = Q(n,3) = (12nn-13n-1)/6, Q(3,n) = P(n,3) = (15nn-25n+ 8)/6
こうしてみるとそれぞれ周期性がありそう。
その気になれば多項式と指数関数の組み合わせで書けるのかもしれない。
73:１３２人目の素数さん
19/02/24 15:23:59.47 cAsvszOI.net
やっとまともな人間が来たか
74:１３２人目の素数さん
19/02/25 10:50:00.01 SmK61OXX.net
qを2以上の整数、nを1以上の整数とする。
1の冪根ρ=e^(2πi/q)を使って、
f_q(n)=(q-1)/2+Σ{k=1～(q-1)}((ρ^k)^n * (ρ^k - 1)/(2 - ρ^k - ρ^(-k)))
で表される関数 f_q(n) はどのような値をとるか？
75:１３２人目の素数さん
19/02/25 17:46:45.39 VyaXiu0z.net
(3!!/3+0)/3!!=1/3
(5!!/3+0)/5!!=1/3
(7!!/3+1)/7!!=12/35
(9!!/3+14)/9!!=47/135
(11!!/3+190)/11!!=731/2079
(13!!/3+2799)/13!!=1772/5005
(15!!/3+45640)/15!!=20609/57915
(17!!/3+823724)/17!!=1119109/3132675
(19!!/3+16372071)/19!!=511144/1426425
(21!!/3+356123690)/21!!=75988111/211527855
━━★━━━━━★━━
1 14 190 2799 45640 823724 16372071 356123690
1
14
190
2799
45640
823724
16372071
356123690
a(n)=((2n-1)!!/3+α)/(2n-1)!!を満たす
多項式αを見つけてくれ～(・ω・)ノ
76:１３２人目の素数さん
19/02/25 18:22:30.49 9Kd2GG3h.net
>>74
そんな多項式は存在しません
そもそもスレ違いですし、他のスレでも同じ質問を連投している荒らしのようなのでスルー推奨ですね
77:１３２人目の素数さん
19/02/25 18:24:10.32 VyaXiu0z.net
>>75
多項式αが存在しない証明をしてくれ～(・ω・)ノ
78:１３２人目の素数さん
19/02/25 20:09:30.18 ORB2BpO1.net
階乗でググレ
79:１３２人目の素数さん
19/02/26 22:29:31.36 fQDtIEVb.net
URLﾘﾝｸ(www.gaiki-seijouki.jp)
キチガイニホンザル改ざん統計でもう硬式記録すら信じられない捏造国家ニホンザル消滅せよ
80:１３２人目の素数さん
19/02/28 23:38:43.67 pMgIpGrp.net
>>71 は周期関数で書くとこうなる
P(2,n) = Q(n,2) = (3/4)n^2-n+(1/2)-(1/2)(-1)^n
Q(2,n) = P(n,2) = (5/4)n^2-(5/2)n+(9/2)-(1/2)(-1)^n
P(3,n) = Q(n,3) = 2n^2-(23/12)n+(1/12)+(1/4)(n+1)(-1)^n-(1/3)cos(2πn/3)+(√3/9)sin(2πn/3)
Q(3,n) = P(n,3) = (5/2)n^2-(47/12)n+(4/3)+(1/4)n(-1)^n-(1/3)cos(2πn/3)+(√3/9)sin(2πn/3)
81:１３２人目の素数さん
19/03/01 17:45:49.42 jeDlalJv.net
>>73
分母は 2 -ρ^k -ρ^(-k) = - (ρ^k -1)^2 /(ρ^k),
k と q-k を組にして計算すると
f_q(n) = (q-1)/2 -(1/2)Σ[k=1,q-1] {ρ^(kn)(ρ^k -1) + ρ^(-kn)(ρ^(-k) -1)}(ρ^k) /(ρ^k -1)^2
= (q-1)/2 - (1/2)Σ[k=1,q-1] {ρ^(k(n+1))(ρ^k -1) - ρ^(-kn)(ρ^k -1)} /(ρ^k -1)^2
= (q-1)/2 - (1/2)Σ[k=1,q-1] {ρ^(k(n+1)) - ρ^(-kn)} /(ρ^k -1)
= (q-1)/2 - (1/2)Σ[k=1,q-1] Σ[j=-n,n] ρ^(kj)
ところで、
Σ[k=1,q-1] (ρ^m)^k
= q-1 (ρ^m=1) (mがqの倍数または0)
= -1 (ρ^m≠1)
-n から n までの整数のうち、qの倍数は (0も含めて) 2[n/q]+1 個だから
f_q(n) = n - q[n/q] = (nをqで割った余り)
82:低学歴脱糞老女・清水婆婆の連絡先：葛飾区青戸６－２３－１９
19/03/03 09:59:40.06 KV/cokeJ.net
【超悪質！盗聴盗撮・つきまとい嫌がらせ犯罪者の実名と住所を公開】
①井口・千明（東京都葛飾区青戸６－２３－１６）
※盗聴盗撮・嫌がらせつきまとい犯罪者のリーダー的存在／犯罪組織の一員で様々な犯罪行為に手を染めている
低学歴で醜いほどの学歴コンプレックスの塊／超変態で食糞愛好家である／醜悪で不気味な顔つきが特徴的である
②宇野壽倫（東京都葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸２０２）
※色黒で醜く太っている醜悪黒豚宇野壽倫／低学歴で人間性が醜いだけでなく今後の人生でもう二度と女とセックスをすることができないほど容姿が醜悪である
③色川高志（東京都葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３）
※色川高志はyoutubeの視聴回数を勝手に短時間に何百何千時には何万回と増やしたり高評価・低評価の数字を一人でいくつも増やしたり減らしたりなどの
youtubeの正常な運営を脅かし信頼性を損なわせるような犯罪的業務妨害行為を行っています
※色川高志は現在、生活保護を不正に受給している犯罪者です／どんどん警察や役所に通報・密告してやってください
【通報先】
◎葛飾区福祉事務所（西生活課）
〒１２４－８５５５
東京都葛飾区立石５－１３－１
℡０３－３６９５－１１１１
④清水（東京都葛飾区�
83:ﾂ戸６－２３－１９） ※低学歴脱糞老女：清水婆婆 ☆☆低学歴脱糞老女・清水婆婆は高学歴家系を一方的に憎悪している☆☆ 清水婆婆はコンプレックスの塊でとにかく底意地が悪い／醜悪な形相で嫌がらせを楽しんでいるまさに悪魔のような老婆である ⑤高添・沼田（東京都葛飾区青戸６－２６－６） ※犯罪首謀者井口・千明の子分／いつも逆らえずに言いなりになっている金魚のフン／親子孫一族そろって低能 ⑥高橋（東京都葛飾区青戸６－２３－２３） ※高橋母は夫婦の夜の営み亀甲縛り食い込み緊縛プレイの最中に高橋親父にどさくさに紛れて首を絞められて殺されそうになったことがある ⑦長木義明（東京都葛飾区青戸６－２３－２０） ※日曜日になると風俗店に行っている
84:１３２人目の素数さん
19/03/07 18:31:45.98 TVoNUVmm.net
■n=3のとき、10/49となる関数を125種類作成
Table[((n-13)(a-4n-125))/(a(n-52)-7n^2+92n+6500),{a,0,124},{n,3,3}]
■n=0のときはすべて1/4
Table[((n-13)(a-4n-125))/(a(n-52)-7n^2+92n+6500),{a,0,124},{n,0,0}]
■n=13のときはすべて0
Table[((n-13)(a-4n-125))/(a(n-52)-7n^2+92n+6500),{a,0,124},{n,13,13}]
318 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/03/07(木) 18:00:45.97 ID:TVoNUVmm
■無量大数の世界でも10/49を出力する
Table[((n-13)(a-4n-125))/(a(n-52)-7n^2+92n+6500),{a,10^68,10^68+150},{n,3,3}]
85:１３２人目の素数さん
19/03/09 23:45:23.93 yFJMyAjc.net
ホロコースト
86:１３２人目の素数さん
19/03/13 01:46:46.89 EwwK0zbb.net
『桃が5個あります
3個もらうと全部で何個になりますか』
2
8だろがボケ
一部所有者が変わるだけで5個のままじゃね？
誰が何を貰うか書いてない
ネズミがクッキーを3個もらうのかもしれない
すもももももももものうちかも
87:１３２人目の素数さん
19/03/13 10:05:53.40 tWPrmd6w.net
20までの自然数を重複を許さず10個ずつに分けa[1], a[2], a[3], ...a[10]、b[1], b[2], b[3], ...b[10]とする。そして
S = Σ(k=1→10)a[k]b[k] = a[1]b[1]+a[2]b[2]+a[3]b[3]+……+a[10]b[10]
とする。色々な分け方についてSを考えたとき、S
88:の最大値と最小値、及びその時の分け方はどのようなものか さらに一般に2n個の数(nは自然数)をn個ずつ2組に分けて、 a[1]、a[2]、a[3]、…… および b[1]、b[2]、b[3]、…… とし S = Σ(k=1→n)a[k]b[k] = a[1]b[1]+a[2]b[2]+a[3]b[3]+……a[n]b[n] とする。色々な分け方についてSを考えたとき、Sの最大値と最小値、及びその時の分け方はどのようなものか
89:１３２人目の素数さん
19/03/13 12:39:52.69 cTwRSH2K.net
>>85
(19,20)のペアがなければ最大ではない。
∵ (a,19),(b,20)の組み合わせの時
19・20 + a・b - 19・a - 20・b = (20 - a)(19-b) > 0
以下同様にして最大値は
1・2 + 3・4 + ‥ + 19・20 = 1430
(1,20)のペアがなければ最小ではない。
∵ (a,1),(b,20)の組み合わせの時
1・a + 20・b - a・b - 1・20 = (20 - a)(b - 1) > 0
以下同様にして最小値は
1・20 + 2・19 + ‥ + 10・11 = 770
90:１３２人目の素数さん
19/03/14 18:02:02.48 Zwuo4uYI.net
>>86
正解です
しっかり示すのはやや面倒かと思いましたがそんなことなかったですかね
91:１３２人目の素数さん
19/03/14 21:09:55.87 ecYgtheT.net
下の図で, △FJGは正三角形, 四角形FBCEは正方形である. ∠KJGの大きさを求めよ.
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
92:１３２人目の素数さん
19/03/15 01:10:12.57 linGFLur.net
21.206023113003113°
93:１３２人目の素数さん
19/03/15 09:48:04.36 0/Vf+HuP.net
>>88
KからBCに垂線を加えて交点をPとする
JB=(1/√3)BF
BP=PK=(1/(1+√3))BF
BP/JB=PK/JB=((√3)/(1+√3))
tan∠KJG=PK/(JB+BP)
=((√3)/((1+√3)+(√3)))
=(6-√3)/11
∠KJG≒21.2°
きれいな値にはならんね
94:１３２人目の素数さん
19/03/15 15:33:23.52 5rHMbstq.net
出題ガイジが適当に絵描いて出してる問題なんだから当たり前
95:１３２人目の素数さん
19/03/15 17:41:13.39 linGFLur.net
ここは出題スレだから自作問題出すのは無問題。
今回のはチェックが甘かったね。
計算機使えるなら検算してからにすればよかったのに。
96:１３２人目の素数さん
19/03/17 03:18:35.98 WAuP1XoY.net
>>88
15度
97:１３２人目の素数さん
19/03/17 03:20:22.73 v1xsQAAm.net
>>93
証明したまえ
98:１３２人目の素数さん
19/03/17 18:16:14.25 XByZUTjt.net
あまり見ない、アプローチ法を思いついたので、投稿
(1) Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1)) = n(2n-1)/3 を示せ
(2) 上を使って、n(2n-1)/(2n+1)^2 < (3/π^2)Σ[k=1,n]1/k^2 < 2n(n+1)/(2n+1)^2 を示せ
99:１３２人目の素数さん
19/03/17 18:46:28.49 X9A0gUY4.net
□■■■■
□□■■■
□□□■■
□□□□■
□■■■■■■
□□■■■■■
□□□■■■■
□□□□■■■
□□□□□■■
□□□□□□■
100:１３２人目の素数さん
19/03/17 18:55:00.38 X9A0gUY4.net
> sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1
４×５の場合
宝：１個 同等
宝：２～５個 短軸有利
宝：６～１３個 長軸有利
宝：１４～２０個 同等
(17!/(18-k)!)/(k-1)!+(15!/(16-k)!)/(k-1)!+(13!/(14-k)!)/(k-1)!+(11!/(12-k)!)/(k-1)!+(10!/(11-k)!)/(k-1)!+(8!/(9-k)!)/(k-1)!+(5!/(6-k)!)/(k-1)!+(4!/(5-k)!)/(k-1)!,k=5
101:１３２人目の素数さん
19/03/17 19:19:05.91 WwqjrUUy.net
>>95
(2)を利用したらζ(2)=π^2/6を示せる？
102:１３２人目の素数さん
19/03/17 19:23:45.13 X9A0gUY4.net
8と83に補正が必要
Table[(17!/(18-k)!)/(k-1)!+(15!/(16-k)!)/(k-1)!+(13!/(14-k)!)/(k-1)!+(11!/(12-k)!)/(k-1)!+(10!/(11-k)!)/(k-1)!+(8!/(9-k)!)/(k-1)!+(5!/(6-k)!)/(k-1)!+(4!/(5-k)!)/(k-1)!,{k,1,20}]
103:１３２人目の素数さん
19/03/17 19:25:06.07 ZNKrgbCs.net
確か昔の東工大の入試であったな。何年だったかな？
104:１３２人目の素数さん
19/03/17 22:42:25.42 XByZUTjt.net
>>98
ですね
>>100
(1)の導出は困難だと思うけど、入試問題になっていたとは．．．orz
105:１３２人目の素数さん
19/03/17 22:57:37.13 xOR3IgzX.net
>>101
いや(1)の不等式が入試問題になってたんじゃないよ。
東工大のはチェビシェフの多項式使って
Σ(sin kπ/2n)^(-2)
を求めさせる問題。1990年見たい。これを一工夫するとζ(2)が計算できる。
なぜかリンクが貼れないけど “入試問題研究 90東工大” で検索すると出てくる。
ちなみにほぼ同じ内容のPDFを神大の先生が作ってた記憶もある。
106:１３２人目の素数さん
19/03/17 22:59:36.83 v1xsQAAm.net
>>102
続けたまえ
107:１３２人目の素数さん
19/03/17 23:17:25.07 WwqjrUUy.net
これ？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
108:１３２人目の素数さん
19/03/17 23:21:31.58 xOR3IgzX.net
それそれ。そっから頑張るとζ(2)が計算できる。
109:１３２人目の素数さん
19/03/18 08:08:59.01 2RGvCvwb.net
>>95
このζ(2)の解法の出典は1953年のロシア語の論文
URLﾘﾝｸ(mi.mathnet.ru)
で、wikipediaによると1960年代には広く知られるようになったそうです。
110:１３２人目の素数さん
19/03/18 08:40:58.55 nxd5YUwU.net
美しい高校数学の部屋に載ってなかった？
111:１３２人目の素数さん
19/03/18 18:55:11.27 R3AL8sOK.net
>>106
岩波の公式集をぱらぱらめくってて 興味深い公式を見つけました >>95 の(1)です。
どうやって示すのか考えていると、バーゼル問題に使えることに気づきました。
多くの人にも、面白いと思っていただけると思い、ここに投稿しましたが、
広く知られている解法だったようですね。寡聞でした。
情報ありがとうございます。
112:１３２人目の素数さん
19/03/18 19:23:52.22 mVIlRR/Q.net
文句なく面白い。
113:１３２人目の素数さん
19/03/18 21:36:36.75 0rwEa7GM.net
Table[(17!/(18-k)!)/(k-1)!+(15!/(16-k)!)/(k-1)!+(13!/(14-k)!)/(k-1)!+(12!/(13-k)!)/(k-1)!+(8!/(9-k)!)/(k-1)!+(7!/(8-k)!)/(k-1)!+(6!/(7-k)!)/(k-1)!+(3!/(4-k)!)/(k-1)!+(2!/(3-k)!)/(k-1)!,{k,1,20}]
長軸有利
完全一致☆>>97
114:１３２人目の素数さん
19/03/18 22:59:27.50 0rwEa7GM.net
Table[(17!/(18-k)!)/(k-1)!+(15!/(16-k)!)/(k-1)!+(13!/(14-k)!)/(k-1)!+(11!/(12-k)!)/(k-1)!+(10!/(11-k)!)/(k-1)!+(8!/(9-k)!)/(k-1)!+(5!/(6-k)!)/(k-1)!+(4!/(5-k)!)/(k-1)!+(1!/(2-k)!)/(k-1)!,{k,1,20}]
短軸有利☆
{9, 84, 463, 1776, 5076, 11249, 19797, 28057, 32243, 30095,
9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095
22749, 13820, 6656, 2486, 695, 137, 17, 1, 0, 0}
22749 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
完全一致>>97
補正完了>>99
115:１３２人目の素数さん
19/03/19 19:32:54.50 Q+BBGgUR.net
> sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12]
短軸有利 5 26 73 133 167 148 91 37 9 1 0 0
長軸有利 5 27 76 140 176 153 92 37 9 1 0 0
同等 2 13 71 222 449 623 609 421 202 64 12 1
□■■■
□□■■
□□□■
Table[(9!/(10-k)!)/(k-1)!+(7!/(8-k)!)/(k-1)!+(6!/(7-k)!)/(k-1)!+(3!/(4-k)!)/(k-1)!+(2!/(3-k)!)/(k-1)!,{k,1,12}]
長軸有利☆
Table[(9!/(10-k)!)/(k-1)!+(7!/(8-k)!)/(k-1)!+(5!/(6-k)!)/(k-1)!+(4!/(5-k)!)/(k-1)!+(1!/(2-k)!)/(k-1)!,{k,1,12}]
短軸有利☆
■全12マス完全一致
Table[(12!/(12-k)!)/k!-(2((9!/(10-k)!)/(k-1)!+(7!/(8-k)!)/(k-1)!)+(6!/(7-k)!)/(k-1)!+(5!/(6-k)!)/(k-1)!+(4!/(5-k)!)/(k-1)!+(3!/(4-k)!)/(k-1)!+(2!/(3-k)!)/(k-1)!+(1!/(2-k)!)/(k-1)!),{k,1,12}]
同等☆
116:１３２人目の素数さん
19/03/20 20:35:00.52 A/HZwJ5O.net
図形の問題だったらこんなのはどうか
Q. xy平面上に x^2+y^2=1+|x|y を図示せよ
117:１３２人目の素数さん
19/03/21 12:37:27.82 7SD0ARm/.net
|x|^2 - |x|y + yy = 1,
は左右対称
軸を45
118:ﾟ回して (x+y)/√2 = u, (x-y)/√2 = v, とおく。 x≧0 のとき 1 = xx -xy +yy = (1/2)uu + (3/2)vv, x≦0 のとき 1 = xx +xy +yy = (3/2)uu + (1/2)vv, 楕円を2等分して貼り合わせたもの。ハート形？
119:１３２人目の素数さん
19/03/21 12:45:24.17 PBrZMJ0p.net
時事問題を1つ投入してみる。
当然答えはないが、いくつか意見が出たら自分の回答を出そうと思う。
あなたは新元号のイニシャル(アルファベット1文字)を当てる賭けに参加することになった。
次の条件のとき、あなたはどのように賭けを行うか？
・新元号のイニシャルを当てれば掛け金の3倍を得られ、外れれば掛け金は回収される。
・複数のイニシャルに賭けることも可能で、それらの賭け金は異なってもよい。
・その次の元号が発表される時にも同様な賭けが開催されることが予想される。
120:１３２人目の素数さん
19/03/21 13:33:49.70 6evH0SrG.net
>>114
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
ほんとだ
こういうのは素直に面白いと思える
121:１３２人目の素数さん
19/03/21 15:11:13.04 l19j26DY.net
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
122:１３２人目の素数さん
19/03/21 16:59:12.76 Qa1yPrUO.net
ほほう続けたまえ
123:１３２人目の素数さん
19/03/22 13:29:06.26 drK4GQ4/.net
久々に投稿。（個人的に）未解決なので注意
～～～～～～～～～～～～～～～～
次の主張は成り立つか：球面S^2（⊂R^3）を
・S^2 = ∪_(n=1～5) f_n(D)
(ただし D は S^2 のルベーグ可測な部分集合、f_i は直行群の元で表される１次変換)
・n≠m の時 f_n(D)∩f_m(D) は（可微分多様体としてのS^2の）零集合
を満たすように合同な５つのパーツ f_n(D) (n=1,…,5) に"分割"する時、
f_n○(f_m)^(-1) (n≠m)
と表される全ての合成変換に共通する実固有ベクトルが存在する。
～～～～～～～～～～～～～～～～
５分割でなく、例えば4,6,8,12,20であれば正多面体を利用して自明でない合同分割が得られ、
少し工夫すると60や全ての８の倍数も可能。
（合同分割が自明であるとは、上のような状況設定で共通する実固有ベクトルが「存在する」ことをいう。
つまり上の主張は「球面の5-合同分割は全て自明である」と言い換えられる）
124:１３２人目の素数さん
19/03/23 16:12:24.88 vg/14z0H.net
>>119
Dは連結でなくてもよい？
125:１３２人目の素数さん
19/03/23 16:19:44.33 ontDjONn.net
>>119 の補足
つまるところ、球面の中で「基本領域」なるものを定めて
それと合同な図形何枚かを球面にモレなくダブリなく貼り合わせるのが合同分割。
nがどんな正の整数でも左の図みたいにすればうまいことn-合同分割ができるんだけど、
これはどの領域から別のどの領域に移すにもある共通の直線を"軸"にして動かせば良いことから、
これらはそれほど面白みのない合同分割として「自明」なものと定めた。
真ん中の6-合同分割は共通の"軸"にあたるものが存在しないため非自明。
右は非自明な32-合同分割。点線が軸になりそうだけど、
矢印で示したあたりの部分のせいで共通の軸とならない。他の８の倍数も同様。
（線がぐにゃぐにゃですまん。マウスで絵描くのむずい…）
URLﾘﾝｸ(o.8ch.net)
126:１３２人目の素数さん
19/03/23 16:23:09.63 ontDjONn.net
>>120
連結でなくとも構わない。でかルベーグ可測な集合であれば何でもＯＫ
（ルベーグ可測性は、どうしても生じるレベルのもれやだぶりを零集合でごまかせるように、という意図）
127:１３２人目の素数さん
19/03/23 20:00:37.44 y52PYPEo.net
> sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1
4×5の場合
宝：1個 同等
宝：2～5個 短軸有利
宝：6～13個 長軸有利
宝：14～20個 同等
□■■■■
□□■■■
□□□■■
□□□□■
短軸有利☆
Table[choose(17,k-1)+choose(15,k-1)+choose(13,k-1)+choose(11,k-1)+choose(10,k-1)+choose(8,k-1)+choose(5,k-1)+choose(4,k-1)+choose(1,k-1),{k,1,20}]
長軸有利☆
Table[choose(17,k-1)+choose(15,k-1)+choose(13,k-1)+choose(12,k-1)+choose(8,k-1)+choose(7,k-1)+choose(6,k-1)+choose(3,k-1)+choose(2,k-1),{k,1,20}]
同等☆
Table[choose(19,k-1)+choose(17,k-2)+choose(15,k-2)+choose(13,k-2)+choose(8,k-2)+choose(1,k),{k,1,20}]
128:１３２人目の素数さん
19/03/23 20:17:43.33 ontDjONn.net
>>119 が肯定的に解決したので報告。ヒントを言うと、やはり正20面体を利用するものでした。
ちなみに全ての偶数や３でも可能。７以上の奇数はまだ目途が立っていないのでよければそちらも…
129:１３２人目の素数さん
19/03/23 20:21:39.01 ontDjONn.net
連投失礼。
>>124 この場合肯定的にというのは、主張の反例が見つかったということです
（自明でない5-合同分割があればいいなと期待しながら調べていたものでつい…）
130:１３２人目の素数さん
19/03/23 21:14:10.50 vg/14z0H.net
自分も5の場合の(連結なDによる)非自明分割はみつけた
2nの場合は、自明n分割からさらに赤道による分割を考えればいけるね
131:１３２人目の素数さん
19/03/23 22:48:26.55 bFmkZXZA.net
(1)次の条件を満たす 有理数 s,t を見つけよ
・0 ≦ t ≦ 1/√2
・61/80 ≦ s
・s^2 = 2t^2-2t+1
(2)次の条件を満たす 凸多角形 を見つけよ。
・すべての頂点は、単位円の周上または内部にあり、両座標は有理数
・すべての辺長は、有理数
・周長は 31/5 以上
132:１３２人目の素数さん
19/03/23 23:02:40.19 ontDjONn.net
>>126
おお、連結なの見つけたのか すごい
2nの場合、もし左の図のことを言ってるのなら残念。これはどう変換しても軸は不変だから非自明じゃないんだ
（共通の固有ベクトルを持つだけで良いから、固有値まで一緒じゃなくても良い。例えば、
①から②への変換では軸は固有値1の固有ベクトル、①から③への変換では軸は固有値-1の固有ベクトルとなる）
一応非自明な5-合同分割のひとつの例を右図に挙げておきます。
わかりにくいですが正二十面体を立体射影で平面に落としたみたいなノリで描いてます。
外円の円周は本来は一点を表し、各同じ色の領域全体が一つのパーツになってます。
本来曲線で描かれるべきところもありますが、辺を共有してる、点だけ共有してる等の位置関係は保ってるので
そこから本来の形状を想像していただけたらとorz
URLﾘﾝｸ(o.8ch.net)
133:１３２人目の素数さん
19/03/23 23:52:22.38 vg/14z0H.net
>>128
②→③の変換を、２つの領域の共有する1点の方向に軸をとって回転させる、とすればよいのでは？
134:１３２人目の素数さん
19/03/24 00:17:53.96 Dv7WFm6W.net
>>129
実際それは固有ベクトルの１つなんだけど、絵に描かれてる直線も固有ベクトルであることに変わりはないよね
それで、自明の定義が「～～共通する実固有ベクトルが存在する」だから、他の固有ベクトルの存在に関わらずこれは自明になるんだ
"軸"と表現すると各変換で一つしかないように思えるけど（これはこちらの言葉選びが良くなかったと思う、すまない）
その図の場合、言及してもらった方向にx軸をと�
135:黷ﾎ、②から③への変換は f(x,y,z)=(x,-y,-z) と表せるから (1,0,0) の他に (0,cosθ,sinθ) という無数の"軸"を持つことがわかる（そして図の直線の方向もその中に含まれる）
136:１３２人目の素数さん
19/03/24 00:25:11.34 tXXhNwbU.net
>>130
そういや元の定義は固有ベクトルを共有しないって話でしたね
考えてるうちに失念してました、失敬
137:１３２人目の素数さん
19/03/25 03:09:51.72 mXyNEWNR.net
>>127 (1)
与式は
s^2 = t^2 + (1-t)^2
ピタゴラス数だから、自然数 a, b により
s = (aa+bb)/N,
t = (aa-bb)/N,
1-t = 2ab/N,
と表わせる。
N = aa+2ab-bb,
s ≧ 61/80 より
0.41421356 = √2 -1 < a/b < (61-√1042)/19 = 1.51157764 または 4.90947499 = (61+√1042)/19 < a/b,
0 ≦ t < 1/√2 より
1 ≦ a/b < {1+√(4-2√2)}/(√2 -1) = 5.02733952
これらより
1 ≦ a/b < (61-√1042)/19 = 1.51157764
ならば十分。
例) a=b, s=1, t=0,
138:１３２人目の素数さん
19/03/25 14:09:39.15 mXyNEWNR.net
>>132
訂正ｽﾏｿ
s ≧ 61/80 より
0.41421356 = √2 - 1 < a/b < (19+√4082)/61 = 1.35886117
0 ≦ t < 1/√2 より
1 ≦ a/b < 1 + √2 + √(4+2√2) = 5.02733949
これらの共通部分は
1 ≦ a/b < (19+√4082)/61 = 1.35886117
139:１３２人目の素数さん
19/03/25 21:50:38.26 8L6drYlk.net
>>127 の出題者です。
まず最初に (1) の第一条件 「0 ≦ t ≦ 1/√2」 を「1/2 ≦ t ≦ 1/√2 」に変更させてください。
これは、(2)における、「凸多角形」を「多角形」としてしまうような重大なミスでした。申し訳ありません。
にもかかわらず、132さんには、「1/2 ≦ t ≦ 1/√2 」と変更されたとしても、対応可能なほど、
丁寧に解いていただき、感謝いたします。
s,tの表現や、4.90947499=(61+√1042)/19 < a/b < {1+√(4-2√2)}/(√2 -1)=5.02733952
などから、十分過ぎる内容です。
a:b=5:1を採用すると、自然と、(s,t)=(13/17,12/17) が導けますから。
すでにお気づきだとは思いますが、この問題作成のきっかけは、有名な入試問題「π>3.05を証明せよ」です。
61/80という数字は、そこから持ってきたものです。
140:１３２人目の素数さん
19/03/26 04:26:59.13 OnHU8Iku.net
>>127
しょうがねぇから (2) も解くか････
A (1, 0)
B (1 - 8nn/(nn+1)^2, 4n(nn-1)/(nn+1)^2)
C (c, c)
とおく。
ただし c = {21(n^4-6nn+1) + 80n(nn-1)}/{41(nn+1)^2} < 1/√2,
n≧6 のとき凸16角形（の 1/8）となる。
AB は 横2n：縦(nn-1) の直角⊿の斜辺ゆえ
AB = 4n/(nn+1),
BC は 横20：縦21 の直角⊿の斜辺ゆえ
BC = (29/41){1 - 4n(nn+2n-1)/(nn+1)^2},
周長L = 8 (AB+BC),
・L が 31/5 以上となるのは n=7,8,9 の場合。
n=6, L = 8 (0.64864865 + 0.12451674) = 6.185323095
n=7, L = 8 (0.56000000 + 0.21615610) = 6.20924878
n=8, L = 8 (0.49230769 + 0.28409872) = 6.21125126
n=9, L = 8 (0.43902439 + 0.33619651) = 6.20176724
n=10, L = 8 (0.39603960 + 0.37726813) = 6.18646187
141:１３２人目の素数さん
19/03/26 12:15:42.23 cJcgY6MN.net
お疲れ様でした。この問題は整数問題ととらえて平方根を外すことを主眼に解こうとするとドツボにはまると思います。
特定の角度をもつ、ピタゴラス三角形をあらかじめ探し出し、目的の多角形の一辺に合うように
縮小し、座標に当てはめていけば見つけられます。以下、用意しておいた解答です。
11sin(π/11)=3.099...、12sin(π/12)=3.105なので、辺の数が12以上でなければ6.2を超えないことが判ります。
そこで、第一象限内に、A(a,a)、B(b,c)、C(c,b) を考え、残りは対称コピーしてできあがる12角形を考えます。
丁度、時計を15度傾けたとき、数字のある位置を頂点とする様な配置の仕方です。
この場合、必要とするピタゴラス三角形は、斜辺の角度が60度のものです。1:√3:2の比の三角形ですが、
これに近いものとして、120:209:241 を採用することとします。A(a,a)が、上のような配置の正十二角形の
一頂点だとしたら、一辺の長さは(√3-1)aとなります。√3-1=0.7320...に近い値として11/15=0.7333...を採用すると、
b=a+(11a/15)*(120/241)=329a/241、 c=a-(11a/15)*(209/241)=1316a/3615
この場合全周は、8*(11a/15+1316a/3615)=31736a/3615 で、(√2)aで割ると6.207673となり、
12角形を用いたのですが、ぎりぎり満足できそうなことが判ります。
aとして、241*3615/Floor[241*3615*sqrt(2)+1]=58081/82139 を使うと
A(58081/82139,58081/82139)、B(79289/82139,317156/1232085)、C(317156/1232085,79289/82139)
ほかにも、三種類のピタゴラス三角形を用いて、
X0=(1,0)、X1=X0+(3/7)*(-9/41,40/41)、X2=X1+(9/20)*(-204/325,253/325)、X3=X2+(18/37)*(-1161/1289,560/1289)
で定まる14角形などもあります。
142:１３２人目の素数さん
19/03/26 14:33:33.45 OnHU8Iku.net
>>135 をﾁｮﾄ変えてみた。
A (1,0)
B (1 - 8nn/(nn+1)^2, 4n(nn-1)/(nn+1)^2)
C' (c', c')
とおく。
ただし c' = (4/7){1 + n(n-3)(3n+1)/(nn+1)^2},
n≧6 のとき凸16角形（の 1/8)となる。
c' < 1/√2 = 0.70710678 より n≧8.
ABは 横2n：縦(nn-1) の直角⊿の斜辺ゆえ
AB = 4n/(nn+1),
BC'は 横3：縦4 の直角⊿の斜辺ゆえ
BC' = (5/7){1 - 4n(nn+2n-1)/(nn+1)^2},
周長L = 8 (AB+BC),
・L が 31/5 以上となるのは n=8,9,10,11 の場合。
n=7, L = 8 (0.56000000 + 0.21828571) = 6.22628571, c' = 0.71222857 (失格)
n=8, L = 8 (0.49230769 + 0.28689772) = 6.23364328, c' = 0.70667794
n=9, L = 8 (0.43902439 + 0.33950880) = 6.22826549, c' = 0.69992352
n=10, L = 8 (0.39603960 + 0.38098506) = 6.21619729, c' = 0.69298528
n=11, L = 8 (0.36065574 + 0.41444312) = 6.20079088, c' = 0.68629785
n=12, L = 8 (0.33103448 + 0.44195685) = 6.18393070, c' = 0.68003397
143:１３２人目の素数さん
19/03/26 15:44:11.04 OnHU8Iku.net
>>136
なるほど。
(1,0) (0,1) を通さなければ 12角形で可能でござるな。
(1,0) (b,c) (c,b) (0,1) の12角形は、中央の辺長が |b-c|√2 なので即アウトでござる。
また
A (1,0)
B (1 - 8nn/(nn+1)^2, 4n(nn-1)/(nn+1)^2)
D (4m(mm-1)/(mm+1)^2, 1 - 8mm/(mm+1)^2)
E (0,1)
の12角形も
BD = {(mn-m-n-1)^2 - 2(m+n)^2}/[(mm+1)(nn+1)]・√2
でアウトでござる。
144:１３２人目の素数さん
19/03/26 16:20:01.43 OnHU8Iku.net
>>136
BA = AC = 638891/1232085 = 0.51854458
B~B = CC~ = 2･(317156/1232085) = 0.51482812
L = 4 (BA+AC+CC~) = 7648376/1232085 = 6.20766911
確かに可能でござる。
145:１３２人目の素数さん
19/03/26 23:49:26.44 cJcgY6MN.net
>>137
ある頂点から、有理数条件(x座標変位、y座標変位、距離すべてが有理数)を満たす点を探すだけなら、
簡単です。どんなものでもいいので、ピタゴラス三角形を持ってくればいいのです。しかも縮尺も
有理数倍でさえあれば自由です。いわば自由端問題で >>136 で記した二つは両方ともこの方針によるものです。
しかし、(t,t)型の頂点�
146:ｩらも同時に有理数条件を満たさなければならないとなれば、大変です。 一定方向にのみ動かせますが、いわば固定端問題です。私はこの方針は面倒そうだと思い、端からあきらめて いましたが、>>137 等では、それを行っています。よく見つけられたと、感歎してます。 実際にプロットしてみましたが、ｎの変化によって、頂点の分布が結構変化しますね。 凸条件を満たさないものや、単位円の外に出るものもありましたが、一定の範囲内のnに対し、 条件を満たします。 nは整数に限りません。有理数でokですね。すばらしい解答だと思います。
147:１３２人目の素数さん
19/03/27 01:22:35.54 RCQB5eMI.net
>>127
問題の趣旨に添う回答じゃないかもだけど一応。自然数 n に対して
a = 4n^4+8n^3-4n-1 = (2n^2-1)(2n^2+4n+1),
b = 8n^3+12n^2+4n = 4n(n+1)(2n+1),
c = 4n^4+8n^3+8n^2+4n+1 = (2n^2+2n+1)^2,
d = 8n^3+12n^2+8n+2 = 2(2n+1)(2n^2+2n+1)
と定めて α=(a+bi)/c とおけば、|α|=1, |1-α|=d/c と有理数になってくれるから、
うまいこと自然数 m を定めて複素平面上の点集合 {a^n}_(n=-m,…,m) を順に結べば周長以外の条件を全て満たす。
点集合を順に結んで（α^m と α^(-m) も結んで）凸多角形ができるために m が満たすべき条件はというと、
α^1 から α^m までが全て上半平面にあることのみ。（このため m の大きさはだいたい πn/2 程度に制限される）
n を十分大きくとればそれだけ辺が円に近づくから、周長が 31/5(<π) を超えるように n をとることは可能。
…そして実際にとれれば解決なんだけど、計算が煩雑になるため計算機に頼るしかないのが難点。一応理論だけ以上の通り
148:１３２人目の素数さん
19/03/27 02:49:58.29 7GIMN6w0.net
> nは整数に限りません。有理数でokですね。
そうであったか。しからばチト修正････
>>135
・凸条件 (nn-1)/2n > 1+√2 から
n > 1+√2 + √{2(2+√2)} = 5.02733949
・c = (21/41){1 + (8/21)n(2n-5)(5n+2)/(nn+1)^2} < 1/√2 から
n > {881 + (29√2)[29+√(2･29･29+881√2)]}/(17･47) = 5.36862925
・L が 31/5 以上となるのは
6.45963968 < n < 9.13156611
>>137
・凸条件 (nn-1)/2n > 1+√2 から
n > 1+√2 + √{2(2+√2)} = 5.02733949
・c' = (4/7){1 + n(n-3)(3n+1)/(nn+1)^2} < 1/√2 から
n > {31 + (5√2)[5+√(50+31√2)]}/17 = 7.93257298
・L が 31/5 以上となるのは
6.10446338 < n < 11.04823360
これらの共通部分は
7.93257298 < n < 11.04823360
でござるか。
149:１３２人目の素数さん
19/03/27 03:54:25.04 7GIMN6w0.net
>>141
c+a = 2{2n(n+1)}^2,
c-a = 2{(n+1)^2 - n^2}^2,
c = {(n+1)^2 + n^2}^2
cc - aa = bb,
b = 2{2n(n+1)}{(n+1)^2 + n^2},
dd - (c-a)^2 = bb,
d = 2{(n+1)^2 - n^2}{(n+1)^2 + n^2} = 2{(n+1)^4 - n^4}
150:１３２人目の素数さん
19/03/27 16:01:08.26 7GIMN6w0.net
>>141
θ = arcsin(b/c),
とおくと
m = [ π/θ ]
L = 2m(d/c) + 2sin(mθ),
n=3
a=527, b=336, c=25^2, d=14･25, θ=0.56758821841666, m=5,
sin(5θ) = 28515500892816/(c^5) = 0.29900669864185 ∈ Q
L = 2･5･(14/25) + 2sin(5θ) = 6.1980133972837
n=4
a=1519, b=720, c=41^2, d=18･41, θ=0.44262888469558, m=7,
sin(7θ) = 1637671530080839800240/(c^7) = 0.043177033944429 ∈ Q
L = 2･7･(18/41) + 2sin(7θ) = 6.2326955313035
・L が 31/5 以上 ････ n≧4
n=17
a=373319, b=42840, c=613^2, d=70･613, θ=0.1142546313550, m=27,
sin(27θ) = 0.056687202872879 ∈ Q
L = 2･27･(70/613) + 2sin(27θ) = 6.2797691855174
n=18
a=466487, b=50616, c=685^2, d=74･685, θ=0.10808179674906, m=29,
sin(29θ) = 0.00722048512511925 ∈ Q
L = 2･29･(74/685) + 2sin(29θ) = 6.2801344009072
・L が 6.28 以上 ････ n≧18
151:１３２人目の素数さん
19/03/27 18:59:48.64 RCQB5eMI.net
>>144
どうもありがとう。n=3 の時点でもう10ケタ超えてたのね…
そして n=4 と意外と早いタイミングで条件が満たされてやや驚き
152:１３２人目の素数さん
19/03/28 18:57:41.42 u5dugarK.net
底円の中心Oの半球を底円と平行な平面αで体積が半分になるように切断した
さらに、底円とαの中央にそれらの平面と平行な平面βで半球を切断する
βによる断面の中心をO'、周上の点をPとするとき、
∠OPO'を求めよ
153:イナ
19/03/29 01:39:27.60 HwjUDANs.net
前>>42
>>146
半径1の半球を底円から高さωまで足し集めたとき、体積が球(体積4π/3)の1/4とすると、
π/3=π∫0～ω(1-t^2)dt
1/3=[t-t^3/3]0～ω
1/3=ω-ω^3/3
ω^3-3ω+1=0―①
ω=sin∠OPO'
①を微分すると、
3ω^2-3=0
y=f(ω)=ω^3-3ω+1のグラフの形より、
ω=-1のとき極大、
ω=1のとき極小値-1をとる。
①の値が0となるωは、
0＜ω＜1のうちやや0寄りのとき。
∠OPO'≒18°
154:イナ
19/03/29 03:05:36.95 HwjUDANs.net
前>>147訂正。
{sin(20°)}^3-3sin(20°)+1=0.0139483266≒0
20°よりわずかに大きいが、整数値では20°がもっとも近い。
155:１３２人目の素数さん
19/03/29 03:26:16.56 MknlJmz0.net
π∫[0,a](1-x^2)dx = 1/2・2π/3より
a-a^3/3 = 1/3 。
∴ (2b) - (2b)^3/3 = 1/3。
∴ 3b - 4b^3 = 1/2。
∴ 3(sinθ) - 4(sinθ)^3 = 1/2。
∴ sin3θ = sin(π/6)。
∴ θ=π/18。
156:１３２人目の素数さん
19/03/29 04:31:06.94 VkFmcJI2.net
>>148
不正解
>>149
正解です
157:イナ
19/03/29 19:00:13.34 HwjUDANs.net
>>149-150え？ 10°はうすいよ。そんなうすっぺらの円盤が半球の1/3になるの？ 前>>148そうかなぁ？ 10°で1/3か。
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158:１３２人目の素数さん
19/03/29 19:57:39.23 LPNlICzO.net
白玉18個と黒玉2個の計20個の玉が袋に入っている。
「無作為に袋から玉を1つ取り出しその玉は戻さない」ということを繰り返す。
初めて黒玉が出るまでに白玉が出た個数として、最も確率の高いのを0, 6, 9, 18のうちから答えよ。
159:１３２人目の素数さん
19/03/29 23:17:05.53 wl3kiRr8.net
面白いかそれ
160:１３２人目の素数さん
19/03/29 23:20:33.96 tdvB3ar5.net
たぶん春休みの宿題を丸投げしたんだろう。レベル的にも納得いく。
161:
19/03/30 00:51:47.96 NlW
162:MNrkf.net
163:１３２人目の素数さん
19/03/30 01:30:17.91 7BGk7rf9.net
V(θ) = π∫[0～2sinθ] (1-xx) dx
= (2π/3) [(3/2)x - (1/2)x^3](x=0,2sinθ)
= (2π/3) {3sinθ - 4(sinθ)^3}
= V(π/6) sin(3θ),
面白い。
164:１３２人目の素数さん
19/03/30 01:47:23.62 OTGT3Nnx.net
よくあるキャッチコピー「2人に1人ががんになる」
実は、これには数字のカラクリがあるのだ
実際には、日本人が50歳までに罹る確率は、統計上では、なんと2％
60歳でも7％以下に過ぎない
80歳でも37％以下
90歳や100歳まで生きる人すべてを合わせて、ようやく「2人に1人」となる
（国立がん研究センターがん対策情報センター「最新がん統計」より）
165:１３２人目の素数さん
19/03/30 01:51:34.89 gEBypZ33.net
>>157
何いってんだ
死ぬ前までにガンにかかる確率、という言葉通りの当たり前の定義だぞ
166:１３２人目の素数さん
19/03/30 19:00:49.69 7BGk7rf9.net
URLﾘﾝｸ(ganjoho.jp)
→ 統計 → がん統計 → 最新がん統計
167:イナ
19/03/30 20:27:40.80 NlWMNrkf.net
なんで式いっしょなのに答え違うんだろ？ 計算間違えたかな？ 10°かな？ 前>>155
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168:イナ
19/03/31 08:21:55.75 WvtQrXU6.net
前>>160
底円とαの中央にそれらの平面と平行な平面β
ここが難しい。
底円と平面αに平行な平面βという意味ではないのか？ 中央は点だ、点に平行ってのはおかいしな。
169:１３２人目の素数さん
19/03/31 08:25:55.92 Dv8nWMet.net
>>155
不正解です
20回続けて取り出した時、黒が出るタイミングはC(20,2)=190通りあります
これらは全て同様に確からしいです
うち初めに黒が出るのは19通り。6回白が出て黒が出るのは13通り。同様に選択肢順に10通り、1通り。
よって0が最も確率が高いと結論されます
170:イナ
19/03/31 11:32:36.22 WvtQrXU6.net
前>>161
平面βは底円と平面αのちょうど中央にあるとして、
π∫0～2sin∠OPO'(1-t^2)dt=(4π/3)(1/2)(1/2)
=π/3
[t-t^3]0～2sin∠OPO'=1/3
2sin∠OPO'-8(sin∠OPO')^3/3=1/3
6sin∠OPO'-8(sin∠OPO')^3=1―①
先の解答で、半球を平面αで切ったときの∠OPO'より上にある∠OP'O"はほとんど20°だったから、
∠OPO'=10°と予想される。 に①入し、、
s(in10°)な8(sin10°O^3=1
示された。
(文字化けの可能性あり)
171:イナ
19/03/31 14:31:24.53 WvtQrXU6.net
前>>163修正。
平面βは底円と平面αのちょうど中央にあるとして、
π∫0～2sin∠OPO'(1-t^2)dt=(4π/3)(1/2)(1/2)
=π/3
[t-t^3]0～2sin∠OPO'=1/3
2sin∠OPO'-8(sin∠OPO')^3/3=1/3
6sin∠OPO'-8(sin∠OPO')^3=1―①
先の解答で、半球を平面αで切ったときの∠OPO'より上にある∠OP'O"はほとんど20°だったから、
∠OPO'=10°と予想される。①に代入し、
6(sin10°)-8(sin10°)^3
=6(0.173648178)-8(0.173648178)^3
=6(0.173648178)-8(0.00523613325)
=1
∴示された。
172:１３２人目の素数さん
19/03/31 15:44:56.67 9epLhfw5.net
>>164
sin10°≒0.173648178
はあくまで近似値であって真の値でないためそれは数学的な証明でもなんでもありません
すなわち示されてません
173:イナ
19/03/31 16:23:25.92 WvtQrXU6.net
前>>164
>>165
しかしだな、
6(sin10°)-8(sin10°)^3の値がぴったり=1となったんだよ。≒1じゃない。近似じゃないんだ。信
174:じてほしい。びっくりしたし、おもしろいと思う。が、なんでそうなるかはまだこれから考えたいところ。 20°だと微妙に値がズレるのに、10°だとなぜかぴったりだった。
175:１３２人目の素数さん
19/03/31 16:31:17.49 B4Gs7DcY.net
3倍角の公式知らなそう
176:１３２人目の素数さん
19/03/31 16:40:25.28 9epLhfw5.net
>>166
近似値ではなくぴったり1になることはすでに>>149で示されてます
そういうことを言いたいのではなくて>>164が全く数学の証明になっていないということを言いたいだけです
177:１３２人目の素数さん
19/03/31 16:41:17.93 K6R/U40w.net
>>167
3倍角以前にイナとかいう奴は「証明」という概念を知らないんだろうな
178:１３２人目の素数さん
19/03/31 17:23:05.81 vR8eW31j.net
黙ってNG登録しておけよ。
179:１３２人目の素数さん
19/03/31 17:36:29.88 cXTAnoiE.net
中心がOにある半球を、その底面と平行な平面αで切断したところ、
下側の体積が半球の sin(3θ) 倍になった。
さらに、底面と平面αから等距離な平面βをとる。
βと半球との交円をCとし、C上の一点をPとするとき、
OPと底面のなす角を求めよ。
180:イナ
19/03/31 19:26:09.77 WvtQrXU6.net
前>>166
>>171
平面βの中心をO'とし、半球を水平面で切って(底面～平面β～平面αまで)足しあつめる(高さ0～2sin∠OPO'で積分する)と、
π∫0～2sin∠OPO'(1-t^2)dt=(4π/3)(1/2)(1/2)=π/3
[t-t^3/3]0～2sin∠OPO'=1/3
2sin∠OPO'-(8/3)(sin∠OPO')^3=1/3
6sin∠OPO'-8(sin∠OPO')^3=1
前問同様、∠OPO'=10゜
平面βと半球の底円が平行だから題意の角は∠OPO'の錯角で、10°
181:イナ
19/03/31 21:46:48.40 WvtQrXU6.net
前>>172
>>171つづき。
(4π/3)(1/2)(sin3θ)=π/3
2sin3θ=π
sin3θ=π/3
3θ=30°
θ=10°
∴題意の角はθ
182:イナ
19/03/31 21:52:53.25 WvtQrXU6.net
前>>173訂正。
(4π/3)(1/2)(sin3θ)=π/3
2sin3θ=π/3
sin3θ=π/6
3θ=30°
θ=10°
∴題意の角はθ
183:１３２人目の素数さん
19/04/01 07:17:19.46 cJKd39L0.net
10桁の近似値を入れて10桁電卓で計算したら1になるかもしれないけど
10桁の近似値を入れて50桁電卓で計算したら1にはならんよね
184:
19/04/01 12:55:26.59 NOTjRL9P.net
我輩の電卓は八桁である。前>>174シナコンで受賞して映画化するのを楽しみにしている。
￣￣]/＼＿＿＿_∩∩
＿＿/＼/ ,,､､(___))
￣￣＼/ 彡`-`ﾐっц|~
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□ □ □ ∥ /
＿＿＿＿＿＿＿＿＿∥/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣したらば板みつけた。書きこめないけど。もっとおもしろい問題を出してほしい。
185:１３２人目の素数さん
19/04/01 17:23:17.07 w/PtvYf9.net
とりあえず確信になった事が一つある。
絶対に東大ではない。
186:
19/04/01 19:23:06.98 NOTjRL9P.net
6sin10°-8(sin10°)^3=1
だれかこの不思議を紐解いてくれないか。なんでぴったり10°なんだ。できれば図に描いて。脳でわかるような図を。
前>>176もう眠たい。雨降ってきそうなぐらい気圧下がってきてる。
￣￣]/＼＿＿＿_∩∩
＿＿/＼/ ,,､､(___))
￣￣＼/ 彡~-~ﾐっ /|
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187:１３２人目の素数さん
19/04/01 19:30:49.41 2IqqjnJM.net
コテつけろよ
188:１３２人目の素数さん
19/04/02 01:51:47.11 16AvIFmf.net
永瀬隼介
深町秋生
ヒトモドキゴキブリネトウヨ猿障害者くそ食って自殺しろ
189:１３２人目の素数さん
19/04/02 01:57:34.26 AzFYC76j.net
URLﾘﾝｸ(booklive.jp)
ヒトモドキニホンザル滅多打ちに死刑にしろ
190:イナ
19/04/02 19:55:20.70 EVOP/tMS.net
>>179面白い問題 ∩∩
出してよ
191:｡前>>178(^o^)) [￣] ｸﾝｸﾝ…… U⌒U､ ￣￣]/＼___∩∩ノ (γ) ＿＿/＼/,,(`.`))⌒ヾU/ ￣￣＼/彡`-`ﾐυ`υυ/ ￣￣|＼_U,~⌒ヽ___／| □ | ∥￣~U~U~￣∥ | ＿＿| ∥ □ □ ∥ |/ _____`∥_________∥／ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣
192:１３２人目の素数さん
19/04/02 20:52:49.31 DfDvejy5.net
>>178
頼むからコテつけててくれ
193:１３２人目の素数さん
19/04/02 22:00:27.48 FlXb89/O.net
直線l上の異なる2点A,Bは線分ABをなしている。このABを三等分せよ。ただし次の条件で作図すること:
･ものさしとコンパスだけ
･ものさしは直線を引くためだけ
･コンパスは1回のみ使う
194:【令和】
19/04/03 12:25:27.29 ysNr45g9.net
>>183なんでコテが∩∩
要るの？ 前>>182(^o^))
[￣] ｸﾝｸﾝ…… U⌒U､
￣￣]/＼___∩∩ノ (γ)
＿＿/＼/,,(`.`))⌒ヾU/
￣￣＼/彡`-`ﾐυ`υυ/
￣￣|＼_U,~⌒ヽ___／|
□ | ∥￣~U~U~￣∥ |
＿＿| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥_________∥／
￣￣￣￣￣￣￣￣￣クジが引ける日時はコテが外れるんだよ。>>184
コンパスをただ一度どこで使うか。AB上の三等分地点をとおらなならんと思うがどうか。てことはABに対する垂直二等分線上に針を置けばいい。垂直二等分線はコンパスがなくても引ける。
ものさしを直線ABに対しやや斜めに置き、片側にAをとおる直線を、もう片側にBをとおる直線を同時に引く。これを逆の斜めで同様に行えばABを対角線としたひし形が描ける。そのもう一つの対角線がABの垂直二等分線だ。
さて問題はABの垂直二等分線上のどこにコンパスの針を置くかじゃない。ABの三等分地点のどちらか一方にコンパスの鉛筆を置かなならん。
コンパスの長さをABとするとABの中点からコンパスの針を置く位置までの長さは、三平方の定理より、
√{AB^2-(AB/6)^2}=(√35)AB/6
これは描けなさそう。
コンパスの長さを(1/2)ABとするとABの中点からコンパスの針を置く位置までの長さは同様に、
√{(AB/2)^2-(AB/6)^2}=(2√2)AB/6
=(√2)AB/3
これは描ける可能性がある。早ければあした。
195:１３２人目の素数さん
19/04/03 12:33:08.60 cZllLO+m.net
目分量を許すならものさしもコンパスもいらんな
196:１３２人目の素数さん
19/04/03 13:42:45.43 /GCa5KKq.net
画像荒らしを効率よくあぼーんする方法はないかね？
197:イナ
19/04/03 14:31:56.35 ysNr45g9.net
>>187目分量はだ[≒](Y)
めだろ。前>>185(~e~( )
[￣] ｸﾝｸﾝ…… U⌒~ﾉ
￣￣]/＼__∩∩ノ (γ）
＿＿/＼/,(`.`))⌒ヾU /
￣￣＼/彡`-υﾐ`υυ /
￣￣|＼_U,~⌒ヽ___／|
□ | ∥￣~U~U~￣∥ |
＿＿| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥_________∥／
￣￣￣￣￣￣￣￣￣画像が貼れなくてあれだけど、この[≒]みたいな感じで、ものさしをABに対し斜めに置けば、最後にコンパスで三等分できると思う。
198:１３２人目の素数さん
19/04/03 14:34:05.88 MZnkC3gh.net
>>187
本文指定でできるんじゃない？
199:１３２人目の素数さん
19/04/03 23:32:42.41 QPJsUbUo.net
>>178
-8x^3+6x-1=0の解がsin10°になる理由を考えろってこと？
200:１３２人目の素数さん
19/04/03 23:54:44.38 Je277FpB.net
今の教育課程なら優秀な高校生でもできそうだな
201:１３２人目の素数さん
19/04/04 00:06:57.38 rdNCDObo.net
東大農学部に入学できる学力があればできる。
202:１３２人目の素数さん
19/04/04 02:19:01.69 T4XvR5S2.net
>>184
直線AB上にない１点Zをとる。
コンパスでZを中心とし直線ABと交わる大きさの円周Cを曳く。
直線ABとCの交点をD, Eとする。
ものさしで直線DZを曳き、円周Cとの交点をD~とする。
ものさしで直線EZを曳き、円周Cとの交点をE~とする。
ものさしで直線D~E~を曳く。これは直線ABと平行である。
AB、D~E~の平行線をもう1本曳きたいが････
DED~E~ が長方形であることを使おう。
ものさしで長方形の各辺を2等分できれば、2直線AB、D~E~から等距離の直線を曳ける。
203:１３２人目の素数さん
19/04/04 02:56:14.55 T4XvR5S2.net
長方形DED~E~の一辺を3等分せよ。ただし、次の条件で作図すること：
･ものさしだけ
･ものさしは線分を引くためだけ（長方形の中
204:だけ）
205:
19/04/04 03:21:06.76 fNgAkNYq.net
￣]/＼_＿＿＿＿＿>>190
＿/＼/ ∩∩ /|ちょ
￣＼/ ((`-`)/ |っと
￣|＼＿＿,U⌒U､| |__違
］| ∥￣￣~U~U | / /う
＿| ∥ □ ∥ |/ /か
_ `∥＿＿＿∥／_/な。
￣￣￣￣￣￣￣￣∥ /
□ □ □ ∥ /
＿＿＿＿＿＿＿＿∥/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣xだとsinになるとも10°になるとも思う前>>188に、0＜x＜1の範囲で0寄りにあるある値に決まってしまう。知りたいのは値じゃない。
sin10°の10°のほう。
なぜぴったり10°なのか。
ただこれには自分なりの答えが出たからもうどっちでもいい。開運!!
206:１３２人目の素数さん
19/04/04 03:26:32.61 G54Ys2qS.net
>>192
もっと標準的なレベルの問題でしょ
3倍角の公式使うだけだし
207:１３２人目の素数さん
19/04/04 03:37:46.36 5edLtzqD.net
>>196
約1名東大農学部卒で解けないとのたまう御仁がいる。
208:１３２人目の素数さん
19/04/04 05:46:41.55 T4XvR5S2.net
>>194
>>194
対角線DD~，EE~の交点を Z(0,0) とする。
辺の長さを DE = D~E~ = 2p, DE~ = D~E = 2q とする。
D (-p,-q) E (p,-q) D~(p,q) E~(-p,q)
辺DE上に点S (-ps,-q) 辺D~E~上に点T (-pt,q) を任意とる。(0<s<t<1 とする)
SZの延長と辺D~E~の交点はS~(ps,q)
TZの延長と辺DEの交点はT~ (pt,-q)
S~T~ // ST
線分STと対角線DD~の交点はU (-(s+t)p/(2-s+t), -(s+t)q/(2-s+t))
線分STと対角線DD~の交点はV (-(s+t)p/(2+s-t), (s+t)q/(2+s-t))
線分S~T~ と対角線DD~，EE~の交点は U~，V~
UV~の延長と辺DE~，ED~の交点は W (-p,-qs)，X~(p,-qt)
VU~の延長と辺DE~，ED~の交点は X (-p,qt)，W~(p,qs)
したがって
SW~ // S~W // TX // T~X~ // DD~ (傾き q/p)
SW // S~W~ // TX~ // T~X // EE~ (傾き -q/p)
5本組の平行線が2つ得られた。
209:１３２人目の素数さん
19/04/04 06:26:06.12 fdTdmxGi.net
原理的に、定規とコンパスによる作図で描き出せる「2線の交点」（線は直線でも円弧でも可）は、すべて定規のみで描けるという定理があるから、
究極はコンパス0回にできるはずなんだ
210:１３２人目の素数さん
19/04/04 07:21:27.66 T4XvR5S2.net
>>198 (続き)
SW，T~Xと対角線DD~の交点をF，Gとする。
FT~とGSの交点をH，FXとGWの交点をIとする。
DHの延長とED~の交点は J (p, -q/3) EJ = (2q)/3
DIの延長とD~E~の交点は K (-p/3, q) E~K = (2p)/3
となる。
なお、各辺が3等分されたので、直線ABの平行線は無数に曳ける。
(注) アフィン幾何では、縦横に伸縮して考えてもよい。
たとえば正方形(p=q)にして考えると、両対角線の傾角は45°となる。
底辺に対する両対角線の傾角が等しいことが重要。
211:１３２人目の素数さん
19/04/04 07:38:10.41 T4XvR5S2.net
>>199
たぶん、できないと思うよ。（有限回では）
212:１３２人目の素数さん
19/04/04 08:58:43.20 MSMuw29B.net
nが有理数のとき、線分ABの1/nの長さの線分を取れることも示せそう
コンパスを使う回数を2回にすると、これまた少し違って楽しくなるね
213:１３２人目の素数さん
19/04/04 09:32:55.71 E6IKhtVL.net
>東大農学部に入学
誰にもできない
214:
19/04/04 11:32:03.46 fNgAkNYq.net
>>190その式なら
x=cos80°=1.73648178でも成り立つ。そうじゃなくて、半球を体積が半分になるように水平に切った球台をさらに高さ半分で水平に切るという一連の動作で、そのうすい球台の∠OPO'が、なぜぴったり10°になるのか、その不思議を言ってます。
￣]/＼＿＿＿＿前>>195
＿/＼/ ∩∩ /|
￣＼/ ((`-`)っ/ |
￣|＼＿_U,~⌒ヾ､ |__
］| ∥￣￣~U~~U
215:| / /| ＿| ∥ □ ∥ |/ / | _ `∥＿＿＿∥／_/ | ￣￣￣￣￣￣￣￣∥ / □ □ □ ∥ / ＿＿＿＿＿＿＿＿∥/ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣
216:
19/04/04 13:39:30.27 fNgAkNYq.net
､∩レイザービームの如
`_')っ､くぴったり10°
￣]/＼_＼________で切
＿/＼/ с＼.~っ /|らせ
￣＼/ ((`-＼っ/ |ると
￣|＼＿_U,~⌒＼| |__こ
］| ∥￣￣~U~~U＼/ /|
＿| ∥ □ ∥ |/＼ |
___`∥＿＿＿∥／_/ ＼
￣￣￣￣￣￣￣￣∥ /`
□ □ □ ∥ /が
＿＿＿＿＿＿＿＿∥/面
￣￣￣￣￣￣￣￣￣白かった。前>>204ていうか、ぴったり10°かな？―見当つけて当たったとこが面白かった。
217:
19/04/04 18:39:48.06 fNgAkNYq.net
>>204訂正。cos10°=0.173648178前>>205
､∩
`_')っ､ﾋﾟｯ
￣]/＼_＼________
＿/＼/ с＼.~っ /|
￣＼/ (`e'＼っ/ |
￣|＼＿_U,~⌒＼| |__
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￣￣￣￣￣￣￣￣∥ /*
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￣￣￣￣￣￣￣￣￣
218:１３２人目の素数さん
19/04/05 02:52:10.02 syrOJXlP.net
>>200
D (0,0) S (2a,0) T~ (2b,0) X (0,2mb) W (0,2ma)
とすると
対角線DD~： y = mx (m=q/p)
SW： y = m(2a-x)
T~X： y = m(2b-x)
SWとDD~の交点 F (a,ma)
T~XとDD~の交点 G (b,mb)
FT~： y = {ma/(2b-a)}(2b-x),
GS： y = {mb/(2a-b)}(2a-x),
これらの交点 H (3ab/(a+b),mab/(a+b))
DH： y = (m/3)x,
219:１３２人目の素数さん
19/04/07 04:36:50.66 p5MPyff0.net
実数上のC^1級関数f(x)についてlim(x→∞)f(x)は収束するとしたとき、以下の問に答えよ
(1)f'が単調増加の場合、lim(x→∞)f'(x)=0となることを証明せよ
(2)fが単調増加でかつ
lim(x→∞)f'(x)は0とはならない例を挙げよ
220:１３２人目の素数さん
19/04/07 20:49:13.17 HnYrjN0r.net
>>184
直線l上に点Bを中心として点Aを通る円Cを作図する。円Cと直線lの交点でAでない方をA'とする。
直線l上にない点Pを円Cの内部にとり、線分OP上の点Qを任意にとる。
APとA'Qの交点をR、A'PとAQの交点をR'、RR'とPBの交点をSとおく。
RBとSAの交点をT、PTとlの交点をUおけば、Uは線分ABの中点になる。
直線RR'と円Cの２つの交点をそれぞれV,Wとおく。
直線VBと円Cの交点でVでない方をV'、直線WBと円Cの交点でWでない方をW'とおけば、
直線VW、直線l、直線V'W'は全て平行であり、この順で等間隔である。
直線V'W'上から任意に点Oをとり、OAとVWの交点をD、OUとVWの交点をE、OBとVWの交点をFとおく。
点Oを原点として二点A,Bの位置ベクトルがそれぞれ(1,0),(1,1)となるように座標系を定めると、
現在 O(0,0), A(1,0), B(1,1), A'(1,2), D(2,0), E(2,1), F(2,2) 等が作図されていることになるので、
あとは例えばAEとA'Fの交点G(3,2)、ADとA'Eの交点H(3,0)、GHとBEの交点I(3,1)等のように作図をすれば、
OGとABの交点(1,2/3)、OHとABの交点(1,1/3)という求める二点が得られる。
221:１３２人目の素数さん
19/04/07 21:03:38.42 HnYrjN0r.net
>>209 訂正
１段落２行目
誤：線分OP上の点Qを任意にとる。
正：線分BP上に点Qを任意にとる。
３段落５行目
誤：OHとABの交点(1,1/3)
正：OIとABの交点(1,1/3)
222:１３２人目の素数さん
19/04/08 03:41:50.60 QMWP0bri.net
>>208
(1)
もしも f '(a) >0 となるaが存在したならば
x≧a ⇒ f '(x) ≧ f '(a) = b,
f(x) ≧ f(a) + b(x-a) → ∞ (x→∞)
となって矛盾する。
∴ f '(x) ≦ 0
∴ 単調増加で上に有界だから収束する。
lim[x→∞] f '(x) = L ≦ 0,
L < 0 ならば、ε=(-L)/2 に対して 或る N があって
x > N ⇒ |f '(x) -L| < ε = (-L)/2,
f(x) < f(N) +(-L)/2・(x-N) → -∞ (x→∞)
となって矛盾する。
∴ L=0
(2)
たとえば
f '(x) = sin(nnx) ( 2nπ < x
223: < (2n+1/nn)π ) = 0 (その他) f(x) → 2ζ(2) = ππ/3 (x→∞) ・有名な例 f '(x) = x/{1+ x^6･sin(x)^2}, 高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店(1961) p.141 第3章 積分法 練習問題(3)-(9)
224:１３２人目の素数さん
19/04/08 04:06:51.39 ngSQUI0x.net
>>211
素晴らしい
正解です
225:１３２人目の素数さん
19/04/08 05:49:09.82 Vu1Qm4OT.net
f(x)=1-x^2+x^4-x^8+x^16-x^32+…+(-1)^n・x^(2^n)+…
とするときf(x)は[0,1)で連続だが
片側極限lim(x→1-)f(x)は存在しないことを示せ。
226:１３２人目の素数さん
19/04/08 19:43:55.22 Vu1Qm4OT.net
>>213
f(x)をプロットした図です
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
227:１３２人目の素数さん
19/04/09 09:29:56.42 sDGeXCoR.net
>>214
x ～ 1 - (√2)(1/4)^n の辺りで極大 ～ 0.5027
x ～ 1 - (1/√2)(1/4)^n の辺りで極小 ～ 0.4973
x ～ 1 - (1/2)^n の辺りでは ≒ 1/2
ですかねぇ
228:１３２人目の素数さん
19/04/09 10:16:07.90 fr3gP2yM.net
>>213
n＝0 のとき (-1)^n・x^(2^n)＝x^(2^0)＝x^1なので、
f(x)=1-x^2+x^4-x^8+x^16-x^32+…+(-1)^n・x^(2^n)+…
ではなく
f(x)= x -x^2+x^4-x^8+x^16-x^32+…+(-1)^n・x^(2^n)+…
だよね？
229:１３２人目の素数さん
19/04/09 10:20:34.14 fr3gP2yM.net
>>213
a＝lim(x→1-)f(x)∈R が存在するとする。
f(x)＝Σ[n＝0～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n}) なので、0＜x＜1とm≧1を任意に取るとき、
f(x^{1/4^m})
＝Σ[n＝0～∞]x^{4^{n－m}}(1－x^{4^{n－m}})
＝Σ[n＝－m～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n})
となる。m→＋∞とすると、x^{1/4^m}↑1 なので、
a＝Σ[n＝－∞～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n})
となる。これが任意の0＜x＜1で言えることになる。
230:１３２人目の素数さん
19/04/09 10:25:33.18 fr3gP2yM.net
しかし、x＝1/2, 1/3 のときの Σ[n＝－∞～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n}) の値を
数値計算すると、同じ値にはならないことが予想される。
厳密に違う値になることを示すには、適当な有限項までは厳密に計算し、
残りの剰余項は雑に上下から評価するだけでよい。
この級数は収束のスピードが極めて速いので、それでも何とかなる。
ただし、手計算では追いつかない分量ではある (＾o＾)
231:１３２人目の素数さん
19/04/09 15:38:45.84 pPl9bD9c.net
>>216
出典もとはそうです。
232:１３２人目の素数さん
19/04/09 16:37:25.71 pPl9bD9c.net
>>213
この問題は過去スレ26
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
の318でも出題しましたが正解者がいないので再出題です
233:１３２人目の素数さん
19/04/09 16:44:38.66 pPl9bD9c.net
>>220
誤：318
正：381
連投すまん
234:１３２人目の素数さん
19/04/09 22:23:24.26 fr3gP2yM.net
>>220-221
>>217-218で解答は終わってるはずだけど？
どこか間違ってた？
235:１３２人目の素数さん
19/04/09 23:09:38.40 pPl9bD9c.net
>>222
>厳密に違う値になることを示すには、適当な有限項までは厳密に計算し、
>残りの剰余項は雑に上下から評価するだけでよい。
これが示されればよいが、示してないので不正解。
236:１３２人目の素数さん
19/04/09 23:42:47.01 fr3gP2yM.net
>>223
本質的ではないね。
a＝Σ[n＝－∞～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n}) (0＜x＜1)
が導けた時点で本質的な矛盾は既に出ている。あとはただの数値計算。
人間の手でも終わるような上手い評価の仕方もあるかもしれないが、
受験数学でもあるまいし、それは本質ではない。
237:１３２人目の素数さん
19/04/09 23:45:44.30 fr3gP2yM.net
何が言いたいかというと、本質的ではないところにこだわって
「不正解」とか言い出すのはバカバカしいということ。
238:１３２人目の素数さん
19/04/10 00:01:17.67 Uauc4jYt.net
これがもしオーダー計算だったら、評価の仕方まで重要な意味を持つが、
ここでは x＝1/2, 1/3 における
239: Σ[n＝－∞～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n}) の値を 比較するだけなので、ただの数値計算であり、評価の中身を見ても誰も得しない。 一応、雑な評価による計算例を書いておいてやるが、こんなの見てどうしたいんだ？ 0＜x＜1とn∈Zに対して 0＜x^{4^n}(1－x^{4^n})＜x^{4^n}－x^{4^{n＋1}} なので、 m＜M を満たす整数m,Mに対して 0＜Σ[n＝m～M－1]x^{4^n}(1－x^{4^n})＜x^{4^m}－x^{4^M}. よって 0＜Σ[n＝m～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n})≦x^{4^m}, 0＜Σ[n＝－∞～M－1]x^{4^n}(1－x^{4^n})≦1－x^{4^M}, 0＜Σ[n＝－∞～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n})≦1. 特に、0＜x＜1のとき g(x)：＝Σ[n＝－∞～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n}) は収束して 0＜g(x)≦1である。