19/01/08 07:38:58.79 mZcV146T.net
(>>387の続き)
これで、既約有理数 q/p p≧2 が 0＜|γ－q/p|＜ε/p^2＜ε/p＜|γ－1/p| を満たすとすると、
γの大小について γ＞9/16 かつ γ＜9/16 となって矛盾が生じたことになる。
εは 0＜ε≦1 において任意だから、εを区間 (0,1] 上で走らせると、
0＜ε≦1 のとき、0＜|γ－q/p|＜ε/p^2＜ε/p＜|γ－1/p| を満たす既約有理数 q/p p≧2 は存在しない。
しかし、これは或る既約有理数 q/p p≧2 が存在して 0＜|γ－q/p|＜ε/p^2＜ε/p＜|γ－1/p| を満たすことに反する。
従って、0＜ε≦1 のとき、既約有理数 q/p p≧1 の分母について p＝1、故に、或る有理整数qが存在して、0＜|γ－q|＜ε となる。
57/100≦γ＜3/5 だから、q＝0 または q＝1。
(1)：q＝0 のとき。このとき、0＜|γ|＜ε であり、γ＞0 から、0＜γ＜ε、
従って、ε→0 とすると、0＜γ≦0 から γ＝0 となって矛盾する。
(2)：q＝1 のとき。このとき、0＜|γ－1|＜ε となるから、(1)と同様にして考えると、0＜1－γ＜ε、
従って、ε→0 とすると、0＜1－γ≦0 から γ＝1 となって矛盾する。
(1)、(2)から、有理整数qが存在して、0＜|γ－q|＜ε となるとすると、矛盾が導けた。
この矛盾はγを無理数としたことから導けたから、背理法が適用出来る。故に、背理法を適用するとγは有理数である。